2ⁿᵈᵉ · Chapitre 04 · Nombres et calculs, algèbre

Équations et inéquations

Premier degré, équation produit nul, équation quotient, x² = a, inégalités et opérations, tableaux de signes (produit et quotient).

Ce qu'il faut savoir faire

Premier degré
Équation produit nul
Équation quotient
X² = a
Inégalités et opérations
Tableaux de signes (produit et quotient)

Résoudre une équation, c'est mener une enquête : une égalité contient un nombre inconnu, et il s'agit de démasquer toutes les valeurs qui la rendent vraie. Le collège a fourni les premières techniques pour les équations du premier degré ; ce chapitre les consolide, les justifie, puis les étend considérablement : inéquations dont les solutions s'écrivent avec les intervalles du chapitre 2, équations produits et quotients qui exploitent les factorisations du chapitre 3, et tableaux de signes — un outil graphique et rigoureux qui servira pendant toute la suite du lycée. En fin de chapitre, on apprendra à modéliser : traduire un problème concret en équation ou en inéquation, le résoudre, et conclure.

Équations du premier degré

Commençons par fixer précisément le vocabulaire, souvent employé au collège sans définition formelle.

Définition

Une équation d'inconnue $x$ est une égalité entre deux expressions dépendant de $x$ , appelées les deux membres de l'équation.
Une solution de l'équation est une valeur de $x$ pour laquelle l'égalité est vraie.
Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions. On les regroupe dans l'ensemble des solutions, noté $S$ .

Exemple

Considérons l'équation $2 x + 3 = 11$ , dont les membres sont $2 x + 3$ et $11$ .

Pour $x = 4$ : le membre de gauche vaut $2 \times 4 + 3 = 11$ , comme le membre de droite. L'égalité est vraie : $4$ est solution.
Pour $x = 1$ : le membre de gauche vaut $2 \times 1 + 3 = 5 \neq 11$ . L'égalité est fausse : $1$ n'est pas solution.

Tester une valeur ne suffit pas à résoudre : rien ne dit encore que $4$ est la seule solution. Pour l'affirmer, il faut une méthode qui passe en revue toutes les valeurs possibles d'un coup — c'est tout l'objet de ce qui suit.

Le principe de résolution est de transformer l'équation, étape par étape, en une équation plus simple qui a exactement les mêmes solutions. Deux opérations le garantissent.

Propriété

On ne change pas l'ensemble des solutions d'une équation lorsque :

on ajoute (ou on retranche) un même nombre aux deux membres ;
on multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre non nul.

Remarque

Pourquoi exiger « non nul » ? En multipliant les deux membres de $2 x + 3 = 11$ par $0$ , on obtient $0 = 0$ , égalité vraie pour tout $x$ : toute l'information a disparu. Multiplier par zéro ne conserve pas les solutions, il les noie.

Méthode

Résoudre une équation du premier degré $a x + b = c x + d$ . Acquis depuis : collège.

On regroupe les termes en $x$ dans un membre, les constantes dans l'autre (en ajoutant ou retranchant les mêmes quantités des deux côtés).
On obtient une équation de la forme $m x = p$ ; si $m \neq 0$ , on divise les deux membres par $m$ .
On conclut en donnant l'ensemble des solutions $S$ .

Exemple travaillé : résolvons $5 x - 7 = 2 x + 8$ .

\begin{aligned} 5 x - 7 & = 2 x + 8 \\ 5 x - 2 x & = 8 + 7 & on retranche 2 x et on ajoute 7 aux deux membres \\ 3 x & = 15 \\ x & = \frac{15}{3} = 5 & on divise les deux membres par 3 \neq 0. \end{aligned}

L'ensemble des solutions est $S = {5}$ . Vérification : $5 \times 5 - 7 = 18$ et $2 \times 5 + 8 = 18$ — l'égalité est bien vérifiée.

Exemple

Résolvons $3 (x - 2) = 7 x + 4$ . On commence par développer, puis on applique la méthode :

\begin{aligned} 3 x - 6 & = 7 x + 4 \\ 3 x - 7 x & = 4 + 6 \\ - 4 x & = 10 \\ x & = \frac{10}{- 4} = - \frac{5}{2} . \end{aligned}

Donc $S = {- \frac{5}{2}}$ . On garde la valeur exacte $- \frac{5}{2}$ (ou $- 2,5$ ), jamais une valeur approchée quand l'exact est disponible.

Les cas particuliers $0 x = c$

Que se passe-t-il si, en regroupant les termes en $x$ , tout disparaît ? On tombe sur une équation de la forme $0 x = c$ , et deux situations très différentes se présentent.

Propriété

Soit $c$ un réel. L'équation $0 x = c$ (autrement dit $0 = c$ ) admet :

aucune solution si $c \neq 0$ : l'égalité est fausse quelle que soit la valeur de $x$ , et $S = \emptyset$ ;
tout réel comme solution si $c = 0$ : l'égalité $0 = 0$ est vraie quelle que soit la valeur de $x$ , et $S = R$ .

Exemple

Résolvons $3 x + 5 = 3 x + 8$ . En retranchant $3 x$ aux deux membres : $5 = 8$ , égalité fausse. Aucune valeur de $x$ ne convient : $S = \emptyset$ .
Résolvons $2 (x + 3) = 2 x + 6$ . En développant : $2 x + 6 = 2 x + 6$ , égalité vraie pour tout $x$ : $S = R$ . On dit que l'égalité est une identité — les deux membres sont deux écritures d'une même expression.

Isoler une variable dans une formule

Les sciences et la vie courante regorgent de formules reliant plusieurs grandeurs : $U = R I$ , $d = v t$ , $V = π r^{2} h$ … Savoir en extraire une variable est une compétence précieuse — et avec le vocabulaire de ce chapitre, tout devient limpide : isoler une variable, c'est résoudre une équation dont cette variable est l'inconnue, les autres lettres étant traitées comme des nombres connus.

Méthode

Isoler une variable dans une égalité.

On repère la variable à isoler ; toutes les autres lettres jouent le rôle de nombres fixés.
On applique les opérations qui conservent les solutions : ajouter ou retrancher un même terme, multiplier ou diviser par une même quantité non nulle.
On s'arrête quand la variable est seule dans un membre.

Exemple

Loi d'Ohm $U = R I$ : pour isoler $I$ , on divise les deux membres par $R$ (non nul) : $I = \frac{U}{R}$ .
Distance parcourue $d = v t$ : pour isoler $v$ , on divise par $t$ : $v = \frac{d}{t}$ .
Volume du cylindre $V = π r^{2} h$ : pour isoler $h$ , on divise par $π r^{2}$ : $h = \frac{V}{π r^{2}}$ .
Relation du premier degré : si $a$ , $b$ , $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ et si $a x + b = c$ , alors en retranchant $b$ puis en divisant par $a$ :

x = \frac{c - b}{a} .

