Tale spé · Chapitre 03 · Algèbre et géométrie

Orthogonalité et distances dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace, vecteur normal à un plan, projeté orthogonal, plan médiateur.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Produit scalaire dans l'espace
Vecteur normal à un plan
Projeté orthogonal
Plan médiateur

En première, le produit scalaire a transformé la géométrie du plan : angles, longueurs et perpendicularités sont devenus des calculs. Le chapitre précédent a étendu les vecteurs à l'espace, mais sans cet outil de mesure : nous savons dire que des points sont alignés ou coplanaires, pas encore que deux arêtes d'un cube sont perpendiculaires ou qu'une diagonale mesure telle longueur. Ce chapitre comble ce manque en étendant le produit scalaire à l'espace. La bonne nouvelle est qu'il n'y a presque rien de nouveau à apprendre : deux vecteurs de l'espace peuvent toujours être ramenés dans un même plan, et tout ce qui a été vu en première s'y applique. Les nouveautés véritables sont géométriques : orthogonalité d'une droite et d'un plan, vecteur normal, projeté orthogonal, et le calcul de distances dans l'espace, avec une démonstration exigible au baccalauréat.

Produit scalaire dans l'espace

Comment définir le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ? L'observation clé est la suivante : si l'on représente deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à partir d'une même origine, en écrivant $\vec{u} = \vec{A B}$ et $\vec{v} = \vec{A C}$ , alors les trois points $A$ , $B$ et $C$ sont toujours contenus dans un même plan. Deux vecteurs de l'espace sont donc toujours coplanaires, et dans ce plan, le produit scalaire de première est parfaitement défini. Il suffit de le réutiliser.

Définition

Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace. On choisit des points $A$ , $B$ et $C$ tels que $\vec{u} = \vec{A B}$ et $\vec{v} = \vec{A C}$ , puis un plan $P$ contenant $A$ , $B$ et $C$ . Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est le produit scalaire des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ calculé dans le plan $P$ , au sens de la classe de première.

On admet que le nombre obtenu ne dépend ni des points $A$ , $B$ , $C$ choisis pour représenter les vecteurs, ni du plan qui les contient : le produit scalaire est bien une opération sur les vecteurs de l'espace eux-mêmes. Conséquence immédiate et précieuse : toutes les expressions vues en première restent valables, mot pour mot.

Propriété

Expressions héritées de la première. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace.

Avec le cosinus : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ∥ \vec{u} ∥ \times ∥ \vec{v} ∥ \times \cos (\vec{u}; \vec{v})$ , où $(\vec{u}; \vec{v})$ désigne l'angle géométrique formé par les deux vecteurs ramenés à une même origine.
Avec la projection orthogonale : si $\vec{u} = \vec{A B}$ , $\vec{v} = \vec{A C}$ et si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ , alors $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \vec{A B} \cdot \vec{A H}$ , ce produit valant $A B \times A H$ si $\vec{A B}$ et $\vec{A H}$ sont de même sens, $- A B \times A H$ sinon, et $0$ si $H = A$ .

Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ , on convient que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Le signe du produit scalaire garde sa lecture de première : positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus, nul pour un angle droit. Les règles de calcul algébriques sont elles aussi conservées ; on les admet dans l'espace comme on les avait admises dans le plan.

Propriété

Symétrie et bilinéarité (admises). Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ de l'espace et tout réel $k$ :

Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ .
Bilinéarité :

\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} et (k \vec{u}) \cdot \vec{v} = k (\vec{u} \cdot \vec{v}) .

En pratique, on développe donc un produit scalaire de sommes comme un produit de sommes de nombres, en distribuant terme à terme. Rappelons la vigilance habituelle : le résultat d'un produit scalaire est un nombre, pas un vecteur, et une écriture comme $\vec{u} \cdot \vec{v} \cdot \vec{w}$ n'a aucun sens.

Propriété

Carré scalaire. Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace :

\vec{u} \cdot \vec{u} = ∥ \vec{u} ∥^{2} .

