Compléments d'analyse

Ce chapitre est le plus long et le plus riche du second semestre, et c'est aussi celui qui ressemble le plus à ce que l'on vous demandera aux concours. Il rassemble dix sujets qui, présentés côte à côte dans une table des matières, semblent sans rapport : les équivalents, les séries, les intégrales impropres, les dérivées successives, les formules de Taylor, les développements limités, les extrema, la convexité, les graphes. En réalité il n'y a qu'une seule idée, déclinée dix fois : remplacer un objet compliqué par un objet simple qui lui ressemble, et contrôler l'erreur commise. Tout le reste n'est que technique.

Le point de départ est une insuffisance du chapitre sur les limites. Savoir que $u_n\to 0$ ne dit rien de la vitesse à laquelle la suite tend vers $0$, et cette vitesse est exactement ce dont nous aurons besoin. La première section installe donc les deux outils de comparaison : la négligeabilité, notée $o$, qui dit « beaucoup plus petit », et l'équivalence, notée $\sim$, qui dit « pratiquement égal ». La deuxième section refait le même travail pour les fonctions, en un point ou à l'infini. Ces deux sections ne servent à rien par elles-mêmes ; elles sont l'alphabet des huit suivantes.

Vient alors la première application, et elle est spectaculaire : on additionne une infinité de nombres. Une série est une somme infinie, et la question n'est plus de la calculer mais de savoir si elle a un sens. La réponse tient en une phrase : une somme de termes positifs a un sens si et seulement si les termes deviennent petits assez vite, et « assez vite » se mesure avec les équivalents de la section $1$. La quatrième section pose exactement la même question pour les aires : que vaut l'aire sous une courbe qui s'étend jusqu'à l'infini, ou qui monte à l'infini au bord de son intervalle ? Le vocabulaire change, la mécanique est identique, au point que les critères de convergence des séries et ceux des intégrales impropres se répondent ligne à ligne.

La seconde moitié du chapitre change de point de vue. Au lieu de comparer une quantité à une autre, on approche une fonction par un polynôme, au voisinage d'un point. C'est le rôle des dérivées successives (section $5$), des formules de Taylor (section $6$) et des développements limités (section $7$). Un développement limité est la photographie de la fonction à la loupe : les deux premiers termes donnent la tangente, le premier terme suivant qui ne s'annule pas dit de quel côté de sa tangente passe la courbe. Une fonction quelconque devient localement un polynôme, et un polynôme, on sait le lire.

Les trois dernières sections récoltent. Le développement limité à l'ordre $2$ donne la condition suffisante d'extremum (section $8$), la dérivée seconde donne la convexité (section $9$), et l'ensemble se rassemble dans l'étude d'un graphe (section $10$) : variations, tangentes, position par rapport aux tangentes, points d'inflexion, asymptotes et position par rapport aux asymptotes. Le chapitre commence par une inégalité entre deux suites et finit par un dessin ; c'est le même mouvement, du calcul vers la forme.

Un mot sur le cadre de travail, car il est plus étroit qu'il n'y paraît et le respecter fait gagner des points. Toutes les fonctions que nous intégrerons sont continues : nous ne construisons pas l'intégrale, nous l'utilisons. Tous les développements limités sont pris au voisinage de $0$ et ne se manipulent que par somme et par produit ; on ne compose jamais deux développements limités. Une intégration par parties sur une intégrale impropre se fait sur un segment, puis on passe à la limite. Ces trois règles ne sont pas des lubies : ce sont les trois endroits où les copies se sabordent chaque année.

Voici les notations employées dans tout le chapitre.

Comparaison des suites

Le chapitre sur les suites a répondu à la question « vers quoi ? ». Celui-ci répond à la question « à quelle vitesse ? ». Les suites ${\displaystyle \frac{1}{n}}$, ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ tendent toutes les trois vers $0$, et pourtant la troisième est déjà inférieure à un millième au rang $10$ quand la première en est encore loin. Cette différence de vitesse, invisible pour la notion de limite, va décider de la convergence des séries et des intégrales.

Suites négligeables

Démonstration. Toutes reposent sur les opérations sur les limites. Pour 1., ${\displaystyle \frac{u_n+v_n}{w_n}}={\displaystyle \frac{u_n}{w_n}}+{\displaystyle \frac{v_n}{w_n}}\to 0+0=0$, et ${\displaystyle \frac{\lambda u_n}{w_n}}=\lambda {\displaystyle \frac{u_n}{w_n}}\to 0$. Pour 2., on écrit le quotient comme un produit de deux quotients :

$${\displaystyle \frac{u_n}{w_n}}={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\times {\displaystyle \frac{v_n}{w_n}}⟶0\times 0=0.$$

Pour 3., ${\displaystyle \frac{u_n{w}_n}{v_n{w}_n}}={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\to 0$ après simplification par $w_n$, licite à partir d'un certain rang. $\mathrm{\square }$

Suites équivalentes

L'idée est celle d'une égalité approchée dont la précision s'améliore : $u_n\sim v_n$ signifie que le rapport des deux suites se rapproche de $1$, donc que l'erreur relative commise en remplaçant $u_n$ par $v_n$ tend vers $0$. Attention, il s'agit bien de l'erreur relative : la différence $u_n-v_n$, elle, peut parfaitement tendre vers l'infini. Ainsi $n^2+n\sim n^2$, alors que la différence entre les deux vaut $n$.

Démonstration. Supposons $u_n\sim v_n$. À partir du rang où $v_n\mathrm{\ne }0$, on peut écrire

$${\displaystyle \frac{u_n-v_n}{v_n}}={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}-1⟶1-1=0,$$

ce qui est exactement la définition de $u_n-v_n=o(v_n)$, c'est-à-dire $u_n=v_n+o(v_n)$.

Réciproquement, si $u_n=v_n+o(v_n)$, notons $w_n=u_n-v_n$, qui vérifie ${\displaystyle \frac{w_n}{v_n}}\to 0$. Alors

$${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}={\displaystyle \frac{v_n+w_n}{v_n}}=1+{\displaystyle \frac{w_n}{v_n}}⟶1,$$

donc $u_n\sim v_n$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. 1. Le quotient ${\displaystyle \frac{u_n}{u_n}}$ vaut $1$, d'où la réflexivité. Si ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\to 1$, alors ${\displaystyle \frac{v_n}{u_n}}={\left({\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\right)}^{-1}\to 1$ par quotient de limites, la limite $1$ étant non nulle : d'où la symétrie. Enfin ${\displaystyle \frac{u_n}{w_n}}={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\times {\displaystyle \frac{v_n}{w_n}}\to 1\times 1=1$ : d'où la transitivité.

2. On écrit $u_n={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\times v_n$. Le premier facteur tend vers $1$, le second vers $\mathrm{\ell }$, donc le produit tend vers $\mathrm{\ell }$ (y compris lorsque $\mathrm{\ell }$ est infinie, puisqu'une suite de limite $1$ est minorée par ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ à partir d'un certain rang).

3. Le quotient ${\displaystyle \frac{u_n}{\mathrm{\ell }}}$ tend vers ${\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\ell }}}=1$, ce qui exige $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }0$.

4. Comme ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\to 1>0$, il existe un rang à partir duquel ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}>0$ : les deux termes sont alors non nuls et de même signe. $\mathrm{\square }$

Les opérations autorisées sur les équivalents

Démonstration. 1. À partir d'un certain rang, tous les termes sont non nuls et

$${\displaystyle \frac{u_n{a}_n}{v_n{b}_n}}={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\times {\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}⟶1\times 1=1.$$

2. De même, en utilisant que la limite $1$ du dénominateur est non nulle :

$${\displaystyle \frac{u_n\mathrm{/}{a}_n}{v_n\mathrm{/}{b}_n}}={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\times {\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}⟶1\times 1=1,$$

puisque ${\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}\to 1$ par symétrie de l'équivalence.

