6ᵉ · Chapitre 11 · Espace et géométrie

Angles et bissectrice

Lexique (aigu, obtus, adjacents…), mesure au rapporteur, constructions, bissectrice d'un angle.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Lexique (aigu, obtus, adjacents…)
Mesure au rapporteur
Constructions
Bissectrice d'un angle

Ouvre un éventail : plus tu l'ouvres, plus l'écart entre ses deux branches extrêmes est grand. Regarde les aiguilles d'une horloge : à midi elles sont superposées, à trois heures elles forment un coin bien droit, à six heures elles sont parfaitement alignées. Écarte les branches d'un compas avant de tracer un cercle : là encore, tout se joue dans l'écartement. Dans toutes ces situations, ce qui compte n'est pas la longueur des objets, mais l'ouverture entre deux directions. Cette ouverture, les mathématiciens l'appellent un angle. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à nommer les angles, à les comparer, à les mesurer au rapporteur, à les construire, et tu découvriras une droite qui partage un angle en deux parts égales : la bissectrice.

Qu'est-ce qu'un angle ?

Trace deux demi-droites $[O x)$ et $[O y)$ de même origine $O$ . Elles partagent le plan en deux régions, appelées secteurs angulaires, que l'on assimile à des angles : le plus refermé des deux est un angle saillant, l'autre, qui fait le grand tour, est un angle rentrant (et si les deux régions sont identiques, ce sont deux angles plats). En sixième, à part l'angle plat et l'angle plein, on ne travaille qu'avec des angles saillants.

Définition

Un angle est formé par deux demi-droites de même origine.

L'origine commune des deux demi-droites est le sommet de l'angle ;
les deux demi-droites sont les côtés de l'angle.

Deux demi-droites de même origine O délimitant un angle saillant et un angle rentrant

Selon les situations, on note un angle de plusieurs façons, toujours avec un petit chapeau :

$\hat{x O y}$ quand ses côtés sont les demi-droites $[O x)$ et $[O y)$ ;
$\hat{A O B}$ quand on connaît un point $A$ sur un côté et un point $B$ sur l'autre : la lettre du sommet s'écrit toujours au milieu ;
$\hat{O}$ tout court, quand un seul angle a pour sommet $O$ sur la figure et qu'il n'y a aucune ambiguïté.

Exemple

Sur la figure ci-dessus, l'angle saillant se note $\hat{x O y}$ (ou $\hat{y O x}$ ). Si on place un point $A$ sur $[O x)$ et un point $B$ sur $[O y)$ , le même angle se note aussi $\hat{A O B}$ : peu importe la lettre de gauche et celle de droite, seul le sommet $O$ doit être au milieu.

Une idée essentielle à retenir dès maintenant : l'ouverture d'un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés. Les côtés sont des demi-droites, donc infinies : on n'en dessine qu'un bout, plus ou moins long selon la place sur la feuille. Pense aux aiguilles de l'horloge : si on les prolongeait jusqu'au bord du cadran, l'angle entre elles ne changerait pas d'un poil.

Deux angles de 40 degrés de même ouverture, avec des côtés dessinés courts pour l'un et longs pour l'autre

Comparer et classer les angles

Pas besoin de mesurer pour comparer deux angles : il suffit de les superposer. En décalquant le premier et en posant le calque sur le second, on voit immédiatement lequel est le plus ouvert. Un morceau de papier découpé selon un angle s'appelle un gabarit : il permet de comparer des angles, mais aussi de reproduire un angle ailleurs sur la feuille, sans rien mesurer.

Méthode

Comparer deux angles avec un calque :

Décalque le premier angle : son sommet et un bout de chaque côté.
Pose le calque sur le second angle : sommet sur le sommet, un côté sur un côté, les deux angles du même côté.
Regarde les côtés restants : celui qui dépasse vers l'extérieur appartient à l'angle le plus ouvert. S'ils se superposent exactement, les deux angles sont égaux.

Certains angles portent des noms particuliers, à connaître par cœur.

