2ⁿᵈᵉ · Chapitre 05 · Géométrie

Vecteurs du plan

Égalité, somme, produit par un réel, colinéarité, déterminant, coordonnées, norme, milieu.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Au collège, la translation faisait glisser les figures « toutes d'un bloc », le long d'une flèche. Cette flèche devient dans ce chapitre un objet mathématique à part entière : le vecteur. En apprenant à additionner les vecteurs, à les multiplier par un nombre puis à les repérer par des coordonnées, on se dote d'un véritable outil de calcul pour démontrer en géométrie — alignements, parallélismes, milieux — et pour modéliser en physique, où déplacements, vitesses et forces sont des grandeurs vectorielles. Ce chapitre suit « Équations et inéquations » et précède « Droites du plan ».

De la translation au vecteur

Rappel : la translation

La translation fait partie des transformations étudiées au collège, avec les symétries et la rotation. Elle fait « glisser » le plan tout entier : chaque point se déplace de la même façon, sans rotation ni déformation.

Définition

Soient $M$ et $M^{'}$ deux points du plan. La translation qui transforme $M$ en $M^{'}$ est la transformation qui, à tout point $P$ du plan, associe l'unique point $P^{'}$ tel que $M M^{'} P^{'} P$ soit un parallélogramme, éventuellement aplati (c'est-à-dire dont les sommets peuvent être alignés).

Le déplacement qui amène $P$ sur $P^{'}$ est alors exactement le même que celui qui amène $M$ sur $M^{'}$ : même longueur, même direction, même sens.

Un triangle ABC et son image A'B'C' par la translation de vecteur u

Sur la figure, le triangle $A^{'} B^{'} C^{'}$ est l'image du triangle $A B C$ par une translation : les flèches en pointillés, qui relient chaque sommet à son image, sont parallèles, de même longueur et orientées dans le même sens. C'est précisément cette « consigne de déplacement » commune à tous les points que l'on appelle un vecteur.

Le vecteur associé à une translation

Définition

À la translation qui transforme $M$ en $M^{'}$ , on associe le vecteur $\vec{M M^{'}}$ , représenté par une flèche d'origine $M$ et d'extrémité $M^{'}$ . Lorsque $M \neq M^{'}$ , ce vecteur est caractérisé par trois éléments :

sa direction : celle de la droite $(M M^{'})$ ;
son sens : celui du parcours de $M$ vers $M^{'}$ ;
sa norme : la longueur $M M^{'}$ , notée $∥ \vec{M M^{'}} ∥$ .

On dit alors que la translation est la translation de vecteur $\vec{M M^{'}}$ .

Remarque

Direction et sens sont deux notions différentes, à ne pas confondre. Une direction est celle d'une droite : « horizontale », « verticale », « parallèle à la droite $d$ »… Sur une même direction, il existe exactement deux sens de parcours : sur une route horizontale, on peut rouler vers la gauche ou vers la droite. Deux vecteurs peuvent donc avoir la même direction sans avoir le même sens.

Représentants d'un vecteur

Une translation déplace tous les points du plan selon la même consigne. Toutes les flèches qui relient un point à son image décrivent donc le même vecteur : chacune d'elles en est un représentant.

Définition

Un vecteur $\vec{u}$ est entièrement déterminé par la donnée d'une direction, d'un sens et d'une norme, indépendamment de tout point de départ. Toute flèche $\vec{A B}$ ayant cette direction, ce sens et cette norme est un représentant du vecteur $\vec{u}$ , et on écrit $\vec{u} = \vec{A B}$ .

Un vecteur admet une infinité de représentants : un depuis chaque point du plan.

Trois représentants du même vecteur u sur un quadrillage

Exemple

Sur le quadrillage ci-dessus, les trois flèches traduisent la même consigne de déplacement : « $2$ carreaux vers la droite et $1$ carreau vers le haut ». Elles ont la même direction, le même sens et la même norme : ce sont trois représentants du même vecteur $\vec{u}$ , bien que leurs origines soient différentes.

Égalité de deux vecteurs, vecteur nul

Définition

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme — autrement dit, lorsqu'ils sont associés à la même translation.

Définition

Le vecteur nul, noté $\vec{0}$ , est le vecteur associé à la translation qui laisse tous les points sur place. Pour tout point $M$ , on a $\vec{M M} = \vec{0}$ . Sa norme vaut $0$ ; il n'a ni direction ni sens.