Ce nombre, appelé carré scalaire de $\vec{u}$ , se note aussi ${\vec{u}}^{2}$ . En particulier, pour tous points $A$ et $B$ : $\vec{A B} \cdot \vec{A B} = A B^{2}$ .

Mettons tout cela en œuvre dans la figure emblématique de la géométrie dans l'espace : le cube.

Cube ABCDEFGH, de base ABCD, avec la diagonale AG tracée en pointillés

Exemple

$A B C D E F G H$ est un cube d'arête $2$ : $A B C D$ est la face du bas, et $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont respectivement au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

$\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ : les deux vecteurs sont dans le plan de la face $A B C D$ , qui est un carré, et l'angle en $A$ est droit. Donc $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0$ .
$\vec{A B} \cdot \vec{A F}$ : les points $A$ , $B$ , $F$ sont dans le plan de la face $A B F E$ . Le projeté orthogonal de $F$ sur la droite $(A B)$ est $B$ , et $\vec{A B}$ , $\vec{A B}$ sont de même sens, donc $\vec{A B} \cdot \vec{A F} = A B \times A B = 4$ .
$\vec{A B} \cdot \vec{A G}$ : ici, la diagonale $[A G]$ traverse le cube, et aucune face ne contient les deux vecteurs. On décompose alors $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E}$ et on développe par bilinéarité :

\vec{A B} \cdot \vec{A G} = \vec{A B} \cdot \vec{A B} + \vec{A B} \cdot \vec{A D} + \vec{A B} \cdot \vec{A E} = 4 + 0 + 0 = 4.

$\vec{A E} \cdot \vec{C G}$ : les arêtes verticales du cube sont parallèles et de même sens, donc $\vec{C G} = \vec{A E}$ , et $\vec{A E} \cdot \vec{C G} = \vec{A E} \cdot \vec{A E} = A E^{2} = 4$ .

Le troisième calcul illustre la stratégie centrale du chapitre : quand deux vecteurs ne « vivent » pas dans une face visible, on les décompose le long des arêtes, et la bilinéarité fait le reste.

Orthogonalité de deux vecteurs

Comme dans le plan, l'annulation du produit scalaire caractérise l'angle droit, et cette caractérisation mérite le statut de définition.

Définition

Vecteurs orthogonaux. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace sont dits orthogonaux lorsque

\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

On note alors $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ . Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.

Pour deux vecteurs non nuls, cette définition traduit exactement l'intuition géométrique : $∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥ \cos (\vec{u}; \vec{v}) = 0$ si et seulement si $\cos (\vec{u}; \vec{v}) = 0$ , c'est-à-dire si et seulement si l'angle $(\vec{u}; \vec{v})$ est droit.

Exemple

Dans le cube $A B C D E F G H$ d'arête $2$ , les vecteurs $\vec{A E}$ et $\vec{B C}$ ne sont portés par aucune face commune, mais $\vec{B C} = \vec{A D}$ , et dans la face $A D H E$ l'angle en $A$ est droit : donc $\vec{A E} \cdot \vec{B C} = \vec{A E} \cdot \vec{A D} = 0$ . Les vecteurs $\vec{A E}$ et $\vec{B C}$ sont orthogonaux, alors même que les segments $[A E]$ et $[B C]$ ne se touchent pas. L'orthogonalité de vecteurs ne parle que de directions.

Cette dernière remarque annonce une distinction importante entre droites orthogonales et droites perpendiculaires, que nous préciserons plus loin.

Développements de normes et formules de polarisation

La bilinéarité permet de développer le carré scalaire d'une somme, exactement comme l'identité remarquable $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ pour les nombres. Ces formules, déjà rencontrées en première, restent valables dans l'espace puisque toutes les règles de calcul sont conservées.

Propriété

Développements de normes. Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace :

∥ \vec{u} + \vec{v} ∥^{2} = ∥ \vec{u} ∥^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ∥ \vec{v} ∥^{2} et ∥ \vec{u} - \vec{v} ∥^{2} = ∥ \vec{u} ∥^{2} - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ∥ \vec{v} ∥^{2} .