Définition

Un angle nul a ses deux côtés superposés : aucune ouverture.
Un angle droit correspond au coin d'une feuille pliée en quatre (ou d'une équerre).
Un angle aigu est plus fermé qu'un angle droit (sans être nul).
Un angle obtus est plus ouvert qu'un angle droit, mais plus fermé qu'un angle plat.
Un angle plat a ses côtés dans le prolongement l'un de l'autre : ils forment une droite.
Un angle plein fait tout le tour du sommet.

Les six catégories d'angles : nul, aigu, droit, obtus, plat et plein

D'où sort l'angle droit de la feuille pliée ? Prends une feuille quelconque, même déchirée, sans aucun bord droit. Plie-la une première fois : le pli est une ligne droite, donc un angle plat de chaque côté. Replie ensuite le long du pli, bord sur bord : tu partages cet angle plat en deux angles égaux, et le coin obtenu est un angle droit. En dépliant, tu constates qu'un angle plat contient deux angles droits, et qu'un angle plein en contient quatre.

Mesurer un angle : le degré et le rapporteur

Pour aller plus loin que la simple comparaison, on mesure les angles avec une unité : le degré.

Définition

En partageant un angle plat en $180$ angles égaux posés côte à côte, on obtient des angles de un degré, noté $1^{\circ}$ . La mesure d'un angle s'exprime en degrés.

Deux mesures sont à connaître, et deux autres s'en déduisent : un angle droit mesure $90^{\circ}$ , un angle plat mesure $180^{\circ}$ (le double) ; un angle plein vaut deux angles plats, soit $360^{\circ}$ , et un angle nul mesure $0^{\circ}$ .

Angle	nul	aigu	droit	obtus	plat	plein
Mesure	$0^{\circ}$	entre $0^{\circ}$ et $90^{\circ}$	$90^{\circ}$	entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$	$180^{\circ}$	$360^{\circ}$

En pliant un angle plat (un demi-disque de papier) en $2$ , $3$ , $4$ ou $6$ parts égales, tu fabriques des angles de $90^{\circ}$ , $60^{\circ}$ , $45^{\circ}$ et $30^{\circ}$ , car $180 \div 2 = 90$ , $180 \div 3 = 60$ , $180 \div 4 = 45$ et $180 \div 6 = 30$ . Tu retrouves exactement ces mesures sur tes deux équerres : l'une porte les angles $45^{\circ}$ , $45^{\circ}$ et $90^{\circ}$ , l'autre les angles $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ et $90^{\circ}$ . Les angles servent aussi à décrire les déplacements : quand tu fais un quart de tour sur toi-même, tu tournes d'un angle droit ( $90^{\circ}$ ) ; un demi-tour correspond à un angle plat ( $180^{\circ}$ ) et un tour complet à un angle plein ( $360^{\circ}$ ).

Pour mesurer un angle quelconque, on utilise le rapporteur : un demi-disque gradué de $0^{\circ}$ à $180^{\circ}$ .

Méthode

Mesurer un angle $\hat{x O y}$ au rapporteur :

Place le centre du rapporteur exactement sur le sommet $O$ .
Fais coïncider le zéro d'une graduation avec un côté de l'angle, par exemple $[O x)$ .
Lis la graduation traversée par l'autre côté $[O y)$ , sur l'échelle qui part de $0$ sur $[O x)$ , pas sur l'autre !
Vérifie la cohérence : un angle aigu doit mesurer moins de $90^{\circ}$ , un angle obtus plus de $90^{\circ}$ .

La plupart des rapporteurs portent une double graduation, une dans chaque sens : c'est le grand piège de cet outil. Sur la figure ci-dessous, le côté $[O y)$ traverse à la fois la graduation $50$ et la graduation $130$ . Le zéro choisi est celui posé sur $[O x)$ : la bonne lecture est donc $50^{\circ}$ . Et cela se contrôle d'un coup d'œil : l'angle est visiblement aigu, sa mesure doit être inférieure à $90^{\circ}$ .