L'égalité de deux vecteurs se traduit géométriquement par un parallélogramme — la figure emblématique de ce chapitre.

Propriété

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points du plan.

\vec{A B} = \vec{D C} ⟺ A B C D est un parall \overset{ˊ}{e} logramme, \overset{ˊ}{e} ventuellement aplati.

Remarque

Attention à l'ordre des lettres : c'est bien $\vec{A B} = \vec{D C}$ , et non $\vec{A B} = \vec{C D}$ , qui caractérise le parallélogramme $A B C D$ . En parcourant le quadrilatère dans l'ordre de ses sommets $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , les côtés $[A B]$ et $[D C]$ sont opposés, et les flèches $\vec{A B}$ et $\vec{D C}$ pointent dans le même sens. Le cas « aplati » (quatre points alignés) est autorisé : l'égalité vectorielle reste vraie même quand le parallélogramme est écrasé sur une droite.

Exemple

Soient $E$ , $F$ , $G$ et $H$ quatre points tels que $\vec{E F} = \vec{H G}$ . D'après la propriété, $E F G H$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). Réciproquement, si $E F G H$ est un parallélogramme, alors on dispose des deux égalités vectorielles $\vec{E F} = \vec{H G}$ et $\vec{E H} = \vec{F G}$ : chaque paire de côtés opposés fournit une égalité de vecteurs.

Remarque

Liaison avec la physique. Le vecteur $\vec{A B}$ peut être appelé vecteur déplacement de $A$ à $B$ . Si $O$ est une origine fixée, le vecteur $\vec{O M}$ est le vecteur position du point $M$ . Plus généralement, toute grandeur qui possède une direction, un sens et une intensité — une vitesse, une force — se modélise par un vecteur : c'est le langage commun aux mathématiques et aux sciences physiques.

La somme de deux vecteurs

Que se passe-t-il lorsqu'on enchaîne deux translations ? Le résultat est encore une translation : glisser, puis glisser à nouveau, c'est encore glisser. Le vecteur associé à cette translation composée définit la somme de deux vecteurs.

Définition

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. L'enchaînement de la translation de vecteur $\vec{u}$ puis de la translation de vecteur $\vec{v}$ est une translation ; le vecteur qui lui est associé est appelé somme de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , et noté $\vec{u} + \vec{v}$ .

Construction « bout à bout » : on choisit un représentant $\vec{A B}$ de $\vec{u}$ , puis le représentant de $\vec{v}$ d'origine $B$ , noté $\vec{B C}$ . Le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ est alors représenté par $\vec{A C}$ : l'origine du premier, l'extrémité du second.

Somme de deux vecteurs : bout à bout et règle du parallélogramme

La construction « bout à bout », appliquée à trois points quelconques, donne immédiatement la relation fondamentale du calcul vectoriel — déjà rencontrée en classe de troisième.

Propriété

Relation de Chasles. Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ du plan :

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C} .

Pour la retenir : la lettre $B$ , extrémité du premier vecteur et origine du second, « s'efface » dans la somme. La relation de Chasles s'utilise dans les deux sens : de gauche à droite pour réduire une somme, de droite à gauche pour intercaler un point.

Exemple

$\vec{K L} + \vec{L M} = \vec{K M}$ : la lettre $L$ s'efface.
$\vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B}$ : on commence par échanger les deux termes pour faire apparaître l'enchaînement, puis $A$ s'efface.
$\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} = \vec{A C} + \vec{C D} = \vec{A D}$ : la relation s'applique de proche en proche.
Dans l'autre sens, pour tout point $M$ : $\vec{A B} = \vec{A M} + \vec{M B}$ . Intercaler ainsi un point bien choisi est un réflexe précieux dans les démonstrations.

Lorsque les deux vecteurs sont représentés à partir de la même origine, la somme se lit sur la diagonale d'un parallélogramme : c'est le panneau de droite de la figure ci-dessus.

Propriété

Règle du parallélogramme. Soient $\vec{u} = \vec{O A}$ et $\vec{v} = \vec{O B}$ deux vecteurs représentés à partir du même point $O$ . Alors

\vec{u} + \vec{v} = \vec{O C},

où $C$ est le quatrième sommet du parallélogramme $O A C B$ . Autrement dit : $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$ équivaut à « $O A C B$ est un parallélogramme ».

