Tale spé · Chapitre 05 · Analyse

Suites : limites et récurrence

Raisonnement par récurrence, limites (gendarmes, opérations), limite de qⁿ, convergence monotone.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Raisonnement par récurrence
Limites (gendarmes, opérations)
Limite de qⁿ
Convergence monotone

En première, vous avez appris à décrire les suites : calculer leurs termes, reconnaître les suites arithmétiques et géométriques, étudier leur sens de variation. La calculatrice permettait alors de conjecturer leur comportement à long terme, sans jamais le prouver. La Terminale franchit ce cap : il s'agit désormais de démontrer. Ce chapitre installe les deux outils fondamentaux pour cela : le raisonnement par récurrence, qui permet d'établir une propriété pour tous les entiers d'un coup, et la notion de limite, qui donne un sens mathématique précis au « comportement à l'infini » d'une suite.

Le raisonnement par récurrence

Comment démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels, alors qu'il est évidemment impossible de la vérifier une infinité de fois ? Le raisonnement par récurrence répond à cette question avec seulement deux vérifications.

Propriété

Principe de récurrence. Soit $P (n)$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$ , et soit $n_{0}$ un entier naturel. Si :

initialisation : $P (n_{0})$ est vraie ;
hérédité : pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ , si $P (n)$ est vraie, alors $P (n + 1)$ est vraie ;

alors la propriété $P (n)$ est vraie pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ .

L'image classique est celle d'une file infinie de dominos : si le premier domino tombe (initialisation) et si chaque domino qui tombe renverse le suivant (hérédité), alors tous les dominos tombent. On peut aussi penser à une échelle : sachant monter sur le premier barreau, puis passer de n'importe quel barreau au suivant, on peut atteindre n'importe quelle hauteur.

Méthode

Rédiger une démonstration par récurrence. Pour montrer que $P (n)$ est vraie pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ :

Initialisation. Vérifier par un calcul explicite que $P (n_{0})$ est vraie.
Hérédité. Fixer un entier $n ⩾ n_{0}$ et supposer que $P (n)$ est vraie : c'est l'hypothèse de récurrence. En déduire, par le calcul, que $P (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. Rédiger : « la propriété est initialisée au rang $n_{0}$ et héréditaire ; par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ ».

Exemple

Démontrer une formule explicite. Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3$ . Les premiers termes sont $u_{1} = 2 \times 2 - 3 = 1$ , $u_{2} = 2 \times 1 - 3 = - 1$ , $u_{3} = 2 \times (- 1) - 3 = - 5$ . Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

u_{n} = 3 - 2^{n} .

Initialisation. Pour $n = 0$ : $3 - 2^{0} = 3 - 1 = 2 = u_{0}$ . La propriété est vraie au rang $0$ .

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $u_{n} = 3 - 2^{n}$ . Alors :

u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3 = 2 (3 - 2^{n}) - 3 = 6 - 2 \times 2^{n} - 3 = 3 - 2^{n + 1} .

La propriété est donc vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion. La propriété est initialisée et héréditaire ; par récurrence, $u_{n} = 3 - 2^{n}$ pour tout entier naturel $n$ . On contrôle la formule sur les premiers termes : elle redonne bien $u_{1} = 3 - 2 = 1$ , $u_{2} = 3 - 4 = - 1$ et $u_{3} = 3 - 8 = - 5$ .

Exemple

Démontrer une inégalité. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $2^{n} ⩾ n + 1$ .

Initialisation. Pour $n = 0$ : $2^{0} = 1$ et $0 + 1 = 1$ , donc $2^{0} ⩾ 0 + 1$ . La propriété est vraie au rang $0$ .

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $2^{n} ⩾ n + 1$ . En multipliant les deux membres par $2$ , qui est strictement positif :

2^{n + 1} ⩾ 2 (n + 1) = 2 n + 2.

Or $2 n + 2 = (n + 2) + n ⩾ n + 2$ puisque $n ⩾ 0$ . Ainsi $2^{n + 1} ⩾ (n + 1) + 1$ : la propriété est vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion. Par récurrence, $2^{n} ⩾ n + 1$ pour tout entier naturel $n$ .

