2ⁿᵈᵉ · Chapitre 07 · Fonctions

Notion de fonction et représentations

Ensemble de définition, courbe, fonctions de référence (valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube), f(x) = k et f(x) < k.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Ensemble de définition
Courbe
Fonctions de référence (valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube)
F(x) = k et f(x) < k

Dans les chapitres précédents, la lettre $x$ désignait une inconnue : un nombre caché qu'il fallait retrouver en résolvant une équation. Dans ce chapitre, $x$ change de rôle : il devient une variable, un nombre qui parcourt tout un ensemble de valeurs. Une fonction décrit alors comment une quantité dépend de cette variable : la hauteur d'un ballon dépend du temps écoulé, l'aire d'un carré dépend de la longueur de son côté, le prix payé à la pompe dépend du volume d'essence. On met en place ici le vocabulaire (image, antécédent, ensemble de définition), les différentes façons de représenter une fonction — dont la plus parlante : sa courbe —, un répertoire de cinq fonctions de référence à connaître par cœur, et les méthodes pour résoudre des équations et des inéquations à l'aide de ces outils.

La notion de fonction

Une quantité qui dépend d'une autre

Commençons par une situation concrète. Un carré a un côté de longueur $x$ (en cm) : son aire vaut $x^{2}$ (en ${cm}^{2}$ ). Si le côté vaut $3$ , l'aire vaut $9$ ; si le côté vaut $5,1$ , l'aire vaut $26,01$ . L'aire dépend du côté : à chaque valeur de $x$ correspond une valeur de l'aire, et une seule. C'est exactement l'idée de fonction.

Définition

Soit $D$ un ensemble de nombres réels (un intervalle, ou une réunion finie d'intervalles). Définir une fonction $f$ sur $D$ , c'est associer à chaque réel $x$ de $D$ un unique réel, noté $f (x)$ .

On résume cette situation par la notation

f : x \mapsto f (x),

qui se lit « $f$ est la fonction qui, à $x$ , associe $f (x)$ ».

Remarque

Bien distinguer les deux écritures : $f$ désigne la fonction elle-même (le procédé de calcul), tandis que $f (x)$ désigne un nombre (le résultat du procédé appliqué à $x$ ). La lettre $x$ est la variable ; on aurait pu la noter autrement ( $t$ pour un temps, $n$ pour un entier…) sans changer la fonction.

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $D$ , et soient $x \in D$ et $y$ un réel.

L'image de $x$ par $f$ est le nombre $f (x)$ .
Un antécédent de $y$ par $f$ est un réel $x$ de $D$ tel que $f (x) = y$ .

Remarque

Le vocabulaire n'est pas symétrique, et c'est le point clé du chapitre :

chaque réel $x$ de $D$ possède une seule image — c'est écrit dans la définition (« un unique réel ») ;
en revanche, un réel $y$ peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.

Par exemple, avec la fonction $f : x \mapsto x^{2}$ définie sur $R$ : le nombre $9$ a deux antécédents, $3$ et $- 3$ (car $3^{2} = 9$ et $(- 3)^{2} = 9$ ) ; le nombre $0$ a un seul antécédent, $0$ ; et le nombre $- 4$ n'a aucun antécédent (un carré n'est jamais négatif).

Méthode

Calculer une image, chercher des antécédents.

Pour calculer l'image de $a$ : on remplace $x$ par $a$ dans l'expression de $f (x)$ et on effectue le calcul. Une seule réponse possible.
Pour chercher les antécédents de $k$ : on résout l'équation $f (x) = k$ , d'inconnue $x$ . Les solutions sont les antécédents — il peut y en avoir plusieurs, un seul ou aucun.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = 3 x^{2} - 5$ .

Image de $2$ : $f (2) = 3 \times 2^{2} - 5 = 3 \times 4 - 5 = 7$ . L'image de $2$ par $f$ est $7$ .
Antécédents de $- 2$ : on résout $3 x^{2} - 5 = - 2$ , c'est-à-dire $3 x^{2} = 3$ , soit $x^{2} = 1$ . D'après le chapitre 4, cette équation a deux solutions : $x = 1$ ou $x = - 1$ . Le nombre $- 2$ a donc deux antécédents par $f$ : $1$ et $- 1$ .
Antécédents de $- 8$ : on résout $3 x^{2} - 5 = - 8$ , soit $x^{2} = - 1$ . Un carré n'est jamais strictement négatif : aucune solution. Le nombre $- 8$ n'a pas d'antécédent par $f$ .

