Équations et inéquations

Considérons l'équation $2x+3=11$, dont les membres sont $2x+3$ et $11$.

• Pour $x=4$ : le membre de gauche vaut $2\times 4+3=11$, comme le membre de droite. L'égalité est vraie : $4$ est solution.
• Pour $x=1$ : le membre de gauche vaut $2\times 1+3=5\mathrm{\ne }11$. L'égalité est fausse : $1$ n'est pas solution.

Tester une valeur ne suffit pas à résoudre : rien ne dit encore que $4$ est la seule solution. Pour l'affirmer, il faut une méthode qui passe en revue toutes les valeurs possibles d'un coup — c'est tout l'objet de ce qui suit.

Résolvons $3(x-2)=7x+4$. On commence par développer, puis on applique la méthode :

Donc $S=\{-{\displaystyle \frac{5}{2}}\}$. On garde la valeur exacte $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ (ou $-\mathrm{2,5}$), jamais une valeur approchée quand l'exact est disponible.

• Résolvons $3x+5=3x+8$. En retranchant $3x$ aux deux membres : $5=8$, égalité fausse. Aucune valeur de $x$ ne convient : $S=\mathrm{\varnothing }$.
• Résolvons $2(x+3)=2x+6$. En développant : $2x+6=2x+6$, égalité vraie pour tout $x$ : $S=\mathbb{R}$. On dit que l'égalité est une identité — les deux membres sont deux écritures d'une même expression.

• Loi d'Ohm $U=RI$ : pour isoler $I$, on divise les deux membres par $R$ (non nul) : $I={\displaystyle \frac{U}{R}}$.
• Distance parcourue $d=vt$ : pour isoler $v$, on divise par $t$ : $v={\displaystyle \frac{d}{t}}$.
• Volume du cylindre $V=\pi r^{2}h$ : pour isoler $h$, on divise par $\pi r^2$ : $h={\displaystyle \frac{V}{\pi r^2}}$.
• Relation du premier degré : si $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $a\mathrm{\ne }0$ et si $ax+b=c$, alors en retranchant $b$ puis en divisant par $a$ :

Cette formule résume à elle seule toute la résolution des équations du premier degré.

De $2⩽3$ et $5⩽7$, on déduit $2+5⩽3+7$, c'est-à-dire $7⩽10$ : vrai.

Autre usage, très courant : si $4⩽x⩽6$ et $1⩽y⩽2$, alors en ajoutant membre à membre, $5⩽x+y⩽8$. Les encadrements s'additionnent.

On ne soustrait jamais deux inégalités membre à membre. Prenons $10⩽12$ et $1⩽5$, deux inégalités vraies. En soustrayant membre à membre, on obtiendrait $10-1⩽12-5$, c'est-à-dire $9⩽7$ : faux ! La somme membre à membre est permise, la différence ne l'est pas. Pour encadrer une différence $x-y$, on ajoute à l'encadrement de $x$ celui de $-y$ (obtenu en renversant celui de $y$).

Par différence : comparons $x^2+1$ et $2x$, pour un réel $x$ quelconque. On étudie le signe de la différence, en reconnaissant une identité remarquable du chapitre 3 :

Un carré est toujours positif ou nul, donc pour tout réel $x$ : $2x⩽x^2+1$.

Par rapport : comparons $2^{10}$ et ${10}^3$, deux nombres strictement positifs. Leur quotient vaut

donc ${10}^3⩽2^{10}$. Le rapport est souvent plus commode que la différence quand les nombres sont donnés par des produits ou des puissances.

Avec renversement du sens : résolvons $5-2x<x+11$.

L'ensemble des solutions est $S=]-2;+\mathrm{\infty }[$ — borne ouverte en $-2$, car l'inégalité est stricte.

Contrôle rapide : $x=0$ doit être solution ($5<11$ : vrai) et $x=-3$ ne doit pas l'être ($5+6=11$ et $-3+11=8$ : $11<8$ est bien faux).

Résolvons $(2x+1)(x-3)=0$. L'équation est déjà sous forme de produit nul :

Donc $S=\{-{\displaystyle \frac{1}{2}};3\}$.

Résolvons $x^2=3x$. Attention au réflexe trompeur « je divise par $x$ » : si $x=0$, cette division est interdite — et de fait, $0$ est solution ($0^2=3\times 0$) ! Diviser par $x$ ferait perdre cette solution. La bonne démarche : tout ramener à zéro, puis factoriser par le facteur commun $x$ :

Donc $S=\{0;3\}$.

Résolvons $(x+5{)}^2=9$, en reconnaissant une différence de deux carrés :

Donc $S=\{-8;-2\}$.

• $x^2=9$ : deux solutions, $S=\{-3;3\}$.
• $x^2=5$ : le nombre $5$ n'est pas un carré parfait, les solutions s'écrivent avec le radical : $S=\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\}$.
• $x^2=-4$ : un carré n'est jamais strictement négatif, $S=\mathrm{\varnothing }$.
• $x^2=50$ : on simplifie $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$ (chapitre 3), d'où $S=\{-5\sqrt{2};5\sqrt{2}\}$.

