Devoir surveillé — Vecteurs du plan

La figure ci-dessous représente quatre vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et $\vec{r}$, ainsi que deux points $A$ et $B$, sur un quadrillage. Dans tout l'exercice, on prend le côté d'un carreau comme unité de longueur : le quadrillage définit ainsi un repère orthonormé.

1. Donner, par lecture graphique, les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{r}$.

2. Parmi les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{w}$, l'un est égal à $\vec{u}$ et l'autre est l'opposé de $\vec{u}$. Préciser lequel est lequel, en justifiant à l'aide des coordonnées.

3. Que dire des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ? Que peut-on en conclure pour les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\vec{u}$ ?

4. Reproduire le quadrillage sur la copie avec les points $A$ et $B$, puis construire le représentant d'origine $A$ du vecteur $\vec{u}+\vec{r}$. Donner les coordonnées de $\vec{u}+\vec{r}$.

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-3;2)$, $B(1;4)$ et $C(4;-2)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2. Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$. On donnera les valeurs exactes, sous la forme la plus simple possible.

3. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

4. Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AC]$.

5. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, puis vérifier par le calcul que $I$ est aussi le milieu de $[BD]$. Quelle propriété du parallélogramme retrouve-t-on ainsi ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Les quatre questions sont indépendantes ; chaque réponse doit être justifiée par un calcul.

1. Les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}4\\ -6\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\end{array}\right)$ sont-ils colinéaires ?

2. Les points $A(2;1)$, $B(5;3)$ et $C(11;7)$ sont-ils alignés ?

3. On considère les points $E(-1;2)$, $F(3;0)$, $G(1;5)$ et $H(9;1)$. Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont-elles parallèles ?

4. Déterminer le réel $m$ pour que les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}m\\ 6\end{array}\right)$ soient colinéaires.

$ABC$ est un triangle quelconque. On définit les points $E$ et $F$ par :

$$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\text{et}\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$$

1. Faire une figure, que l'on complétera au fil de l'exercice.

2. Démontrer, à l'aide de la relation de Chasles, que $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$.

3. En déduire que les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.

4. Soit $M$ le milieu de $[BC]$ et $N$ le point défini par $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Démontrer que $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, puis en déduire que les points $A$, $N$ et $M$ sont alignés.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une justification par un contre-exemple explicite est acceptée pour montrer qu'une affirmation est fausse ; une réponse sans justification ne rapporte aucun point.

a. « Si $\parallel \vec{u}\parallel =\parallel \vec{v}\parallel$, alors $\vec{u}=\vec{v}$. »

b. « Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points tels que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, avec $A\mathrm{\ne }B$, alors les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. »