Remarque

Deux pièges à éviter.

L'hérédité seule ne prouve rien. Considérons la propriété « $3$ divise $4^{n}$ ». Elle est héréditaire : si $3$ divise $4^{n}$ , alors $3$ divise $4^{n + 1} = 4 \times 4^{n}$ . Elle est pourtant fausse pour tout entier $n$ . Il manque l'initialisation : $4^{0} = 1$ n'est pas divisible par $3$ , et aucun rang de départ ne convient. Sans initialisation, une propriété héréditaire peut être fausse à tous les rangs.
L'initialisation ne se fait pas toujours au rang $0$ . Par exemple, $2^{n} ⩾ n^{2}$ est fausse pour $n = 3$ (car $8 < 9$ ), mais vraie pour tout $n ⩾ 4$ : la récurrence s'initialise alors au rang $4$ , et la conclusion ne vaut que pour $n ⩾ 4$ .

Limite d'une suite

Que devient $u_{n}$ lorsque $n$ devient très grand ? Trois comportements types se dégagent : les termes peuvent dépasser n'importe quel seuil, s'accumuler autour d'une valeur fixe, ou ne rien faire de tout cela. Les définitions du programme formalisent les deux premiers cas.

Définition

Limite infinie. On dit que la suite $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $[A; + \infty [$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

De même, $(u_{n})$ tend vers $- \infty$ si tout intervalle de la forme $] - \infty; A]$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Autrement dit : aussi grand que soit le seuil $A$ choisi, les termes de la suite finissent tous par le dépasser, et par rester au-dessus.

Définition

Limite finie, convergence. Soit $ℓ$ un réel. On dit que la suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ .

Une suite qui converge vers un réel est dite convergente ; une suite qui ne converge pas est dite divergente.

$Nuage de points de la suite u_n = 2 + 5 \times 0{,}7^n avec la bande ]1{,}5\,;\,2{,}5[ autour de \ell = 2$

Sur la figure, la suite $u_{n} = 2 + 5 \times {0,7}^{n}$ converge vers $ℓ = 2$ : pour la bande $] 1,5; 2,5 [$ représentée, tous les termes sont dans la bande à partir du rang $7$ . Une bande plus étroite autour de $2$ serait franchie plus tard, mais elle finirait toujours par capturer tous les termes : c'est exactement le sens de la définition.

Remarque

Divergente ne signifie pas « tend vers l'infini ». Une suite divergente est une suite qui ne converge vers aucun réel. Cela recouvre deux situations : les suites qui tendent vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$ , mais aussi les suites qui n'ont pas de limite du tout, comme $u_{n} = (- 1)^{n}$ , qui vaut alternativement $1$ et $- 1$ sans jamais se stabiliser.

Propriété

Unicité de la limite (admise). Si une suite converge, sa limite est unique.

Propriété

Limites de référence. Les suites suivantes tendent vers $+ \infty$ :

\lim_{n \to + \infty} n = + \infty, \lim_{n \to + \infty} n^{2} = + \infty, \lim_{n \to + \infty} n^{3} = + \infty, \lim_{n \to + \infty} \sqrt{n} = + \infty .

Les suites suivantes convergent vers $0$ :

\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0, \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0, \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0.

Opérations sur les limites

En pratique, on ne revient presque jamais à la définition : on décompose la suite en briques élémentaires dont les limites sont connues, puis on combine grâce aux tableaux suivants. La mention FI (forme indéterminée) signifie que le tableau ne permet pas de conclure : la limite dépend des suites en jeu et demande un travail supplémentaire.

Limite d'une somme.

$\lim u_{n}$	$ℓ$	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
$\lim v_{n}$	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$\lim (u_{n} + v_{n})$	$ℓ + ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	FI

Limite d'un produit (le signe de l'infini s'obtient par la règle des signes).

$\lim u_{n}$	$ℓ$	$ℓ \neq 0$	$\pm \infty$	$0$
$\lim v_{n}$	$ℓ^{'}$	$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$
$\lim (u_{n} \times v_{n})$	$ℓ \times ℓ^{'}$	$\pm \infty$	$\pm \infty$	FI

Limite d'un quotient (avec $v_{n} \neq 0$ à partir d'un certain rang).

