6ᵉ · Chapitre 10 · Espace et géométrie

Exercices — Cercle, distances et médiatrice

14 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

14 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Vocabulaire du cercle

Cercle et disque : centre, rayon, diamètre, corde

On considère la figure ci-dessous.

Cercle de centre O avec les points A, B, C, D, E et F sur le cercle ; le rayon [OA], le diamètre [BC] et la corde [DE] sont tracés

a. Nomme le centre du cercle.

b. Cite un rayon tracé sur la figure.

c. Cite un diamètre.

d. Cite une corde qui n'est pas un diamètre.

e. Le rayon du cercle mesure $2,5$ cm. Quelle est la longueur $B C$ ?

Exercice 2 ★★★★ — Rayon et diamètre

Cercle et disque : centre, rayon, diamètre, corde

Donne le diamètre de chacun des cercles suivants :

a. $r = 4$ cm
b. $r = 3,5$ cm
c. $r = 0,9$ cm
d. $r = 12$ m
e. $r = 2,05$ m
Donne le rayon de chacun des cercles suivants :

a. $d = 12$ cm
b. $d = 9$ cm
c. $d = 1,5$ m
d. $d = 30$ mm
e. $d = 7$ cm
Le rond central d'un terrain de football est un cercle de rayon $9,15$ m. Quel est son diamètre ?

Exercice 3 ★★★★ — Tracer au compas

Constructions au compas

a. Trace un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm.

b. Place un point $A$ appartenant à ce cercle. Que vaut la longueur $O A$ ?

c. Place un point $B$ tel que $O B = 4,5$ cm, puis trace le cercle de centre $O$ passant par $B$ . Quel est son rayon ?

d. Peux-tu placer un point du premier cercle qui appartient aussi au deuxième ? Pourquoi ?

Exercice 4 ★★★★ — Vrai ou faux sur le cercle

Cercle et disque : centre, rayon, diamètre, cordeJustifier : initiation à la preuve

On considère la figure ci-dessous.

Cercle de centre O avec le diamètre [MN], la corde [PQ] et le rayon [OR] tracés

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse en citant une définition du cours.

a. « Un diamètre est une corde. »

b. « Toute corde passe par le centre du cercle. »

c. « $M N = 2 \times O R$ . »

d. « $O$ est le milieu de $[M N]$ . »

e. « $O P = O Q$ . »

Exercice 5 ★★★★ — Distances et milieu

Distance entre deux points et milieu d'un segment

On considère les deux segments ci-dessous.

Segment [AB] avec un point I tel que AI = 3,5 cm et IB = 3,5 cm ; segment [CD] avec un point K tel que CK = 2,8 cm et KD = 3,2 cm

Calcule les longueurs $A B$ et $C D$ .
Le point $I$ est-il le milieu de $[A B]$ ? Le point $K$ est-il le milieu de $[C D]$ ? Justifie chaque réponse.

Exercice 6 ★★★★ — Le piège du milieu

Distance entre deux points et milieu d'un segmentJustifier : initiation à la preuve

On considère la figure ci-dessous, où $A B = 6$ cm et $M A = M B = 4$ cm.

Segment [AB] de 6 cm avec un point M au-dessus du segment tel que MA = MB = 4 cm

Léa affirme : « $M A = M B$ , donc $M$ est le milieu de $[A B]$ . »

Explique pourquoi Léa se trompe.
Place le vrai milieu $I$ de $[A B]$ . Que vaut $A I$ ?
Que peut-on dire du point $M$ malgré tout ?

Exercice 7 ★★★★ — Points à distance donnée

Constructions au compasCercle et disque : centre, rayon, diamètre, corde

Place un point $A$ sur ta feuille.

Place trois points situés exactement à $3$ cm de $A$ . Combien y a-t-il de points possibles en tout ? Quelle figure forment-ils tous ensemble ?
Colorie la zone formée par tous les points situés à moins de $3$ cm de $A$ . Comment s'appelle cette zone ?
Un point $B$ tel que $A B = 4,2$ cm appartient-il au cercle ? au disque ? Justifie.

Exercice 8 ★★★★ — Médiatrice à l'équerre

Médiatrice d'un segment : définition et constructions

Trace un segment $[R S]$ de $6$ cm.
Construis la médiatrice de $[R S]$ à l'équerre et à la règle graduée. Décris les étapes de ta construction.
À quelle distance de $R$ la médiatrice coupe-t-elle le segment $[R S]$ ?