En effet, $O A C B$ parallélogramme signifie $\vec{B C} = \vec{O A} = \vec{u}$ ; la relation de Chasles donne alors $\vec{O C} = \vec{O B} + \vec{B C} = \vec{v} + \vec{u}$ . Cette règle est celle qu'utilisent les physiciens pour additionner deux forces appliquées en un même point.

Propriété

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ :

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (l'addition est commutative) ;
$(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ (l'addition est associative) ;
$\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ (le vecteur nul est neutre pour l'addition).

Opposé d'un vecteur, différence

Définition

L'opposé d'un vecteur $\vec{u}$ non nul, noté $- \vec{u}$ , est le vecteur de même direction et de même norme que $\vec{u}$ , mais de sens contraire. C'est l'unique vecteur vérifiant $\vec{u} + (- \vec{u}) = \vec{0}$ . En particulier :

- \vec{A B} = \vec{B A},

car $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{A A} = \vec{0}$ d'après la relation de Chasles.

La différence de deux vecteurs est définie par

\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (- \vec{v}) .

Exemple

Exprimons $\vec{A B} - \vec{A C}$ à l'aide d'un seul vecteur :

\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B} .

Ce résultat mérite d'être retenu : la différence de deux vecteurs de même origine $A$ relie les deux extrémités, en allant de l'extrémité du vecteur soustrait ( $C$ ) vers celle du premier vecteur ( $B$ ).

Le produit d'un vecteur par un nombre réel

Additionner $\vec{u}$ avec lui-même produit un vecteur de même direction et de même sens, mais de norme double : il est naturel de le noter $2 \vec{u}$ . On généralise cette idée à n'importe quel réel.

Définition

Soient $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul. Le produit du vecteur $\vec{u}$ par le réel $k$ est le vecteur noté $k \vec{u}$ :

de même direction que $\vec{u}$ ;
de même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$ , de sens contraire si $k < 0$ ;
de norme $∥ k \vec{u} ∥ = ∣ k ∣ \times ∥ \vec{u} ∥$ .

Si $k = 0$ ou si $\vec{u} = \vec{0}$ , on pose $k \vec{u} = \vec{0}$ .

Le vecteur u, ses multiples 2u et un demi de u, et son opposé

Exemple

Sur la figure, le vecteur $\vec{u}$ correspond au déplacement « $2$ carreaux vers la droite, $1$ carreau vers le haut ».

$2 \vec{u}$ : même direction, même sens, norme doublée — soit « $4$ carreaux vers la droite, $2$ vers le haut ».
$\frac{1}{2} \vec{u}$ : même direction, même sens, norme divisée par deux — soit « $1$ carreau vers la droite, un demi-carreau vers le haut ».
$- \vec{u} = (- 1) \vec{u}$ : même direction, même norme, sens contraire. On retrouve l'opposé de $\vec{u}$ .

Propriété

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et tous réels $k$ , $k^{'}$ :

$k (\vec{u} + \vec{v}) = k \vec{u} + k \vec{v}$ ;
$(k + k^{'}) \vec{u} = k \vec{u} + k^{'} \vec{u}$ ;
$k (k^{'} \vec{u}) = (k k^{'}) \vec{u}$ ;
$k \vec{u} = \vec{0}$ si et seulement si $k = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$ .

Le calcul vectoriel suit donc les mêmes règles que le calcul littéral : on développe, on réduit, on factorise de la même manière.

Exemple

Simplifions l'expression $3 (\vec{u} - 2 \vec{v}) + 2 (\vec{v} + \vec{u})$ :

3 (\vec{u} - 2 \vec{v}) + 2 (\vec{v} + \vec{u}) = 3 \vec{u} - 6 \vec{v} + 2 \vec{v} + 2 \vec{u} = 5 \vec{u} - 4 \vec{v} .

Colinéarité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires lorsque l'un des deux est le produit de l'autre par un réel : il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ , ou un réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$ .

Remarque

Comme $\vec{0} = 0 \times \vec{u}$ pour tout vecteur $\vec{u}$ , le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction — leurs sens et leurs normes pouvant différer. La colinéarité est donc la traduction vectorielle du parallélisme.