• Signe de $2x-6$ : l'expression s'annule pour $2x-6=0$, soit $x=3$ ; le coefficient de $x$ est $a=2>0$, donc signe $+$ à droite de $3$ :

• Signe de $-2x+8$ : annulation en $x=4$ ; ici $a=-2<0$, donc signe $-$ à droite de $4$ :

Étudions le signe de $(x-2)(3-x)$.

• Le facteur $x-2$ s'annule en $x=2$, coefficient $1>0$ : signe $+$ à droite de $2$.
• Le facteur $3-x$ s'annule en $x=3$, coefficient $-1<0$ : signe $-$ à droite de $3$.

Conclusion : $(x-2)(3-x)$ est strictement positif pour $x\in ]2;3[$, strictement négatif pour $x\in ]-\mathrm{\infty };2[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[$, et nul en $2$ et en $3$.

Étudions le signe de ${\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}$. L'expression n'existe que si $x-2\mathrm{\ne }0$, c'est-à-dire $x\mathrm{\ne }2$ : la valeur $2$ est interdite.

Le quotient s'annule en $-1$ (zéro du numérateur), et n'existe pas en $2$ (zéro du dénominateur, double barre).

Résolvons $(x-2)(3-x)⩾0$. Le tableau dressé plus haut montre que le produit est positif ou nul exactement entre ses deux zéros, inclus puisque l'inégalité est large :

Résolvons $x^2⩽4$. Surtout pas de « racine carrée des deux membres » qui donnerait $x⩽2$ : c'est faux, car $-10⩽2$ alors que $(-10{)}^2=100>4$. On applique la méthode :

Le produit est négatif ou nul entre $-2$ et $2$ : $S=[-2;2]$.

Résolvons ${\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}⩾0$. Le tableau du quotient, dressé plus haut, donne un signe $+$ avant $-1$ et après $2$. La borne $-1$ est incluse (le quotient s'y annule, et l'inégalité est large) ; la borne $2$ est exclue (valeur interdite, double barre) :

L'expression ${\displaystyle \frac{2x+5}{x-1}}$ a pour valeur interdite $x=1$ (car $x-1=0⟺x=1$) : son ensemble de définition est $]-\mathrm{\infty };1[\cup ]1;+\mathrm{\infty }[$. L'expression ${\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$, elle, n'a aucune valeur interdite : $x^2+1⩾1>0$ pour tout réel $x$, le dénominateur ne s'annule jamais, et l'ensemble de définition est $\mathbb{R}$.

Résolvons ${\displaystyle \frac{3x-12}{x+1}}=0$. Valeur interdite : $x=-1$. Le numérateur s'annule pour $3x-12=0$, soit $x=4$. Comme $4\mathrm{\ne }-1$, cette valeur est licite : $S=\{4\}$.

Résolvons ${\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}=0$. Valeur interdite : $x=2$. Le numérateur s'annule pour $x^2=4$, soit $x=2$ ou $x=-2$. Mais $x=2$ est interdite : elle n'est pas une solution, même si elle annule le numérateur. Il reste $S=\{-2\}$. Voilà pourquoi la condition « $B(x)\mathrm{\ne }0$ » de la propriété n'est pas décorative !

Résolvons ${\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}}=5$. La valeur interdite est $x=3$. Pour $x\mathrm{\ne }3$ :

Comme ${\displaystyle \frac{16}{3}}\mathrm{\ne }3$, la solution est licite : $S=\left\{{\displaystyle \frac{16}{3}}\right\}$. Vérification : $2\times {\displaystyle \frac{16}{3}}+1={\displaystyle \frac{35}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{16}{3}}-3={\displaystyle \frac{7}{3}}$, or ${\displaystyle \frac{35}{3}}÷{\displaystyle \frac{7}{3}}={\displaystyle \frac{35}{7}}=5$ — l'égalité est bien vérifiée.

Un cinéma propose deux tarifs : la place à l'unité coûte $10$ €, ou bien une carte d'abonnement annuelle à $32$ € avec laquelle chaque place ne coûte plus que $6$ €. À partir de combien de séances dans l'année la carte est-elle avantageuse ?

1. Inconnue : soit $n$ le nombre de séances dans l'année ($n$ est un entier naturel).
2. Traduction : sans carte, $n$ séances coûtent $10n$ euros ; avec la carte, elles coûtent $32+6n$ euros. La carte est avantageuse lorsque

3. Résolution : $32<10n-6n$, soit $32<4n$, soit $n>{\displaystyle \frac{32}{4}}=8$.
4. Conclusion : les solutions réelles forment l'intervalle $]8;+\mathrm{\infty }[$, mais $n$ est un nombre entier de séances : la carte devient avantageuse à partir de la neuvième séance. Pour exactement $8$ séances, les deux formules coûtent d'ailleurs le même prix : $80$ €.