Démonstration. Le carré d'une norme est un carré scalaire : $∥ \vec{u} + \vec{v} ∥^{2} = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ . En développant par bilinéarité puis en utilisant la symétrie :

(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} = ∥ \vec{u} ∥^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ∥ \vec{v} ∥^{2} .

Pour la seconde formule, on remplace $\vec{v}$ par $- \vec{v}$ : la norme de $- \vec{v}$ est celle de $\vec{v}$ , et le double produit change de signe. $□$

En isolant $\vec{u} \cdot \vec{v}$ dans chacune de ces égalités, on obtient les formules de polarisation : elles expriment le produit scalaire uniquement à l'aide de normes, c'est-à-dire de longueurs.

Propriété

Formules de polarisation. Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (∥ \vec{u} + \vec{v} ∥^{2} - ∥ \vec{u} ∥^{2} - ∥ \vec{v} ∥^{2}) = \frac{1}{2} (∥ \vec{u} ∥^{2} + ∥ \vec{v} ∥^{2} - ∥ \vec{u} - \vec{v} ∥^{2}) .

En particulier, pour trois points $A$ , $B$ et $C$ , comme $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ :

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}) .

Méthode

Calculer un produit scalaire à partir de longueurs. Lorsqu'un solide est donné par les longueurs de ses arêtes, sans angle ni repère :

ramener les deux vecteurs à une même origine, au besoin par la relation de Chasles ;
identifier les trois longueurs $A B$ , $A C$ et $B C$ dans la figure ;
appliquer $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ .

Exemple

$A B C D$ est un tétraèdre régulier d'arête $1$ : ses quatre faces sont des triangles équilatéraux. Calculons $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ :

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}) = \frac{1}{2} (1 + 1 - 1) = \frac{1}{2} .

On aurait pu utiliser le cosinus : la face $A B C$ est équilatérale, donc l'angle en $A$ vaut $\frac{π}{3}$ et $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1 \times 1 \times \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ . Les deux méthodes concordent, mais la polarisation n'a demandé aucune connaissance d'angle.

Base et repère orthonormés : expressions analytiques

Au chapitre précédent, nous avons repéré l'espace avec des bases quelconques : trois vecteurs non coplanaires suffisent pour définir des coordonnées. Mais pour que les coordonnées mesurent des longueurs et des angles, il faut une base adaptée au produit scalaire : des vecteurs de norme $1$ , deux à deux orthogonaux.

Définition

Base et repère orthonormés. Une base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ de l'espace est dite orthonormée lorsque :

les trois vecteurs sont unitaires : $∥ \vec{i} ∥ = ∥ \vec{j} ∥ = ∥ \vec{k} ∥ = 1$ ;
ils sont deux à deux orthogonaux : $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = \vec{j} \cdot \vec{k} = 0$ .

Un repère $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est dit orthonormé lorsque la base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est orthonormée.

Dans une telle base, le produit scalaire admet une expression remarquablement simple : celle de première, complétée d'un troisième terme.

Propriété

Produit scalaire en base orthonormée. Dans une base orthonormée, si $\vec{u} (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{array})$ , alors :

\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} .

Démonstration. Par définition des coordonnées, $\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ et $\vec{v} = x^{'} \vec{i} + y^{'} \vec{j} + z^{'} \vec{k}$ . On développe par bilinéarité : le produit $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est la somme des neuf produits scalaires croisés. Or, la base étant orthonormée, les six produits « mixtes » ( $\vec{i} \cdot \vec{j}$ , $\vec{i} \cdot \vec{k}$ , $\vec{j} \cdot \vec{k}$ et leurs symétriques) sont nuls, et les trois carrés scalaires valent $1$ . Il reste :

\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} \vec{i} \cdot \vec{i} + y y^{'} \vec{j} \cdot \vec{j} + z z^{'} \vec{k} \cdot \vec{k} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} . □

En appliquant cette formule à $\vec{v} = \vec{u}$ , puis à $\vec{u} = \vec{A B}$ , on obtient les expressions de la norme et de la distance.