$\lim u_{n}$	$ℓ$	$ℓ$	$\pm \infty$	$\pm \infty$	$0$
$\lim v_{n}$	$ℓ^{'} \neq 0$	$\pm \infty$	$ℓ^{'} \neq 0$	$\pm \infty$	$0$
$\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}$	$\frac{ℓ}{ℓ^{'}}$	$0$	$\pm \infty$	FI	FI

Un cas s'ajoute au tableau du quotient : si $\lim u_{n} = ℓ \neq 0$ (ou $\pm \infty$ ) et si $\lim v_{n} = 0$ avec $v_{n}$ de signe constant à partir d'un certain rang, alors le quotient tend vers $+ \infty$ ou $- \infty$ selon la règle des signes.

Il y a donc exactement quatre formes indéterminées : « $+ \infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ » et « $\frac{0}{0}$ ». Quelques applications directes des tableaux, sans indétermination :

a. $\lim_{n \to + \infty} (n^{2} + \sqrt{n}) = + \infty$ : somme de deux suites tendant vers $+ \infty$ .

b. $\lim_{n \to + \infty} (5 - \frac{3}{n}) = 5$ : somme d'une suite constante et d'une suite tendant vers $0$ .

c. $\lim_{n \to + \infty} (- 2 n^{3}) = - \infty$ : produit d'une constante strictement négative par une suite tendant vers $+ \infty$ .

d. $\lim_{n \to + \infty} \frac{- 3}{\sqrt{n}} = 0$ : quotient d'une constante par une suite tendant vers $+ \infty$ .

Méthode

Lever une indétermination : factoriser par le terme dominant.

Repérer le terme qui croît le plus vite (le terme dominant) au numérateur et, le cas échéant, au dénominateur.
Factoriser chaque expression par son terme dominant.
Appliquer les opérations sur les limites à la nouvelle écriture : l'indétermination a disparu.

Exemple

Un polynôme. Déterminons la limite de $u_{n} = n^{2} - 5 n$ . Comme $n^{2} \to + \infty$ et $- 5 n \to - \infty$ , la somme est une forme indéterminée « $+ \infty - \infty$ ». Factorisons par le terme dominant $n^{2}$ : pour $n ⩾ 1$ ,

u_{n} = n^{2} - 5 n = n^{2} (1 - \frac{5}{n}) .

Or $\frac{5}{n} \to 0$ , donc $1 - \frac{5}{n} \to 1$ , et $n^{2} \to + \infty$ : par produit, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

Un quotient. Déterminons la limite de $v_{n} = \frac{2 n^{2} + 1}{3 n^{2} - n}$ . Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+ \infty$ : forme indéterminée « $\frac{\infty}{\infty}$ ». Factorisons chacun par $n^{2}$ : pour $n ⩾ 1$ ,

v_{n} = \frac{n^{2} (2 + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (3 - \frac{1}{n})} = \frac{2 + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n}} .

Or $2 + \frac{1}{n^{2}} \to 2$ et $3 - \frac{1}{n} \to 3$ : par quotient, $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = \frac{2}{3}$ .

Limites et comparaison

Lorsqu'une suite résiste aux opérations, par exemple parce qu'elle contient un terme sans limite comme $\cos n$ ou $(- 1)^{n}$ , on l'encadre par des suites plus simples.

Propriété

Théorème de comparaison. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que $u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$ .
Si $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ .

Démonstration. Démontrons le premier point. Soit $A$ un réel quelconque : montrons que l'intervalle $[A; + \infty [$ contient tous les termes de $(v_{n})$ à partir d'un certain rang. Par hypothèse, il existe un rang $n_{1}$ tel que pour tout $n ⩾ n_{1}$ , $u_{n} ⩽ v_{n}$ . D'autre part, comme $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ , l'intervalle $[A; + \infty [$ contient tous les termes de $(u_{n})$ à partir d'un rang $n_{2}$ . Posons $N = \max (n_{1}; n_{2})$ . Pour tout $n ⩾ N$ : $v_{n} ⩾ u_{n} ⩾ A$ , donc $v_{n} \in [A; + \infty [$ . Ainsi, tout intervalle de la forme $[A; + \infty [$ contient tous les termes de $(v_{n})$ à partir d'un certain rang : la suite $(v_{n})$ tend vers $+ \infty$ . Le second point se démontre de la même façon. $□$

Propriété

Théorème des gendarmes (admis). Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites telles que $u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ w_{n}$ à partir d'un certain rang. Si $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers la même limite $ℓ$ , alors $(v_{n})$ converge et $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = ℓ$ .

Le nom est imagé : la suite $(v_{n})$ est escortée par deux « gendarmes » qui se rejoignent en $ℓ$ et ne lui laissent aucune échappatoire.

Exemple

Déterminons la limite de $v_{n} = \frac{\cos n}{n}$ , définie pour $n ⩾ 1$ . Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on sait que $- 1 ⩽ \cos n ⩽ 1$ ; en divisant par $n$ , qui est strictement positif :

- \frac{1}{n} ⩽ \frac{\cos n}{n} ⩽ \frac{1}{n} .

Or $\lim_{n \to + \infty} (- \frac{1}{n}) = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$ : d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to + \infty} \frac{\cos n}{n} = 0$ . Notons qu'aucune opération sur les limites ne pouvait conclure ici, puisque la suite $(\cos n)$ n'a pas de limite.

Limite de $q^{n}$

Les suites géométriques sont omniprésentes (évolutions en pourcentage, intérêts composés), et leur comportement à l'infini se ramène à celui de la suite $(q^{n})$ . L'outil clé est une inégalité démontrée par récurrence.

Propriété

Inégalité de Bernoulli. Pour tout réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$ :

(1 + a)^{n} ⩾ 1 + n a .

Démonstration. Soit $a > 0$ fixé. Montrons la propriété par récurrence sur $n$ .

Initialisation. Pour $n = 0$ : $(1 + a)^{0} = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ , donc $(1 + a)^{0} ⩾ 1 + 0 \times a$ . La propriété est vraie au rang $0$ .

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $(1 + a)^{n} ⩾ 1 + n a$ . Comme $1 + a > 0$ , on peut multiplier les deux membres par $1 + a$ sans changer le sens de l'inégalité :

(1 + a)^{n + 1} ⩾ (1 + n a) (1 + a) = 1 + a + n a + n a^{2} = 1 + (n + 1) a + n a^{2} .

Or $n a^{2} ⩾ 0$ , donc $(1 + a)^{n + 1} ⩾ 1 + (n + 1) a$ : la propriété est vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion. Par récurrence, $(1 + a)^{n} ⩾ 1 + n a$ pour tout entier naturel $n$ . $□$

Propriété

Limite de $q^{n}$ pour $q > 1$ . Si $q > 1$ , alors $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$ .

Démonstration. Posons $a = q - 1$ : comme $q > 1$ , on a $a > 0$ et $q = 1 + a$ . D'après l'inégalité de Bernoulli, pour tout entier naturel $n$ :

q^{n} = (1 + a)^{n} ⩾ 1 + n a .

Or $\lim_{n \to + \infty} (1 + n a) = + \infty$ puisque $a > 0$ . D'après le théorème de comparaison, $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$ . $□$

Les autres cas s'en déduisent ou s'observent directement. Si $- 1 < q < 1$ avec $q \neq 0$ , alors $\frac{1}{∣ q ∣} > 1$ , donc ${(\frac{1}{∣ q ∣})}^{n}$ tend vers $+ \infty$ et $∣ q ∣^{n} = \frac{1}{(1 / ∣ q ∣)^{n}}$ tend vers $0$ : la suite $(q^{n})$ , encadrée par $- ∣ q ∣^{n}$ et $∣ q ∣^{n}$ , converge vers $0$ d'après le théorème des gendarmes. Si $q ⩽ - 1$ , les termes sont alternativement positifs et négatifs avec $∣ q^{n} ∣ ⩾ 1$ : la suite n'a pas de limite.