3. Posons $t_n={\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}$, de limite $1$. Pour un exposant entier $p$, la propriété 1. appliquée $p$ fois donne le résultat pour $p⩾0$, et la propriété 2. l'étend aux exposants négatifs. Pour un exposant réel $\alpha$ avec des suites strictement positives, on écrit

$${\displaystyle \frac{u_n^{\alpha }}{v_n^{\alpha }}}={\left({\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}\right)}^{\alpha }=t_n^{\alpha }=e^{\alpha \ln t_n}\mathrm{.}$$

Comme $t_n\to 1$ et que $\ln$ est continue en $1$, on a $\ln t_n\to 0$, puis $\alpha \ln t_n\to 0$, et enfin $e^{\alpha \ln t_n}\to e^0=1$ par continuité de l'exponentielle. $\mathrm{\square }$

Démonstration. C'est exactement la propriété de lien démontrée plus haut, lue de droite à gauche. $\mathrm{\square }$

Les opérations interdites

Cette sous-section est courte, et c'est pourtant celle qui rapporte le plus de points aux concours, car elle évite les fautes que les correcteurs sanctionnent sans discuter.

Comparaison des fonctions au voisinage d'un point

Tout ce qui précède se transpose aux fonctions sans changement, à ceci près que la variable ne tend plus seulement vers $+\mathrm{\infty }$ : elle peut tendre vers un réel $x_0$, ou vers $-\mathrm{\infty }$. Dans toute cette section, la phrase « au voisinage de $x_0$ » signifie « sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ » lorsque $x_0$ est un réel, « sur un intervalle de la forme $]A,+\mathrm{\infty }[$ » lorsque $x_0=+\mathrm{\infty }$, et « sur un intervalle de la forme $]-\mathrm{\infty },A[$ » lorsque $x_0=-\mathrm{\infty }$.

Négligeabilité et équivalence

Les équivalents usuels en 0

Le tableau suivant est à connaître par cœur : il sert dans presque tous les exercices du chapitre, et notamment pour déterminer la nature d'une série.

Démonstration. Les cinq premiers sont un simple taux d'accroissement. Soit $f$ une fonction dérivable en $0$ telle que $f(0)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)\mathrm{\ne }0$. Alors, pour $x\mathrm{\ne }0$ voisin de $0$,

$${\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\mathrm{\prime }}(0)x}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(0)}}\times {\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}}⟶{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(0)}{f^{\mathrm{\prime }}(0)}}=1,$$

c'est-à-dire $f(x){\sim }_0{f}^{\mathrm{\prime }}(0)x$. Il ne reste qu'à appliquer ce principe :

Le cas de $\tan$ est identique, avec ${\tan }^{\mathrm{\prime }}(0)=1$. Le dernier équivalent, $1-\cos x{\sim }_0{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$, échappe à ce raisonnement puisque la dérivée de $x\mapsto 1-\cos x$ s'annule en $0$ : il faut aller un cran plus loin, ce que fera la formule de Taylor-Young en section $7$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par hypothèse ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\to 1$ quand $x\to 0$, et $u_n\to 0$ avec $u_n\mathrm{\ne }0$ à partir d'un certain rang. Le théorème de composition des limites donne ${\displaystyle \frac{f(u_n)}{g(u_n)}}\to 1$. $\mathrm{\square }$

Nous disposons maintenant de tout le vocabulaire nécessaire. Les deux sections suivantes en font le même usage, sur deux objets qui se ressemblent beaucoup plus qu'on ne le croit : les sommes infinies et les aires infinies.

Séries numériques

Additionner une infinité de nombres n'a a priori aucun sens : l'addition est une opération qui prend deux nombres. La seule façon rigoureuse de donner un sens à une somme infinie est de la construire comme une limite de sommes finies. C'est toute la théorie des séries, et cela explique pourquoi le mot « nature » revient sans arrêt : avant de calculer une somme infinie, il faut prouver qu'elle existe.

Sommes partielles, convergence, somme et reste

Démonstration. Fixons $n$. Pour $N>n$, la somme partielle de la série décalée vaut

$$\sum _{k=n+1}^N{u}_k=S_N-S_n,$$

qui tend vers $S-S_n$ quand $N\to +\mathrm{\infty }$ : la série décalée converge, de somme $S-S_n=R_n$. Enfin $R_n=S-S_n\to S-S=0$ puisque $S_n\to S$. $\mathrm{\square }$

La condition nécessaire de convergence

Démonstration. Supposons la série convergente, de somme $S$. Pour $n⩾n_0+1$, on a $u_n=S_n-S_{n-1}$. Or $S_n\to S$ et $S_{n-1}\to S$ (c'est la même suite, décalée d'un rang), donc par différence $u_n\to S-S=0$. $\mathrm{\square }$

Linéarité

Démonstration. La somme partielle de rang $n$ de la série $\sum (\lambda u_n+\mu v_n)$ vaut, par linéarité de la somme finie,

$$\sum _{k=n_0}^n(\lambda u_k+\mu v_k)=\lambda \sum _{k=n_0}^n{u}_k+\mu \sum _{k=n_0}^n{v}_k=\lambda S_n+\mu T_n\mathrm{.}$$

Par opérations sur les limites, cette suite converge vers $\lambda S+\mu T$. $\mathrm{\square }$

Séries télescopiques : étudier une suite par ses accroissements

Démonstration. La somme partielle se télescope :

$$S_n=\sum _{k=n_0}^n(u_{k+1}-u_k)=u_{n+1}-u_{n_0}\mathrm{.}$$

Ainsi $(S_n)$ converge si et seulement si $(u_{n+1})$ converge, c'est-à-dire si et seulement si $(u_n)$ converge, et dans ce cas $S_n\to \mathrm{\ell }-u_{n_0}$. $\mathrm{\square }$

Séries à termes positifs

Une série dont tous les termes sont positifs ne peut pas osciller : ses sommes partielles ne font que monter. Cette remarque, presque triviale, est le socle de toute la théorie.

Démonstration. Pour $n$ assez grand, $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}⩾0$ : la suite $(S_n)$ est croissante à partir d'un certain rang. Le théorème de la limite monotone, établi au chapitre sur les suites, s'applique alors : une suite croissante majorée converge, et une suite croissante non majorée tend vers $+\mathrm{\infty }$. Il n'y a pas de troisième possibilité. $\mathrm{\square }$

Les séries de Riemann

Nous avons besoin d'une famille de séries de référence, aussi variée que possible, à laquelle comparer toutes les autres. Les séries de Riemann jouent ce rôle. Pour établir leur nature, nous allons comparer une somme à une intégrale, technique qui vaut d'être comprise pour elle-même : elle repose sur l'idée qu'une somme de termes $f(k)$ est une somme d'aires de rectangles de largeur $1$, et qu'un rectangle se compare facilement à l'aire sous une courbe monotone.