Propriété

Norme et distance en repère orthonormé. Dans un repère orthonormé :

si $\vec{u} (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})$ , alors $∥ \vec{u} ∥ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ ;
si $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ , alors

A B = ∥ \vec{A B} ∥ = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}} .

Insistons sur l'hypothèse : ces formules ne sont valables qu'en base orthonormée. Dans une base quelconque du chapitre précédent, les coordonnées restent utilisables pour les questions d'alignement ou de coplanarité, mais ni $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ni $\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ n'ont de signification métrique.

Exemple

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u} (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array})$ , $\vec{v} (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array})$ et les points $A (1; 0; 2)$ , $B (3; - 1; 4)$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 4 + (- 2) \times 5 + 3 \times 2 = 4 - 10 + 6 = 0$ : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
$∥ \vec{u} ∥ = \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{14}$ .
$\vec{A B} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$ , donc $A B = \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$ .

Autre exemple naturel : un cube d'arête $a$ fournit un repère orthonormé « à l'échelle », et l'on retrouve la longueur de la grande diagonale : $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E}$ donne $A G = \sqrt{a^{2} + a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Orthogonalité de droites et de plans

Le produit scalaire en main, revenons à la géométrie. Dans l'espace, deux droites qui « se croisent à angle droit » sur un dessin peuvent en réalité ne jamais se rencontrer : il faut donc distinguer soigneusement deux notions.

Définition

Droites orthogonales. Deux droites $d$ et $d^{'}$ de l'espace, de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , sont dites orthogonales lorsque $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ . On note $d ⊥ d^{'}$ .

Si de plus $d$ et $d^{'}$ sont sécantes, on dit qu'elles sont perpendiculaires.

Deux droites perpendiculaires sont donc toujours orthogonales, mais la réciproque est fausse : dans le cube $A B C D E F G H$ , les droites $(A E)$ et $(B C)$ sont orthogonales (nous avons vérifié que $\vec{A E} \cdot \vec{B C} = 0$ ) alors qu'elles ne se coupent pas. C'est un piège classique de vocabulaire : dans l'espace, « orthogonales » parle de directions, « perpendiculaires » exige en plus un point d'intersection.

Passons à l'orthogonalité entre une droite et un plan, la notion la plus utile du chapitre.

Définition

Droite orthogonale à un plan. Une droite $d$ est dite orthogonale à un plan $P$ lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites contenues dans $P$ .

Droite d orthogonale à un plan P en un point I, avec deux droites sécantes du plan

Telle quelle, cette définition semble invérifiable : un plan contient une infinité de droites, on ne peut pas toutes les tester. Le théorème suivant, admis, réduit la vérification à deux droites bien choisies. On l'appelle parfois « théorème de la porte » : une porte pivote autour de l'axe de ses gonds ; si cet axe est perpendiculaire à deux directions du sol (le bas du mur et la ligne de seuil, sécantes), alors le bas de la porte reste au ras du sol dans toutes les positions, c'est-à-dire que l'axe est orthogonal à toutes les directions du sol.

Propriété

Caractérisation de l'orthogonalité droite-plan (admise). Une droite $d$ est orthogonale à un plan $P$ dès qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes de $P$ .

Attention au mot « sécantes » : deux droites parallèles du plan ne suffisent pas, car elles ne représentent qu'une seule direction. Une droite peut très bien être orthogonale à cette direction commune tout en étant « couchée » dans le plan. Il faut deux directions distinctes pour contrôler tout le plan, ce qui est cohérent avec le chapitre précédent : deux vecteurs non colinéaires d'un plan en engendrent toutes les directions.

Exemple

Dans le cube $A B C D E F G H$ , montrons que la droite $(A E)$ est orthogonale au plan $(A B C)$ , c'est-à-dire au plan de la face du bas.

