2ⁿᵈᵉ · Chapitre 06 · Géométrie

Exercices — Droites du plan

16 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

16 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Lire pentes et équations sur un graphique

Tracer une droite et lire un graphiqueÉquation réduite et pente (coefficient directeur)Vecteur directeur d'une droite

Sur la figure ci-dessous, quatre droites $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ et $d_{4}$ sont tracées dans un repère orthonormé.

Quatre droites dans un repère orthonormé

Par lecture graphique, donner la pente de chacune des droites lorsqu'elle existe. Préciser quelle droite n'a pas de pente, et pourquoi.
Donner un vecteur directeur de chacune des quatre droites.
Donner l'équation réduite de $d_{1}$ , de $d_{2}$ et de $d_{3}$ , puis une équation de $d_{4}$ .

Exercice 2 ★★★★ — Vecteur directeur, oui ou non ?

Vecteur directeur d'une droiteÉquation cartésienne d'une droite

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ d'équation cartésienne $3 x - 2 y + 5 = 0$ .

En utilisant le cours, donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $d$ .
Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont des vecteurs directeurs de $d$ ? Justifier chaque réponse.

a. $\vec{v_{1}} (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array})$
b. $\vec{v_{2}} (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \end{array})$
c. $\vec{v_{3}} (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$
d. $\vec{v_{4}} (\begin{array}{c} - 6 \\ - 9 \end{array})$
Les points $A (1; 4)$ et $B (- 1; 1)$ appartiennent-ils à la droite $d$ ? Si oui, retrouver un vecteur directeur de $d$ à l'aide du vecteur $\vec{A B}$ .

Exercice 3 ★★★★ — Le point est-il sur la droite ?

Appartenance d'un point à une droite et alignement de trois pointsÉquation cartésienne d'une droite

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ d'équation cartésienne $5 x + 2 y - 4 = 0$ .

Les points suivants appartiennent-ils à la droite $d$ ? Justifier chaque réponse par un calcul.

a. $E (2; - 3)$
b. $F (0; 2)$
c. $G (1; - 1)$
Déterminer l'ordonnée du point $H$ d'abscisse $4$ appartenant à la droite $d$ .
Déterminer l'abscisse du point $K$ d'ordonnée $7$ appartenant à la droite $d$ .

Exercice 4 ★★★★ — Tracer des droites

Tracer une droite et lire un graphique

Tracer dans un même repère orthonormé les droites suivantes :

$d_{1}$ d'équation $y = \frac{1}{2} x - 1$ ;
$d_{2}$ d'équation $y = - 3 x + 2$ ;
$d_{3}$ d'équation $x = 4$ ;
$d_{4}$ d'équation cartésienne $2 x + 3 y - 6 = 0$ . Pour cette droite, on cherchera deux points de $d_{4}$ et on précisera les points utilisés pour le tracé.

Exercice 5 ★★★★ — De la cartésienne à la réduite, et retour

Équation cartésienne d'une droiteÉquation réduite et pente (coefficient directeur)

Dans un repère orthonormé, on considère plusieurs droites données par une équation.

Donner, lorsqu'elle existe, l'équation réduite de chacune des droites suivantes. Si elle n'existe pas, expliquer pourquoi et donner la nature de la droite.

a. $4 x - 2 y + 6 = 0$
b. $x + 3 y - 9 = 0$
c. $5 x - 10 = 0$
Donner une équation cartésienne de chacune des droites suivantes :

a. $y = - 2 x + 7$
b. $y = \frac{2}{3} x - 1$
Pour chacune des droites de la question 1, donner la pente lorsqu'elle existe, ainsi qu'un vecteur directeur.

Exercice 6 ★★★★ — Équation d'une droite passant par deux points

Déterminer une équation de droite : deux points, point et vecteur directeur, point et pente

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (1; 2)$ , $B (3; 8)$ , $C (- 2; 1)$ , $D (4; - 1)$ , $E (3; 5)$ et $F (3; - 2)$ .

Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ .
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(C D)$ , en utilisant le vecteur $\vec{C D}$ et un déterminant.
Montrer que la droite $(E F)$ n'a pas d'équation réduite, puis donner une équation de cette droite.

Exercice 7 ★★★★ — Un point et une direction

Déterminer une équation de droite : deux points, point et vecteur directeur, point et pente

Dans un repère orthonormé, on considère trois droites $d_{1}$ , $d_{2}$ et $d_{3}$ .

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d_{1}$ passant par le point $A (2; - 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u} (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array})$ .
Déterminer l'équation réduite de la droite $d_{2}$ passant par le point $B (- 1; 4)$ et de pente $m = - 2$ .
Déterminer l'équation réduite de la droite $d_{3}$ passant par le point $C (3; 1)$ et de vecteur directeur $\vec{v} (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$ .

Exercice 8 ★★★★ — Alignés ou non ? Deux méthodes

Appartenance d'un point à une droite et alignement de trois points

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (- 1; 3)$ , $B (2; - 3)$ et $C (4; - 7)$ .