Démonstration. Traitons d'abord le cas $\alpha >0$, pour lequel la fonction $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t^{\alpha }}}$ est continue et décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Cette décroissance donne, pour tout entier $k⩾2$ et tout $t\in [k-1,k]$, l'inégalité ${\displaystyle \frac{1}{k^{\alpha }}}⩽{\displaystyle \frac{1}{t^{\alpha }}}$, puis, en intégrant sur un intervalle de longueur $1$ :

$${\displaystyle \frac{1}{k^{\alpha }}}⩽{\int }_{k-1}^k{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}}\mathrm{.}$$

Le même argument sur $[k,k+1]$, où cette fois ${\displaystyle \frac{1}{t^{\alpha }}}⩽{\displaystyle \frac{1}{k^{\alpha }}}$, donne l'encadrement complémentaire

$${\int }_k^{k+1}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}}⩽{\displaystyle \frac{1}{k^{\alpha }}}\mathrm{.}$$

Cas $\alpha >1$. Sommons la première inégalité pour $k$ allant de $2$ à $n$, et utilisons la relation de Chasles :

$$S_n-1=\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{k^{\alpha }}}⩽{\int }_1^n{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}}={\left[{\displaystyle \frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\right]}_1^n={\displaystyle \frac{1}{\alpha -1}}(1-{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha -1}}})⩽{\displaystyle \frac{1}{\alpha -1}}\mathrm{.}$$

Les sommes partielles vérifient donc $S_n⩽1+{\displaystyle \frac{1}{\alpha -1}}$ : elles sont majorées, et la série, à termes positifs, converge.

Cas $\alpha =1$. Sommons la seconde inégalité pour $k$ allant de $1$ à $n$ :

$${\int }_1^{n+1}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t}}⩽\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}=S_n,\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}\ln (n+1)⩽S_n\mathrm{.}$$

Comme $\ln (n+1)\to +\mathrm{\infty }$, le théorème de comparaison des suites donne $S_n\to +\mathrm{\infty }$ : la série harmonique diverge.

Cas $0<\alpha <1$. Pour tout $n⩾1$, on a $n^{\alpha }⩽n$, donc ${\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}⩾{\displaystyle \frac{1}{n}}$. La série harmonique diverge, donc par le critère de majoration (appliqué dans le sens de la divergence) la série $\sum {\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}$ diverge.

Cas $\alpha ⩽0$. Le terme général ${\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}=n^{-\alpha }$ ne tend pas vers $0$ : la divergence est grossière. $\mathrm{\square }$

Les séries géométriques et leurs deux premières dérivées

Démonstration. Si $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }⩾1$, alors $\mathrm{\mid }{q}^n\mathrm{\mid }⩾1$ pour tout $n$, donc le terme général ne tend pas vers $0$ : divergence grossière. Si $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, la somme d'une suite géométrique donne, pour $q\mathrm{\ne }1$,

$$S_n=\sum _{k=0}^n{q}^k={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}\mathrm{.}$$

Comme $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, on a $q^{n+1}\to 0$, donc $S_n\to {\displaystyle \frac{1}{1-q}}$. La formule décalée s'obtient en factorisant : ${\displaystyle \sum _{n=n_0}^N{q}^n=q^{n_0}\sum _{j=0}^{N-n_0}{q}^j}$, puis en passant à la limite. $\mathrm{\square }$

Les deux formules suivantes s'obtiennent, dans les cours d'analyse plus avancés, en dérivant terme à terme la somme géométrique. Cette opération n'est pas au programme ; nous les établirons donc par un calcul direct de la somme partielle, entièrement élémentaire.

Démonstration. Première formule. Posons $T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{q}^{k-1}}$ et calculons $(1-q)T_n$ :

$$(1-q)T_n=\sum _{k=1}^{n}k{q}^{k-1}-\sum _{k=1}^{n}k{q}^k\mathrm{.}$$

Dans la seconde somme, le changement d'indice $j=k+1$ donne ${\displaystyle \sum _{j=2}^{n+1}(j-1)q^{j-1}}$. En regroupant les deux sommes terme à terme, les indices $2$ à $n$ se combinent avec le coefficient $k-(k-1)=1$ :

$$(1-q)T_n=1+\sum _{k=2}^n{q}^{k-1}-n{q}^n=\sum _{k=1}^n{q}^{k-1}-n{q}^n={\displaystyle \frac{1-q^n}{1-q}}-n{q}^n\mathrm{.}$$

Comme $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, on a $q^n\to 0$ et $n{q}^n\to 0$ par croissances comparées. Donc $(1-q)T_n\to {\displaystyle \frac{1}{1-q}}$, puis

$$T_n⟶{\displaystyle \frac{1}{(1-q{)}^2}}\mathrm{.}$$

Seconde formule. Posons $U_n={\displaystyle \sum _{k=2}^{n}k(k-1)q^{k-2}}$ et procédons de même :

$$(1-q)U_n=\sum _{k=2}^{n}k(k-1)q^{k-2}-\sum _{k=2}^{n}k(k-1)q^{k-1}\mathrm{.}$$

Le changement d'indice $j=k+1$ dans la seconde somme donne ${\displaystyle \sum _{j=3}^{n+1}(j-1)(j-2)q^{j-2}}$. Les termes d'indice $3$ à $n$ se combinent avec le coefficient

$$k(k-1)-(k-1)(k-2)=(k-1)(k-(k-2))=2(k-1),$$

et il reste, en tête, le terme $k=2$ qui vaut $2$, et, en queue, le terme retranché $n(n-1)q^{n-1}$ :

$$(1-q)U_n=2\sum _{k=2}^n(k-1)q^{k-2}-n(n-1)q^{n-1}=2T_{n-1}-n(n-1)q^{n-1}\mathrm{.}$$

Or $T_{n-1}\to {\displaystyle \frac{1}{(1-q{)}^2}}$ d'après la première partie, et $n(n-1)q^{n-1}\to 0$ par croissances comparées. Donc

$$(1-q)U_n⟶{\displaystyle \frac{2}{(1-q{)}^2}},\text{puis}{U}_n⟶{\displaystyle \frac{2}{(1-q{)}^3}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

La série exponentielle

Nous démontrerons ce résultat en section $6$, une fois l'inégalité de Taylor-Lagrange établie : c'est elle qui permet de contrôler l'écart entre $e^x$ et la somme partielle. Signalons dès maintenant que la convergence, elle, est facile à obtenir pour $x⩾0$ : le terme général est positif et, par croissances comparées, ${\displaystyle \frac{x^k}{k!}}=o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{k^2}}\right)$, ce qui donne la convergence par comparaison avec une série de Riemann. Ce que la formule de Taylor apporte en plus, c'est la valeur de la somme.

Convergence absolue

Jusqu'ici, tous nos critères exigent un signe constant. Que faire d'une série dont le terme général change de signe sans cesse ? Le programme offre un seul outil, et il consiste à se ramener au cas positif.

Démonstration. L'idée du programme est d'écrire $\sum u_n$ comme différence de deux séries à termes positifs convergentes. Posons, pour tout $n$,

$$u_n^{+}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }+u_n}{2}},u_n^{-}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }-u_n}{2}}\mathrm{.}$$

Comme $-\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽u_n⩽\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$, ces deux suites sont positives, et l'on a de plus

$$0⩽u_n^{+}⩽\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid },0⩽u_n^{-}⩽\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

La série $\sum \mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$ converge par hypothèse, donc le critère de majoration des séries à termes positifs donne la convergence de $\sum u_n^{+}$ et de $\sum u_n^{-}$. Or

$$u_n^{+}-u_n^{-}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }+u_n}{2}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }-u_n}{2}}=u_n,$$

donc, par linéarité, la série $\sum u_n$ converge.