$(A E) ⊥ (A B)$ : l'angle en $A$ de la face carrée $A B F E$ est droit.
$(A E) ⊥ (A D)$ : l'angle en $A$ de la face carrée $A D H E$ est droit.

Les droites $(A B)$ et $(A D)$ sont deux droites sécantes (en $A$ ) du plan $(A B C)$ , donc $(A E)$ est orthogonale au plan $(A B C)$ . On en déduit gratuitement que $(A E)$ est orthogonale à toute droite de ce plan, par exemple à la diagonale $(A C)$ ou à $(B D)$ , ce qui n'avait rien d'évident au départ.

Cet exemple montre tout l'intérêt du théorème : deux vérifications faciles donnent une infinité d'orthogonalités.

Vecteur normal à un plan

L'orthogonalité droite-plan admet une traduction vectorielle extrêmement efficace : plutôt que de décrire un plan par deux vecteurs qui le dirigent, on peut le décrire par un seul vecteur qui lui est « perpendiculaire ».

Définition

Vecteur normal à un plan. Un vecteur $\vec{n}$ non nul est dit normal à un plan $P$ lorsque toute droite de vecteur directeur $\vec{n}$ est orthogonale à $P$ . Autrement dit, $\vec{n}$ est orthogonal à tout vecteur dont les représentants sont contenus dans $P$ .

Un plan admet une infinité de vecteurs normaux : tous les vecteurs non nuls colinéaires à l'un d'entre eux. La caractérisation de la section précédente se transpose immédiatement aux vecteurs, et donne le critère pratique du chapitre.

Propriété

Caractérisation d'un vecteur normal. Un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à un plan $P$ si et seulement si $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$ .

En effet, si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non colinéaires de $P$ , tout vecteur $\vec{w}$ de $P$ se décompose en $\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}$ (caractérisation vectorielle d'un plan, chapitre précédent). Par bilinéarité, $\vec{n} \cdot \vec{w} = a (\vec{n} \cdot \vec{u}) + b (\vec{n} \cdot \vec{v}) = 0$ : l'orthogonalité aux deux vecteurs suffit à l'assurer pour tous.

Réciproquement, un point et un vecteur normal suffisent à déterminer entièrement un plan : c'est la nouvelle manière de définir un plan qu'introduit ce chapitre.

Propriété

Plan défini par un point et un vecteur normal. Soient $A$ un point et $\vec{n}$ un vecteur non nul. L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que

\vec{A M} \cdot \vec{n} = 0

est le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ . C'est l'unique plan passant par $A$ auquel $\vec{n}$ est normal.

Cette caractérisation est le pont entre géométrie et calcul : « $M$ appartient au plan » se traduit par une équation, l'annulation d'un produit scalaire. Elle sera le point de départ du chapitre suivant.

Méthode

Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan. Pour montrer qu'un vecteur $\vec{n}$ est normal à un plan $P$ :

choisir deux vecteurs non colinéaires de $P$ , par exemple $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ si $A$ , $B$ , $C$ sont trois points non alignés du plan ;
vérifier que $\vec{n} \cdot \vec{A B} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{A C} = 0$ ;
conclure que $\vec{n}$ est normal à $P$ , en n'oubliant pas de mentionner la non-colinéarité.

Exemple

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (1; 0; 1)$ , $B (2; 2; 1)$ , $C (1; 1; 2)$ et le vecteur $\vec{n} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ . On calcule $\vec{A B} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ et $\vec{A C} (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ . Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles). Puis :

\vec{n} \cdot \vec{A B} = 2 \times 1 + (- 1) \times 2 + 1 \times 0 = 0 et \vec{n} \cdot \vec{A C} = 2 \times 0 + (- 1) \times 1 + 1 \times 1 = 0.

Le vecteur $\vec{n}$ est donc normal au plan $(A B C)$ .

Les vecteurs normaux donnent enfin un critère simple pour comparer deux plans entre eux.

Définition

Plans perpendiculaires. Deux plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont dits perpendiculaires lorsque l'un d'eux contient une droite orthogonale à l'autre.