Exercice 9 ★★★★ — Médiatrice au compas

Médiatrice d'un segment : définition et constructionsConstructions au compas

Trace un segment $[E F]$ de $5$ cm.
Construis la médiatrice de $[E F]$ au compas, sans utiliser la règle graduée. Décris les étapes de ta construction.
Tu as obtenu deux points d'intersection : appelle-les $M$ et $N$ . Pourquoi les points $M$ et $N$ appartiennent-ils bien à la médiatrice de $[E F]$ ?

Exercice 10 ★★★★ — Reconnaître une médiatrice

Médiatrice d'un segment : définition et constructionsJustifier : initiation à la preuve

Trois cas : une droite d et un segment AB dans chaque cas

Dans chacun des trois cas ci-dessus, une droite $d$ coupe un segment $[A B]$ . Les codages indiquent les égalités de longueurs et les angles droits.

Pour chaque cas, réponds à la question : la droite $d$ est-elle la médiatrice de $[A B]$ ? Justifie ta réponse en citant la définition de la médiatrice.

Exercice 11 ★★★★ — Utiliser l'équidistance

Propriété d'équidistance de la médiatrice

Segment AB, sa médiatrice d, un point M sur d, segments MA et MB en pointillés, MA = 5,2 cm

Sur la figure ci-dessus, la droite $d$ est la médiatrice du segment $[A B]$ , et le point $M$ appartient à $d$ . On sait que $M A = 5,2$ cm.

Sans mesurer, donne la longueur $M B$ . Justifie ta réponse.
Un autre point $N$ (non placé sur la figure) vérifie $N A = N B = 4$ cm. Que peut-on dire du point $N$ ? Justifie.
Un point $P$ vérifie $P A = 3$ cm et $P B = 4$ cm. Le point $P$ peut-il appartenir à la droite $d$ ? Justifie.

Exercice 12 ★★★★ — Sur la médiatrice ou pas ?

Propriété d'équidistance de la médiatriceJustifier : initiation à la preuve

Segment ST et trois points K, L, P autour, distances en pointillés

Sur la figure ci-dessus, on a placé un segment $[S T]$ et trois points $K$ , $L$ et $P$ . La médiatrice de $[S T]$ n'est pas tracée. On a mesuré les distances suivantes :

Point	Distance à $S$	Distance à $T$
$K$	$4,1$ cm	$4,1$ cm
$L$	$3,8$ cm	$4,2$ cm
$P$	$5$ cm	$5$ cm

Quels points appartiennent à la médiatrice de $[S T]$ ? Justifie ta réponse pour chacun des trois points.
Le milieu du segment $[S T]$ appartient-il à la médiatrice de $[S T]$ ? Justifie.
Peut-on tracer la médiatrice de $[S T]$ uniquement grâce aux points $K$ et $P$ , sans équerre ni compas ? Explique.

Exercice 13 ★★★★ — La chasse au trésor

Propriété d'équidistance de la médiatriceConstructions au compas

Plan du jardin : chêne C, bouleau B, puits P, échelle 1 cm pour 1 m

Le plan ci-dessus représente un jardin. On y voit un chêne $C$ , un bouleau $B$ et un puits $P$ . L'échelle est la suivante : $1$ cm sur le plan représente $1$ m dans la réalité.

Un trésor est enterré dans ce jardin. Un vieux parchemin indique :

« Le trésor est à égale distance du chêne et du bouleau, et à exactement $4$ m du puits. »

D'après la première indication, sur quelle ligne le trésor se trouve-t-il ? Justifie ta réponse.
D'après la deuxième indication, sur quelle ligne le trésor se trouve-t-il ? Quel tracé faut-il faire sur le plan ?
Reproduis le plan en vraie grandeur grâce aux distances indiquées sur la figure (tu peux placer $P$ au compas), puis construis le ou les emplacements possibles du trésor. Combien y en a-t-il ?

Exercice 14 ★★★★ — Défi : le centre perdu

Propriété d'équidistance de la médiatriceJustifier : initiation à la preuveCercle et disque : centre, rayon, diamètre, corde

Un cercle dont le centre n'est pas marqué

Maël a tracé le cercle ci-dessus, puis il a effacé son centre par erreur. Aide-le à le retrouver.

Trace une corde $[A B]$ de ce cercle. Explique pourquoi le centre du cercle appartient à la médiatrice de $[A B]$ .
Comment retrouver exactement le centre du cercle ? Rédige un programme de construction, puis réalise-le sur la figure.
Comment vérifier ta réponse à l'aide du compas ?

Les exercices(PDF, 106 Ko)Les corrigés(PDF, 179 Ko)

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Point

Distance à

S

Distance à

T

K

4,1

4,1

L

3,8

4,2

P

5

5