Première méthode. Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ , puis vérifier si le point $C$ appartient à cette droite. Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
Deuxième méthode. Retrouver le résultat de la question précédente à l'aide du critère de colinéarité vu au chapitre « Vecteurs du plan ».
Le point $D (- 3; 8)$ est-il aligné avec $A$ et $B$ ? Justifier avec la méthode de votre choix.
Question ouverte. Des deux méthodes, laquelle préférez-vous ? Expliquer votre choix en une ou deux phrases.

Exercice 9 ★★★★ — Parallèles ou sécantes ?

Positions relatives : droites parallèles ou sécantes

Dans un repère orthonormé, on considère des droites définies par leurs équations.

Les droites $d_{1} : 2 x - 3 y + 1 = 0$ et $d_{2} : - 4 x + 6 y + 5 = 0$ sont-elles parallèles ou sécantes ? Si elles sont parallèles, préciser si elles sont confondues ou strictement parallèles.
Même question pour les droites $d_{3} : y = \frac{2}{3} x - 1$ et $d_{4} : 2 x - 3 y - 3 = 0$ .
Même question pour les droites $d_{5} : y = 3 x + 2$ et $d_{6} : y = - x - 2$ .
Déterminer le réel $k$ pour que la droite $d_{7} : k x + 2 y - 7 = 0$ soit parallèle à $d_{1}$ .

Exercice 10 ★★★★ — Résoudre des systèmes

Systèmes de deux équations linéaires et point d'intersection

Résoudre chacun des systèmes suivants avec la méthode indiquée.

Par substitution :
${\begin{cases} y = 2 x - 1 \\ 3 x + y - 9 = 0 \end{cases}$
Par combinaison linéaire :
${\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 \\ 5 x - 2 y = 8 \end{cases}$
Avec la méthode de votre choix (attention, ce système réserve une surprise — on interprétera le résultat en termes de droites) :
${\begin{cases} x - 2 y = 4 \\ - 3 x + 6 y = - 12 \end{cases}$

Exercice 11 ★★★★ — Le point de rencontre

Systèmes de deux équations linéaires et point d'intersectionPositions relatives : droites parallèles ou sécantes

Dans un repère orthonormé, on considère les droites $d_{1} : x + 2 y - 8 = 0$ et $d_{2} : 3 x - y - 3 = 0$ .

Montrer que les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ sont sécantes.
Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
La droite $d_{3} : y = x + 1$ passe-t-elle par ce point ? Que peut-on dire des trois droites $d_{1}$ , $d_{2}$ et $d_{3}$ ?

Exercice 12 ★★★★ — Python — trois points alignés ?

Python : alignement et équations de droiteAppartenance d'un point à une droite et alignement de trois points

Dans un repère orthonormé, on considère trois points $A (x_{A}; y_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B})$ et $C (x_{C}; y_{C})$ . On souhaite écrire un programme qui décide si ces trois points sont alignés.

On considère le script suivant :
```
def alignes(xa, ya, xb, yb, xc, yc):
    d = (xb - xa)*(yc - ya) - (yb - ya)*(xc - xa)
    return d == 0
```
Que calcule la variable d ? Exprimer sa valeur à l'aide d'une notation du cours, puis expliquer pourquoi la fonction renvoie True exactement lorsque les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.
Sans ordinateur, faire tourner à la main chacun des deux appels suivants : détailler le calcul de d, puis donner la valeur renvoyée (True ou False).
```
print(alignes(-1, 3, 2, -3, 4, -7))
print(alignes(0, 0, 2, 1, 5, 3))
```
Question débranchée. Un camarade propose plutôt de comparer les pentes des droites $(A B)$ et $(A C)$ : les points seraient alignés lorsque les deux pentes sont égales. Expliquer pourquoi le test d == 0 du script est préférable à cette idée. On pourra chercher un exemple de trois points alignés pour lesquels le calcul des pentes pose problème.

Exercice 13 ★★★★ — Construire une parallèle

Déterminer une équation de droite : deux points, point et vecteur directeur, point et pentePositions relatives : droites parallèles ou sécantes

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (1; - 2)$ , $B (5; 4)$ et $C (- 2; 3)$ .

Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ .
Déterminer l'équation réduite de la droite $d$ parallèle à $(A B)$ passant par $C$ .
Le point $D (2; 9)$ appartient-il à la droite $d$ ? Justifier.
Montrer que $A B D C$ (attention à l'ordre des lettres) est un parallélogramme.