Propriété

Positions relatives et vecteurs normaux. Soient $P_{1}$ et $P_{2}$ deux plans de vecteurs normaux respectifs ${\vec{n}}_{1}$ et ${\vec{n}}_{2}$ .

$P_{1}$ et $P_{2}$ sont perpendiculaires si et seulement si ${\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 0$ .
$P_{1}$ et $P_{2}$ sont parallèles si et seulement si ${\vec{n}}_{1}$ et ${\vec{n}}_{2}$ sont colinéaires.

Ainsi, comparer deux plans revient à comparer deux vecteurs : un calcul de produit scalaire pour la perpendicularité, un test de colinéarité pour le parallélisme. Attention toutefois à une fausse intuition : la perpendicularité de plans ne se comporte pas comme le parallélisme. Deux plans perpendiculaires à un même troisième plan ne sont pas nécessairement parallèles entre eux ; il suffit de penser à deux murs d'une pièce, tous deux perpendiculaires au sol, et pourtant sécants.

Projeté orthogonal et distances

Nous voici armés pour la question des distances : quel est le point d'un plan (ou d'une droite) le plus proche d'un point donné ? La réponse passe par le projeté orthogonal, dont voici les définitions dans l'espace.

Définition

Projeté orthogonal sur une droite. Soient $d$ une droite et $M$ un point de l'espace. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est l'unique point $H$ de $d$ tel que $\vec{M H}$ soit orthogonal à un vecteur directeur de $d$ . Si $M$ appartient à $d$ , alors $H = M$ .

Définition

Projeté orthogonal sur un plan. Soient $P$ un plan et $M$ un point de l'espace. Le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ est l'unique point $H$ de $P$ tel que le vecteur $\vec{M H}$ soit normal à $P$ (ou nul). Si $M$ appartient à $P$ , alors $H = M$ ; sinon, la droite $(M H)$ est orthogonale à $P$ .

Point M au-dessus d'un plan P et son projeté orthogonal H, reliés en pointillés avec l'angle droit marqué

Intuitivement, $H$ est le « pied » de $M$ sur le plan : le point où atterrit un fil à plomb lâché depuis $M$ , si le plan est horizontal. Le théorème suivant, dont la démonstration est exigible au baccalauréat, justifie que ce pied est bien le point le plus proche.

Propriété

Le projeté orthogonal réalise la distance (démonstration exigible). Soient $P$ un plan, $M$ un point de l'espace et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ . Alors $H$ est le point de $P$ le plus proche de $M$ : pour tout point $N$ de $P$ ,

M N ⩾ M H,

avec égalité si et seulement si $N = H$ .

Démonstration. Soit $N$ un point quelconque de $P$ . Par la relation de Chasles, $\vec{M N} = \vec{M H} + \vec{H N}$ . Développons le carré de la norme :

M N^{2} = ∥ \vec{M H} + \vec{H N} ∥^{2} = ∥ \vec{M H} ∥^{2} + 2 \vec{M H} \cdot \vec{H N} + ∥ \vec{H N} ∥^{2} .

Étudions le double produit. Le vecteur $\vec{M H}$ est normal au plan $P$ (ou nul, si $M \in P$ ). Le vecteur $\vec{H N}$ relie deux points de $P$ : c'est un vecteur du plan. Un vecteur normal à $P$ est orthogonal à tout vecteur de $P$ , donc :

\vec{M H} \cdot \vec{H N} = 0.

Il reste $M N^{2} = M H^{2} + H N^{2}$ : on reconnaît l'égalité de Pythagore dans le triangle $M H N$ , rectangle en $H$ . Comme $H N^{2} ⩾ 0$ , on en déduit :

M N^{2} = M H^{2} + H N^{2} ⩾ M H^{2} .

Les distances $M N$ et $M H$ étant des nombres positifs, l'inégalité des carrés donne $M N ⩾ M H$ . Enfin, l'égalité $M N = M H$ équivaut à $H N^{2} = 0$ , c'est-à-dire à $H N = 0$ , c'est-à-dire à $N = H$ . Le point $H$ est donc l'unique point de $P$ qui réalise la plus petite distance à $M$ . $□$

Ce théorème donne tout son sens à la définition suivante.

