Droites du plan

Au collège, les droites sont apparues comme les représentations graphiques des fonctions affines : tracer la droite d'équation $y=ax+b$, lire graphiquement $a$ et $b$… Mais cette description laisse de côté les droites verticales, et surtout elle ne dit pas pourquoi une équation du premier degré dessine une droite. Grâce aux vecteurs du chapitre précédent — colinéarité et déterminant en tête — nous pouvons maintenant répondre à cette question et décrire toutes les droites du plan par une même forme d'équation, dite cartésienne. Au passage, nous apprendrons à déterminer l'équation d'une droite dans toutes les situations courantes, à la tracer, et à calculer le point d'intersection de deux droites sécantes en résolvant un système. Ce chapitre suit « Vecteurs du plan » et précède « Notion de fonction ».

Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}};\vec{\mathrm{ȷ}})$.

Vecteur directeur d'une droite

Une droite est un objet parfaitement rectiligne : elle possède une direction, au sens défini au chapitre précédent. Il est donc naturel de la décrire à l'aide d'un vecteur qui « pointe le long » de la droite. C'est l'idée de vecteur directeur, qui sera le fil conducteur de tout le chapitre.

Une droite n'a donc pas un vecteur directeur, mais une infinité : tous les vecteurs non nuls qui partagent sa direction. En pratique, on en choisit un — le plus simple possible — et tous les autres s'en déduisent en multipliant par un réel non nul.

Sur la figure, la droite $d$ passe par le point $A(-3;-1)$ et admet pour vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$. Les flèches $\vec{u}$ et $2\vec{u}$ sont dessinées le long de $d$ ; la flèche $-\vec{u}$ est représentée un peu à l'écart — peu importe, un vecteur n'est pas attaché à un point de départ. Ces trois vecteurs ont des normes différentes, des sens éventuellement opposés, mais tous la même direction — celle de $d$. Chacun est un vecteur directeur de $d$ à part entière.

Équation cartésienne d'une droite

Changeons de point de vue : au lieu de voir une droite comme un trait tracé à la règle, voyons-la comme un ensemble de points, décrit par une condition sur les coordonnées. Une équation de droite est précisément cela : une équation vérifiée par les coordonnées $(x;y)$ d'un point $M$ si et seulement si $M$ appartient à la droite.

Le critère d'appartenance découle directement du chapitre précédent. Soit $d$ la droite passant par un point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$. Un point $M$ appartient à $d$ exactement lorsque le vecteur $\overrightarrow{AM}$ suit la direction de la droite, c'est-à-dire lorsque $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires — ce que le déterminant sait tester.

Sur la figure, la droite passe par $A(-2;1)$ et admet pour vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$. Le point $M(x;y)$ est un point « générique » de la droite : où qu'il se trouve sur $d$, le vecteur $\overrightarrow{AM}$ reste colinéaire à $\vec{u}$ (représenté sous la droite, avec les mêmes coordonnées $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$). Dès que $M$ quitte la droite, la colinéarité est rompue et le déterminant cesse d'être nul.

En développant la condition $\det (\overrightarrow{AM};\vec{u})=0$, on obtient le résultat central du chapitre : toute droite est décrite par une équation du premier degré en $x$ et $y$, et réciproquement. C'est la démonstration exigible de ce chapitre.

Démonstration. Montrons d'abord que toute droite admet une équation de la forme annoncée. Soit $d$ une droite : elle passe par un point $A(x_A;y_A)$ et admet un vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$, non nul. D'après la propriété précédente, un point $M(x;y)$ appartient à $d$ si et seulement si $\det (\overrightarrow{AM};\vec{u})=0$. Or $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-x_A\\ y-y_A\end{array}\right)$, donc

$$\det (\overrightarrow{AM};\vec{u})=\mid \begin{array}{cc}x-x_A& \alpha \\ y-y_A& \beta \end{array}\mid =\beta (x-x_A)-\alpha (y-y_A)=\beta x-\alpha y+(\alpha y_A-\beta x_A)\mathrm{.}$$

En posant $a=\beta$, $b=-\alpha$ et $c=\alpha y_A-\beta x_A$, la condition $M\in d$ s'écrit exactement $ax+by+c=0$. De plus, comme $\vec{u}\mathrm{\ne }\vec{0}$, on a $(\alpha ;\beta )\mathrm{\ne }(0;0)$, donc $(a;b)=(\beta ;-\alpha )\mathrm{\ne }(0;0)$ : l'équation obtenue est bien du premier degré en $x$ ou en $y$.