Exemple

Soient $A$ , $B$ , $C$ , $D$ quatre points, avec $A \neq B$ , tels que $\vec{C D} = - \frac{3}{2} \vec{A B}$ . Les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaires. Concrètement :

les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles (même direction) ;
les vecteurs sont de sens contraires, car $- \frac{3}{2} < 0$ ;
$C D = ∣ - \frac{3}{2} ∣ \times A B = 1,5 \times A B$ : la longueur $C D$ vaut une fois et demie la longueur $A B$ .

Coordonnées d'un vecteur

Pour calculer efficacement avec les vecteurs, on munit le plan d'un repère : chaque vecteur est alors décrit par deux nombres, et les constructions géométriques deviennent des calculs.

Définition

Deux vecteurs $\vec{ı}$ et $\vec{ȷ}$ forment une base orthonormée $(\vec{ı}; \vec{ȷ})$ lorsque leurs directions sont perpendiculaires et que leurs normes valent $1$ : $∥ \vec{ı} ∥ = ∥ \vec{ȷ} ∥ = 1$ .
Un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ est la donnée d'un point $O$ , appelé origine, et d'une base orthonormée $(\vec{ı}; \vec{ȷ})$ .

Définition

Soit $(\vec{ı}; \vec{ȷ})$ une base orthonormée. Pour tout vecteur $\vec{u}$ , il existe un unique couple de réels $(x; y)$ tel que

\vec{u} = x \vec{ı} + y \vec{ȷ} .

Les nombres $x$ et $y$ sont les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ dans la base $(\vec{ı}; \vec{ȷ})$ . On les note en colonne : $\vec{u} (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ .

Lecture des coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé

En pratique, les coordonnées se lisent comme des déplacements : $x$ est le déplacement horizontal (compté positivement vers la droite) et $y$ le déplacement vertical (compté positivement vers le haut) qui mènent de l'origine d'un représentant de $\vec{u}$ à son extrémité.

Exemple

Sur la figure, le vecteur $\vec{u}$ correspond au déplacement « $+ 3$ horizontalement, puis $+ 2$ verticalement » : ses coordonnées sont $\vec{u} (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ , ce qui signifie exactement $\vec{u} = 3 \vec{ı} + 2 \vec{ȷ}$ .

Par ailleurs, $\vec{ı} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array})$ , $\vec{ȷ} (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array})$ et $\vec{0} (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$ .

Remarque

Dans le repère $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ , dire que le point $M$ a pour coordonnées $(x; y)$ revient exactement à dire que $\vec{O M} = x \vec{ı} + y \vec{ȷ}$ : les coordonnées du point $M$ sont celles de son vecteur position $\vec{O M}$ .

Calculs en coordonnées

Propriété

Soient $\vec{u} (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ deux vecteurs et $k$ un réel.

Égalité : $\vec{u} = \vec{v}$ si et seulement si $x = x^{'}$ et $y = y^{'}$ .
Somme : $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(\begin{array}{c} x + x^{'} \\ y + y^{'} \end{array})$ .
Produit par un réel : $k \vec{u}$ a pour coordonnées $(\begin{array}{c} k x \\ k y \end{array})$ .

Exemple

Soient $\vec{u} (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array})$ .

$\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(\begin{array}{c} 3 + (- 1) \\ - 2 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array})$ .
$2 \vec{u}$ a pour coordonnées $(\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \end{array})$ et $- 3 \vec{v}$ a pour coordonnées $(\begin{array}{c} 3 \\ - 12 \end{array})$ , donc $2 \vec{u} - 3 \vec{v}$ a pour coordonnées $(\begin{array}{c} 9 \\ - 16 \end{array})$ .

Propriété

Soient $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ deux points dans un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ . Alors

\vec{A B} (\begin{array}{c} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{array}) : « coordonn \overset{ˊ}{e} es de l’extr \overset{ˊ}{e} mit \overset{ˊ}{e} moins coordonn \overset{ˊ}{e} es de l’origine ».

En effet, la relation de Chasles donne $\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ ; or $\vec{O A}$ a pour coordonnées celles de $A$ et $\vec{O B}$ celles de $B$ , d'où le résultat par différence.

Exemple

Soient $A (2; - 1)$ et $B (5; 1)$ . Alors

\vec{A B} (\begin{array}{c} 5 - 2 \\ 1 - (- 1) \end{array}), c’est- \overset{ˋ}{a} -dire \vec{A B} (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) .