Cette formule résume à elle seule toute la résolution des équations du premier degré.

Inégalités et opérations

Avant de résoudre des inéquations, il faut savoir calculer avec des inégalités : quelles opérations peut-on effectuer sur les deux membres d'une inégalité sans la fausser ? La réponse réserve une surprise de taille.

Propriété

Soient $a$ , $b$ , $c$ , $d$ des réels.

Ajout d'un même nombre : si $a ⩽ b$ , alors $a + c ⩽ b + c$ . (Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres conserve le sens de l'inégalité.)
Somme membre à membre : si $a ⩽ b$ et $c ⩽ d$ , alors $a + c ⩽ b + d$ . (On peut ajouter deux inégalités de même sens.)

Exemple

De $2 ⩽ 3$ et $5 ⩽ 7$ , on déduit $2 + 5 ⩽ 3 + 7$ , c'est-à-dire $7 ⩽ 10$ : vrai.

Autre usage, très courant : si $4 ⩽ x ⩽ 6$ et $1 ⩽ y ⩽ 2$ , alors en ajoutant membre à membre, $5 ⩽ x + y ⩽ 8$ . Les encadrements s'additionnent.

Propriété

Soient $a$ , $b$ , $c$ des réels avec $a ⩽ b$ .

Si $c > 0$ , alors $a c ⩽ b c$ : multiplier (ou diviser) par un réel strictement positif conserve le sens de l'inégalité.
Si $c < 0$ , alors $a c ⩾ b c$ : multiplier (ou diviser) par un réel strictement négatif renverse le sens de l'inégalité.

Remarque

Ce renversement est le piège central du chapitre, à mémoriser une bonne fois pour toutes. Sur un exemple : $2 ⩽ 5$ est vrai ; en multipliant par $- 1$ , les nombres deviennent $- 2$ et $- 5$ , et sur la droite numérique, $- 5$ est à gauche de $- 2$ . L'inégalité vraie est donc $- 2 ⩾ - 5$ : le sens s'est renversé. Passer aux opposés inverse l'ordre — et multiplier par n'importe quel négatif fait de même.

Exemple

On ne soustrait jamais deux inégalités membre à membre. Prenons $10 ⩽ 12$ et $1 ⩽ 5$ , deux inégalités vraies. En soustrayant membre à membre, on obtiendrait $10 - 1 ⩽ 12 - 5$ , c'est-à-dire $9 ⩽ 7$ : faux ! La somme membre à membre est permise, la différence ne l'est pas. Pour encadrer une différence $x - y$ , on ajoute à l'encadrement de $x$ celui de $- y$ (obtenu en renversant celui de $y$ ).

Comparer deux nombres

Comment démontrer qu'un nombre est inférieur à un autre ? Deux stratégies systématiques existent.

Propriété

Comparaison par différence. Pour tous réels $a$ et $b$ :

a ⩽ b ⟺ b - a ⩾ 0.

Comparer $a$ et $b$ , c'est étudier le signe de la différence $b - a$ .

Comparaison par rapport. Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :

a ⩽ b ⟺ \frac{b}{a} ⩾ 1.

Comparer deux nombres strictement positifs, c'est comparer leur quotient à $1$ .

Exemple

Par différence : comparons $x^{2} + 1$ et $2 x$ , pour un réel $x$ quelconque. On étudie le signe de la différence, en reconnaissant une identité remarquable du chapitre 3 :

(x^{2} + 1) - 2 x = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} ⩾ 0.

Un carré est toujours positif ou nul, donc pour tout réel $x$ : $2 x ⩽ x^{2} + 1$ .

Par rapport : comparons $2^{10}$ et $10^{3}$ , deux nombres strictement positifs. Leur quotient vaut

\frac{2^{10}}{10^{3}} = \frac{1 024}{1 000} = 1,024 ⩾ 1,

donc $10^{3} ⩽ 2^{10}$ . Le rapport est souvent plus commode que la différence quand les nombres sont donnés par des produits ou des puissances.

Inéquations du premier degré

Munis des règles sur les inégalités, nous pouvons résoudre des inéquations : la démarche est celle des équations, à un piège près.

Définition

Une inéquation d'inconnue $x$ est une inégalité entre deux expressions dépendant de $x$ (avec l'un des symboles $<$ , $>$ , $⩽$ , $⩾$ ).
Une solution est une valeur de $x$ pour laquelle l'inégalité est vraie ; résoudre l'inéquation, c'est trouver toutes ses solutions.
L'ensemble des solutions $S$ s'écrit le plus souvent sous forme d'intervalle (ou de réunion d'intervalles), avec les notations du chapitre 2.

Méthode

Résoudre une inéquation du premier degré. Acquis depuis : collège.

On regroupe les termes en $x$ dans un membre, les constantes dans l'autre — l'ajout d'un même nombre conserve le sens, aucune précaution à prendre.
On divise par le coefficient de $x$ : si ce coefficient est strictement positif, le sens est conservé ; s'il est strictement négatif, le sens est renversé.
On donne $S$ sous forme d'intervalle, et on peut le représenter sur une droite graduée.

Exemple travaillé : résolvons $4 x - 1 ⩾ 7$ .

4 x - 1 ⩾ 7 ⟺ 4 x ⩾ 8 ⟺ x ⩾ \frac{8}{4} = 2,

la division par $4 > 0$ conservant le sens. L'ensemble des solutions est l'intervalle $S = [2; + \infty [$ :

Exemple

Avec renversement du sens : résolvons $5 - 2 x < x + 11$ .

\begin{aligned} 5 - 2 x & < x + 11 \\ - 2 x - x & < 11 - 5 & on retranche x et 5 aux deux membres \\ - 3 x & < 6 \\ x & > \frac{6}{- 3} = - 2 & division par - 3 < 0 : le sens est renversé ! \end{aligned}

L'ensemble des solutions est $S =] - 2; + \infty [$ — borne ouverte en $- 2$ , car l'inégalité est stricte.

Contrôle rapide : $x = 0$ doit être solution ( $5 < 11$ : vrai) et $x = - 3$ ne doit pas l'être ( $5 + 6 = 11$ et $- 3 + 11 = 8$ : $11 < 8$ est bien faux).