Pour l'inégalité, on part de l'inégalité triangulaire sur les sommes finies,

$$\mid \sum _{k=n_0}^n{u}_k\mid ⩽\sum _{k=n_0}^n\mathrm{\mid }{u}_k\mathrm{\mid },$$

et l'on passe à la limite quand $n\to +\mathrm{\infty }$, ce qui est licite puisque les deux membres convergent et que les inégalités larges se conservent par passage à la limite. $\mathrm{\square }$

Catalogue des séries usuelles

Méthode générale et exemples

Intégrales sur un intervalle quelconque

Jusqu'à présent, nous n'avons intégré que sur des segments $[a,b]$, et uniquement des fonctions continues : dans ce cadre, l'intégrale existe toujours et il n'y a aucune question de nature. Nous allons maintenant sortir de ce cadre de deux façons, et une seule fois : soit l'intervalle est non borné (par exemple $[1,+\mathrm{\infty }[$), soit la fonction n'est pas définie en l'une des bornes et y part à l'infini (par exemple $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}$ sur $]0,1]$). Dans les deux cas, l'aire sous la courbe pourrait être infinie, et la question « cette aire existe-t-elle ? » est exactement la question « cette série converge-t-elle ? » du paragraphe précédent, transposée du discret au continu. Les critères vont d'ailleurs se répondre mot pour mot.

Définition

La figure montre les deux comportements possibles sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Les deux fonctions $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t}}$ et $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t^2}}$ tendent vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$, et pourtant :

$${\int }_1^X{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t^2}}={[-{\displaystyle \frac{1}{t}}]}_1^X=1-{\displaystyle \frac{1}{X}}⟶1,{\int }_1^X{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t}}=\ln X⟶+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

L'aire hachurée sous $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t^2}}$ est donc finie et vaut $1$, alors que l'aire sous $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t}}$ est infinie. Tout le problème est là : il ne suffit pas que la fonction tende vers $0$, il faut qu'elle y tende assez vite.

Les règles de calcul

Démonstration. Les points 1., 3. et 4. s'obtiennent en écrivant la propriété correspondante sur le segment $[a,x]$, connue du chapitre précédent, puis en passant à la limite quand $x\to b$ : les opérations sur les limites donnent 1., et le passage à la limite dans une inégalité large donne 3. et 4.

Pour 2., la relation de Chasles sur les segments donne, pour $x\in [c,b[$,

$${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{c}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_c^{x}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Le premier terme du membre de droite est une constante : la fonction de gauche admet donc une limite finie en $b$ si et seulement si $x\mapsto {\int }_c^{x}f$ en admet une. D'où l'égalité des natures, puis la formule par passage à la limite.

Pour 5., notons $F(x)={\int }_a^{x}f$. Comme $f⩾0$, la fonction $F$ est croissante, donc pour tout $x\in [a,b[$,

$$0⩽F(x)⩽\underset{y\to b}{\lim }F(y)=0,$$

d'où $F(x)=0$. Ainsi ${\int }_a^{x}f=0$ pour tout $x$, et le résultat sur les segments (une fonction continue positive d'intégrale nulle sur un segment est nulle) donne $f=0$ sur chaque $[a,x]$, donc sur $[a,b[$ tout entier. $\mathrm{\square }$

Le cas des fonctions positives

Démonstration. La fonction $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$, donc $F^{\mathrm{\prime }}=f⩾0$ et $F$ est croissante. Le théorème de la limite monotone pour les fonctions, établi au chapitre précédent, donne exactement l'alternative annoncée : une fonction croissante et majorée admet une limite finie à gauche en $b$, une fonction croissante non majorée tend vers $+\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Convergence absolue

Démonstration. C'est le décalque de la démonstration faite pour les séries. Posons

$$f^{+}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }+f}{2}},f^{-}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }-f}{2}}\mathrm{.}$$

Ces deux fonctions sont continues sur $[a,b[$ (car $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ l'est), positives, et vérifient $f^{+}⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ et $f^{-}⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$. Par hypothèse ${\displaystyle {\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }}$ converge, donc le critère de majoration donne la convergence de ${\displaystyle {\int }_a^b{f}^{+}}$ et de ${\displaystyle {\int }_a^b{f}^{-}}$. Comme $f=f^{+}-f^{-}$, la linéarité donne la convergence de ${\displaystyle {\int }_a^{b}f}$.

Pour l'inégalité, on part de $\mid {\int }_a^{x}f\mid ⩽{\int }_a^x\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, valable sur le segment $[a,x]$, et l'on passe à la limite quand $x\to b$. $\mathrm{\square }$

Intervalle quelconque : traiter les bornes séparément

Les intégrales de référence

Démonstration. Soit $X>1$. Si $\alpha \mathrm{\ne }1$, une primitive de $t\mapsto t^{-\alpha }$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ est $t\mapsto {\displaystyle \frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$, donc

$${\int }_1^X{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}}={\left[{\displaystyle \frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\right]}_1^X={\displaystyle \frac{X^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }}\mathrm{.}$$

Si $\alpha >1$, alors $1-\alpha <0$ donc $X^{1-\alpha }\to 0$ et l'intégrale converge, de valeur ${\displaystyle \frac{-1}{1-\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{\alpha -1}}$. Si $\alpha <1$, alors $X^{1-\alpha }\to +\mathrm{\infty }$ et l'intégrale diverge. Enfin si $\alpha =1$, ${\displaystyle {\int }_1^X{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t}}=\ln X\to +\mathrm{\infty }}$ : divergence. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction est continue sur $]a,b]$ et la borne impropre est $a$. Soit $x\in ]a,b]$. Si $\alpha \mathrm{\ne }1$,

$${\int }_x^b{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{(t-a{)}^{\alpha }}}={\left[{\displaystyle \frac{(t-a{)}^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\right]}_x^b={\displaystyle \frac{(b-a{)}^{1-\alpha }-(x-a{)}^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\mathrm{.}$$

Si $\alpha <1$, alors $1-\alpha >0$ donc $(x-a{)}^{1-\alpha }\to 0$ quand $x\to a^{+}$ : l'intégrale converge et vaut ${\displaystyle \frac{(b-a{)}^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$. Si $\alpha >1$, alors $(x-a{)}^{1-\alpha }\to +\mathrm{\infty }$ : divergence. Enfin si $\alpha =1$,

$${\int }_x^b{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t-a}}=\ln (b-a)-\ln (x-a)⟶+\mathrm{\infty }:$$

divergence également. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $X>0$. Si $\alpha \mathrm{\ne }0$,

$${\int }_0^X{e}^{-\alpha t}\mathrm{d}t={\left[{\displaystyle \frac{e^{-\alpha t}}{-\alpha }}\right]}_0^X={\displaystyle \frac{1-e^{-\alpha X}}{\alpha }}\mathrm{.}$$

Si $\alpha >0$, alors $e^{-\alpha X}\to 0$ et l'intégrale converge vers ${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$. Si $\alpha <0$, alors $e^{-\alpha X}\to +\mathrm{\infty }$ et l'intégrale diverge. Si $\alpha =0$, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{X}1\mathrm{d}t=X}$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ : divergence. $\mathrm{\square }$

Catalogue des intégrales de référence

La dernière ligne se démontre par une intégration par parties, technique que nous abordons maintenant.

Intégration par parties

Changement de variable

Méthode générale et exemples

Dérivées successives

Nous changeons de sujet, et de point de vue. Jusqu'ici nous comparions des quantités entre elles ; nous allons maintenant approcher une fonction par un polynôme au voisinage d'un point. La dérivée première fournit déjà une approximation, celle de la tangente ; pour faire mieux, il faut dériver plusieurs fois. Cette section installe l'outillage, les deux suivantes en tirent tout le parti.