Quatre façons de représenter une même fonction

Une fonction est un objet abstrait ; pour travailler avec elle, on dispose de quatre « registres » de représentation. Illustrons-les tous avec la même fonction $f$ .

1. Un programme de calcul. C'est la description en français du procédé :

choisir un nombre ;
l'élever au carré ;
multiplier le résultat par $3$ ;
soustraire $5$ .

2. Une expression algébrique. Le même procédé, écrit en une formule : pour tout réel $x$ ,

f (x) = 3 x^{2} - 5.

C'est la représentation la plus puissante : elle permet de calculer l'image de n'importe quel nombre.

3. Un tableau de valeurs. On calcule les images de quelques valeurs de la variable :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$7$	$- 2$	$- 5$	$- 2$	$7$

On y lit par exemple que l'image de $- 2$ est $7$ , ou que $- 2$ admet $- 1$ et $1$ comme antécédents. Attention : un tableau ne donne qu'une information partielle — il ne dit rien des valeurs de $f (x)$ entre les colonnes.

4. Une courbe. On place dans un repère les points de coordonnées $(x; f (x))$ : ils dessinent la courbe représentative de $f$ , que l'on étudie en détail dans la partie 3. C'est la représentation la plus visuelle : toute la fonction apparaît d'un seul coup d'œil.

Remarque

Certains phénomènes ne varient pas continûment mais par paliers : la population d'une ville chaque année, le nombre d'abonnés d'une chaîne chaque mois… On les modélise par des fonctions définies sur $N$ (ou une partie de $N$ ) : à chaque entier $n$ on associe un nombre, souvent noté $u (n)$ . La représentation graphique est alors un nuage de points isolés, qu'on ne relie pas.

L'ensemble de définition

Toutes les expressions algébriques n'ont pas un sens pour toutes les valeurs de $x$ : on ne peut pas diviser par $0$ , et un radicande (l'expression écrite sous une racine carrée) ne peut pas être strictement négatif. D'où la question systématique : pour quels réels $x$ peut-on calculer $f (x)$ ?

Définition

L'ensemble de définition d'une fonction $f$ , noté $D_{f}$ , est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f (x)$ existe, c'est-à-dire pour lesquels le calcul de $f (x)$ est possible.

En classe de seconde, $D_{f}$ est toujours un intervalle ou une réunion finie d'intervalles de $R$ .

Méthode

Déterminer un ensemble de définition. Deux situations imposent des restrictions :

Un quotient : le dénominateur ne doit pas s'annuler. On résout « dénominateur $= 0$ » pour trouver les valeurs interdites, que l'on exclut.
Une racine carrée : le radicande doit être positif ou nul. On résout « radicande $⩾ 0$ » ; les solutions forment les valeurs autorisées.

Si l'expression ne comporte ni quotient ni racine carrée (fonctions polynomiales comme $x \mapsto 3 x^{2} - 5$ ), la fonction est définie sur $R$ tout entier.

Exemple

Déterminons l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$ : le dénominateur s'annule lorsque $x - 3 = 0$ , c'est-à-dire $x = 3$ . C'est la seule valeur interdite, donc

D_{f} =] - \infty; 3 [\cup] 3; + \infty [.

$g (x) = \sqrt{x - 2}$ : le radicande doit vérifier $x - 2 ⩾ 0$ , c'est-à-dire $x ⩾ 2$ . Donc

D_{g} = [2; + \infty [.

$h (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5}$ : il faut à la fois $x ⩾ 0$ (racine carrée) et $x \neq 5$ (dénominateur non nul). Donc

D_{h} = [0; 5 [\cup] 5; + \infty [.

