Devoir surveillé — Probabilités sur un ensemble quelconque

Ce sujet comporte cinq exercices indépendants, à traiter dans l'ordre de votre choix. Les calculatrices et tous les documents sont interdits. Le barème, indiqué question par question, totalise $20$ points. Toute affirmation doit être justifiée : un résultat juste sans justification ne rapporte aucun point. Les valeurs approchées demandées se calculent à la main à partir des seules données numériques fournies par l'énoncé.

Dans tout cet exercice, $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ désigne un espace probabilisé. Pour chacun des cinq énoncés suivants, dire s'il est vrai ou faux. Une réponse « vrai » doit être accompagnée d'une démonstration, une réponse « faux » d'un contre-exemple explicite.

1. (0,5 point) Si ${\left(A_n\right)}_{n⩾1}$ est une suite d'événements deux à deux incompatibles, alors $P\left(A_n\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

2. (0,5 point) Si ${\left(D_n\right)}_{n⩾1}$ est une suite d'événements telle que $P\left(D_n\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ pour tout $n⩾1$, alors

$$P\left(\bigcap _{n⩾1}{D}_n\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$

3. (0,5 point) Si $X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ telle que $P(X⩾k)⩽{\displaystyle \frac{1}{k^2}}$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, alors $X$ admet une espérance.

4. (0,5 point) Si $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{P}(\mu )$ sont deux variables indépendantes, alors $X-Y$ suit une loi de Poisson.

5. (0,25 point) Si $A$ est un événement négligeable, alors $A$ et $B$ sont indépendants pour tout événement $B$.

Un club d'astronomie observe le ciel pendant une heure au cours d'une nuit d'août. On note $X$ le nombre d'étoiles filantes visibles à l'œil nu pendant cette heure, et l'on admet que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda ={\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Dans tout l'exercice, on utilisera les valeurs approchées

$$e^{-5\mathrm{/}2}\approx \mathrm{0,0821},e^{-5}\approx \mathrm{0,0067},{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,9179}}}\approx \mathrm{1,0894.}$$

1. (0,75 point) Calculer $P(X=0)$, $P(X=1)$ et $P(X=2)$, puis en déduire la probabilité que le club observe au moins trois étoiles filantes dans l'heure. On donnera des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près, et l'on détaillera d'où provient l'arrondi final.

2. (0,75 point) Montrer que la probabilité que le nombre d'étoiles filantes observées soit pair vaut

$$P(X\text{ pair})={\displaystyle \frac{1+e^{-2\lambda }}{2}},$$

puis en donner une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près. Ce résultat était-il prévisible ?

On pourra partir des développements en série de $e^{\lambda }$ et de $e^{-\lambda }$.

3. (1 point) Le club ne conserve dans ses archives que les séances d'observation où au moins une étoile filante a été vue. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $q_k=P_{(X⩾1)}(X=k)$.

a. Justifier que le conditionnement est licite, puis exprimer $q_k$ en fonction de $\lambda$ et de $k$. On admettra pour la suite que la famille ${\left(q_k\right)}_{k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ définit une loi de probabilité sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

b. Soit $Y$ une variable aléatoire suivant cette loi. Justifier que $Y$ admet une espérance, montrer que

$$E(Y)={\displaystyle \frac{\lambda }{1-e^{-\lambda }}},$$

puis en donner une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près et comparer à $E(X)$. Le résultat est-il cohérent avec la définition de $Y$ ?

4. (1 point) Justifier que la variable ${\displaystyle \frac{1}{(X+1)(X+2)}}$ admet une espérance, puis montrer que

$$E\left({\displaystyle \frac{1}{(X+1)(X+2)}}\right)={\displaystyle \frac{1-(1+\lambda )e^{-\lambda }}{{\lambda }^2}}\mathrm{.}$$

Donner une valeur approchée du résultat à ${10}^{-4}$ près.

Une archère s'entraîne et tire indéfiniment sur une cible. Les tirs sont mutuellement indépendants et, à chaque tir, la flèche atteint le centre avec la probabilité $p\in ]0,1[$. On pose $q=1-p$ et l'on admet l'existence d'un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ modélisant cette suite infinie de tirs.

On note $X$ le rang du premier tir au centre et $Y$ le rang du premier tir à côté. Contrairement à l'habitude, ces deux variables sont construites sur la même suite de tirs : rien ne dit qu'elles soient indépendantes.

1. (0,5 point) Justifier que $X$ et $Y$ sont bien définies presque sûrement, puis reconnaître leurs lois. Donner $E(X)$ et $E(Y)$.

2. (0,75 point) Justifier que $\min (X,Y)=1$, puis déterminer la loi conjointe du couple $(X,Y)$, c'est-à-dire $P(X=i,Y=j)$ pour tout couple $(i,j)$ de ${\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2$. On distinguera soigneusement les cas.

