6ᵉ · Chapitre 09 · Grandeurs et mesures

Durées et horaires

Calculs sur horaires et durées, conversions entre écritures décimale et sexagésimale.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Calculs sur horaires et durées
Conversions entre écritures décimale et sexagésimale

Ton train part à $9$ h $12$ et il est déjà $8$ h $47$ : as-tu encore le temps d'acheter un croissant avant de monter ? Le gâteau doit cuire $35$ min et tu viens de l'enfourner : à quelle heure sonnera le minuteur ? Le film dure $2$ h $05$ min et commence à $20$ h $50$ : finira-t-il avant $23$ h ? Toutes ces questions de la vie quotidienne se résolvent avec les mêmes outils : les unités de durée, les conversions et les calculs d'horaires. C'est exactement le programme de ce chapitre.

Les unités de durée

Définition

Une durée est le temps qui s'écoule entre deux instants. Les unités usuelles de durée sont la seconde (notée s), la minute (notée min), l'heure (notée h) et le jour.

Voici les correspondances à connaître par cœur :

1 min = 60 s 1 h = 60 min 1 jour = 24 h

Comme $1$ h $= 60$ min et que chaque minute vaut $60$ s, une heure contient $60 \times 60 = 3 600$ secondes.

Pour la culture, il existe aussi des unités plus grandes : le mois (de $28$ à $31$ jours selon les mois), l'année ( $365$ jours, ou $366$ les années bissextiles), le siècle ( $100$ ans) et le millénaire ( $1 000$ ans).

Unité	seconde	minute	heure	jour	année	siècle	millénaire
Vaut	unité de base	$60$ s	$60$ min	$24$ h	$365$ ou $366$ jours	$100$ ans	$1 000$ ans

Attention, c'est LE point clé du chapitre : les durées ne fonctionnent pas en base $10$ comme les longueurs, mais en base $60$ (on dit que c'est un système sexagésimal, un héritage des Babyloniens). Le tableau de conversion que tu utilises pour les longueurs (km, hm, dam, m…), où chaque colonne vaut $10$ fois la suivante, ne marche pas du tout ici : entre les heures et les minutes, le facteur est $60$ , pas $10$ . Interdiction formelle de poser un tableau façon longueurs pour convertir des durées !

Convertir des durées

Pour passer d'une unité de durée à une autre, on multiplie ou on divise par $60$ (ou par $24$ pour les jours).

Méthode

Pour convertir vers une unité plus petite, on multiplie :

des heures en minutes : on multiplie par $60$ ;
des minutes en secondes : on multiplie par $60$ ;
des jours en heures : on multiplie par $24$ .

Exemple

$3$ h en minutes : $3 \times 60 = 180$ , donc $3$ h $= 180$ min.
$7$ min en secondes : $7 \times 60 = 420$ , donc $7$ min $= 420$ s.
$2$ jours en heures : $2 \times 24 = 48$ , donc $2$ jours $= 48$ h.
Une durée composée, $2$ h $15$ min, en minutes : on convertit les heures puis on ajoute les minutes restantes. $2 \times 60 = 120$ , puis $120 + 15 = 135$ : donc $2$ h $15$ min $= 135$ min.

Dans l'autre sens, pour convertir des minutes en heures, on divise par $60$ . Mais comme $60$ ne tombe presque jamais juste, c'est la division euclidienne qui fait le travail : le quotient donne les heures entières, le reste donne les minutes qui restent.

Méthode

Pour convertir des minutes en heures et minutes :

Pose la division euclidienne du nombre de minutes par $60$ .
Le quotient est le nombre d'heures.
Le reste est le nombre de minutes restantes.

Exemple

$135$ min en heures et minutes : on effectue la division euclidienne de $135$ par $60$ :

135 = 2 \times 60 + 15

Le quotient est $2$ et le reste est $15$ , donc $135$ min $= 2$ h $15$ min.

$200$ s en minutes et secondes : $200 = 3 \times 60 + 20$ , donc $200$ s $= 3$ min $20$ s.
$95$ min en heures et minutes : $95 = 1 \times 60 + 35$ , donc $95$ min $= 1$ h $35$ min.

Écriture décimale et écriture sexagésimale

Une même durée peut s'écrire de deux façons : en écriture sexagésimale (heures et minutes, comme $1$ h $30$ min) ou en écriture décimale (avec une virgule, comme $1,5$ h). Et c'est là que se cache le piège le plus célèbre du chapitre.

Propriété

1,5 h = 1 h 30 min

Et surtout pas $1$ h $50$ min ! Le chiffre après la virgule ne compte pas des minutes : $0,5$ h est la moitié d'une heure, c'est-à-dire $30$ min. Retiens les fractions d'heure usuelles :

une demi-heure : $0,5$ h $= 30$ min ;
un quart d'heure : $0,25$ h $= 15$ min ;
trois quarts d'heure : $0,75$ h $= 45$ min.

Méthode

Pour passer de l'écriture décimale à l'écriture sexagésimale : on garde la partie entière comme nombre d'heures, et on multiplie la partie décimale par $60$ pour obtenir les minutes.