Remarque

Domaine d'étude en situation concrète. Quand une fonction modélise une situation réelle, le bon sens restreint souvent l'ensemble des valeurs de la variable, indépendamment de toute valeur interdite. Par exemple, si $x$ désigne la largeur (en cm) d'un rectangle de périmètre $20$ cm, sa longueur vaut $10 - x$ ; l'aire est donnée par $A (x) = x (10 - x)$ . L'expression $x (10 - x)$ a un sens pour tout réel, mais une largeur est strictement positive et doit vérifier $10 - x > 0$ : on étudie donc $A$ sur l'intervalle $] 0; 10 [$ , appelé domaine d'étude du problème.

La courbe représentative

On se place dans un repère du plan (comme au chapitre 6 sur les droites).

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $D_{f}$ . La courbe représentative de $f$ , notée $C_{f}$ , est l'ensemble des points de coordonnées $(x; f (x))$ , où $x$ parcourt $D_{f}$ .

Autrement dit : un point $M (x; y)$ appartient à $C_{f}$ si et seulement si $x \in D_{f}$ et $y = f (x)$ . On dit que la courbe $C_{f}$ a pour équation $y = f (x)$ .

Remarque

La définition d'une fonction — chaque $x$ a une seule image — se voit sur la courbe : toute droite verticale coupe $C_{f}$ en au plus un point. Un dessin coupé deux fois par une même verticale ne peut pas être la courbe d'une fonction.

Méthode

Déterminer si un point appartient à une courbe. Soit $M (a; b)$ un point et $C_{f}$ la courbe d'équation $y = f (x)$ .

On vérifie que $a \in D_{f}$ , puis on calcule $f (a)$ .
On compare au nombre $b$ : si $f (a) = b$ , le point $M$ appartient à $C_{f}$ ; sinon, il n'y appartient pas.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = 3 x^{2} - 5$ , de courbe $C_{f}$ .

Le point $A (2; 7)$ : on calcule $f (2) = 3 \times 4 - 5 = 7$ . Comme $f (2) = 7$ , le point $A$ appartient à $C_{f}$ .
Le point $B (- 1; 2)$ : on calcule $f (- 1) = 3 \times 1 - 5 = - 2$ . Comme $f (- 1) = - 2 \neq 2$ , le point $B$ n'appartient pas à $C_{f}$ .
Calcul de coordonnées : le point de $C_{f}$ d'abscisse $\sqrt{2}$ a pour ordonnée $f ⁣ (\sqrt{2}) = 3 \times {(\sqrt{2})}^{2} - 5 = 3 \times 2 - 5 = 1$ . C'est le point de coordonnées $(\sqrt{2}; 1)$ .

Lire des images et des antécédents sur une courbe

Quand une fonction n'est connue que par sa courbe, on peut quand même lire des images et des antécédents — c'est la lecture graphique. On s'appuie sur la courbe ci-dessous, celle d'une fonction $f$ définie sur $[- 4; 4]$ .

Courbe d'une fonction définie sur l'intervalle de -4 à 4, avec trois points marqués et leurs pointillés de lecture

Méthode

Lire l'image de $a$ . On part du réel $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou on descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on rejoint horizontalement l'axe des ordonnées : le nombre lu est $f (a)$ .

Lire les antécédents de $k$ . On trace la droite horizontale d'équation $y = k$ ; les antécédents de $k$ sont les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe.

Exemple

Sur la figure ci-dessus :

Image de $- 2$ : depuis $- 2$ sur l'axe des abscisses, la verticale rencontre la courbe au point de coordonnées $(- 2; 3)$ . Donc $f (- 2) = 3$ .
Image de $1$ : le point de la courbe d'abscisse $1$ a pour ordonnée $- 1$ . Donc $f (1) = - 1$ .
Antécédents de $3$ : la droite horizontale $y = 3$ coupe la courbe en deux points, d'abscisses $- 2$ et $4$ . Les antécédents de $3$ par $f$ sont donc $- 2$ et $4$ .
Antécédents de $0$ : la courbe traverse l'axe des abscisses en trois points — le nombre $0$ a trois antécédents (on ne peut ici qu'en donner des valeurs approchées).
Antécédents de $4$ : la courbe ne monte jamais plus haut que $3$ , donc la droite $y = 4$ ne la rencontre pas : le nombre $4$ n'a aucun antécédent par $f$ .

Remarque

Une lecture graphique fournit en général des valeurs approchées : on n'obtient de valeurs exactes que pour les points dont les coordonnées sont marquées ou données par l'énoncé. Pour des valeurs exactes, il faut l'expression algébrique de la fonction.