Remarque

Les cas particuliers existent aussi pour les inéquations. Par exemple, $2 x + 3 ⩽ 2 x + 7$ donne $0 x ⩽ 4$ , vrai pour tout $x$ : $S = R$ . À l'inverse, $2 x + 7 ⩽ 2 x + 3$ donne $0 x ⩽ - 4$ , toujours faux : $S = \emptyset$ .

Équation produit nul

Les équations rencontrées jusqu'ici étaient du premier degré. Dès qu'un $x^{2}$ apparaît, la stratégie « isoler $x$ » échoue — mais une propriété remarquable de la multiplication ouvre une autre voie.

Propriété

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Pour tous réels $A$ et $B$ :

A \times B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0.

Remarque

Cette propriété est propre au nombre $0$ ! Un produit égal à $12$ ne renseigne en rien sur ses facteurs ( $12 = 3 \times 4 = 2 \times 6 = 24 \times 0,5 \dots$ ). C'est pourquoi la méthode qui suit commence toujours par tout ramener à zéro.

Méthode

Résoudre une équation par produit nul. Acquis depuis : collège.

On regroupe tous les termes dans un même membre, pour obtenir une équation de la forme $(expression) = 0$ .
On factorise l'expression — rappel du chapitre 3 : facteur commun $k a + k b = k (a + b)$ , ou identités remarquables, notamment $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
On applique la propriété du produit nul : chaque facteur donne une équation du premier degré, que l'on résout.
On rassemble toutes les solutions dans $S$ .

Exemple

Résolvons $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ . L'équation est déjà sous forme de produit nul :

(2 x + 1) (x - 3) = 0 ⟺ 2 x + 1 = 0 ou x - 3 = 0 ⟺ x = - \frac{1}{2} ou x = 3.

Donc $S = {- \frac{1}{2}; 3}$ .

Exemple

Résolvons $x^{2} = 3 x$ . Attention au réflexe trompeur « je divise par $x$ » : si $x = 0$ , cette division est interdite — et de fait, $0$ est solution ( $0^{2} = 3 \times 0$ ) ! Diviser par $x$ ferait perdre cette solution. La bonne démarche : tout ramener à zéro, puis factoriser par le facteur commun $x$ :

x^{2} = 3 x ⟺ x^{2} - 3 x = 0 ⟺ x (x - 3) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 3.

Donc $S = {0; 3}$ .

Exemple

Résolvons $(x + 5)^{2} = 9$ , en reconnaissant une différence de deux carrés :

\begin{aligned} (x + 5)^{2} - 9 = 0 & ⟺ (x + 5)^{2} - 3^{2} = 0 \\ ⟺ [(x + 5) - 3] [(x + 5) + 3] = 0 \\ ⟺ (x + 2) (x + 8) = 0 \\ ⟺ x = - 2 ou x = - 8. \end{aligned}

Donc $S = {- 8; - 2}$ .

L'équation $x^{2} = a$

Un cas particulier mérite un traitement complet : quels sont les nombres dont le carré vaut $a$ ? La réponse dépend du signe de $a$ .

Propriété

Soit $a$ un réel. L'équation $x^{2} = a$ admet :

si $a > 0$ : deux solutions, $- \sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ , donc $S = {- \sqrt{a}; \sqrt{a}}$ ;
si $a = 0$ : une seule solution, $0$ , donc $S = {0}$ ;
si $a < 0$ : aucune solution, donc $S = \emptyset$ .

Démonstration. Si $a < 0$ : le carré d'un réel est toujours positif ou nul, donc aucun réel ne vérifie $x^{2} = a$ . Si $a = 0$ : $x^{2} = 0 ⟺ x \times x = 0 ⟺ x = 0$ par produit nul. Si $a > 0$ : alors $a = {(\sqrt{a})}^{2}$ par définition de la racine carrée, et l'on reconnaît une différence de deux carrés :

x^{2} = a ⟺ x^{2} - {(\sqrt{a})}^{2} = 0 ⟺ (x - \sqrt{a}) (x + \sqrt{a}) = 0 ⟺ x = \sqrt{a} ou x = - \sqrt{a} . □

Exemple

$x^{2} = 9$ : deux solutions, $S = {- 3; 3}$ .
$x^{2} = 5$ : le nombre $5$ n'est pas un carré parfait, les solutions s'écrivent avec le radical : $S = {- \sqrt{5}; \sqrt{5}}$ .
$x^{2} = - 4$ : un carré n'est jamais strictement négatif, $S = \emptyset$ .
$x^{2} = 50$ : on simplifie $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5 \sqrt{2}$ (chapitre 3), d'où $S = {- 5 \sqrt{2}; 5 \sqrt{2}}$ .

Remarque

L'erreur classique consiste à répondre « $x = \sqrt{a}$ » en oubliant la solution négative. Retenez l'image : pour $a > 0$ , l'équation $x^{2} = a$ a toujours deux solutions, symétriques par rapport à $0$ . La notation $\sqrt{a}$ , elle, ne désigne que la solution positive — c'est sa définition (chapitre 3).

Tableaux de signes

Résoudre l'équation $A = 0$ , c'est chercher où une expression s'annule. Résoudre l'inéquation $A > 0$ , c'est chercher où elle est positive : il faut connaître son signe pour chaque valeur de $x$ . Le tableau de signes organise cette étude, en commençant par la brique de base : les expressions du premier degré.

Signe d'une expression du premier degré

Propriété

Soient $a$ et $b$ des réels avec $a \neq 0$ . L'expression $a x + b$ s'annule en $x = - \frac{b}{a}$ , et son signe est donné par le tableau :

x

-\infty

-\dfrac{b}{a}

+\infty

ax+b

signe contraire de

a

0

signe de

a

En résumé : l'expression est du signe de $a$ à droite de la valeur d'annulation, du signe contraire à gauche.

Justification. Résolvons l'inéquation $a x + b ⩾ 0$ , c'est-à-dire $a x ⩾ - b$ . Si $a > 0$ , la division par $a$ conserve le sens : $x ⩾ - \frac{b}{a}$ , donc l'expression est positive à droite de $- \frac{b}{a}$ . Si $a < 0$ , la division renverse le sens : $x ⩽ - \frac{b}{a}$ , donc l'expression est positive à gauche — autrement dit négative à droite, ce qui est bien « le signe de $a$ à droite ». $□$

Exemple

Signe de $2 x - 6$ : l'expression s'annule pour $2 x - 6 = 0$ , soit $x = 3$ ; le coefficient de $x$ est $a = 2 > 0$ , donc signe $+$ à droite de $3$ :

x

-\infty

3

+\infty

2x-6

-

0

+

Signe de $- 2 x + 8$ : annulation en $x = 4$ ; ici $a = - 2 < 0$ , donc signe $-$ à droite de $4$ :

x

-\infty

4

+\infty

-2x+8

+

0

-

Signe d'un produit

Pour une expression factorisée, on étudie le signe de chaque facteur, puis on combine avec la règle des signes : le produit de deux nombres de même signe est positif, de signes contraires est négatif.