Réciproquement, soient $a$, $b$, $c$ trois réels avec $(a;b)\mathrm{\ne }(0;0)$, et notons $E$ l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ax+by+c=0$. Montrons que $E$ est une droite.

Premièrement, $E$ contient au moins un point. Si $b\mathrm{\ne }0$, le point $A(0;-{\displaystyle \frac{c}{b}})$ convient, car $a\times 0+b\times (-{\displaystyle \frac{c}{b}})+c=-c+c=0$. Si $b=0$, alors nécessairement $a\mathrm{\ne }0$, et le point $A(-{\displaystyle \frac{c}{a}};0)$ convient, car $a\times (-{\displaystyle \frac{c}{a}})+0+c=0$. Dans les deux cas, on dispose d'un point $A(x_A;y_A)$ de $E$, et l'égalité $a{x}_A+b{y}_A+c=0$ donne $c=-a{x}_A-b{y}_A$.

Deuxièmement, l'équation se lit comme un déterminant. Pour tout point $M(x;y)$, en remplaçant $c$ par $-a{x}_A-b{y}_A$ :

$$ax+by+c=0⟺a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.$$

Posons $\vec{u}\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ : c'est un vecteur non nul puisque $(a;b)\mathrm{\ne }(0;0)$. Or

$$\det (\overrightarrow{AM};\vec{u})=\mid \begin{array}{cc}x-x_A& -b\\ y-y_A& a\end{array}\mid =a(x-x_A)+b(y-y_A)\mathrm{.}$$

Ainsi, $M\in E$ si et seulement si $\det (\overrightarrow{AM};\vec{u})=0$, c'est-à-dire si et seulement si $M$ appartient à la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$. L'ensemble $E$ est donc exactement cette droite, ce qui achève la démonstration. $\mathrm{\square }$

De cette démonstration, on retient un résultat d'usage constant : le vecteur directeur se lit directement sur l'équation cartésienne.

Équation réduite et pente

L'équation cartésienne a un défaut : elle n'est pas unique. Pour disposer d'une écriture canonique, on cherche à isoler $y$. C'est possible… sauf quand la droite est verticale. D'où une discussion en deux cas, qui recouvre exactement la distinction vue au collège entre les droites « représentant une fonction affine » et les droites verticales.

Justifions cette discussion. La droite $d$ admet le vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$. Elle est parallèle à l'axe des ordonnées exactement lorsque $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{\mathrm{ȷ}}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$, c'est-à-dire lorsque $\det (\vec{u};\vec{\mathrm{ȷ}})=-b\times 1-a\times 0=-b$ est nul, autrement dit lorsque $b=0$. Dans ce cas, l'équation devient $ax+c=0$ avec $a\mathrm{\ne }0$, soit $x=-{\displaystyle \frac{c}{a}}$ : tous les points de $d$ ont la même abscisse. Si au contraire $b\mathrm{\ne }0$, on isole $y$ : $by=-ax-c$, donc $y=-{\displaystyle \frac{a}{b}}x-{\displaystyle \frac{c}{b}}$, qui est bien de la forme $y=mx+p$ avec $m=-{\displaystyle \frac{a}{b}}$ et $p=-{\displaystyle \frac{c}{b}}$.