Les fonctions de référence

Le programme demande de constituer un répertoire d'images mentales : cinq fonctions dont il faut connaître par cœur la définition, l'ensemble de définition et l'allure de la courbe, pour les reconnaître au premier coup d'œil. Ces cinq courbes serviront sans arrêt, dans ce chapitre et dans tous les suivants.

La fonction valeur absolue

Définition

La fonction valeur absolue est la fonction définie sur $R$ par $f (x) = ∣ x ∣$ .

On a vu au chapitre 2 que $∣ x ∣$ est la distance entre $x$ et $0$ sur la droite numérique, ce qui se traduit par la définition par morceaux :

∣ x ∣ = {\begin{cases} x & si x ⩾ 0 \\ - x & si x < 0 \end{cases}

Courbe en V de la fonction valeur absolue

La courbe est formée de deux demi-droites qui se rejoignent à l'origine : sur $[0; + \infty [$ , c'est la demi-droite d'équation $y = x$ ; sur $] - \infty; 0]$ , celle d'équation $y = - x$ . D'où sa forme de « V », pointe à l'origine.
Points à connaître : $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(2; 2)$ , $(- 1; 1)$ , $(- 2; 2)$ .
Deux nombres opposés, comme $- 2$ et $2$ , sont à la même distance de $0$ : ils ont la même image. La courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Une distance n'est jamais négative : $∣ x ∣ ⩾ 0$ pour tout réel $x$ , et la courbe ne descend jamais sous l'axe des abscisses.

La fonction carré

Définition

La fonction carré est la fonction définie sur $R$ par $f (x) = x^{2}$ .

Parabole représentant la fonction carré

Sa courbe est une parabole, de sommet l'origine du repère.
Tableau de valeurs à connaître :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$x^{2}$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Deux nombres opposés ont le même carré — par exemple $(- 2)^{2} = 2^{2} = 4$ : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Un carré n'est jamais strictement négatif : $x^{2} ⩾ 0$ pour tout réel $x$ . La parabole est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses, qu'elle ne touche qu'en son sommet.

La fonction inverse

Définition

La fonction inverse est la fonction définie sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Le réel $0$ est la seule valeur interdite : on ne peut pas diviser par $0$ .

Hyperbole représentant la fonction inverse, avec ses deux branches

Sa courbe est une hyperbole, formée de deux branches séparées : l'une dans le quart de plan où $x > 0$ , l'autre dans celui où $x < 0$ .
Points à connaître : $(1; 1)$ , $(- 1; - 1)$ , $(2; \frac{1}{2})$ , $(\frac{1}{2}; 2)$ .
L'hyperbole est symétrique par rapport à l'origine du repère : la branche de gauche est l'image de celle de droite par cette symétrie.
Les deux branches se rapprochent des axes sans jamais les toucher : la courbe ne coupe ni l'axe des abscisses (un inverse n'est jamais nul), ni l'axe des ordonnées ( $0$ n'a pas d'image).

La fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = \sqrt{x}$ .

Son ensemble de définition traduit la contrainte sur le radicande : $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x ⩾ 0$ .

Demi-courbe de la fonction racine carrée partant de l'origine

Sa courbe est une demi-courbe qui part de l'origine et s'étend vers la droite — rien à gauche de l'axe des ordonnées, puisque la fonction n'est pas définie pour $x < 0$ .
Points à connaître : $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(4; 2)$ , $(9; 3)$ .
Une racine carrée n'est jamais strictement négative : $\sqrt{x} ⩾ 0$ , et la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.

La fonction cube

Définition

La fonction cube est la fonction définie sur $R$ par $f (x) = x^{3}$ .

Courbe de la fonction cube

Points à connaître : $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(- 1; - 1)$ , $(2; 8)$ , $(- 2; - 8)$ .
Le cube d'un nombre a le même signe que ce nombre : la courbe est sous l'axe des abscisses pour $x < 0$ , au-dessus pour $x > 0$ , et traverse l'origine.
Comme l'hyperbole, la courbe du cube est symétrique par rapport à l'origine du repère — par exemple, les points $(2; 8)$ et $(- 2; - 8)$ se correspondent.