Méthode

Dresser le tableau de signes d'un produit $A (x) B (x)$ .

On cherche la valeur d'annulation de chaque facteur, et on place toutes ces valeurs dans l'ordre croissant sur la première ligne du tableau.
On remplit une ligne par facteur, avec la règle « signe de $a$ à droite du zéro ».
On complète la dernière ligne, colonne par colonne, avec la règle des signes ; le produit s'annule là où au moins un facteur s'annule.

Exemple

Étudions le signe de $(x - 2) (3 - x)$ .

Le facteur $x - 2$ s'annule en $x = 2$ , coefficient $1 > 0$ : signe $+$ à droite de $2$ .
Le facteur $3 - x$ s'annule en $x = 3$ , coefficient $- 1 < 0$ : signe $-$ à droite de $3$ .

x

-\infty

2

3

+\infty

x-2

-

0

+

+

3-x

+

+

0

-

(x-2)(3-x)

-

0

+

0

-

Conclusion : $(x - 2) (3 - x)$ est strictement positif pour $x \in] 2; 3 [$ , strictement négatif pour $x \in] - \infty; 2 [\cup] 3; + \infty [$ , et nul en $2$ et en $3$ .

Signe d'un quotient

La règle des signes d'un quotient est la même que celle d'un produit. Une différence essentielle, cependant : un dénominateur ne s'annule jamais. La valeur qui l'annule est interdite, et se signale dans le tableau par une double barre $∥$ .

Exemple

Étudions le signe de $\frac{x + 1}{x - 2}$ . L'expression n'existe que si $x - 2 \neq 0$ , c'est-à-dire $x \neq 2$ : la valeur $2$ est interdite.

x

-\infty

-1

2

+\infty

x+1

-

0

+

+

x-2

-

-

0

+

\dfrac{x+1}{x-2}

+

0

-

+

Le quotient s'annule en $- 1$ (zéro du numérateur), et n'existe pas en $2$ (zéro du dénominateur, double barre).

Résoudre une inéquation avec un tableau de signes

Le tableau de signes transforme la résolution d'une inéquation produit ou quotient en une simple lecture.

Méthode

Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes.

On regroupe tous les termes dans un même membre, pour se ramener à comparer une expression à $0$ .
On factorise cette expression (ou on la met sous forme d'un seul quotient).
On dresse le tableau de signes.
On lit l'ensemble des solutions : les intervalles où le signe convient, en faisant attention aux bornes (incluses si l'inégalité est large et que l'expression s'annule ; toujours exclues pour une valeur interdite).

Exemple

Résolvons $(x - 2) (3 - x) ⩾ 0$ . Le tableau dressé plus haut montre que le produit est positif ou nul exactement entre ses deux zéros, inclus puisque l'inégalité est large :

S = [2; 3] .

Exemple

Résolvons $x^{2} ⩽ 4$ . Surtout pas de « racine carrée des deux membres » qui donnerait $x ⩽ 2$ : c'est faux, car $- 10 ⩽ 2$ alors que $(- 10)^{2} = 100 > 4$ . On applique la méthode :

x^{2} ⩽ 4 ⟺ x^{2} - 4 ⩽ 0 ⟺ (x - 2) (x + 2) ⩽ 0.

x

-\infty

-2

2

+\infty

x+2

-

0

+

+

x-2

-

-

0

+

(x-2)(x+2)

+

0

-

0

+

Le produit est négatif ou nul entre $- 2$ et $2$ : $S = [- 2; 2]$ .

Exemple

Résolvons $\frac{x + 1}{x - 2} ⩾ 0$ . Le tableau du quotient, dressé plus haut, donne un signe $+$ avant $- 1$ et après $2$ . La borne $- 1$ est incluse (le quotient s'y annule, et l'inégalité est large) ; la borne $2$ est exclue (valeur interdite, double barre) :

S =] - \infty; - 1] \cup] 2; + \infty [.

Remarque

Ces tableaux de signes sont un investissement : ils resserviront constamment, en seconde puis au cycle terminal. Le lien entre le signe d'une expression et la notion de fonction sera fait plus tard dans l'année.

Équations quotient et modélisation

Dernière famille d'équations du chapitre : celles où l'inconnue figure au dénominateur. Puis nous mettrons tous les outils du chapitre au service de la résolution de problèmes concrets.

Valeurs interdites et équation quotient

Définition

Soit une expression quotient $\frac{A (x)}{B (x)}$ . Les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur $B (x)$ sont les valeurs interdites de l'expression. L'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression existe — tous les réels privés des valeurs interdites — est son ensemble de définition.

Exemple

L'expression $\frac{2 x + 5}{x - 1}$ a pour valeur interdite $x = 1$ (car $x - 1 = 0 ⟺ x = 1$ ) : son ensemble de définition est $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$ . L'expression $\frac{x}{x^{2} + 1}$ , elle, n'a aucune valeur interdite : $x^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ pour tout réel $x$ , le dénominateur ne s'annule jamais, et l'ensemble de définition est $R$ .

Propriété

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur ne l'est pas :

\frac{A (x)}{B (x)} = 0 ⟺ A (x) = 0 et B (x) \neq 0.

Méthode

Résoudre une équation quotient $\frac{A (x)}{B (x)} = 0$ . Acquis depuis : collège.

On détermine les valeurs interdites (zéros du dénominateur).
On résout $A (x) = 0$ .
On écarte les solutions trouvées qui seraient des valeurs interdites, puis on conclut.

Exemple

Résolvons $\frac{3 x - 12}{x + 1} = 0$ . Valeur interdite : $x = - 1$ . Le numérateur s'annule pour $3 x - 12 = 0$ , soit $x = 4$ . Comme $4 \neq - 1$ , cette valeur est licite : $S = {4}$ .

Exemple

Résolvons $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = 0$ . Valeur interdite : $x = 2$ . Le numérateur s'annule pour $x^{2} = 4$ , soit $x = 2$ ou $x = - 2$ . Mais $x = 2$ est interdite : elle n'est pas une solution, même si elle annule le numérateur. Il reste $S = {- 2}$ . Voilà pourquoi la condition « $B (x) \neq 0$ » de la propriété n'est pas décorative !