Pour passer des minutes à l'écriture décimale : on divise le nombre de minutes par $60$ .

Exemple

$1,2$ h en heures et minutes : la partie entière donne $1$ h, et $0,2 \times 60 = 12$ , donc $1,2$ h $= 1$ h $12$ min.
$2,75$ h en heures et minutes : $0,75 \times 60 = 45$ , donc $2,75$ h $= 2$ h $45$ min.
$27$ min en écriture décimale : $27 \div 60 = 0,45$ , donc $27$ min $= 0,45$ h.
$1$ h $06$ min en écriture décimale : $6 \div 60 = 0,1$ , donc $1$ h $06$ min $= 1,1$ h.

Ce lien entre les deux écritures te servira toute ta scolarité : les machines et les tableurs calculent souvent en écriture décimale, alors que les horloges affichent des heures et des minutes.

Calculer une durée entre deux horaires

Un horaire est un instant précis (le train part à $8$ h $47$ ) ; une durée est le temps écoulé entre deux horaires (le trajet dure $2$ h $36$ min). Pour calculer une durée, la technique la plus sûre est la méthode des sauts : on avance par étapes faciles, d'abord jusqu'à l'heure ronde suivante, puis d'heure en heure, puis jusqu'à l'horaire d'arrivée.

Méthode

Pour calculer la durée entre deux horaires, avance par sauts :

Un premier saut jusqu'à l'heure ronde suivante (compte les minutes qui manquent pour y arriver).
Des sauts d'heures entières jusqu'à la dernière heure ronde avant l'arrivée.
Un dernier saut de l'heure ronde jusqu'à l'horaire d'arrivée.
Additionne tous les sauts (en regroupant les minutes si elles dépassent $60$ ).

Exemple

Un train part à $8$ h $47$ et arrive à $11$ h $23$ . Combien de temps dure le trajet ?

De $8$ h $47$ à $9$ h : il manque $60 - 47 = 13$ , soit un saut de $13$ min.
De $9$ h à $11$ h : un saut de $2$ h.
De $11$ h à $11$ h $23$ : un saut de $23$ min.

On additionne tout : $2$ h et $13 + 23 = 36$ min. Le trajet dure $2$ h $36$ min.

Exemple

Une durée qui traverse midi. Amélie entre au cinéma à $11$ h $35$ et en ressort à $14$ h $10$ . La méthode des sauts fonctionne exactement pareil :

de $11$ h $35$ à $12$ h : $25$ min ;
de $12$ h à $14$ h : $2$ h ;
de $14$ h à $14$ h $10$ : $10$ min.

Au total : $2$ h et $25 + 10 = 35$ min. Elle est restée $2$ h $35$ min au cinéma.

Calculer un horaire de début ou de fin

Parfois, ce n'est pas la durée qu'on cherche, mais l'horaire de fin (à quelle heure sonnera le minuteur ?) ou l'horaire de début (à quelle heure faut-il partir ?).

Méthode

Pour calculer un horaire de fin : ajoute la durée à l'horaire de départ, en avançant par sauts. Ajoute d'abord les heures, puis les minutes. Si le total des minutes dépasse $60$ , convertis : par exemple $65$ min $= 1$ h $05$ min, donc l'aiguille passe à l'heure suivante.

Pour calculer un horaire de début : pars de l'horaire de fin et recule de la durée, par sauts, en gérant le passage de l'heure dans l'autre sens.

Exemple

Horaire de fin. Tu enfournes un gâteau à $16$ h $45$ et il doit cuire $20$ min. À quelle heure sort-il du four ?

On ajoute les minutes : $45 + 20 = 65$ , or $65$ min $= 1$ h $05$ min. On dépasse donc l'heure : le minuteur sonnera à $17$ h $05$ .

Horaire de fin avec une durée composée. Un train part à $9$ h $12$ pour un trajet de $2$ h $56$ min. On ajoute d'abord les $2$ h : on arrive à $11$ h $12$ . Puis les minutes : $12 + 56 = 68$ , et $68$ min $= 1$ h $08$ min. Le train arrive donc à $12$ h $08$ .

Exemple

Horaire de début (à rebours). La séance de cinéma commence à $20$ h $10$ et il te faut $35$ min de trajet. À quelle heure faut-il partir de la maison ?

On recule par sauts depuis $20$ h $10$ :

on recule de $10$ min pour retomber sur l'heure ronde : il est $20$ h, et il reste $35 - 10 = 25$ min à reculer ;
on recule encore de $25$ min : $60 - 25 = 35$ , donc il est $19$ h $35$ .

Il faut partir au plus tard à $19$ h $35$ .

Tu sais maintenant convertir des durées, passer de l'écriture décimale à l'écriture sexagésimale et calculer horaires et durées par la méthode des sauts. Le réflexe à garder pour toujours : dans le monde du temps, on compte en base $60$ , jamais en base $10$ . Ces techniques te resserviront bien au-delà des maths : lire un planning, préparer un voyage ou simplement… ne plus jamais rater ton train.

Le cours en PDF(PDF, 48 Ko)

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