Norme d'un vecteur, distance entre deux points

Propriété

Dans une base orthonormée, la norme du vecteur $\vec{u} (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ vaut

∥ \vec{u} ∥ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .

En conséquence, la distance entre deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ d'un repère orthonormé vaut

A B = ∥ \vec{A B} ∥ = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}} .

Cette formule est une application directe du théorème de Pythagore : le représentant de $\vec{u}$ d'origine $O$ est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit, portés par les directions de $\vec{ı}$ et $\vec{ȷ}$ , mesurent $∣ x ∣$ et $∣ y ∣$ . C'est ici que l'hypothèse « base orthonormée » est essentielle : sans directions perpendiculaires et sans normes unité, le théorème de Pythagore ne s'appliquerait pas.

Exemple

La norme de $\vec{u} (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ vaut $∥ \vec{u} ∥ = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}$ .
Avec $A (2; - 1)$ et $B (5; 1)$ : $A B = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (1 - (- 1))^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3,61$ .

On donne la valeur exacte $\sqrt{13}$ ; la valeur approchée n'intervient que si l'énoncé la demande.

Milieu d'un segment

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux points et $I$ un point du plan. Les affirmations suivantes sont équivalentes :

$I$ est le milieu du segment $[A B]$ ;
$\vec{A I} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ;
$\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

Dans un repère orthonormé, le milieu $I$ de $[A B]$ a pour coordonnées

I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) .

Justifions le lien entre ces caractérisations. Dire que $I$ est le milieu de $[A B]$ , c'est dire que $\vec{A I} = \vec{I B}$ (même direction : les points sont alignés ; même sens et même norme : $I$ est à égale distance de $A$ et $B$ , entre les deux). Or, par la relation de Chasles, $\vec{I B} = \vec{I A} + \vec{A B}$ , donc $\vec{A I} = \vec{I B}$ équivaut à $2 \vec{A I} = \vec{A B}$ , c'est-à-dire $\vec{A I} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ; et en ajoutant $\vec{I A}$ aux deux membres de $\vec{A I} = \vec{I B}$ , on obtient $\vec{0} = \vec{I A} + \vec{I B}$ . Les coordonnées s'en déduisent : $x_{I} - x_{A} = \frac{1}{2} (x_{B} - x_{A})$ donne $x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ , et de même pour $y_{I}$ .

Exemple

Avec $A (2; - 1)$ et $B (5; 1)$ , le milieu $I$ de $[A B]$ a pour coordonnées

I (\frac{2 + 5}{2}; \frac{- 1 + 1}{2}), c’est- \overset{ˋ}{a} -dire I (\frac{7}{2}; 0) = I (3,5; 0) .

Méthode

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Deux voies sont possibles ; les deux s'appuient sur un calcul de coordonnées.

Voie 1 — égalité vectorielle. $A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{A B} = \vec{D C}$ . On calcule les coordonnées de $\vec{A B}$ et de $\vec{D C}$ , puis on les compare.

Voie 2 — diagonales. $A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales $[A C]$ et $[B D]$ ont le même milieu. On calcule les coordonnées des deux milieux, puis on les compare.

Exemple travaillé. Soient $A (- 1; 2)$ , $B (3; 3)$ , $C (4; 0)$ et $D (0; - 1)$ .

Voie 1 : $\vec{A B} (\begin{array}{c} 3 - (- 1) \\ 3 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})$ et $\vec{D C} (\begin{array}{c} 4 - 0 \\ 0 - (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})$ . Les deux vecteurs sont égaux : $A B C D$ est un parallélogramme.
Voie 2 : le milieu de $[A C]$ a pour coordonnées $(\frac{- 1 + 4}{2}; \frac{2 + 0}{2}) = (\frac{3}{2}; 1)$ ; le milieu de $[B D]$ a pour coordonnées $(\frac{3 + 0}{2}; \frac{3 - 1}{2}) = (\frac{3}{2}; 1)$ . Les diagonales ont le même milieu : $A B C D$ est un parallélogramme.

Une seule des deux voies suffit ; on choisit la plus commode selon l'énoncé.

Colinéarité et déterminant

Deux vecteurs colinéaires vérifient $\vec{v} = k \vec{u}$ : leurs coordonnées sont donc proportionnelles. Le déterminant est l'outil qui teste cette proportionnalité en un seul calcul, sans division et sans cas particulier.

