Devoir surveillé — Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Les quatre questions sont indépendantes. L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

1. (1,5 pt) Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites suivantes :

   a. la droite $d_1$ passant par le point $A(2;-1;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ ;

   b. la droite $(BC)$, où $B(1;0;2)$ et $C(3;-1;5)$.

2. (1 pt) On considère la droite $d$ de représentation paramétrique

   $$\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=2+2t\\ z=1+t\end{array}t\in \mathbb{R}$$

   a. Donner un point et un vecteur directeur de $d$.

   b. Le point $M(1;6;3)$ appartient-il à $d$ ? Justifier.

3. (0,75 pt) Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ passant par le point $E(1;-2;0)$ et de vecteur normal $\vec{n}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$.

4. (0,75 pt) Donner un vecteur normal à chacun des plans suivants :

   a. $P_1:2x-5y+z-7=0$

   b. $P_2:x=3y-2z+4$

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne

$$2x-y+2z-3=0$$

et le point $A(5;-3;4)$.

1. (0,5 pt) Vérifier que le point $A$ n'appartient pas au plan $P$.

2. (1 pt) Donner un vecteur normal $\vec{n}$ du plan $P$, puis déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $A$ et orthogonale au plan $P$.

3. (1,5 pt) Déterminer les coordonnées du point d'intersection $H$ de la droite $d$ et du plan $P$. Justifier que $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $P$.

4. (1 pt) En déduire la distance du point $A$ au plan $P$ (on donnera la valeur exacte).

5. (1 pt) Question d'interprétation. On note $A^{\mathrm{\prime }}$ le symétrique du point $A$ par rapport au plan $P$. Déterminer les coordonnées de $A^{\mathrm{\prime }}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne

$$x+2y-z+1=0$$

1. (2 pts) On considère la droite $d_1$ de représentation paramétrique

   $$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\\ z=3+2t\end{array}t\in \mathbb{R}$$

   a. Justifier que la droite $d_1$ et le plan $P$ sont sécants.

   b. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $I$.

2. (1,5 pt) On considère la droite $d_2$ de représentation paramétrique

   $$\{\begin{array}{l}x=1+s\\ y=1+s\\ z=2+3s\end{array}s\in \mathbb{R}$$

   Démontrer que la droite $d_2$ est strictement parallèle au plan $P$.

3. (1,5 pt) On considère les droites $d_3$ et $d_4$ de représentations paramétriques respectives

   $$d_3:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+2t\\ z=2-t\end{array}t\in \mathbb{R}\text{et}{d}_4:\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\mathrm{\prime }}\\ y=3+t^{\mathrm{\prime }}\\ z=t^{\mathrm{\prime }}\end{array}{t}^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{R}$$

   Déterminer la position relative des droites $d_3$ et $d_4$. On attend une justification complète.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$. On considère les points

$$A(-2;0;3),B(1;0;0),C(0;1;0)\text{et}D(1;1;2)\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Démontrer que les points $B$, $C$ et $D$ ne sont pas alignés. Ils définissent donc le plan $(BCD)$.

2. (1,25 pt) On cherche un vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ non nul, normal au plan $(BCD)$.

   a. Justifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(BCD)$ si et seulement si $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ et $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BD}=0$, puis en déduire un système de deux équations d'inconnues $a$, $b$ et $c$.

   b. Résoudre ce système et en déduire que le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ est normal au plan $(BCD)$.

3. (1 pt) Déterminer une équation cartésienne du plan $(BCD)$, puis vérifier que le point $A$ n'appartient pas à ce plan. Que peut-on en déduire pour les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ?

4. (0,75 pt) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathrm{\Delta }$ passant par $A$ et orthogonale au plan $(BCD)$.

5. (1,5 pt) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $(BCD)$, puis calculer la distance $AH$.

6. (0,75 pt) On admet que l'aire du triangle $BCD$ vaut ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ (en unités d'aire). Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.