3. (0,5 point) Retrouver la loi marginale de $X$ à partir de la loi conjointe obtenue à la question 2.

4. (0,25 point) Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier.

5. (1 point) On pose $M=\max (X,Y)$. Déterminer $M(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $M$, vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$, puis justifier l'existence de $E(M)$ et montrer que

$$E(M)={\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}-1.$$

On pourra utiliser la somme de la série géométrique dérivée : pour $\mid x\mid <1$, ${\sum }_{k=1}^{+\mathrm{\infty }}k{x}^{k-1}={\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^2}}$.

6. (0,5 point) Calculer $P(X>Y)$ et $P(Y>X)$ sans aucun calcul de série, et interpréter. Donner enfin les valeurs numériques de $E(X)$, $E(Y)$, $E(M)$ et $P(X>Y)$ pour $p={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Un jeu télévisé se déroule en manches successives. À chaque manche, le candidat tire au hasard une enveloppe parmi deux, indépendamment des manches précédentes : l'une porte la mention « on continue », l'autre la mention « on arrête ». Tant qu'il tire « on continue », la cagnotte double et une nouvelle manche commence. Dès qu'il tire « on arrête », le jeu prend fin et le candidat emporte la cagnotte.

La cagnotte vaut $2$ euros avant la première manche. On note $X$ le rang de la manche où le candidat tire « on arrête », et $G$ la somme, en euros, qu'il emporte.

1. (0,5 point) Reconnaître la loi de $X$ et donner $E(X)$. Justifier ensuite que $G=2^X$ et préciser $G(\mathrm{\Omega })$.

2. (0,5 point) Calculer, pour tout entier $n⩾1$, la somme partielle ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{2}^{k}P(X=k)}$, puis en déduire que la variable $G$ n'admet pas d'espérance.

3. (1 point) La production décide de plafonner la cagnotte à $2^N$ euros, où $N$ est un entier supérieur ou égal à $2$ : la cagnotte double à chaque manche gagnée tant qu'elle n'a pas atteint $2^N$ euros, puis elle reste à cette valeur jusqu'à la fin du jeu. Le candidat emporte donc désormais $G_N=\min (G,2^N)$.

a. Justifier que $G_N=2^K$, où l'on a posé $K=\min (X,N)$. Déterminer ensuite $K(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $K$, en traitant à part la valeur $N$.

b. Justifier que $G_N$ admet une espérance et montrer que

$$E\left(G_N\right)=N+1.$$

4. (0,5 point) On prend $N=20$. Calculer $E\left(G_{20}\right)$, comparer au gain maximal possible, puis calculer la probabilité que le candidat emporte au moins $1000$ euros. On utilisera $2^{10}=1024$ et $2^{20}=1048576$.

5. (0,5 point) La production propose désormais au candidat de verser, avant le début du jeu, un droit d'entrée $c$ fixé à l'avance, et de jouer ensuite au jeu sans plafond de la question 2. Expliquer en quelques lignes pourquoi la réponse de la question 2. ne doit pas conduire ce candidat à accepter n'importe quelle valeur de $c$, alors même que le calcul qui la fonde est exact. On distinguera ce que l'espérance mesure, d'où vient la divergence, et ce qu'un plafond réaliste y change.

Une application sportive propose chaque jour un défi personnel à chacun de ses utilisateurs. Pour un utilisateur donné, le niveau de difficulté de son défi du jour est tiré au sort par l'application, de façon équiprobable, parmi $m$ niveaux numérotés de $1$ à $m$, où $m$ est un entier supérieur ou égal à $2$. Tous ces tirages sont mutuellement indépendants, d'un jour à l'autre comme d'un utilisateur à l'autre, et l'on admet l'existence d'un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ modélisant cette suite infinie de jours.

Un utilisateur s'inscrit le jour $1$. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $X_k$ le niveau du défi du jour $k$, de sorte que les variables $X_k$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,m]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

On s'intéresse au premier jour où l'utilisateur rencontre un défi strictement plus difficile que celui de son premier jour. On note donc $T$ le plus petit entier $k⩾2$ tel que $X_k>X_1$, avec la convention

$$T=0\text{si aucun défi ne dépasse jamais celui du premier jour.}$$

Partie A. La loi de $T$.

1. (0,25 point) Justifier que la famille ${((X_1=i))}_{i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,m]\text{\hspace{0.17em}⁣}]}$ est un système complet d'événements, dont aucun n'est négligeable.