Définitions

Opérations

Démonstration. Le point 1. se démontre par une récurrence immédiate sur $p$ à partir de la linéarité de la dérivation. Les points 2. et 3. se démontrent également par récurrence, en dérivant les formules du produit et du quotient, chaque dérivation faisant apparaître des produits de fonctions de classe $C^{p-1}$. Le point 4. est admis. $\mathrm{\square }$

La formule de Leibniz

Démonstration. Par récurrence sur $n$. Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété annoncée.

Initialisation. Pour $n=0$, la formule s'écrit $(fg{)}^{(0)}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{0}{0}\right)f^{(0)}{g}^{(0)}=fg$ : c'est vrai.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie, et soient $f$ et $g$ de classe $C^{n+1}$. Elles sont en particulier de classe $C^n$, donc

$$(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)f^{(k)}{g}^{(n-k)}\mathrm{.}$$

Chaque terme de cette somme est un produit de deux fonctions dérivables (puisque $k⩽n$ et $n-k⩽n$, et que $f$ et $g$ sont de classe $C^{n+1}$). On peut donc dériver terme à terme :

$$(fg{)}^{(n+1)}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)(f^{(k+1)}{g}^{(n-k)}+f^{(k)}{g}^{(n-k+1)})\mathrm{.}$$

Séparons les deux sommes et effectuons le changement d'indice $j=k+1$ dans la première :

$$(fg{)}^{(n+1)}=\sum _{j=1}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j-1}\right)f^{(j)}{g}^{(n+1-j)}+\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)f^{(k)}{g}^{(n+1-k)}\mathrm{.}$$

Le terme $j=n+1$ de la première somme vaut $f^{(n+1)}{g}^{(0)}$, le terme $k=0$ de la seconde vaut $f^{(0)}{g}^{(n+1)}$, et les indices communs $1⩽j⩽n$ se regroupent grâce à la formule de Pascal $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{j}\right)$ :

$$(fg{)}^{(n+1)}=f^{(n+1)}g+\sum _{j=1}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{j}\right)f^{(j)}{g}^{(n+1-j)}+f{g}^{(n+1)}=\sum _{j=0}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{j}\right)f^{(j)}{g}^{(n+1-j)}\mathrm{.}$$

D'où $\mathcal{P}(n+1)$, et la conclusion par récurrence. $\mathrm{\square }$

Dérivées successives usuelles

Chacune de ces formules se démontre par une récurrence immédiate. Pour le sinus, on utilise la formule d'addition $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$, qui donne $\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\cos x$ : dériver le sinus revient donc à décaler son argument de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Démonstration. Dériver une fonction polynomiale non constante fait baisser son degré d'exactement $1$, et la dérivée d'une constante est nulle. En dérivant $n+1$ fois une fonction polynomiale de degré au plus $n$, on obtient donc la fonction nulle. $\mathrm{\square }$

Les formules de Taylor

Nous savons approcher une fonction dérivable par sa tangente. Les formules de Taylor généralisent cette idée : on approche $f$ au voisinage d'un point $a$ par le polynôme

$$T_n(x)=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a{)}^k,$$

appelé polynôme de Taylor d'ordre $n$ de $f$ en $a$, et l'on contrôle l'erreur $f(x)-T_n(x)$. Il existe plusieurs façons d'écrire cette erreur ; le programme en retient deux, l'une exacte (le reste intégral), l'autre sous forme d'inégalité (Taylor-Lagrange), et une troisième, purement locale, viendra en section $7$ (Taylor-Young).

Formule de Taylor avec reste intégral

Démonstration. Par récurrence sur $n$, à $a$ et $x$ fixés.

Initialisation. Pour $n=0$, la formule s'écrit

$$f(x)=f(a)+{\int }_a^x{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t,$$

ce qui est exactement le théorème fondamental de l'analyse, $f^{\mathrm{\prime }}$ étant continue sur le segment d'extrémités $a$ et $x$.

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$. Transformons le reste intégral par une intégration par parties, en posant

$$u(t)=f^{(n+1)}(t),v(t)=-{\displaystyle \frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}},$$

qui sont de classe $C^1$ sur le segment d'extrémités $a$ et $x$, avec $v^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{(x-t{)}^n}{n!}}$. Il vient

$${\int }_a^x{\displaystyle \frac{(x-t{)}^n}{n!}}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t={[-{\displaystyle \frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}}{f}^{(n+1)}(t)]}_a^x+{\int }_a^x{\displaystyle \frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}}{f}^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Le crochet vaut $0$ en $t=x$ (car $x-t=0$) et ${\displaystyle \frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}}{f}^{(n+1)}(a)$ en $t=a$, au signe près. Donc

$${\int }_a^x{\displaystyle \frac{(x-t{)}^n}{n!}}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}}(x-a{)}^{n+1}+{\int }_a^x{\displaystyle \frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}}{f}^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

En reportant dans la formule du rang $n$, on obtient exactement la formule du rang $n+1$. $\mathrm{\square }$

Inégalité de Taylor-Lagrange

Démonstration. Supposons d'abord $x⩾a$. D'après la formule de Taylor avec reste intégral, la quantité à majorer est la valeur absolue du reste, et l'inégalité triangulaire pour les intégrales donne

$$\mid {\int }_a^x{\displaystyle \frac{(x-t{)}^n}{n!}}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t\mid ⩽{\int }_a^x{\displaystyle \frac{(x-t{)}^n}{n!}}\mid f^{(n+1)}(t)\mid \mathrm{d}t,$$

où l'on a utilisé que $(x-t{)}^n⩾0$ pour $t\in [a,x]$. En majorant $\mathrm{\mid }{f}^{(n+1)}\mathrm{\mid }$ par $M_{n+1}$ :

$$\mid {\int }_a^x{\displaystyle \frac{(x-t{)}^n}{n!}}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t\mid ⩽M_{n+1}{\int }_a^x{\displaystyle \frac{(x-t{)}^n}{n!}}\mathrm{d}t=M_{n+1}{[-{\displaystyle \frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}}]}_a^x=M_{n+1}{\displaystyle \frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}}\mathrm{.}$$

Si $x<a$, on écrit $\mid {\int }_a^x\mid =\mid {\int }_x^a\mid$ et l'on refait le même calcul sur le segment $[x,a]$, ce qui fait apparaître $(a-x{)}^{n+1}$. Dans les deux cas, on obtient la majoration annoncée avec $\mathrm{\mid }x-a{\mathrm{\mid }}^{n+1}$. $\mathrm{\square }$

Développements limités

Un développement limité est la version locale des formules de Taylor : on renonce à contrôler l'erreur loin du point, on se contente de savoir qu'elle est négligeable devant la dernière puissance écrite, et en échange on gagne un outil de calcul d'une souplesse remarquable. Tous les développements limités du programme sont pris au voisinage de $0$, et se manipulent uniquement par somme et par produit.