Remarque

Ce répertoire est complété par les fonctions affines $x \mapsto m x + p$ , rencontrées au collège : leur courbe représentative est une droite, de coefficient directeur $m$ et d'ordonnée à l'origine $p$ — ce sont exactement les droites non verticales étudiées au chapitre 6. Le cas particulier $p = 0$ redonne les fonctions linéaires $x \mapsto m x$ , dont la droite passe par l'origine.

Résoudre une équation $f (x) = k$ ou une inéquation $f (x) < k$

Dans cette partie, $k$ désigne un réel fixé. Résoudre l'équation $f (x) = k$ , c'est chercher tous les antécédents de $k$ par $f$ ; on sait déjà le faire graphiquement, et les images mentales de la partie précédente vont permettre de le faire aussi par le calcul.

La méthode graphique

Méthode

Soit $f$ une fonction de courbe représentative $C_{f}$ , et $k$ un réel. On trace la droite horizontale d'équation $y = k$ .

Les solutions de l'équation $f (x) = k$ sont les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ avec cette droite.
Les solutions de l'inéquation $f (x) < k$ sont les abscisses des points de $C_{f}$ situés strictement en dessous de cette droite.

Pour $f (x) ⩽ k$ , on ajoute les abscisses des points d'intersection ; pour $f (x) > k$ , on prend les points strictement au-dessus de la droite.

Exemple

Résolvons graphiquement $x^{2} = 4$ , puis $x^{2} < 4$ . On trace la parabole $C_{f}$ de la fonction carré et la droite horizontale d'équation $y = 4$ .

La droite coupe la parabole en deux points, d'abscisses $- 2$ et $2$ : l'équation $x^{2} = 4$ a pour ensemble de solutions $S = {- 2; 2}$ .
La parabole est strictement en dessous de la droite entre ces deux points : l'inéquation $x^{2} < 4$ a pour ensemble de solutions $S =] - 2; 2 [$ .
À l'inverse, la parabole est strictement au-dessus de la droite à l'extérieur : $x^{2} > 4$ a pour solutions $S =] - \infty; - 2 [\cup] 2; + \infty [$ .

Avec la fonction carré

Propriété

Soit $k$ un réel. L'équation $x^{2} = k$ (vue au chapitre 4) admet :

deux solutions, $\sqrt{k}$ et $- \sqrt{k}$ , si $k > 0$ ;
une seule solution, $0$ , si $k = 0$ ;
aucune solution si $k < 0$ .

Sur la parabole : la droite $y = k$ coupe la courbe en deux points si $k > 0$ , la touche en son sommet si $k = 0$ , et passe sous elle sans la rencontrer si $k < 0$ .

Propriété

Soit $k > 0$ . Pour tout réel $x$ :

x^{2} ⩽ k ⟺ - \sqrt{k} ⩽ x ⩽ \sqrt{k} ⟺ x \in [- \sqrt{k}; \sqrt{k}] .

Sur la parabole : la portion de courbe située sous la droite $y = k$ est exactement l'arc compris entre les deux points d'intersection, d'abscisses $- \sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$ .

Six résolutions modèles :

a. $x^{2} = 16$ : deux solutions, $S = {- 4; 4}$ .

b. $x^{2} = 5$ : deux solutions, $S = {- \sqrt{5}; \sqrt{5}}$ .

c. $x^{2} = - 3$ : un carré n'est jamais strictement négatif, $S = \emptyset$ .

d. $x^{2} ⩽ 9$ : $S = [- 3; 3]$ .

e. $x^{2} < 2$ : $S =] - \sqrt{2}; \sqrt{2} [$ (inégalité stricte : bornes exclues).

f. $x^{2} ⩾ 25$ : le complémentaire, $S =] - \infty; - 5] \cup [5; + \infty [$ .

Avec la fonction valeur absolue

Propriété

Soient $a$ un réel et $r > 0$ . Pour tout réel $x$ :

$∣ x - a ∣ = r ⟺ x = a - r$ ou $x = a + r$ : les solutions sont les deux réels situés à la distance exactement $r$ de $a$ ;
$∣ x - a ∣ ⩽ r ⟺ x \in [a - r; a + r]$ : les solutions sont les réels situés à une distance au plus $r$ de $a$ (résultat du chapitre 2).