Lecture au rapporteur d'un angle de 50 degrés, avec la double graduation 50 et 130

Construire un angle de mesure donnée

Le rapporteur fonctionne aussi dans l'autre sens : construire un angle dont on connaît la mesure.

Méthode

Construire un angle $\hat{x O y}$ de mesure donnée :

Trace une demi-droite $[O x)$ : elle sera un côté de l'angle, et son origine $O$ le sommet.
Place le centre du rapporteur sur $O$ et le zéro d'une graduation sur $[O x)$ .
Sur l'échelle qui part de $0$ sur $[O x)$ , repère la graduation voulue et marque un petit point en face.
Retire le rapporteur et trace la demi-droite $[O y)$ d'origine $O$ passant par ce point.
Contrôle d'un coup d'œil que l'angle obtenu a l'allure attendue (aigu ou obtus).

Exemple

On veut construire un angle $\hat{A B C}$ de $42^{\circ}$ . Le sommet est $B$ , la lettre du milieu. On trace une demi-droite d'origine $B$ et on y place un point $A$ ; on pose le rapporteur (centre sur $B$ , zéro vers $A$ ), on marque un point en face de la graduation $42$ , puis on trace la demi-droite issue de $B$ passant par cette marque et on y place le point $C$ . Vérification : $42^{\circ} < 90^{\circ}$ , l'angle dessiné est bien aigu.

Deux droites sécantes : angles opposés par le sommet

Quand deux droites se coupent, quatre angles saillants apparaissent autour du point d'intersection. Ils vont deux par deux : les angles face à face forment des paires d'angles opposés par le sommet.

Définition

Deux angles sont opposés par le sommet quand ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont dans le prolongement des côtés de l'autre.

Deux droites (AB) et (CD) sécantes en O formant deux paires d'angles opposés par le sommet, dont une paire de 35 degrés

Mesure les quatre angles de la figure avec un gabarit ou un rapporteur : tu constates que deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure. On ne le démontrera pas cette année : on admet cette propriété, et on a le droit de l'utiliser pour justifier.

Propriété

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Exemple

Les droites $(A B)$ et $(C D)$ se coupent en $O$ , et $\hat{A O C} = 35^{\circ}$ . Les angles $\hat{A O C}$ et $\hat{B O D}$ sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure : $\hat{B O D} = 35^{\circ}$ . Aucun rapporteur n'est nécessaire, c'est la propriété qui donne le résultat.

Un cas particulier mérite le détour : si les quatre angles formés par deux droites sécantes sont égaux, alors chacun vaut le quart de l'angle plein, soit $360 \div 4 = 90$ . Les quatre angles sont droits : les deux droites sont perpendiculaires. C'est exactement ce qui se passe avec les deux plis de la feuille pliée en quatre.

Angles adjacents et supplémentaires

Deux angles peuvent être collés l'un à l'autre, comme deux parts de tarte côte à côte.

Définition

Deux angles sont adjacents quand ils remplissent les trois conditions à la fois :

ils ont le même sommet ;
ils ont un côté commun ;
ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.

Deux angles adjacents de 40 et 60 degrés partageant le côté commun Oy

Sur la figure, les angles $\hat{x O y}$ et $\hat{y O z}$ sont adjacents : même sommet $O$ , côté commun $[O y)$ , et chacun d'un côté de $[O y)$ . Mis bout à bout, ils forment l'angle $\hat{x O z}$ , dont la mesure est la somme des deux : $40 + 60 = 100$ , soit $100^{\circ}$ .

Définition

Deux angles sont supplémentaires quand la somme de leurs mesures vaut $180^{\circ}$ .

Attention : être supplémentaires ne parle que des mesures. Deux angles peuvent être supplémentaires sans se toucher. Le cas le plus utile est celui où ils sont en plus adjacents : quand deux angles adjacents ont leurs côtés extérieurs dans le prolongement l'un de l'autre (ils forment une droite), les deux angles remplissent ensemble un angle plat, donc ils sont supplémentaires.