Définition

Soient $\vec{u} (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ deux vecteurs dans une base orthonormée. Le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel

\det (\vec{u}; \vec{v}) = ∣ \begin{array}{cc} x & x^{'} \\ y & y^{'} \end{array} ∣ = x y^{'} - y x^{'} .

Disposition pratique : on écrit les coordonnées des deux vecteurs en colonnes côte à côte, puis on calcule « produit de la diagonale descendante moins produit de la diagonale montante ».

Exemple

Pour $\vec{u} (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} - 6 \\ 4 \end{array})$ : $\det (\vec{u}; \vec{v}) = 3 \times 4 - (- 2) \times (- 6) = 12 - 12 = 0$ . On remarque d'ailleurs que $\vec{v} = - 2 \vec{u}$ .
Pour $\vec{u} (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \end{array})$ : $\det (\vec{u}; \vec{v}) = 2 \times 7 - 5 \times 3 = 14 - 15 = - 1$ .

Propriété

Critère de colinéarité. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si

\det (\vec{u}; \vec{v}) = 0.

Démonstration. Si l'un des deux vecteurs est nul, les deux affirmations sont vraies en même temps : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, et son déterminant avec tout vecteur vaut $0$ (chacun des produits $x y^{'}$ et $y x^{'}$ contient un facteur nul). L'équivalence est donc acquise dans ce cas, et on suppose désormais $\vec{u} (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ et $\vec{v} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ non nuls.

Sens direct. Supposons $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires. Comme ils sont non nuls, il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ , c'est-à-dire $x^{'} = k x$ et $y^{'} = k y$ . Alors

\det (\vec{u}; \vec{v}) = x y^{'} - y x^{'} = x (k y) - y (k x) = k x y - k x y = 0.

Réciproque. Supposons $x y^{'} - y x^{'} = 0$ , c'est-à-dire $x y^{'} = y x^{'}$ . On distingue deux cas.

Si $x \neq 0$ . Posons $k = \frac{x^{'}}{x}$ . Alors $k x = x^{'}$ et, en divisant l'égalité $x y^{'} = y x^{'}$ par $x$ , on obtient

y^{'} = \frac{y x^{'}}{x} = y \times \frac{x^{'}}{x} = k y .

Les deux coordonnées de $\vec{v}$ sont donc celles de $k \vec{u}$ : $\vec{v} = k \vec{u}$ .

Si $x = 0$ . Comme $\vec{u} \neq \vec{0}$ , nécessairement $y \neq 0$ . L'hypothèse devient $0 = x y^{'} - y x^{'} = - y x^{'}$ , et comme $y \neq 0$ , on en déduit $x^{'} = 0$ . Posons alors $k = \frac{y^{'}}{y}$ : on a $k x = 0 = x^{'}$ et $k y = y^{'}$ , donc $\vec{v} = k \vec{u}$ .

Dans tous les cas, il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, ce qui achève la démonstration. $□$

Remarque

L'égalité $\det (\vec{u}; \vec{v}) = 0$ s'écrit $x y^{'} = y x^{'}$ : c'est l'égalité des produits en croix du tableau formé par les coordonnées des deux vecteurs. Le critère du déterminant traduit donc bien la proportionnalité des coordonnées. Son grand avantage sur un calcul de quotients : aucune division n'est nécessaire, donc aucun cas particulier à traiter quand une coordonnée est nulle.

Application à l'alignement et au parallélisme

Le critère de colinéarité transforme deux questions géométriques classiques en un simple calcul de déterminant.

Méthode

Montrer que trois points sont alignés.

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaires.

Calculer les coordonnées de $\vec{A B}$ et de $\vec{A C}$ .
Calculer $\det (\vec{A B}; \vec{A C})$ .
Conclure : s'il vaut $0$ , les points sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple travaillé. Soient $A (- 2; 1)$ , $B (1; 3)$ et $C (7; 7)$ .

$\vec{A B} (\begin{array}{c} 1 - (- 2) \\ 3 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ et $\vec{A C} (\begin{array}{c} 7 - (- 2) \\ 7 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 6 \end{array})$ .
$\det (\vec{A B}; \vec{A C}) = 3 \times 6 - 2 \times 9 = 18 - 18 = 0$ .
Les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaires, donc les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés (on remarque d'ailleurs que $\vec{A C} = 3 \vec{A B}$ ).