L'équation $\frac{A (x)}{B (x)} = k$

Et si le second membre n'est pas nul ? On s'y ramène.

Méthode

Résoudre $\frac{A (x)}{B (x)} = k$ .

On détermine les valeurs interdites.
On ramène tout dans le membre de gauche : $\frac{A (x)}{B (x)} - k = 0$ , puis on réduit au même dénominateur pour obtenir $\frac{A (x) - k B (x)}{B (x)} = 0$ .
On résout l'équation quotient obtenue : numérateur nul et dénominateur non nul.

Exemple

Résolvons $\frac{2 x + 1}{x - 3} = 5$ . La valeur interdite est $x = 3$ . Pour $x \neq 3$ :

\begin{aligned} \frac{2 x + 1}{x - 3} = 5 & ⟺ \frac{2 x + 1}{x - 3} - 5 = 0 \\ ⟺ \frac{2 x + 1 - 5 (x - 3)}{x - 3} = 0 \\ ⟺ \frac{- 3 x + 16}{x - 3} = 0 \\ ⟺ - 3 x + 16 = 0 et x \neq 3 \\ ⟺ x = \frac{16}{3} . \end{aligned}

Comme $\frac{16}{3} \neq 3$ , la solution est licite : $S = {\frac{16}{3}}$ . Vérification : $2 \times \frac{16}{3} + 1 = \frac{35}{3}$ et $\frac{16}{3} - 3 = \frac{7}{3}$ , or $\frac{35}{3} \div \frac{7}{3} = \frac{35}{7} = 5$ — l'égalité est bien vérifiée.

Remarque

Multiplier directement les deux membres par $x - 3$ (« produit en croix ») donne le même calcul, à condition d'avoir d'abord écarté la valeur interdite $x = 3$ : on ne multiplie une équation que par une quantité non nulle. La rédaction doit toujours mentionner la valeur interdite avant de transformer l'équation.

Modéliser un problème

Les équations et inéquations ne servent pas qu'à s'entraîner en algèbre : elles sont l'outil universel pour résoudre des problèmes concrets, dès qu'on sait traduire l'énoncé en langage mathématique.

Méthode

Modéliser et résoudre un problème.

Choisir l'inconnue : identifier la quantité cherchée, la nommer ( $x$ , $n$ …), et préciser sa nature (un réel, un entier, une longueur positive…).
Traduire l'énoncé par une équation ou une inéquation portant sur cette inconnue.
Résoudre avec les méthodes du chapitre.
Conclure dans le contexte : formuler la réponse avec une phrase, en vérifiant qu'elle a un sens (une longueur ne peut pas être négative, un nombre de séances est entier…).

Exemple

Un cinéma propose deux tarifs : la place à l'unité coûte $10$ €, ou bien une carte d'abonnement annuelle à $32$ € avec laquelle chaque place ne coûte plus que $6$ €. À partir de combien de séances dans l'année la carte est-elle avantageuse ?

Inconnue : soit $n$ le nombre de séances dans l'année ( $n$ est un entier naturel).
Traduction : sans carte, $n$ séances coûtent $10 n$ euros ; avec la carte, elles coûtent $32 + 6 n$ euros. La carte est avantageuse lorsque

32 + 6 n < 10 n .

Résolution : $32 < 10 n - 6 n$ , soit $32 < 4 n$ , soit $n > \frac{32}{4} = 8$ .
Conclusion : les solutions réelles forment l'intervalle $] 8; + \infty [$ , mais $n$ est un nombre entier de séances : la carte devient avantageuse à partir de la neuvième séance. Pour exactement $8$ séances, les deux formules coûtent d'ailleurs le même prix : $80$ €.

Remarque

L'étape 4 est celle qui distingue un calcul juste d'une réponse juste : la résolution algébrique fournit un ensemble de solutions, le contexte dit lesquelles ont un sens. C'est ce va-et-vient entre situation concrète et calcul — la modélisation — que les prochains chapitres ne cesseront d'enrichir.

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2ⁿᵈᵉ · Chapitre 04 · Nombres et calculs, algèbre

Équations et inéquations

Premier degré, équation produit nul, équation quotient, x² = a, inégalités et opérations, tableaux de signes (produit et quotient).

Ce qu'il faut savoir faire

Premier degré
Équation produit nul
Équation quotient
X² = a
Inégalités et opérations
Tableaux de signes (produit et quotient)

Équations du premier degré

Commençons par fixer précisément le vocabulaire, souvent employé au collège sans définition formelle.

Définition

Une équation d'inconnue $x$ est une égalité entre deux expressions dépendant de $x$ , appelées les deux membres de l'équation.
Une solution de l'équation est une valeur de $x$ pour laquelle l'égalité est vraie.
Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions. On les regroupe dans l'ensemble des solutions, noté $S$ .

Exemple

Considérons l'équation $2 x + 3 = 11$ , dont les membres sont $2 x + 3$ et $11$ .

Pour $x = 4$ : le membre de gauche vaut $2 \times 4 + 3 = 11$ , comme le membre de droite. L'égalité est vraie : $4$ est solution.
Pour $x = 1$ : le membre de gauche vaut $2 \times 1 + 3 = 5 \neq 11$ . L'égalité est fausse : $1$ n'est pas solution.

Le principe de résolution est de transformer l'équation, étape par étape, en une équation plus simple qui a exactement les mêmes solutions. Deux opérations le garantissent.

Propriété

On ne change pas l'ensemble des solutions d'une équation lorsque :

on ajoute (ou on retranche) un même nombre aux deux membres ;
on multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre non nul.

Remarque

Méthode

Résoudre une équation du premier degré $a x + b = c x + d$ . Acquis depuis : collège.

On regroupe les termes en $x$ dans un membre, les constantes dans l'autre (en ajoutant ou retranchant les mêmes quantités des deux côtés).
On obtient une équation de la forme $m x = p$ ; si $m \neq 0$ , on divise les deux membres par $m$ .
On conclut en donnant l'ensemble des solutions $S$ .

Exemple travaillé : résolvons $5 x - 7 = 2 x + 8$ .

\begin{aligned} 5 x - 7 & = 2 x + 8 \\ 5 x - 2 x & = 8 + 7 & on retranche 2 x et on ajoute 7 aux deux membres \\ 3 x & = 15 \\ x & = \frac{15}{3} = 5 & on divise les deux membres par 3 \neq 0. \end{aligned}

L'ensemble des solutions est $S = {5}$ . Vérification : $5 \times 5 - 7 = 18$ et $2 \times 5 + 8 = 18$ — l'égalité est bien vérifiée.