Deux angles adjacents et supplémentaires de 110 et 70 degrés, dont les côtés extérieurs forment une droite

Exemple

Sur la figure, les points $A$ , $O$ et $C$ sont alignés et $\hat{A O B} = 110^{\circ}$ . Les angles $\hat{A O B}$ et $\hat{B O C}$ remplissent ensemble l'angle plat $\hat{A O C}$ , donc $\hat{B O C}$ mesure $180 - 110 = 70$ , soit $70^{\circ}$ .
Deux angles de $124^{\circ}$ et $56^{\circ}$ sont supplémentaires, car $124 + 56 = 180$ .
Deux angles de $100^{\circ}$ et $60^{\circ}$ ne sont pas supplémentaires, car $100 + 60 = 160$ et non $180$ .

La bissectrice d'un angle saillant

Il reste une dernière découverte : la droite qui partage un angle exactement en deux.

Définition

La bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.

Angle xOy de 76 degrés partagé par sa bissectrice en deux angles de 38 degrés

Sur la figure, les deux angles égaux sont codés par le même symbole (un arc marqué d'un petit trait) : c'est le codage qui indique l'égalité sans mesurer.

La façon la plus simple d'obtenir la bissectrice, c'est le pliage. Décalque l'angle et découpe-le, puis plie de manière à superposer exactement ses deux côtés : le pli obtenu est la bissectrice. L'angle se replie parfaitement sur lui-même le long de cette droite : on observe, et on admet, que la bissectrice est l'axe de symétrie de l'angle. La symétrie axiale sera étudiée en détail dans un prochain chapitre ; pour l'instant, garde en tête l'image du pliage.

Sur une feuille de cahier, on ne peut pas toujours plier. On construit alors la bissectrice au rapporteur.

Méthode

Construire la bissectrice d'un angle $\hat{x O y}$ au rapporteur :

Mesure l'angle $\hat{x O y}$ au rapporteur.
Calcule la moitié de cette mesure.
Replace le rapporteur (centre sur $O$ , zéro sur $[O x)$ ) et marque un point $M$ en face de la demi-mesure.
Trace la droite $(O M)$ : c'est la bissectrice de l'angle.
Code les deux angles égaux avec le même symbole, et vérifie au rapporteur qu'ils ont bien la même mesure.

Exemple

On veut construire la bissectrice de l'angle $\hat{x O y}$ de la figure. Au rapporteur, on lit $\hat{x O y} = 76^{\circ}$ . La moitié vaut $76 \div 2 = 38$ . On marque le point $M$ en face de la graduation $38$ , sur l'échelle qui part de $0$ sur $[O x)$ , puis on trace la droite $(O M)$ . Les angles $\hat{x O M}$ et $\hat{M O y}$ sont adjacents et mesurent chacun $38^{\circ}$ : la droite $(O M)$ est bien la bissectrice de $\hat{x O y}$ .

La définition rend aussi service dans les problèmes, avant même de tracer quoi que ce soit : si un programme de construction demande la bissectrice d'un angle de $130^{\circ}$ , tu sais immédiatement que chacun des deux angles obtenus mesurera $130 \div 2 = 65$ , soit $65^{\circ}$ .

Ce qu'il faut retenir

Un angle est une ouverture entre deux demi-droites de même origine, et cette ouverture ne dépend pas de la longueur des côtés dessinés. Tu sais maintenant nommer un angle ( $\hat{x O y}$ , $\hat{A O B}$ avec le sommet au milieu, ou $\hat{O}$ ), le classer du nul au plein, le mesurer et le construire au rapporteur en te méfiant de la double graduation, utiliser la propriété des angles opposés par le sommet, reconnaître des angles adjacents ou supplémentaires, et partager n'importe quel angle en deux avec sa bissectrice. Dans les exercices, sors ton rapporteur : en géométrie, la précision du geste compte autant que la connaissance du cours.

Le cours en PDF(PDF, 114 Ko)

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