Définition

Distance d'un point à un plan, à une droite. La distance d'un point $M$ à un plan $P$ , notée $d (M; P)$ , est la distance $M H$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ . C'est la plus petite des distances $M N$ pour $N$ parcourant $P$ .

De même, la distance de $M$ à une droite $d$ est la distance $M H^{'}$ , où $H^{'}$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ (le résultat précédent s'adapte à une droite, avec la même démonstration).

Reste à savoir calculer cette distance. Le produit scalaire avec un vecteur normal fournit la méthode, sans qu'il soit nécessaire de déterminer les coordonnées de $H$ .

Méthode

Calculer la distance d'un point $M$ à un plan $P$ . On connaît un point $A$ de $P$ et un vecteur normal $\vec{n}$ de $P$ . En notant $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ :

décomposer par la relation de Chasles : $\vec{A M} \cdot \vec{n} = (\vec{A H} + \vec{H M}) \cdot \vec{n} = \vec{A H} \cdot \vec{n} + \vec{H M} \cdot \vec{n}$ ;
remarquer que $\vec{A H} \cdot \vec{n} = 0$ , car $A$ et $H$ sont deux points de $P$ , donc $\vec{A H}$ est un vecteur du plan ;
remarquer que $\vec{H M}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires (tous deux normaux à $P$ ), donc $∣ \vec{H M} \cdot \vec{n} ∣ = M H \times ∥ \vec{n} ∥$ ;
conclure :

d (M; P) = M H = \frac{∣ \vec{A M} \cdot \vec{n} ∣}{∥ \vec{n} ∥} .

Exemple

Dans un repère orthonormé, soit $P$ le plan passant par $A (1; 0; 2)$ et de vecteur normal $\vec{n} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$ , et soit $M (3; 1; 4)$ . On calcule $\vec{A M} (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ , puis :

\vec{A M} \cdot \vec{n} = 2 \times 2 + 1 \times (- 1) + 2 \times 2 = 7 et ∥ \vec{n} ∥ = \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} = 3.

D'où $d (M; P) = \frac{∣ 7 ∣}{3} = \frac{7}{3}$ .

Pour la distance d'un point $M$ à une droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ , la démarche est analogue : le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ vérifie $\vec{A H} = t \vec{u}$ pour un certain réel $t$ (colinéarité), et la condition $\vec{M H} \cdot \vec{u} = 0$ donne $t = \frac{\vec{A M} \cdot \vec{u}}{∥ \vec{u} ∥^{2}}$ . On termine avec Pythagore dans le triangle $A H M$ rectangle en $H$ : $M H^{2} = A M^{2} - A H^{2}$ .

Bilan : les trois visages du produit scalaire

Ce chapitre a étendu à l'espace tout l'outillage métrique de la première, et l'a enrichi de notions proprement spatiales : orthogonalité droite-plan, vecteur normal, projeté orthogonal et distances. Pour les calculs, trois expressions du produit scalaire cohabitent ; savoir choisir la bonne selon les données de l'énoncé est la première compétence du chapitre.

Expression	Formule	Quand l'utiliser
Cosinus	$\vec{u} \cdot \vec{v} = ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥ \cos (\vec{u}; \vec{v})$	Normes et angle connus (faces de solides usuels, angles remarquables)
Polarisation	$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$	Longueurs connues, aucun angle ni repère (tétraèdres, solides donnés par leurs arêtes)
Coordonnées	$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$	Repère orthonormé et coordonnées connues

Dans tous les cas, la stratégie reste celle rodée sur le cube : ramener les vecteurs à une même origine, décomposer le long de directions bien choisies, et laisser la bilinéarité transformer la géométrie en calcul. Le chapitre suivant prolongera ce travail en donnant aux droites et aux plans de l'espace des représentations par équations, où le vecteur normal jouera le premier rôle.

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