Exemple

Résolvons $3 (x - 2) = 7 x + 4$ . On commence par développer, puis on applique la méthode :

\begin{aligned} 3 x - 6 & = 7 x + 4 \\ 3 x - 7 x & = 4 + 6 \\ - 4 x & = 10 \\ x & = \frac{10}{- 4} = - \frac{5}{2} . \end{aligned}

Donc $S = {- \frac{5}{2}}$ . On garde la valeur exacte $- \frac{5}{2}$ (ou $- 2,5$ ), jamais une valeur approchée quand l'exact est disponible.

Les cas particuliers $0 x = c$

Que se passe-t-il si, en regroupant les termes en $x$ , tout disparaît ? On tombe sur une équation de la forme $0 x = c$ , et deux situations très différentes se présentent.

Propriété

Soit $c$ un réel. L'équation $0 x = c$ (autrement dit $0 = c$ ) admet :

aucune solution si $c \neq 0$ : l'égalité est fausse quelle que soit la valeur de $x$ , et $S = \emptyset$ ;
tout réel comme solution si $c = 0$ : l'égalité $0 = 0$ est vraie quelle que soit la valeur de $x$ , et $S = R$ .

Exemple

Résolvons $3 x + 5 = 3 x + 8$ . En retranchant $3 x$ aux deux membres : $5 = 8$ , égalité fausse. Aucune valeur de $x$ ne convient : $S = \emptyset$ .
Résolvons $2 (x + 3) = 2 x + 6$ . En développant : $2 x + 6 = 2 x + 6$ , égalité vraie pour tout $x$ : $S = R$ . On dit que l'égalité est une identité — les deux membres sont deux écritures d'une même expression.

Isoler une variable dans une formule

Méthode

Isoler une variable dans une égalité.

On repère la variable à isoler ; toutes les autres lettres jouent le rôle de nombres fixés.
On applique les opérations qui conservent les solutions : ajouter ou retrancher un même terme, multiplier ou diviser par une même quantité non nulle.
On s'arrête quand la variable est seule dans un membre.

Exemple

Loi d'Ohm $U = R I$ : pour isoler $I$ , on divise les deux membres par $R$ (non nul) : $I = \frac{U}{R}$ .
Distance parcourue $d = v t$ : pour isoler $v$ , on divise par $t$ : $v = \frac{d}{t}$ .
Volume du cylindre $V = π r^{2} h$ : pour isoler $h$ , on divise par $π r^{2}$ : $h = \frac{V}{π r^{2}}$ .
Relation du premier degré : si $a$ , $b$ , $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ et si $a x + b = c$ , alors en retranchant $b$ puis en divisant par $a$ :

x = \frac{c - b}{a} .

Cette formule résume à elle seule toute la résolution des équations du premier degré.

Inégalités et opérations

Propriété

Soient $a$ , $b$ , $c$ , $d$ des réels.

Ajout d'un même nombre : si $a ⩽ b$ , alors $a + c ⩽ b + c$ . (Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres conserve le sens de l'inégalité.)
Somme membre à membre : si $a ⩽ b$ et $c ⩽ d$ , alors $a + c ⩽ b + d$ . (On peut ajouter deux inégalités de même sens.)

Exemple

De $2 ⩽ 3$ et $5 ⩽ 7$ , on déduit $2 + 5 ⩽ 3 + 7$ , c'est-à-dire $7 ⩽ 10$ : vrai.

Autre usage, très courant : si $4 ⩽ x ⩽ 6$ et $1 ⩽ y ⩽ 2$ , alors en ajoutant membre à membre, $5 ⩽ x + y ⩽ 8$ . Les encadrements s'additionnent.

Propriété

Soient $a$ , $b$ , $c$ des réels avec $a ⩽ b$ .

Si $c > 0$ , alors $a c ⩽ b c$ : multiplier (ou diviser) par un réel strictement positif conserve le sens de l'inégalité.
Si $c < 0$ , alors $a c ⩾ b c$ : multiplier (ou diviser) par un réel strictement négatif renverse le sens de l'inégalité.

Remarque

Exemple

Comparer deux nombres

Comment démontrer qu'un nombre est inférieur à un autre ? Deux stratégies systématiques existent.

Propriété

Comparaison par différence. Pour tous réels $a$ et $b$ :

a ⩽ b ⟺ b - a ⩾ 0.

Comparer $a$ et $b$ , c'est étudier le signe de la différence $b - a$ .

Comparaison par rapport. Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :

a ⩽ b ⟺ \frac{b}{a} ⩾ 1.

Comparer deux nombres strictement positifs, c'est comparer leur quotient à $1$ .

Exemple

Par différence : comparons $x^{2} + 1$ et $2 x$ , pour un réel $x$ quelconque. On étudie le signe de la différence, en reconnaissant une identité remarquable du chapitre 3 :

(x^{2} + 1) - 2 x = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} ⩾ 0.

Un carré est toujours positif ou nul, donc pour tout réel $x$ : $2 x ⩽ x^{2} + 1$ .

Par rapport : comparons $2^{10}$ et $10^{3}$ , deux nombres strictement positifs. Leur quotient vaut

\frac{2^{10}}{10^{3}} = \frac{1 024}{1 000} = 1,024 ⩾ 1,

donc $10^{3} ⩽ 2^{10}$ . Le rapport est souvent plus commode que la différence quand les nombres sont donnés par des produits ou des puissances.

Inéquations du premier degré

Munis des règles sur les inégalités, nous pouvons résoudre des inéquations : la démarche est celle des équations, à un piège près.

Définition

Une inéquation d'inconnue $x$ est une inégalité entre deux expressions dépendant de $x$ (avec l'un des symboles $<$ , $>$ , $⩽$ , $⩾$ ).
Une solution est une valeur de $x$ pour laquelle l'inégalité est vraie ; résoudre l'inéquation, c'est trouver toutes ses solutions.
L'ensemble des solutions $S$ s'écrit le plus souvent sous forme d'intervalle (ou de réunion d'intervalles), avec les notations du chapitre 2.

Méthode

Résoudre une inéquation du premier degré. Acquis depuis : collège.

On regroupe les termes en $x$ dans un membre, les constantes dans l'autre — l'ajout d'un même nombre conserve le sens, aucune précaution à prendre.
On divise par le coefficient de $x$ : si ce coefficient est strictement positif, le sens est conservé ; s'il est strictement négatif, le sens est renversé.
On donne $S$ sous forme d'intervalle, et on peut le représenter sur une droite graduée.

Exemple travaillé : résolvons $4 x - 1 ⩾ 7$ .