Définition

Démonstration. Partons de $f(x)=a_0+\cdots +a_n{x}^n+x^n\epsilon (x)$ et regroupons les termes de degré strictement supérieur à $p$ :

$$f(x)=(a_0+\cdots +a_p{x}^p)+x^p\underset{\text{not}\acute{\text{e}}\eta (x)}{\underbrace{(a_{p+1}x+\cdots +a_n{x}^{n-p}+x^{n-p}\epsilon (x))}}\mathrm{.}$$

Chaque terme de $\eta (x)$ tend vers $0$ quand $x\to 0$, puisque $n-p⩾1$ pour les premiers et que $\epsilon (x)\to 0$ pour le dernier. Donc $\eta$ est de limite nulle en $0$, et $f(x)=a_0+\cdots +a_p{x}^p+x^p\eta (x)$. $\mathrm{\square }$

Les premiers ordres : lien avec la continuité et la dérivée

Démonstration. 1. Si $f(x)=a_0+\epsilon (x)$ avec $\epsilon$ de limite nulle, alors $f(x)\to a_0$. Réciproquement, si $f(x)\to \mathrm{\ell }$, il suffit de poser $\epsilon (x)=f(x)-\mathrm{\ell }$.

2. Supposons que $f(x)=a_0+a_{1}x+x\epsilon (x)$. En faisant $x\to 0$, on obtient $f(x)\to a_0$, donc $a_0=f(0)$ par continuité (une fonction dérivable en $0$, ou simplement admettant un développement limité à l'ordre $1$, est continue en $0$ : c'est le point 1.). Alors, pour $x\mathrm{\ne }0$,

$${\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x}}=a_1+\epsilon (x)⟶a_1,$$

donc $f$ est dérivable en $0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)=a_1$.

Réciproquement, si $f$ est dérivable en $0$, posons pour $x\mathrm{\ne }0$

$$\epsilon (x)={\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x}}-f^{\mathrm{\prime }}(0),\text{et}\epsilon (0)=0.$$

Par définition du nombre dérivé, $\epsilon (x)\to 0$ quand $x\to 0$, et en multipliant par $x$ on obtient $f(x)=f(0)+f^{\mathrm{\prime }}(0)x+x\epsilon (x)$. $\mathrm{\square }$

La formule de Taylor-Young

Unicité du développement limité

Démonstration. Supposons que, au voisinage de $0$,

$$f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+x^n{\epsilon }_1(x)=\sum _{k=0}^n{b}_k{x}^k+x^n{\epsilon }_2(x),$$

avec ${\epsilon }_1$ et ${\epsilon }_2$ de limite nulle en $0$. Posons $c_k=a_k-b_k$ et $\eta ={\epsilon }_1-{\epsilon }_2$, également de limite nulle. En soustrayant,

$$0=\sum _{k=0}^n{c}_k{x}^k+x^n\eta (x)\text{pour tout }x\text{ voisin de }0.$$

Raisonnons par l'absurde et supposons que les $c_k$ ne soient pas tous nuls. Soit $p$ le plus petit indice tel que $c_p\mathrm{\ne }0$. Tous les termes d'indice inférieur à $p$ étant nuls, on peut diviser par $x^p$ pour $x\mathrm{\ne }0$ :

$$0=c_p+c_{p+1}x+\cdots +c_n{x}^{n-p}+x^{n-p}\eta (x)\mathrm{.}$$

Faisons tendre $x$ vers $0$ : tous les termes du membre de droite tendent vers $0$, sauf le premier, y compris le dernier puisque $n-p⩾0$ et $\eta (x)\to 0$. On obtient donc $c_p=0$, ce qui contredit le choix de $p$. Ainsi tous les $c_k$ sont nuls, c'est-à-dire $a_k=b_k$ pour tout $k$. $\mathrm{\square }$

Le catalogue des développements limités usuels

Démonstration. Toutes s'obtiennent en appliquant la formule de Taylor-Young, dont il suffit de calculer les dérivées successives en $0$.

Pour l'exponentielle, $f^{(k)}(0)=1$ pour tout $k$, d'où le coefficient ${\displaystyle \frac{1}{k!}}$.

Pour le logarithme, $f(x)=\ln (1+x)$ vérifie $f(0)=0$ et, pour $k⩾1$, $f^{(k)}(x)={\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}(k-1)!}{(1+x{)}^k}}$, donc $f^{(k)}(0)=(-1{)}^{k-1}(k-1)!$ et le coefficient vaut

$${\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}(k-1)!}{k!}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}}{k}}\mathrm{.}$$

Pour $f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$, une récurrence donne $f^{(k)}(x)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)(1+x{)}^{\alpha -k}$, d'où $f^{(k)}(0)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)$.

Pour $f(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}$, on a vu que $f^{(k)}(x)={\displaystyle \frac{k!}{(1-x{)}^{k+1}}}$, donc $f^{(k)}(0)=k!$ et tous les coefficients valent $1$. Pour ${\displaystyle \frac{1}{1+x}}$, c'est le cas $\alpha =-1$ du développement précédent, puisque $\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)=(-1)(-2)\cdots (-k)=(-1{)}^{k}k!$.

Pour le sinus et le cosinus, les dérivées successives en $0$ se répètent avec une période de $4$ : pour le sinus, $0$, $1$, $0$, $-1$, et pour le cosinus, $1$, $0$, $-1$, $0$. Les coefficients d'indice pair du sinus sont donc nuls, ce qui est cohérent avec son imparité, et de même pour les coefficients d'indice impair du cosinus. Le reste s'écrit à un ordre de plus que le dernier terme non nul, précisément parce que le terme suivant est nul. $\mathrm{\square }$

Voici ces développements écrits jusqu'au degré $3$, ce qui couvre l'immense majorité des exercices. Attention à l'ordre du reste pour le sinus et le cosinus : leur terme suivant étant nul, le reste s'écrit un cran plus loin que le dernier terme affiché.

Somme et produit de développements limités

Démonstration. Écrivons $f(x)=A(x)+x^n{\epsilon }_1(x)$ et $g(x)=B(x)+x^n{\epsilon }_2(x)$.

1. En additionnant, $f(x)+g(x)=A(x)+B(x)+x^n({\epsilon }_1(x)+{\epsilon }_2(x))$, et la somme de deux fonctions de limite nulle est de limite nulle.

2. En développant le produit,

$$f(x)g(x)=A(x)B(x)+x^n(A(x){\epsilon }_2(x)+B(x){\epsilon }_1(x)+x^n{\epsilon }_1(x){\epsilon }_2(x))\mathrm{.}$$

La parenthèse tend vers $0$ quand $x\to 0$, car $A$ et $B$ sont des polynômes, donc bornés au voisinage de $0$, et ${\epsilon }_1$, ${\epsilon }_2$ tendent vers $0$.

Il reste à traiter $A(x)B(x)$, qui est un polynôme de degré au plus $2n$. Séparons-le en $A(x)B(x)=C(x)+D(x)$, où $C$ regroupe les termes de degré au plus $n$ et $D$ ceux de degré strictement supérieur à $n$. Chaque monôme de $D$ est de degré au moins $n+1$, donc $D(x)=x^n\times xR(x)$ pour un certain polynôme $R$, et $xR(x)\to 0$. En regroupant tous les termes en $x^n$ fois une quantité de limite nulle, on obtient bien

$$f(x)g(x)=C(x)+x^n{\epsilon }_3(x)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Calculer une limite par les développements limités

Allure locale du graphe

Voici l'application géométrique des développements limités, et l'une des questions les plus fréquentes aux concours : où se trouve la courbe par rapport à sa tangente ?

Démonstration. 1. La troncature à l'ordre $1$ donne $f(x)=a_0+a_{1}x+x\eta (x)$, donc $f(0)=a_0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)=a_1$ : la tangente en $0$ a bien pour équation $y=f(0)+f^{\mathrm{\prime }}(0)x=a_0+a_{1}x$.