2. (0,75 point) Justifier d'abord que $T(\mathrm{\Omega })=\{0\}\cup \{2,3,4,\dots \}$, c'est-à-dire que $T$ ne prend jamais la valeur $1$. Soit ensuite $k$ un entier supérieur ou égal à $2$.

a. Soit $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,m-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Décrire en français l'événement $(T=k)$ lorsque le défi du premier jour est de niveau $i$, puis montrer que

$$P_{(X_1=i)}(T=k)={\left({\displaystyle \frac{i}{m}}\right)}^{k-2}{\displaystyle \frac{m-i}{m}}\mathrm{.}$$

b. Que vaut $P_{(X_1=m)}(T=k)$ ? Justifier en une phrase.

3. (0,5 point) En déduire que, pour tout entier $k⩾2$,

$$P(T=k)={\displaystyle \frac{1}{m^k}}\sum _{i=1}^{m-1}{i}^{k-2}(m-i),$$

puis calculer $P(T=2)$ en fonction de $m$. (On rappelle que ${\sum }_{i=1}^{m-1}i=\frac{m(m-1)}{2}$.)

Partie B. Ce que la somme des probabilités révèle.

4. (1 point) Montrer que

$$\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}P(T=k)={\displaystyle \frac{m-1}{m}}\mathrm{.}$$

En déduire $P(T=0)$ et interpréter ce résultat en une phrase.

5. (1 point) On note $J$ l'événement « aucun défi ne dépasse jamais celui du premier jour », et pour $n⩾2$ on note $B_n$ l'événement « aucun des défis des jours $2$ à $n$ ne dépasse celui du premier jour ». Retrouver $P(J)$ par un second chemin, en appliquant le théorème de la limite monotone à la suite ${\left(B_n\right)}_{n⩾2}$ sous chacune des probabilités conditionnelles $P_{(X_1=i)}$.

6. (1,25 point) On admet que $T$ admet une espérance.

a. Soit $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,m-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. En posant $r={\displaystyle \frac{i}{m}}$ et $s=1-r$, montrer que

$$\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}k{r}^{k-2}s=1+{\displaystyle \frac{1}{s}}\mathrm{.}$$

b. En déduire que

$$E(T)={\displaystyle \frac{m-1}{m}}+\sum _{j=1}^{m-1}{\displaystyle \frac{1}{j}}\mathrm{.}$$

7. (0,5 point) Application numérique. Dans cette question uniquement, et à titre d'illustration, on suppose $m=6$. Donner les valeurs exactes de $P(T=2)$, $P(T=0)$ et $E(T)$, ainsi qu'une valeur approchée de $E(T)$ à ${10}^{-2}$ près.

Partie C. Retrouver le nombre de niveaux.

Dans toute cette partie, on admet le résultat de la question 4. : la probabilité qu'un utilisateur ne voie jamais de défi plus difficile que celui de son premier jour vaut ${\displaystyle \frac{1}{m}}$. Cette partie peut donc être traitée indépendamment des parties A et B.

L'éditeur de l'application ne publie pas le nombre $m$ de niveaux. Un observateur extérieur ne voit que les défis proposés, et il sait seulement comparer leurs difficultés deux à deux. Il va pourtant retrouver $m$.

Il observe $n$ utilisateurs, inscrits des jours différents et dont les suites de défis sont mutuellement indépendantes. Pour $\mathrm{\ell }\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, il pose $Z_{\mathrm{\ell }}=1$ si le défi du premier jour de l'utilisateur numéro $\mathrm{\ell }$ n'est jamais dépassé, et $Z_{\mathrm{\ell }}=0$ sinon. Il note enfin

$$F_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{\mathrm{\ell }=1}^n{Z}_{\mathrm{\ell }}\mathrm{.}$$

8. (0,75 point) Reconnaître la loi de $Z_{\mathrm{\ell }}$, puis calculer $E\left(F_n\right)$ et $V\left(F_n\right)$ en fonction de $m$ et de $n$. On précisera où intervient l'hypothèse d'indépendance.

9. (0,75 point) L'éditeur affirme, sans le démontrer, que son échelle comporte $5$ niveaux, et l'observateur veut contrôler cette affirmation. Dans cette question uniquement, on travaille donc sous l'hypothèse $m=5$. Déterminer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, le plus petit entier $n$ garantissant

$$P(\mid F_n-{\displaystyle \frac{1}{5}}\mid ⩾\mathrm{0,02})⩽\mathrm{0,05.}$$

Justifier ensuite que $V\left(F_n\right)⩽{\displaystyle \frac{1}{4n}}$ quelle que soit la valeur de $m$, puis comparer avec le nombre d'utilisateurs que cette majoration universelle aurait exigé.

10. (1 point) L'observateur, qui ignore $m$, interroge $n=8000$ utilisateurs et relève $F_n=\mathrm{0,19}$. Il décide d'admettre que $\mid F_n-\frac{1}{m}\mid <\mathrm{0,02}$. En déduire un encadrement de ${\displaystyle \frac{1}{m}}$, puis de $m$, et conclure. Que penser de la fiabilité de cette conclusion ?