4 x - 1 ⩾ 7 ⟺ 4 x ⩾ 8 ⟺ x ⩾ \frac{8}{4} = 2,

la division par $4 > 0$ conservant le sens. L'ensemble des solutions est l'intervalle $S = [2; + \infty [$ :

Exemple

Avec renversement du sens : résolvons $5 - 2 x < x + 11$ .

\begin{aligned} 5 - 2 x & < x + 11 \\ - 2 x - x & < 11 - 5 & on retranche x et 5 aux deux membres \\ - 3 x & < 6 \\ x & > \frac{6}{- 3} = - 2 & division par - 3 < 0 : le sens est renversé ! \end{aligned}

L'ensemble des solutions est $S =] - 2; + \infty [$ — borne ouverte en $- 2$ , car l'inégalité est stricte.

Contrôle rapide : $x = 0$ doit être solution ( $5 < 11$ : vrai) et $x = - 3$ ne doit pas l'être ( $5 + 6 = 11$ et $- 3 + 11 = 8$ : $11 < 8$ est bien faux).

Remarque

Équation produit nul

Propriété

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Pour tous réels $A$ et $B$ :

A \times B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0.

Remarque

Méthode

Résoudre une équation par produit nul. Acquis depuis : collège.

On regroupe tous les termes dans un même membre, pour obtenir une équation de la forme $(expression) = 0$ .
On factorise l'expression — rappel du chapitre 3 : facteur commun $k a + k b = k (a + b)$ , ou identités remarquables, notamment $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
On applique la propriété du produit nul : chaque facteur donne une équation du premier degré, que l'on résout.
On rassemble toutes les solutions dans $S$ .

Exemple

Résolvons $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ . L'équation est déjà sous forme de produit nul :

(2 x + 1) (x - 3) = 0 ⟺ 2 x + 1 = 0 ou x - 3 = 0 ⟺ x = - \frac{1}{2} ou x = 3.

Donc $S = {- \frac{1}{2}; 3}$ .

Exemple

x^{2} = 3 x ⟺ x^{2} - 3 x = 0 ⟺ x (x - 3) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 3.

Donc $S = {0; 3}$ .

Exemple

Résolvons $(x + 5)^{2} = 9$ , en reconnaissant une différence de deux carrés :

\begin{aligned} (x + 5)^{2} - 9 = 0 & ⟺ (x + 5)^{2} - 3^{2} = 0 \\ ⟺ [(x + 5) - 3] [(x + 5) + 3] = 0 \\ ⟺ (x + 2) (x + 8) = 0 \\ ⟺ x = - 2 ou x = - 8. \end{aligned}

Donc $S = {- 8; - 2}$ .

L'équation $x^{2} = a$

Un cas particulier mérite un traitement complet : quels sont les nombres dont le carré vaut $a$ ? La réponse dépend du signe de $a$ .

Propriété

Soit $a$ un réel. L'équation $x^{2} = a$ admet :

si $a > 0$ : deux solutions, $- \sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ , donc $S = {- \sqrt{a}; \sqrt{a}}$ ;
si $a = 0$ : une seule solution, $0$ , donc $S = {0}$ ;
si $a < 0$ : aucune solution, donc $S = \emptyset$ .

x^{2} = a ⟺ x^{2} - {(\sqrt{a})}^{2} = 0 ⟺ (x - \sqrt{a}) (x + \sqrt{a}) = 0 ⟺ x = \sqrt{a} ou x = - \sqrt{a} . □

Exemple

$x^{2} = 9$ : deux solutions, $S = {- 3; 3}$ .
$x^{2} = 5$ : le nombre $5$ n'est pas un carré parfait, les solutions s'écrivent avec le radical : $S = {- \sqrt{5}; \sqrt{5}}$ .
$x^{2} = - 4$ : un carré n'est jamais strictement négatif, $S = \emptyset$ .
$x^{2} = 50$ : on simplifie $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5 \sqrt{2}$ (chapitre 3), d'où $S = {- 5 \sqrt{2}; 5 \sqrt{2}}$ .

Remarque

Tableaux de signes

Signe d'une expression du premier degré

Propriété

Soient $a$ et $b$ des réels avec $a \neq 0$ . L'expression $a x + b$ s'annule en $x = - \frac{b}{a}$ , et son signe est donné par le tableau :

x

-\infty

-\dfrac{b}{a}

+\infty

ax+b

signe contraire de

a

0

signe de

a

En résumé : l'expression est du signe de $a$ à droite de la valeur d'annulation, du signe contraire à gauche.

Exemple

Signe de $2 x - 6$ : l'expression s'annule pour $2 x - 6 = 0$ , soit $x = 3$ ; le coefficient de $x$ est $a = 2 > 0$ , donc signe $+$ à droite de $3$ :

x

-\infty

3

+\infty

2x-6

-

0

+

Signe de $- 2 x + 8$ : annulation en $x = 4$ ; ici $a = - 2 < 0$ , donc signe $-$ à droite de $4$ :

x

-\infty

4

+\infty

-2x+8

+

0

-

Signe d'un produit

Méthode

Dresser le tableau de signes d'un produit $A (x) B (x)$ .

On cherche la valeur d'annulation de chaque facteur, et on place toutes ces valeurs dans l'ordre croissant sur la première ligne du tableau.
On remplit une ligne par facteur, avec la règle « signe de $a$ à droite du zéro ».
On complète la dernière ligne, colonne par colonne, avec la règle des signes ; le produit s'annule là où au moins un facteur s'annule.

Exemple

Étudions le signe de $(x - 2) (3 - x)$ .

Le facteur $x - 2$ s'annule en $x = 2$ , coefficient $1 > 0$ : signe $+$ à droite de $2$ .
Le facteur $3 - x$ s'annule en $x = 3$ , coefficient $- 1 < 0$ : signe $-$ à droite de $3$ .

x

-\infty

2

3

+\infty

x-2

-

0

+

+

3-x

+

+

0

-

(x-2)(3-x)

-

0

+

0

-

Conclusion : $(x - 2) (3 - x)$ est strictement positif pour $x \in] 2; 3 [$ , strictement négatif pour $x \in] - \infty; 2 [\cup] 3; + \infty [$ , et nul en $2$ et en $3$ .

Signe d'un quotient

Exemple

Étudions le signe de $\frac{x + 1}{x - 2}$ . L'expression n'existe que si $x - 2 \neq 0$ , c'est-à-dire $x \neq 2$ : la valeur $2$ est interdite.

x

-\infty

-1

2

+\infty

x+1

-

0

+

+

x-2

-

-

0

+

\dfrac{x+1}{x-2}

+

0

-

+

Le quotient s'annule en $- 1$ (zéro du numérateur), et n'existe pas en $2$ (zéro du dénominateur, double barre).