Valeur de $q$	$q ⩽ - 1$	$- 1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$
Limite de $(q^{n})$	pas de limite	$0$	$1$	$+ \infty$

$Trois comportements de q^n : 1{,}25^n, 0{,}7^n et (-0{,}7)^n$

De gauche à droite : ${1,25}^{n}$ dépasse n'importe quel seuil (cas $q > 1$ ), ${0,7}^{n}$ s'écrase sur l'axe des abscisses (cas $0 < q < 1$ ), et $(- 0,7)^{n}$ tend aussi vers $0$ , mais en oscillant de part et d'autre de l'axe (cas $- 1 < q < 0$ ).

Propriété

Conséquences pour les suites géométriques. Soit $(u_{n})$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} \neq 0$ et de raison $q$ , c'est-à-dire $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .

Si $- 1 < q < 1$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .
Si $q > 1$ , alors $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si $u_{0} > 0$ , et vers $- \infty$ si $u_{0} < 0$ .

De plus, si $- 1 < q < 1$ , la somme des puissances de $q$ converge :

\lim_{n \to + \infty} (1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}) = \frac{1}{1 - q} .

Ce dernier résultat vient de la formule de première $1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ , jointe à $\lim_{n \to + \infty} q^{n + 1} = 0$ .

Exemple

Posons $S_{n} = 1 + 0,5 + {0,5}^{2} + \dots + {0,5}^{n}$ . D'après la formule de première :

S_{n} = \frac{1 - {0,5}^{n + 1}}{1 - 0,5} = 2 (1 - {0,5}^{n + 1}) = 2 - {0,5}^{n} .

Comme $- 1 < 0,5 < 1$ , on a $\lim_{n \to + \infty} {0,5}^{n} = 0$ , donc $\lim_{n \to + \infty} S_{n} = 2$ . Interprétation : en ajoutant $1$ , puis $\frac{1}{2}$ , puis $\frac{1}{4}$ , puis $\frac{1}{8}$ , etc., on s'approche d'aussi près que l'on veut de $2$ , sans jamais l'atteindre.

Convergence des suites monotones

Peut-on garantir qu'une suite converge sans connaître sa limite ? Oui, à condition de contrôler à la fois son sens de variation et l'espace dont elle dispose. Précisons d'abord le vocabulaire.

Définition

Suite majorée, minorée, bornée. Soit $(u_{n})$ une suite.

$(u_{n})$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} ⩽ M$ ; un tel réel $M$ est un majorant de la suite.
$(u_{n})$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} ⩾ m$ ; un tel réel $m$ est un minorant de la suite.
$(u_{n})$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Par exemple, la suite $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ est bornée, car $0 ⩽ u_{n} ⩽ 1$ pour tout $n$ . La suite $v_{n} = n^{2}$ est minorée par $0$ mais n'est pas majorée. La suite $w_{n} = \cos n$ est bornée, car $- 1 ⩽ \cos n ⩽ 1$ .

Notons qu'un majorant n'est jamais unique : si $M$ majore la suite, tout réel plus grand que $M$ la majore aussi.

Propriété

Théorème de convergence monotone (admis).

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

Remarque

Ce théorème garantit l'existence d'une limite, mais il n'en donne pas la valeur. En particulier, la limite n'a aucune raison d'être égale au majorant utilisé : la suite $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ , décroissante et minorée par $0$ mais aussi par $- 10$ , converge vers $0$ , pas vers $- 10$ . Déterminer la valeur de la limite demande un travail supplémentaire, par exemple l'obtention d'une formule explicite.

Propriété

Suite croissante non majorée. Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ .

Démonstration. Soit $(u_{n})$ une suite croissante non majorée, et soit $A$ un réel quelconque. Comme $(u_{n})$ n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant de la suite : il existe donc un entier $n_{0}$ tel que $u_{n_{0}} > A$ . Comme $(u_{n})$ est croissante, pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ :

u_{n} ⩾ u_{n_{0}} > A,

donc $u_{n} \in [A; + \infty [$ . Ainsi, tout intervalle de la forme $[A; + \infty [$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang : la suite $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ . $□$

Par conséquent, une suite croissante n'a que deux destins possibles : converger (si elle est majorée) ou tendre vers $+ \infty$ (sinon). L'énoncé symétrique vaut pour les suites décroissantes.