2. En retranchant l'équation de la tangente,

$$f(x)-(a_0+a_{1}x)=a_k{x}^k+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^k\right)=x^k(a_k+\epsilon (x)),$$

où $\epsilon$ désigne, comme dans la définition d'un développement limité, une fonction de limite nulle en $0$. Comme $\epsilon (x)\to 0$ et $a_k\mathrm{\ne }0$, il existe un intervalle autour de $0$ sur lequel $a_k+\epsilon (x)$ est du signe de $a_k$, et ne s'annule pas. Sur cet intervalle, la différence est donc du signe de $a_k{x}^k$.

3. Si $k$ est pair, $x^k>0$ pour $x\mathrm{\ne }0$ : la différence garde le signe de $a_k$ de part et d'autre de $0$.

4. Si $k$ est impair, $x^k$ change de signe en $0$ : la différence aussi, donc la courbe passe d'un côté à l'autre de la tangente. $\mathrm{\square }$

Application à l'étude d'une suite

Extremum d'une fonction

Chercher le maximum ou le minimum d'une fonction est le problème le plus fréquent des mathématiques appliquées à l'économie : maximiser un profit, minimiser un coût. La méthode du lycée, « on dérive, on cherche où la dérivée s'annule », est correcte mais incomplète : elle passe sous silence deux questions décisives, celle de l'existence de l'extremum et celle de la nature de l'intervalle. Cette section les traite frontalement.

Vocabulaire

Existence : le cas du segment

Condition nécessaire du premier ordre

Démonstration. Supposons que $f$ admette un maximum local en $c$ (le cas du minimum s'obtient en remplaçant $f$ par $-f$). Comme $I$ est ouvert et $c\in I$, il existe $\eta >0$ tel que $]c-\eta ,c+\eta [\subset I$ et $f(x)⩽f(c)$ pour tout $x$ de cet intervalle.

Pour $x\in ]c,c+\eta [$, le numérateur $f(x)-f(c)$ est négatif ou nul et le dénominateur $x-c$ est strictement positif, donc

$${\displaystyle \frac{f(x)-f(c)}{x-c}}⩽0.$$

En faisant tendre $x$ vers $c$ par valeurs supérieures, et par passage à la limite dans une inégalité large, on obtient $f^{\mathrm{\prime }}(c)⩽0$.

Pour $x\in ]c-\eta ,c[$, le numérateur est encore négatif ou nul mais le dénominateur est strictement négatif, donc le taux d'accroissement est positif ou nul, et en faisant tendre $x$ vers $c$ par valeurs inférieures on obtient $f^{\mathrm{\prime }}(c)⩾0$.

Les deux inégalités donnent $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$. $\mathrm{\square }$

Condition suffisante du second ordre

Démonstration. Écrivons la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ au point $c$, licite puisque $f$ est de classe $C^2$ : il existe une fonction $\epsilon$ de limite nulle en $0$ telle que, pour $h$ voisin de $0$,

$$f(c+h)=f(c)+f^{\mathrm{\prime }}(c)h+{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)}{2}}{h}^2+h^2\epsilon (h)\mathrm{.}$$

Comme $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$, il reste

$$f(c+h)-f(c)=h^2({\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)}{2}}+\epsilon (h))\mathrm{.}$$

Supposons $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)>0$ et posons $m={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)}{2}}>0$. Comme $\epsilon (h)\to 0$, il existe $\eta >0$ tel que $\mathrm{\mid }\epsilon (h)\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{m}{2}}$ pour $\mathrm{\mid }h\mathrm{\mid }<\eta$. Alors, pour $0<\mathrm{\mid }h\mathrm{\mid }<\eta$,

$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)}{2}}+\epsilon (h)⩾m-{\displaystyle \frac{m}{2}}={\displaystyle \frac{m}{2}}>0,$$

et comme $h^2>0$, on obtient $f(c+h)-f(c)>0$. Autrement dit, $f(x)>f(c)$ pour tout $x\mathrm{\ne }c$ tel que $\mathrm{\mid }x-c\mathrm{\mid }<\eta$ : c'est un minimum local strict.

Le cas $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)<0$ s'en déduit en appliquant ce qui précède à $-f$. $\mathrm{\square }$

Fonctions convexes

La convexité est la propriété qui distingue une courbe « qui creuse vers le haut » d'une courbe « qui bombe ». Elle joue en économie un rôle central : les fonctions de coût sont typiquement convexes, les fonctions d'utilité typiquement concaves, et cette forme suffit à garantir qu'un point critique est un optimum, sans autre vérification. Tous les résultats de cette section sont admis par le programme.

Définition et interprétation géométrique

La figure représente la parabole d'équation $y=x^2$ sur $[-\mathrm{2,4};\mathrm{2,4}]$, la corde joignant les points d'abscisses $-\mathrm{1,5}$ et $2$, et la tangente au point d'abscisse $\mathrm{0,5}$. On y lit les deux caractérisations de la convexité : entre les deux extrémités, la corde passe au-dessus de la courbe, et la tangente passe en dessous. Ces deux propriétés vont de pair, et l'une comme l'autre caractérise la convexité.

Les caractérisations par les dérivées

Point critique d'une fonction convexe

Points d'inflexion

Étude et tracé d'un graphe

Cette dernière section ne contient presque aucun résultat nouveau : elle rassemble tout ce qui précède dans un exercice unique, l'étude complète d'une fonction. C'est le format classique des sujets de concours, et la qualité de la copie tient moins aux calculs qu'à l'ordre dans lequel on les mène.

Le plan d'étude

Asymptotes horizontales et verticales

Asymptote oblique

Une étude complète

La figure confirme la lecture : les deux branches de la courbe s'approchent de la droite $y=x+1$, la branche de droite par au-dessus, la branche de gauche par en dessous, et l'axe des ordonnées est asymptote verticale.

Les erreurs classiques du chapitre

Cette section rassemble les fautes qui reviennent chaque année. Les relire avant un devoir vaut souvent mieux que relire une démonstration de plus.

Sur les équivalents

Additionner des équivalents. De $u_n\sim v_n$ et $a_n\sim b_n$, on ne déduit rien sur $u_n+a_n$. Le contre-exemple à citer : $n+1\sim n$ et $-n\sim -n$, alors que $1$ n'est pas équivalent à $0$.

Écrire $u_n\sim 0$. Cette écriture n'a aucun sens. Une suite de limite nulle a un équivalent non nul, ou n'en a pas d'utile.

Composer un équivalent par une exponentielle ou un logarithme. Ni $e^{u_n}\sim e^{v_n}$ ni $\ln u_n\sim \ln v_n$ ne se déduisent de $u_n\sim v_n$. Pour l'exponentielle, la bonne condition porte sur la différence des exposants : $e^{u_n}\sim e^{v_n}$ dès que $u_n-v_n\to 0$.

Remplacer un terme par son équivalent dans une somme ou une différence. L'équivalence est compatible avec le produit, le quotient et les puissances, un point c'est tout. Devant une différence de deux quantités équivalentes, on transforme (quantité conjuguée, factorisation) ou l'on passe aux développements limités.

Oublier le point sous le symbole. $x^2+x$ est équivalent à $x^2$ en $+\mathrm{\infty }$ et à $x$ en $0$ : les deux affirmations sont vraies, et incompatibles si l'on omet de préciser où l'on travaille.

Sur les séries

Conclure de $u_n\to 0$ que la série converge. C'est l'erreur numéro un. La série harmonique $\sum {\displaystyle \frac{1}{n}}$ diverge alors que son terme général tend vers $0$. La condition nécessaire ne sert qu'à prouver des divergences.