Résoudre une inéquation avec un tableau de signes

Le tableau de signes transforme la résolution d'une inéquation produit ou quotient en une simple lecture.

Méthode

Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes.

On regroupe tous les termes dans un même membre, pour se ramener à comparer une expression à $0$ .
On factorise cette expression (ou on la met sous forme d'un seul quotient).
On dresse le tableau de signes.
On lit l'ensemble des solutions : les intervalles où le signe convient, en faisant attention aux bornes (incluses si l'inégalité est large et que l'expression s'annule ; toujours exclues pour une valeur interdite).

Exemple

Résolvons $(x - 2) (3 - x) ⩾ 0$ . Le tableau dressé plus haut montre que le produit est positif ou nul exactement entre ses deux zéros, inclus puisque l'inégalité est large :

S = [2; 3] .

Exemple

Résolvons $x^{2} ⩽ 4$ . Surtout pas de « racine carrée des deux membres » qui donnerait $x ⩽ 2$ : c'est faux, car $- 10 ⩽ 2$ alors que $(- 10)^{2} = 100 > 4$ . On applique la méthode :

x^{2} ⩽ 4 ⟺ x^{2} - 4 ⩽ 0 ⟺ (x - 2) (x + 2) ⩽ 0.

x

-\infty

-2

2

+\infty

x+2

-

0

+

+

x-2

-

-

0

+

(x-2)(x+2)

+

0

-

0

+

Le produit est négatif ou nul entre $- 2$ et $2$ : $S = [- 2; 2]$ .

Exemple

S =] - \infty; - 1] \cup] 2; + \infty [.

Remarque

Équations quotient et modélisation

Dernière famille d'équations du chapitre : celles où l'inconnue figure au dénominateur. Puis nous mettrons tous les outils du chapitre au service de la résolution de problèmes concrets.

Valeurs interdites et équation quotient

Définition

Exemple

Propriété

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur ne l'est pas :

\frac{A (x)}{B (x)} = 0 ⟺ A (x) = 0 et B (x) \neq 0.

Méthode

Résoudre une équation quotient $\frac{A (x)}{B (x)} = 0$ . Acquis depuis : collège.

On détermine les valeurs interdites (zéros du dénominateur).
On résout $A (x) = 0$ .
On écarte les solutions trouvées qui seraient des valeurs interdites, puis on conclut.

Exemple

Résolvons $\frac{3 x - 12}{x + 1} = 0$ . Valeur interdite : $x = - 1$ . Le numérateur s'annule pour $3 x - 12 = 0$ , soit $x = 4$ . Comme $4 \neq - 1$ , cette valeur est licite : $S = {4}$ .

Exemple

L'équation $\frac{A (x)}{B (x)} = k$

Et si le second membre n'est pas nul ? On s'y ramène.

Méthode

Résoudre $\frac{A (x)}{B (x)} = k$ .

On détermine les valeurs interdites.
On ramène tout dans le membre de gauche : $\frac{A (x)}{B (x)} - k = 0$ , puis on réduit au même dénominateur pour obtenir $\frac{A (x) - k B (x)}{B (x)} = 0$ .
On résout l'équation quotient obtenue : numérateur nul et dénominateur non nul.

Exemple

Résolvons $\frac{2 x + 1}{x - 3} = 5$ . La valeur interdite est $x = 3$ . Pour $x \neq 3$ :

\begin{aligned} \frac{2 x + 1}{x - 3} = 5 & ⟺ \frac{2 x + 1}{x - 3} - 5 = 0 \\ ⟺ \frac{2 x + 1 - 5 (x - 3)}{x - 3} = 0 \\ ⟺ \frac{- 3 x + 16}{x - 3} = 0 \\ ⟺ - 3 x + 16 = 0 et x \neq 3 \\ ⟺ x = \frac{16}{3} . \end{aligned}

Remarque

Modéliser un problème

Méthode

Modéliser et résoudre un problème.

Choisir l'inconnue : identifier la quantité cherchée, la nommer ( $x$ , $n$ …), et préciser sa nature (un réel, un entier, une longueur positive…).
Traduire l'énoncé par une équation ou une inéquation portant sur cette inconnue.
Résoudre avec les méthodes du chapitre.
Conclure dans le contexte : formuler la réponse avec une phrase, en vérifiant qu'elle a un sens (une longueur ne peut pas être négative, un nombre de séances est entier…).

Exemple

Inconnue : soit $n$ le nombre de séances dans l'année ( $n$ est un entier naturel).
Traduction : sans carte, $n$ séances coûtent $10 n$ euros ; avec la carte, elles coûtent $32 + 6 n$ euros. La carte est avantageuse lorsque

32 + 6 n < 10 n .

Résolution : $32 < 10 n - 6 n$ , soit $32 < 4 n$ , soit $n > \frac{32}{4} = 8$ .
Conclusion : les solutions réelles forment l'intervalle $] 8; + \infty [$ , mais $n$ est un nombre entier de séances : la carte devient avantageuse à partir de la neuvième séance. Pour exactement $8$ séances, les deux formules coûtent d'ailleurs le même prix : $80$ €.

Remarque

Le cours en PDF(PDF, 96 Ko)

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver une séance

Ce qu'il faut savoir faire

Équations du premier degré

Les cas particuliers 0x=c

Isoler une variable dans une formule

Inégalités et opérations

Comparer deux nombres

Inéquations du premier degré

Équation produit nul

L'équation x2=a

Tableaux de signes

Signe d'une expression du premier degré

Signe d'un produit

Signe d'un quotient

Résoudre une inéquation avec un tableau de signes

Équations quotient et modélisation

Valeurs interdites et équation quotient

L'équation A(x)B(x)=k

Modéliser un problème

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Ce qu'il faut savoir faire

Équations du premier degré

Les cas particuliers 0x=c

Isoler une variable dans une formule

Inégalités et opérations

Comparer deux nombres

Inéquations du premier degré

Équation produit nul

L'équation x2=a

Tableaux de signes

Signe d'une expression du premier degré

Signe d'un produit

Signe d'un quotient

Résoudre une inéquation avec un tableau de signes

Équations quotient et modélisation

Valeurs interdites et équation quotient

L'équation A(x)B(x)=k

Modéliser un problème

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Les cas particuliers $0 x = c$

L'équation $x^{2} = a$

L'équation $\frac{A (x)}{B (x)} = k$

Les cas particuliers $0 x = c$

L'équation $x^{2} = a$

L'équation $\frac{A (x)}{B (x)} = k$