$Représentation en escalier de la suite u_0 = 6, u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 2 avec les droites y = x et y = 0{,}5x + 2$

La figure illustre la suite définie par $u_{0} = 6$ et $u_{n + 1} = 0,5 u_{n} + 2$ : partant de $u_{0}$ sur l'axe des abscisses, on lit $u_{1}$ sur la droite $y = 0,5 x + 2$ , on le rabat sur l'axe grâce à la droite $y = x$ , et ainsi de suite. Cette suite est décroissante et minorée par $4$ : le théorème de convergence monotone garantit qu'elle converge, et les marches de l'escalier se resserrent effectivement vers $4$ . Pour justifier cette valeur, on démontre par récurrence la formule explicite $u_{n} = 4 + 2 \times {0,5}^{n}$ ; comme $\lim_{n \to + \infty} {0,5}^{n} = 0$ , la limite vaut bien $4$ .

Remarque

Limite et majorant. Si une suite croissante converge vers $ℓ$ , alors $ℓ$ est un majorant de la suite : $u_{n} ⩽ ℓ$ pour tout $n$ . En effet, si un terme $u_{n_{0}}$ dépassait strictement $ℓ$ , la croissance donnerait $u_{n} ⩾ u_{n_{0}} > ℓ$ pour tout $n ⩾ n_{0}$ : l'intervalle ouvert $] ℓ - 1; u_{n_{0}} [$ , qui contient $ℓ$ , ne contiendrait alors aucun terme de la suite au-delà du rang $n_{0}$ , ce qui contredit la convergence vers $ℓ$ .

Suites et Python

Deux programmes reviennent constamment dans les exercices : le calcul d'un terme d'une suite récurrente (boucle for) et la recherche d'un seuil (boucle while).

Méthode

Recherche de seuil avec une boucle while. Pour déterminer le plus petit rang à partir duquel une suite franchit un seuil, on fait évoluer le terme courant tant que le seuil n'est pas franchi, en comptant les étapes. La boucle s'arrête au premier rang qui convient, et ce rang existe dès que la limite de la suite garantit le franchissement du seuil.

u = 1
n = 0
while u >= 0.01:
    u = 0.8 * u
    n = n + 1
print(n)

Ce script cherche le plus petit entier $n$ tel que ${0,8}^{n} < 0,01$ . La variable u contient ${0,8}^{n}$ : à chaque tour de boucle, elle est multipliée par $0,8$ pendant que n augmente de $1$ , et la boucle s'arrête dès que u passe sous $0,01$ . Le script affiche $21$ : en effet, ${0,8}^{20} \approx 0,0115 ⩾ 0,01$ tandis que ${0,8}^{21} \approx 0,0092 < 0,01$ . Un tel rang existe bien puisque $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ .

u = 6
for k in range(10):
    u = 0.5 * u + 2
print(u)

Ce script calcule $u_{10}$ pour la suite définie par $u_{0} = 6$ et $u_{n + 1} = 0,5 u_{n} + 2$ : la boucle applique dix fois la relation de récurrence, la variable u passant successivement de $u_{0}$ à $u_{1}$ , puis $u_{2}$ , jusqu'à $u_{10}$ . Il affiche $4.001953125$ , en parfait accord avec la formule explicite $u_{10} = 4 + 2 \times {0,5}^{10} = 4 + \frac{2}{1024}$ .

Le décor est planté : récurrence pour démontrer, limites pour décrire l'infini. Le prochain chapitre transposera ces idées des suites aux fonctions, avec des limites en $+ \infty$ , en $- \infty$ et même en un point.

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Ce qu'il faut savoir faire

Le raisonnement par récurrence

Limite d'une suite

Opérations sur les limites

Limites et comparaison

Limite de qn

Convergence des suites monotones

Suites et Python

Bloqué sur « Suites : limites et récurrence » ?

Limite de $q^{n}$