Cercle, distances et médiatrice

Un arroseur automatique planté au milieu de la pelouse envoie de l'eau à $5$ m à la ronde : quelle forme a la zone arrosée ? Deux villages veulent construire une bibliothèque à égale distance de chacun : où peut-on la placer ? Sur une cible de fléchettes, pourquoi tous les points d'une même zone rapportent-ils le même nombre de points ? Toutes ces questions parlent de distances. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à décrire le cercle avec des mots précis, à construire avec le compas, et à découvrir une droite très utile : la médiatrice.

Le cercle et le disque

Place un point $O$ sur ta feuille, puis essaie de marquer tous les points situés à exactement $3$ cm de $O$. Il y en a au-dessus, en dessous, à droite, à gauche… En les traçant tous, tu obtiens une courbe fermée bien connue : un cercle.

Cette définition dit deux choses à la fois : tout point du cercle est à la distance $r$ de $O$, et tout point à la distance $r$ de $O$ est sur le cercle. C'est ce qui rend le cercle si utile pour parler de distances.

Autour du cercle, il y a tout un vocabulaire à connaître :

• un rayon est un segment qui relie le centre à un point du cercle, comme $[OA]$ ; le mot « rayon » désigne aussi sa longueur $OA$ ;
• un diamètre est un segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre, comme $[BC]$ ; le mot désigne aussi sa longueur $BC$ ;
• une corde est un segment qui relie deux points du cercle sans forcément passer par le centre, comme $[DE]$ ;
• un arc de cercle est une portion du cercle comprise entre deux de ses points, par exemple entre $D$ et $E$.

Attention à ne pas confondre le cercle et le disque. Le cercle, c'est uniquement le contour, la ligne tracée par le compas. Le disque, c'est la surface : le contour et tout l'intérieur. La zone arrosée par l'arroseur du début est un disque ; la trace laissée par la pointe d'un compas est un cercle.

Construire avec le compas

Le compas ne sert pas qu'à tracer de jolis ronds : c'est avant tout l'outil qui reporte les distances. Quand tu écartes ton compas, tu mémorises une longueur ; la pointe sèche marque le centre, et la mine trace tous les points situés à cette longueur du centre.

Distance entre deux points et milieu d'un segment

Pour aller d'un point $A$ à un point $B$, il existe une infinité de chemins, mais un seul est le plus court : la ligne droite.

Sur ce segment, un point joue un rôle particulier : celui qui le partage en deux parts égales.

Sur une figure, on code les deux longueurs égales $IA$ et $IB$ avec de petits traits identiques sur chaque moitié du segment : c'est le codage qui indique l'égalité sans avoir besoin de mesurer.

Remarque importante. Être à égale distance de $A$ et de $B$ ne suffit pas pour être le milieu ! Prends un segment $[AB]$ de $6$ cm et place un point $M$ au-dessus du segment, avec $MA=MB=5$ cm : ce point $M$ est bien équidistant de $A$ et de $B$, pourtant ce n'est pas le milieu, car il n'appartient pas au segment $[AB]$. Le milieu doit remplir les deux conditions de la définition. Mais alors, où se trouvent tous ces points équidistants de $A$ et de $B$ ? C'est justement l'objet de la suite du chapitre.

La médiatrice d'un segment

Sur la figure, deux codages signalent la médiatrice : le petit carré qui marque l'angle droit, et les petits traits qui indiquent que le milieu partage le segment en deux longueurs égales.

Il existe deux façons de la construire : avec l'équerre et la règle graduée, ou avec le compas.

Cette construction au compas est très pratique : elle ne demande aucune mesure. Et comme la médiatrice coupe $[AB]$ en son milieu, elle te donne au passage un moyen de placer le milieu d'un segment sans règle graduée ! Mais pourquoi la droite $(MN)$ est-elle bien la médiatrice ? La réponse se trouve dans la propriété qui suit.

La propriété d'équidistance

La médiatrice n'est pas une droite comme les autres : chacun de ses points a une propriété remarquable vis-à-vis des distances à $A$ et à $B$.

Ces deux phrases mises bout à bout disent quelque chose de très fort : la médiatrice de $[AB]$ est exactement l'ensemble de tous les points équidistants de $A$ et de $B$. Ni plus, ni moins. Le point $M$ de la remarque de tout à l'heure (celui qui vérifiait $MA=MB$ sans être le milieu) se trouve donc forcément sur la médiatrice. C'est aussi elle qui répond à la question des deux villages du début : tous les emplacements à égale distance des deux villages forment la médiatrice du segment qui les relie.

On peut maintenant comprendre la construction au compas : les points $M$ et $N$ sont obtenus par des arcs de même rayon centrés en $A$ et en $B$, donc $MA=MB$ et $NA=NB$. D'après la propriété d'équidistance, $M$ et $N$ appartiennent tous les deux à la médiatrice de $[AB]$. Comme une droite est entièrement déterminée par deux points, la droite $(MN)$ est bien la médiatrice.

Apprendre à justifier

En sixième, tu commences à faire la différence entre voir quelque chose sur une figure et le prouver. C'est une des grandes idées des mathématiques.

Ce qu'il faut retenir

Tu sais maintenant que le cercle est l'ensemble des points à une même distance du centre, que le compas est l'outil qui reporte les distances, et que la médiatrice d'un segment rassemble tous les points équidistants de ses extrémités. Dans les exercices, tu vas t'entraîner à construire proprement (au compas comme à l'équerre) et surtout à justifier tes réponses en citant les définitions et les propriétés de ce chapitre : c'est le réflexe qui fera de toi un vrai matheux.