Confondre la suite et la série. « La suite $\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$ converge, donc la série converge » est un raisonnement vide : la convergence de la suite $(u_n)$ vers $0$ ne dit rien de celle de $\sum u_n$.

Appliquer un critère de comparaison à une série de signe variable. Les trois critères exigent un signe constant à partir d'un certain rang. Sans cette vérification écrite, l'argument ne vaut rien. Pour une série de signe variable, on teste la convergence absolue.

Manipuler la somme avant d'avoir prouvé la convergence. Écrire ${\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k}$ suppose que ce nombre existe. Nature d'abord, calcul ensuite.

Se tromper de sens dans le critère de négligeabilité. $u_n=o(v_n)$ et $\sum v_n$ convergente donne la convergence de $\sum u_n$. Mais $u_n=o(v_n)$ avec $\sum v_n$ divergente ne donne rien du tout, comme le montre le couple $u_n={\displaystyle \frac{1}{n\ln n}}$ et $v_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$.

Croire que la réciproque de la divergence grossière existe. Une série peut diverger sans diverger grossièrement, et c'est même le cas le plus intéressant.

Sur les intégrales impropres

Oublier une borne impropre. Dans ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t+t^3}}}$, la borne $0$ est aussi impropre que la borne $+\mathrm{\infty }$, et c'est elle qui fait diverger l'intégrale. On dresse toujours la liste des bornes impropres avant de commencer.

Faire tendre les deux bornes en même temps. ${\displaystyle {\int }_{-X}^{X}t\mathrm{d}t=0}$ pour tout $X$, et pourtant ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}t\mathrm{d}t}$ diverge. Chaque borne s'étudie séparément.

Intégrer par parties directement entre des bornes impropres. Le crochet $[uv{]}_a^{+\mathrm{\infty }}$ n'existe pas tant qu'on n'a pas prouvé que la limite existe. On travaille sur un segment $[a,X]$, puis on passe à la limite. C'est une exigence explicite du programme et une faute lourdement sanctionnée.

Inverser les deux seuils de Riemann. En $+\mathrm{\infty }$, la convergence exige $\alpha >1$ ; en un point fini, elle exige $\alpha <1$. Les deux se confondent vite, et il n'y a qu'un moyen de ne pas se tromper : refaire mentalement le calcul de la primitive.

Transposer aux intégrales la condition nécessaire des séries. Une intégrale convergente sur $[a,+\mathrm{\infty }[$ n'oblige pas la fonction à tendre vers $0$, et une fonction qui tend vers $0$ n'assure pas la convergence.

Oublier de vérifier le signe avant d'appliquer un critère de comparaison ou d'équivalence, exactement comme pour les séries.

Sur les développements limités

Oublier le reste. Un développement limité sans son $o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^n\right)$ est une égalité fausse.

Mélanger les ordres. Dans une somme ou un produit, tous les développements doivent être écrits au même ordre, et le résultat est de cet ordre, jamais meilleur.

Composer deux développements limités. Ce n'est pas au programme. Les seules opérations autorisées sont la somme, le produit et la multiplication par une constante.

Conclure trop vite quand tout se simplifie. Si le calcul ne laisse que le reste, c'est que l'ordre était insuffisant : on recommence un cran plus loin, on ne conclut pas que la limite est nulle.

Utiliser un développement ailleurs qu'en $0$. Tous les développements du programme sont pris au voisinage de $0$. Pour étudier une suite, on se ramène à $x={\displaystyle \frac{1}{n}}$, qui tend bien vers $0$.

Sur les extrema et la convexité

Croire qu'un point critique est un extremum. $x\mapsto x^3$ a un point critique en $0$ et aucun extremum. La condition $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$ est nécessaire, pas suffisante.

Appliquer la condition nécessaire sur un intervalle non ouvert. Sur $[0,1]$, la fonction $x\mapsto x$ atteint ses deux extrema aux bornes, sans que sa dérivée s'annule jamais. Sur un segment, les extrémités sont des candidats à part entière.

Oublier la question de l'existence. Sur un intervalle ouvert, rien ne garantit qu'un extremum existe. Sur un segment, la continuité le garantit : c'est une phrase à écrire, elle rapporte des points.

Conclure d'un $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)=0$. Ni extremum, ni point d'inflexion : $x\mapsto x^4$ a une dérivée seconde nulle en $0$ et y admet pourtant un minimum global, sans point d'inflexion. Il faut étudier le changement de signe.

Confondre local et global. La condition d'ordre $2$ ne donne jamais qu'un extremum local. Pour le global, il faut le tableau de variations, ou la convexité.

Ce qu'il faut savoir faire

Comparer

• Écrire proprement $u_n=o(v_n)$ et $u_n\sim v_n$, et passer de l'un à l'autre par la relation $u_n\sim v_n⟺u_n=v_n+o(v_n)$.
• Déterminer un équivalent simple d'une suite ou d'une fonction : factorisation du terme dominant, croissances comparées, quantité conjuguée.
• Citer sans hésiter les six équivalents usuels en $0$ et les substituer en ${\displaystyle \frac{1}{n}}$.
• Calculer une limite par équivalents, et savoir reconnaître les cas où c'est interdit.

Étudier une série

• Écrire la somme partielle, distinguer la série de sa somme, exprimer le reste.
• Prouver une divergence grossière en une ligne.
• Reconnaître une série télescopique et l'utiliser pour étudier une suite par ses accroissements.
• Déterminer la nature d'une série à termes positifs par équivalent, puis comparaison à une série de Riemann ou géométrique.
• Prouver une convergence absolue et en déduire la convergence.
• Restituer les sommes des séries géométriques et de leurs deux premières dérivées, et savoir refaire le calcul de $(1-q)$ fois la somme partielle.
• Utiliser la série exponentielle ${\displaystyle \sum _{k⩾0}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}=e^x}$.

Étudier une intégrale impropre

• Repérer toutes les bornes impropres et découper avec Chasles.
• Reconnaître une intégrale faussement impropre.
• Conclure par comparaison, équivalence ou négligeabilité, après avoir justifié le signe.
• Restituer les trois intégrales de référence avec leur condition exacte de convergence.
• Mener une intégration par parties sur un segment, puis passer à la limite.
• Effectuer un changement de variable, en justifiant que la fonction est une bijection de classe $C^1$ monotone, et en changeant les bornes.

Approcher une fonction

• Calculer une dérivée $n$-ième, à la main ou par la formule de Leibniz.
• Écrire la formule de Taylor avec reste intégral et l'inégalité de Taylor-Lagrange, avec toutes leurs hypothèses.
• Majorer une erreur d'approximation et en déduire une valeur approchée.
• Restituer les développements limités usuels en $0$, à l'ordre $3$ au minimum.
• Calculer un développement limité par somme et par produit.
• Lever une forme indéterminée par développement limité.

Lire la géométrie d'une courbe

• Déterminer la tangente en un point et la position locale de la courbe par rapport à elle.
• Chercher les extrema d'une fonction sur un intervalle ouvert, puis sur un segment, en distinguant les deux méthodes.
• Appliquer la condition suffisante d'ordre $2$, et savoir quand elle ne conclut pas.
• Étudier la convexité par le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, déterminer les points d'inflexion et donner leurs coordonnées.
• Exploiter la convexité pour démontrer une inégalité (courbe au-dessus de ses tangentes, en dessous de ses cordes).
• Reconnaître un point critique d'une fonction convexe comme un minimum global.
• Déterminer les asymptotes, y compris obliques, et la position de la courbe par rapport à elles.
• Rassembler variations, convexité, tangentes et asymptotes en une étude complète et un tracé cohérent.