Méthode

Montrer que deux droites sont parallèles.

Les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaires.

Calculer les coordonnées de $\vec{A B}$ et de $\vec{C D}$ .
Calculer $\det (\vec{A B}; \vec{C D})$ .
Conclure : s'il vaut $0$ , les droites sont parallèles ; sinon, elles sont sécantes.

Exemple travaillé. Soient $A (0; - 1)$ , $B (2; 3)$ , $C (1; 0)$ et $D (4; 6)$ .

$\vec{A B} (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array})$ et $\vec{C D} (\begin{array}{c} 4 - 1 \\ 6 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array})$ .
$\det (\vec{A B}; \vec{C D}) = 2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$ .
Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles.

Remarque utile. Deux droites confondues sont un cas particulier de droites parallèles. Pour vérifier que $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles sans être confondues, il suffit de contrôler que $C$ n'appartient pas à $(A B)$ : ici, $\det (\vec{A B}; \vec{A C}) = 2 \times 1 - 4 \times 1 = - 2 \neq 0$ , donc $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés, et les deux droites sont bien distinctes.

Décomposer un vecteur

La base $(\vec{ı}; \vec{ȷ})$ n'est qu'un choix particulier : n'importe quel couple de vecteurs non colinéaires permet d'exprimer tous les vecteurs du plan. C'est l'idée de la décomposition, très utile lorsqu'une figure fournit naturellement deux vecteurs de référence.

Propriété

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur $\vec{w}$ du plan, il existe un unique couple de réels $(a; b)$ tel que

\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v} .

Cette écriture est la décomposition de $\vec{w}$ selon les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . Ce résultat est admis ; la construction graphique ci-dessous en donne l'idée.

Graphiquement, on représente $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ à partir de la même origine, puis on trace par l'extrémité de $\vec{w}$ les parallèles aux directions de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$ : ces parallèles découpent un parallélogramme dont les côtés portent $a \vec{u}$ et $b \vec{v}$ . Comme $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, leurs directions sont distinctes et la construction aboutit toujours.

Décomposition du vecteur w selon deux vecteurs non colinéaires u et v

Exemple

Sur la figure, dans le quadrillage, $\vec{u}$ correspond au déplacement « $2$ carreaux vers la droite, $1$ vers le haut » et $\vec{v}$ au déplacement « $1$ carreau vers la gauche, $1$ vers le haut ». Le vecteur $\vec{w}$ correspond au déplacement « $3$ carreaux vers le haut ». Le chemin en pointillés — d'abord $\vec{u}$ , puis deux fois $\vec{v}$ — mène exactement de l'origine de $\vec{w}$ à son extrémité :

\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v} .

Vérification sur les déplacements : horizontalement, $2 + 2 \times (- 1) = 0$ ; verticalement, $1 + 2 \times 1 = 3$ . On retrouve bien le déplacement « $0$ à droite, $3$ vers le haut » de $\vec{w}$ : la décomposition est correcte, avec $a = 1$ et $b = 2$ .

Méthode

Décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires.

Représenter $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et le vecteur $\vec{w}$ à décomposer à partir d'une même origine (sur un quadrillage si possible).
Tracer par l'extrémité de $\vec{w}$ les parallèles aux directions de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$ , pour former un parallélogramme dont $\vec{w}$ est la diagonale.
Lire sur chaque côté le coefficient : combien de fois $\vec{u}$ , combien de fois $\vec{v}$ — le coefficient est négatif si le côté est parcouru dans le sens contraire du vecteur.
Contrôler le résultat en recomposant les déplacements horizontaux et verticaux, comme dans l'exemple ci-dessus.

Remarque

L'écriture $\vec{u} = x \vec{ı} + y \vec{ȷ}$ du début du chapitre est le cas particulier fondamental de cette décomposition : les coordonnées d'un vecteur ne sont rien d'autre que les coefficients de sa décomposition selon les deux vecteurs non colinéaires $\vec{ı}$ et $\vec{ȷ}$ . Dans une figure, décomposer les vecteurs utiles selon deux vecteurs bien choisis — par exemple $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ dans un triangle $A B C$ — est l'outil clé des démonstrations vectorielles.

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