Exemple

$∣ x - 3 ∣ = 2$ : on cherche les réels à la distance $2$ de $3$ , c'est-à-dire $3 - 2 = 1$ et $3 + 2 = 5$ . Donc $S = {1; 5}$ .
$∣ x - 3 ∣ ⩽ 2$ : intervalle de centre $3$ et de rayon $2$ , donc $S = [1; 5]$ .
Lien avec la courbe en V : résoudre $∣ x ∣ = 2$ , c'est couper la courbe de la fonction valeur absolue par la droite $y = 2$ — deux points d'intersection, d'abscisses $- 2$ et $2$ . Et $∣ x ∣ ⩽ 2$ correspond à la portion du « V » située sous cette droite : $S = [- 2; 2]$ .

Avec la fonction inverse

Propriété

Soit $k$ un réel. L'équation $\frac{1}{x} = k$ admet :

une unique solution, $x = \frac{1}{k}$ , si $k \neq 0$ ;
aucune solution si $k = 0$ : un quotient est nul seulement si son numérateur est nul, or le numérateur vaut ici $1$ .

Sur l'hyperbole : toute droite horizontale $y = k$ avec $k \neq 0$ coupe la courbe en exactement un point ; l'axe des abscisses (la droite $y = 0$ ), lui, ne la rencontre jamais.

Exemple

Résolvons $\frac{1}{x} = 2$ . C'est une équation quotient (chapitre 4) : la valeur interdite est $x = 0$ . Pour $x \neq 0$ , on multiplie les deux membres par $x$ : $1 = 2 x$ , d'où $x = \frac{1}{2}$ , qui n'est pas la valeur interdite. Donc $S = {\frac{1}{2}}$ .

De même, $\frac{1}{x} = - 4$ a pour unique solution $x = - \frac{1}{4}$ , et $\frac{1}{x} = 0$ n'a aucune solution.

Avec la fonction racine carrée

Propriété

Soit $k$ un réel. L'équation $\sqrt{x} = k$ admet :

une unique solution, $x = k^{2}$ , si $k ⩾ 0$ ;
aucune solution si $k < 0$ : une racine carrée n'est jamais strictement négative.

Exemple

$\sqrt{x} = 3$ : comme $3 ⩾ 0$ , l'unique solution est $x = 3^{2} = 9$ . Vérification : $\sqrt{9} = 3$ . Donc $S = {9}$ . Graphiquement, la droite $y = 3$ coupe la demi-courbe en un seul point, d'abscisse $9$ .
$\sqrt{x} = - 2$ : aucune solution, $S = \emptyset$ — la demi-courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses, la droite $y = - 2$ ne la rencontre pas.

Avec la fonction cube

Propriété

Pour tout réel $k$ , l'équation $x^{3} = k$ admet une unique solution.

Sur la courbe : toute droite horizontale $y = k$ , quelle que soit la hauteur $k$ , coupe la courbe de la fonction cube en exactement un point.

Quatre résolutions avec des cubes parfaits :

a. $x^{3} = 8$ : on reconnaît $2^{3} = 8$ , donc $S = {2}$ .

b. $x^{3} = - 27$ : le cube d'un négatif est négatif, et $(- 3)^{3} = - 27$ , donc $S = {- 3}$ .

c. $x^{3} = 125$ : $5^{3} = 125$ , donc $S = {5}$ .

d. $x^{3} = 0$ : $S = {0}$ .

Remarque

Si $k$ n'est pas le cube d'un nombre simple (par exemple $x^{3} = 10$ ), la solution existe et est unique, mais on ne peut en donner qu'une valeur approchée — par lecture graphique, ou par balayage comme au chapitre 2. Ici, elle est comprise entre $2$ et $3$ , car $2^{3} = 8$ et $3^{3} = 27$ .

Résoudre graphiquement $f (x) = g (x)$

Dernière situation : comparer deux fonctions $f$ et $g$ . L'équation $f (x) = g (x)$ demande pour quelles valeurs de $x$ les deux fonctions prennent la même valeur ; l'inéquation $f (x) < g (x)$ , pour quelles valeurs la première est en dessous de la seconde. Graphiquement, tout se lit sur les positions relatives des deux courbes.

