Exercices — Vecteurs du plan

Sur le quadrillage ci-dessous, six vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$, $\vec{r}$, $\vec{s}$ et $\vec{t}$ sont représentés. L'unité de longueur est le côté d'un carreau.

1. Quels vecteurs sont égaux à $\vec{u}$ ?
2. Quel vecteur est l'opposé de $\vec{u}$ ?
3. Citer tous les vecteurs colinéaires à $\vec{u}$.
4. Quels vecteurs ont la même norme que $\vec{u}$ ? Justifier en comptant les carreaux, sans utiliser de repère.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer ; si elle est fausse, proposer un contre-exemple.

1. Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, alors $ABDC$ est un parallélogramme.
2. Si $\parallel \vec{u}\parallel =\parallel \vec{v}\parallel$, alors $\vec{u}=\vec{v}$.
3. Pour tous points $A$ et $B$ du plan, $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$.
4. Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
5. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Sur le quadrillage ci-dessous sont représentés trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$, ainsi qu'un point $A$.

Reproduire le quadrillage, puis construire :

1. le représentant d'origine $A$ du vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ ;
2. le représentant d'origine $A$ du vecteur $\vec{v}+\vec{w}$ ;
3. le représentant d'origine $A$ du vecteur $\vec{u}+\vec{w}$ ;
4. le représentant d'origine $A$ du vecteur $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$.

$A$, $B$, $C$, $D$, $M$, $N$ et $P$ désignent des points quelconques du plan.

1. Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes :

   a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

   b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}$

   c) $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}$

   d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$

   e) $\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}$

2. Démontrer que pour tous points $A$, $B$, $C$ et $D$ du plan :

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$$

Sur le quadrillage ci-dessous sont représentés deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, ainsi que deux points $A$ et $B$.

Reproduire le quadrillage, puis construire :

1. le représentant d'origine $A$ du vecteur $2\vec{u}$ ;
2. le représentant d'origine $B$ du vecteur $-\vec{v}$ ;
3. le représentant d'origine $A$ du vecteur $2\vec{u}-\vec{v}$.
4. Sans construction, répondre : les vecteurs $2\vec{u}$ et $-3\vec{u}$ sont-ils colinéaires ? Ont-ils le même sens ou des sens contraires ? Justifier.

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, point d'intersection de ses diagonales.

1. Citer un vecteur égal à $\overrightarrow{AB}$ ; un vecteur égal à $\overrightarrow{AO}$ ; un vecteur égal à $\overrightarrow{DO}$.

2. Recopier et compléter les égalités suivantes, en justifiant chaque réponse :

   a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\dots$

   b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\dots$

3. Justifier que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$.

Dans le repère orthonormé ci-dessous sont représentés trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$, ainsi que deux points $A$ et $B$.

1. Lire les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
2. Lire les coordonnées des points $A$ et $B$, puis calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
3. Déterminer les coordonnées du point $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=\vec{u}$.
4. Parmi les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$, y en a-t-il deux qui sont colinéaires ? Justifier par un argument géométrique.

Dans un repère orthonormé du plan, on donne les points $A(2;-1)$, $B(5;1)$ et $C(-1;3)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
2. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.
3. Calculer $\parallel \overrightarrow{AB}\parallel$ et $\parallel \vec{u}\parallel$.
4. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ? Justifier.

Dans un repère orthonormé du plan, on donne les points $A(-2;1)$, $B(2;3)$ et $C(0;-3)$.

1. Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$. On donnera les résultats sous forme de racines carrées simplifiées.
2. Le triangle $ABC$ est-il isocèle ? Justifier.
3. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle et préciser en quel sommet.
4. En déduire la nature complète du triangle $ABC$.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1;2)$, $B(3;4)$ et $C(5;-2)$.

1. Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[BC]$.
2. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. On pourra utiliser la méthode de son choix : l'égalité vectorielle $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, ou le fait que les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu.
3. Vérification. Montrer que les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu. Ce résultat était-il prévisible ?

Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. On rédigera à chaque fois le calcul du déterminant $\det (\vec{u};\vec{v})$ avant de conclure.

a) $\vec{u}\left(\begin{array}{c}6\\ -4\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\end{array}\right)$

b) $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)$

c) $\vec{u}\left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}0\\ -7\end{array}\right)$

d) $\vec{u}\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-2;3)$, $B(1;1)$ et $C(7;-3)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
2. On considère maintenant les points $D(0;1)$, $E(2;2)$ et $F(5;4)$. Les points $D$, $E$ et $F$ sont-ils alignés ? Justifier.
3. Déterminer le réel $x$ tel que les points $A$, $B$ et $M(x;-5)$ soient alignés.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1;2)$, $B(3;-1)$, $C(0;4)$ et $D(8;-2)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, puis montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
2. On considère maintenant les points $E(1;1)$, $F(4;3)$, $G(-2;0)$ et $H(2;3)$. Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
3. Le quadrilatère $ABDC$ (attention à l'ordre des lettres), formé avec les points de la question 1, est-il un trapèze ? Est-il un parallélogramme ? Justifier. Rappel : un trapèze est un quadrilatère qui possède deux côtés opposés parallèles.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;2)$, $B(-2;4)$ et $C(3;-1)$.

1. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$. Quelle est alors la nature du quadrilatère $ABDC$ ? Justifier.
2. Déterminer les coordonnées du point $E$, symétrique de $A$ par rapport à $B$. Autrement dit, $B$ est le milieu du segment $[AE]$.
3. Déterminer les coordonnées du point $F$ tel que $A$ soit le milieu du segment $[CF]$.

Sur le quadrillage ci-dessous (chaque carreau mesure une unité), on a tracé deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ depuis la même origine, ainsi que deux vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{t}$.

En lisant les coordonnées sur le quadrillage, on a $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$, $\vec{v}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$, $\vec{w}\left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$ et $\vec{t}\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)$.

1. Justifier que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
2. Exprimer $\vec{w}$ comme combinaison de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, c'est-à-dire trouver deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$. On pourra procéder par lecture graphique (construire un chemin sur le quadrillage) puis vérifier avec les coordonnées.
3. De la même façon, exprimer $\vec{t}$ comme combinaison de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
4. Question de cours déguisée. Pourquoi une telle décomposition est-elle toujours possible, quel que soit le vecteur du plan que l'on choisit à la place de $\vec{w}$ ou de $\vec{t}$ ?

Le théorème de la droite des milieux, vu au collège, affirme que dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté, et que le segment correspondant mesure la moitié de ce côté. On propose ici de le démontrer avec les vecteurs.

Soit $ABC$ un triangle quelconque. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$.

1. Exprimer $\overrightarrow{IA}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, puis $\overrightarrow{AJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$.
2. En utilisant la relation de Chasles sous la forme $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}$, démontrer que

$$\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\mathrm{.}$$

On pourra utiliser à nouveau la relation de Chasles pour reconnaître $\overrightarrow{BC}$ dans le résultat obtenu. 3. En déduire les deux résultats du théorème de la droite des milieux :

• les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles ;
• $IJ={\displaystyle \frac{1}{2}}BC$.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-3;1)$, $B(1;3)$, $C(3;0)$ et $D(-5;-4)$. Il est conseillé de faire une figure sur papier pour suivre le raisonnement.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$, puis montrer que $ABCD$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[DC]$.
2. Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ? Justifier.
3. On note $M$ le milieu de $[AD]$ et $N$ le milieu de $[BC]$. Calculer les coordonnées de $M$ et de $N$.
4. Montrer que la droite $(MN)$ est parallèle aux deux bases du trapèze.
5. Vérifier que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{MN}$. Comment interpréter cette égalité en termes de longueurs ? On admettra que, tous ces vecteurs étant colinéaires et de même sens, les normes s'ajoutent.

Dans un repère orthonormé, on considère le quadrilatère $ABCD$ avec $A(-4;1)$, $B(2;5)$, $C(6;-1)$ et $D(-2;-5)$.

1. Faire une figure soignée. Calculer les coordonnées des milieux $I$ de $[AB]$, $J$ de $[BC]$, $K$ de $[CD]$ et $L$ de $[DA]$, puis les placer sur la figure.
2. Montrer que $IJKL$ est un parallélogramme.
3. Calculer $\parallel \overrightarrow{IJ}\parallel$. On donnera la valeur exacte.
4. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ et comparer les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AC}$. Quel théorème du chapitre, appliqué au triangle $ABC$, retrouve-t-on ?
5. Question ouverte. En s'appuyant sur la question 4 (et sur son analogue dans le triangle $ACD$), expliquer pourquoi le résultat de la question 2 reste vrai pour n'importe quel quadrilatère $ABCD$ : les milieux des quatre côtés forment toujours un parallélogramme. C'est le théorème de Varignon.