La première affirmation s'obtient en réécrivant $y=mx+p$ sous forme cartésienne : $mx-y+p=0$, d'où le vecteur directeur $\left(\begin{array}{c}-(-1)\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ m\end{array}\right)$. Pour la seconde, le vecteur $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)$ dirige $d$, donc il est colinéaire à $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ m\end{array}\right)$ : le déterminant $(x_B-x_A)\times m-(y_B-y_A)\times 1$ est nul, et comme $x_B-x_A\mathrm{\ne }0$, on peut diviser pour obtenir la formule.

La figure représente la droite d'équation $y=2x-3$ et son « triangle de pente » : en partant du point $(1;-1)$, qui appartient bien à la droite car $2\times 1-3=-1$, un pas de $+1$ en abscisse oblige à monter de $+2$ en ordonnée pour rester sur la droite — on arrive au point $(2;1)$. C'est exactement le déplacement du vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$.

La pente mesure donc « ce que l'on monte quand on avance de $1$ » : c'est le taux d'inclinaison de la droite. Son signe se lit d'un coup d'œil sur le graphique :

• $m>0$ : la droite « monte » quand on la parcourt de gauche à droite ;
• $m<0$ : la droite « descend » ;
• $m=0$ : la droite est horizontale, d'équation $y=p$.

Plus $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }$ est grand, plus la droite est proche de la verticale — sans jamais l'atteindre : les droites verticales n'ont pas de pente.

Déterminer une équation de droite

Trois données suffisent, chacune à sa manière, à déterminer une droite : un point et un vecteur directeur, deux points, ou un point et la pente. Voici la méthode dans chacun des trois cas — les trois s'enchaînent d'ailleurs naturellement, la deuxième et la troisième se ramenant à des situations déjà connues.

Tracer une droite

Pour tracer une droite, deux points suffisent — c'est toute la géométrie de la règle. La seule question est : comment obtenir rapidement deux points à partir d'une équation ? La réponse dépend de la forme de l'équation.

La figure illustre la première méthode sur la droite $d$ d'équation $2x+3y-6=0$. Pour $x=0$, l'équation devient $3y-6=0$, donc $y=2$ : la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0;2)$. Pour $y=0$, elle devient $2x-6=0$, donc $x=3$ : la droite coupe l'axe des abscisses au point $(3;0)$. Ces deux points, mis en évidence sur la figure, suffisent à tracer $d$ à la règle.

Positions relatives de deux droites

Dans le plan, deux droites sont soit parallèles (même direction — y compris confondues), soit sécantes (elles se coupent en un unique point). Les vecteurs directeurs permettent de trancher par un simple calcul de déterminant.

Le cas particulier se déduit du cas général : les deux droites admettent pour vecteurs directeurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ m\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}1\\ m^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)$, et $\det (\vec{u};\vec{v})=1\times m^{\mathrm{\prime }}-m\times 1=m^{\mathrm{\prime }}-m$, qui est nul si et seulement si $m=m^{\mathrm{\prime }}$.

Sur la figure, les droites d'équations $y=x+1$ et $y=x-2$ ont la même pente $1$ : elles sont parallèles, et comme leurs ordonnées à l'origine diffèrent ($1\mathrm{\ne }-2$), elles sont strictement parallèles. La droite d'équation $y=-x+1$, de pente $-1\mathrm{\ne }1$, est sécante à chacune des deux autres.

Intersection de deux droites et systèmes

Lorsque deux droites sont sécantes, comment calculer les coordonnées de leur point d'intersection ? Ce point appartient aux deux droites à la fois : ses coordonnées vérifient donc simultanément les deux équations. Chercher l'intersection revient ainsi à résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

Deux méthodes de résolution sont au programme. Toutes deux reposent sur la même idée : éliminer momentanément une inconnue pour se ramener à une équation du premier degré à une seule inconnue, que l'on sait résoudre depuis le chapitre « Équations et inéquations ».

Chaque équation du système représente une droite : résoudre le système, c'est chercher les points communs aux deux droites. Les trois situations géométriques possibles se traduisent donc directement sur les solutions.