Méthode

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ , tracées dans le même repère.

Les solutions de l'équation $f (x) = g (x)$ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Les solutions de l'inéquation $f (x) < g (x)$ sont les abscisses des points où $C_{f}$ est strictement en dessous de $C_{g}$ .

La méthode de la partie précédente est le cas particulier où $g$ est constante ( $g (x) = k$ , courbe horizontale).

Exemple

Soient $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 2$ , définies sur $R$ . Résolvons graphiquement $f (x) = g (x)$ puis $f (x) < g (x)$ .

Les deux courbes se coupent en deux points : $(- 1; 1)$ et $(2; 4)$ . Les solutions de l'équation $x^{2} = x + 2$ sont leurs abscisses : $S = {- 1; 2}$ .
Vérification par le calcul : $f (- 1) = 1$ et $g (- 1) = - 1 + 2 = 1$ — les deux valeurs coïncident ; de même $f (2) = 4$ et $g (2) = 2 + 2 = 4$ .
Entre ces deux points, la parabole est strictement en dessous de la droite : l'inéquation $x^{2} < x + 2$ a pour ensemble de solutions $S =] - 1; 2 [$ .
À l'extérieur, la parabole repasse au-dessus : $x^{2} > x + 2$ a pour solutions $S =] - \infty; - 1 [\cup] 2; + \infty [$ .

Remarque

Quand les coordonnées des points d'intersection ne sont pas marquées, la lecture graphique ne fournit que des conjectures (valeurs approchées) : il faut, autant que possible, les vérifier par le calcul en testant les valeurs lues, comme ci-dessus. On peut parfois résoudre l'équation de façon exacte en se ramenant à $f (x) - g (x) = 0$ et en factorisant (équation produit nul du chapitre 4).

Des fonctions en Python

En Python aussi, on définit des fonctions : une fonction Python est exactement un programme de calcul — elle reçoit un nombre, effectue des opérations, et renvoie le résultat. Voici la fonction $f : x \mapsto 3 x^{2} - 5$ du début du chapitre :

def f(x):
    return 3 * x**2 - 5

Le mot-clé def définit la fonction : on donne son nom (f) et le nom de sa variable (x).
Le mot-clé return renvoie le résultat du calcul — c'est l'image de x.

Pour utiliser la fonction, on l'appelle en donnant une valeur à la variable :

print(f(2))     # affiche 7
print(f(-1))    # affiche -2

L'appel f(2) déclenche le calcul 3 * 2**2 - 5 et renvoie 7 : appeler la fonction en 2, c'est exactement calculer l'image de $2$ , et on retrouve $f (2) = 7$ . Une fonction Python permet ainsi de produire très vite un tableau de valeurs, ou de tester si un point appartient à une courbe.

Contrairement aux fonctions de ce chapitre, une fonction Python peut recevoir plusieurs arguments. Par exemple, l'aire d'un rectangle dépend de deux quantités, sa longueur et sa largeur :

def aire(longueur, largeur):
    return longueur * largeur

print(aire(7, 3))    # affiche 21

Remarque

Bien nommer ses fonctions et ses variables (aire, longueur, largeur plutôt que a, x, y) rend un programme lisible : on comprend ce qu'il calcule sans avoir à le déchiffrer. C'est l'équivalent, en programmation, d'une rédaction mathématique soignée.

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Ce qu'il faut savoir faire

La notion de fonction

Une quantité qui dépend d'une autre

Quatre façons de représenter une même fonction

L'ensemble de définition

La courbe représentative

Lire des images et des antécédents sur une courbe

Les fonctions de référence

La fonction valeur absolue

La fonction carré

La fonction inverse

La fonction racine carrée

La fonction cube

Résoudre une équation f(x)=k ou une inéquation f(x)<k

La méthode graphique

Avec la fonction carré

Avec la fonction valeur absolue

Avec la fonction inverse

Avec la fonction racine carrée

Avec la fonction cube

Résoudre graphiquement f(x)=g(x)

Des fonctions en Python

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Résoudre une équation $f (x) = k$ ou une inéquation $f (x) < k$

Résoudre graphiquement $f (x) = g (x)$