Devoir surveillé — Cercle, distances et médiatrice

On considère la figure ci-dessous : un cercle de centre $O$, sur lequel sont placés les points $K$, $L$, $M$, $N$, $P$ et $Q$.

1. (1,5 pt) En utilisant les points de la figure, nomme :

   a. un rayon ;

   b. un diamètre ;

   c. une corde qui n'est pas un diamètre.

2. (1 pt) Le rayon du cercle mesure $\mathrm{2,8}$ cm. Calcule la longueur $LM$.

3. (1 pt) Sans mesurer, compare les longueurs $OK$ et $OQ$ : que remarques-tu ? Justifie ta réponse.

4. (0,5 pt) VRAI ou FAUX ? Justifie : « Le segment $[NP]$ est un diamètre du cercle. »

1. (0,5 pt) Trace un segment $[AB]$ de $5$ cm.

2. (1,5 pt) Trace le cercle de centre $A$ et de rayon $3$ cm, puis le cercle de centre $B$ et de rayon $4$ cm.

3. (0,5 pt) Les deux cercles se coupent en deux points : nomme-les $M$ et $N$.

4. (1,5 pt) Sans mesurer, donne les longueurs $MA$ et $MB$. Justifie tes réponses.

Les points $G$, $I$ et $H$ sont alignés dans cet ordre, et $I$ est le milieu du segment $[GH]$, avec $GH=\mathrm{8,4}$ cm.

1. (1 pt) Calcule la longueur $GI$.

2. (1 pt) Un point $R$, situé en dehors de la droite $(GH)$, vérifie $RG=RH=5$ cm. Yanis affirme : « $R$ est aussi un milieu de $[GH]$. » A-t-il raison ? Justifie ta réponse.

3. (1 pt) Que peut-on dire précisément du point $R$ ?

1. (2 pts) Trace un segment $[UV]$ de $6$ cm, puis construis sa médiatrice au compas. Laisse les traits de construction visibles.

2. (1 pt) Rédige les étapes de ta construction.

3. (2 pts) Sur la figure ci-dessous, deux cas sont représentés : dans chacun, un segment $[AB]$ et une droite $d$ sont tracés.

   

   Pour chaque cas, indique si la droite $d$ est la médiatrice du segment $[AB]$. Justifie en citant la définition de la médiatrice.

Le plan ci-dessous, à l'échelle « $1$ cm pour $1$ km », montre deux villages, Aubry (point $A$) et Brivet (point $B$), ainsi qu'une route rectiligne représentée par la droite $(r)$, qui passe entre les deux villages.

On veut installer une antenne au bord de la route, à égale distance des deux villages.

1. (1,5 pt) Sur quelle ligne l'antenne doit-elle se trouver pour être à égale distance d'Aubry et de Brivet ? Justifie ta réponse.

2. (1,5 pt) Reproduis le plan en t'aidant du quadrillage (chaque carreau mesure $1$ cm de côté), puis construis l'emplacement exact de l'antenne.

3. (1 pt) Combien y a-t-il d'emplacements possibles pour l'antenne ? Explique pourquoi.