Exercice 14 ★★★★ — Python — l'équation sort de la machine

Python : alignement et équations de droiteDéterminer une équation de droite : deux points, point et vecteur directeur, point et penteÉquation réduite et pente (coefficient directeur)

Dans un repère orthonormé, on veut écrire une fonction Python qui détermine une équation de la droite passant par deux points donnés $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ distincts. On propose le script suivant :

def equation_droite(xa, ya, xb, yb):
    if xa == xb:
        print("Droite verticale : x =", xa)
    else:
        m = (yb - ya) / (xb - xa)
        p = ya - m * xa
        print("y =", m, "* x +", p)

Expliquer le rôle du test xa == xb. Pourquoi ne peut-on pas calculer m dans ce cas ?
Justifier la formule utilisée pour m, puis celle utilisée pour p.
Faire tourner la fonction à la main (sans ordinateur) et donner l'affichage obtenu :

a. pour $A (1; 2)$ et $B (3; 8)$ ;

b. pour $A (3; 5)$ et $B (3; - 2)$ .
Modifier la fonction pour qu'elle affiche aussi, dans chaque cas, les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite.

Exercice 15 ★★★★ — Synthèse — le centre de gravité retrouvé

Déterminer une équation de droite : deux points, point et vecteur directeur, point et penteSystèmes de deux équations linéaires et point d'intersectionAppartenance d'un point à une droite et alignement de trois points

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle de sommets $A (- 2; 1)$ , $B (4; 3)$ et $C (2; - 3)$ .

Rappel. Dans un triangle, une médiane est la droite qui relie un sommet au milieu du côté opposé.

Calculer les coordonnées de $I$ , milieu de $[B C]$ , puis de $J$ , milieu de $[A C]$ .
Déterminer une équation cartésienne de la médiane $(A I)$ .
Montrer que la médiane $(B J)$ a pour équation réduite $y = x - 1$ .
Déterminer, en résolvant un système, les coordonnées du point d'intersection $G$ des médianes $(A I)$ et $(B J)$ .
On note $K$ le milieu de $[A B]$ . Vérifier que la troisième médiane $(C K)$ passe par $G$ . Que peut-on en conclure pour les trois médianes du triangle ?

Exercice 16 ★★★★ — Défi — une famille de droites

Équation cartésienne d'une droitePositions relatives : droites parallèles ou sécantesSystèmes de deux équations linéaires et point d'intersection

Dans un repère orthonormé, on considère, pour tout réel $k$ , la droite $d_{k}$ d'équation cartésienne :

k x + y - 2 k - 3 = 0.

En donnant à $k$ toutes les valeurs réelles possibles, on obtient une famille de droites — par exemple $d_{0} : y = 3$ ou $d_{1} : x + y - 5 = 0$ .

Donner, en fonction de $k$ , un vecteur directeur de $d_{k}$ .
Vérifier que le point $Ω (2; 3)$ appartient à $d_{k}$ pour toutes les valeurs de $k$ . Que peut-on en déduire pour les droites de la famille ?
Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $d_{k}$ passe par le point $P (4; 7)$ .
Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle $d_{k}$ est parallèle à la droite $Δ$ d'équation $x - 2 y + 1 = 0$ ? Si oui, préciser si $d_{k}$ et $Δ$ sont strictement parallèles ou confondues.
La droite verticale d'équation $x = 2$ passe elle aussi par $Ω$ . Expliquer pourquoi elle n'est pourtant égale à aucune droite $d_{k}$ .
Question ouverte. Décrire l'ensemble de toutes les droites du plan passant par $Ω$ à l'aide des questions précédentes.

Les exercices(PDF, 70 Ko)Les corrigés(PDF, 161 Ko)

Bloqué sur « Droites du plan » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver une séance

Exercice 12 ★★★★ — Python — trois points alignés ?

Python : alignement et équations de droiteAppartenance d'un point à une droite et alignement de trois points

Dans un repère orthonormé, on considère trois points $A (x_{A}; y_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B})$ et $C (x_{C}; y_{C})$ . On souhaite écrire un programme qui décide si ces trois points sont alignés.

On considère le script suivant :
```
def alignes(xa, ya, xb, yb, xc, yc):
    d = (xb - xa)*(yc - ya) - (yb - ya)*(xc - xa)
    return d == 0
```
Que calcule la variable d ? Exprimer sa valeur à l'aide d'une notation du cours, puis expliquer pourquoi la fonction renvoie True exactement lorsque les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.
Sans ordinateur, faire tourner à la main chacun des deux appels suivants : détailler le calcul de d, puis donner la valeur renvoyée (True ou False).
```
print(alignes(-1, 3, 2, -3, 4, -7))
print(alignes(0, 0, 2, 1, 5, 3))
```
Question débranchée. Un camarade propose plutôt de comparer les pentes des droites $(A B)$ et $(A C)$ : les points seraient alignés lorsque les deux pentes sont égales. Expliquer pourquoi le test d == 0 du script est préférable à cette idée. On pourra chercher un exemple de trois points alignés pour lesquels le calcul des pentes pose problème.

def equation_droite(xa, ya, xb, yb): if xa == xb: print("Droite verticale : x =", xa) else: m = (yb - ya) / (xb - xa) p = ya - m * xa print("y =", m, "* x +", p)