2ⁿᵈᵉ · Chapitre 06 · Géométrie

Devoir surveillé — Droites du plan

Sujet type, 120 min, barème sur 20 points. À faire en conditions réelles avant de regarder le corrigé.

Sujet type DS — 120 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (4 points) — Lecture graphique

La figure ci-dessous représente trois droites $d_{1}$ , $d_{2}$ et $d_{3}$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ .

Trois droites dans un repère orthonormé

Donner, par lecture graphique, la pente de chacune des droites lorsqu'elle existe. Préciser la droite qui n'admet pas de pente, en justifiant.
Donner un vecteur directeur de chacune des trois droites.
Déterminer l'équation réduite de $d_{1}$ et celle de $d_{2}$ , puis une équation de $d_{3}$ .
Lire graphiquement les coordonnées du point d'intersection de $d_{1}$ et $d_{2}$ , puis vérifier cette lecture par le calcul.

Exercice 2 (5 points) — Déterminer des équations de droites

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ . On considère les points $A (- 1; 2)$ et $B (3; - 4)$ .

Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ .
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $C (2; 5)$ et de vecteur directeur $\vec{u} (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array})$ .
Déterminer l'équation réduite de la droite $d^{'}$ passant par le point $E (- 2; 1)$ et de pente $3$ .
Le point $F (10; - 14)$ appartient-il à la droite $(A B)$ ? Justifier par un calcul.

Exercice 3 (5 points) — Positions relatives et intersection

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ .

Les droites $d_{1} : 3 x - 2 y + 4 = 0$ et $d_{2} : - 6 x + 4 y + 1 = 0$ sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifier.
Les droites $d_{3} : x + y - 5 = 0$ et $d_{4} : 2 x - y - 1 = 0$ sont-elles sécantes ? Justifier.
Résoudre le système suivant, puis en déduire les coordonnées du point d'intersection de $d_{3}$ et $d_{4}$ :
${\begin{cases} x + y = 5 \\ 2 x - y = 1 \end{cases}$
Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à $d_{1}$ passant par le point d'intersection trouvé à la question 3. Que remarque-t-on ?

Exercice 4 (4 points) — Problème : alignement et intersection

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ , on considère les points $A (0; 4)$ , $B (6; 1)$ et $C (- 2; 5)$ .

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier par un calcul.
Déterminer une équation de la droite $Δ$ passant par le point $D (1; - 3)$ et parallèle à la droite $(A B)$ .
La droite $Δ^{'}$ d'équation $2 x + y - 8 = 0$ coupe-t-elle la droite $(A B)$ ? Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Exercice 5 (2 points) — Python

On considère la fonction Python suivante, où xa, ya, xb, yb, xc, yc désignent les coordonnées de trois points $A$ , $B$ et $C$ dans un repère orthonormé :

def mystere(xa, ya, xb, yb, xc, yc):
    d = (xb - xa) * (yc - ya) - (yb - ya) * (xc - xa)
    return d == 0

Que calcule la variable d ?
Que renvoie l'appel mystere(0, 4, 6, 1, -2, 5) ? Justifier par le calcul.
Que teste donc la fonction mystere ? Proposer un nom plus explicite pour cette fonction.

Le sujet du DS(PDF, 43 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 76 Ko)

Bloqué sur « Droites du plan » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Exercice 1 (4 points) — Lecture graphique

La figure ci-dessous représente trois droites $d_{1}$ , $d_{2}$ et $d_{3}$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ .

Trois droites dans un repère orthonormé

Donner, par lecture graphique, la pente de chacune des droites lorsqu'elle existe. Préciser la droite qui n'admet pas de pente, en justifiant.
Donner un vecteur directeur de chacune des trois droites.
Déterminer l'équation réduite de $d_{1}$ et celle de $d_{2}$ , puis une équation de $d_{3}$ .
Lire graphiquement les coordonnées du point d'intersection de $d_{1}$ et $d_{2}$ , puis vérifier cette lecture par le calcul.

Exercice 2 (5 points) — Déterminer des équations de droites

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ . On considère les points $A (- 1; 2)$ et $B (3; - 4)$ .

Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ .
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $C (2; 5)$ et de vecteur directeur $\vec{u} (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array})$ .
Déterminer l'équation réduite de la droite $d^{'}$ passant par le point $E (- 2; 1)$ et de pente $3$ .
Le point $F (10; - 14)$ appartient-il à la droite $(A B)$ ? Justifier par un calcul.

Exercice 3 (5 points) — Positions relatives et intersection

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ .

Les droites $d_{1} : 3 x - 2 y + 4 = 0$ et $d_{2} : - 6 x + 4 y + 1 = 0$ sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifier.
Les droites $d_{3} : x + y - 5 = 0$ et $d_{4} : 2 x - y - 1 = 0$ sont-elles sécantes ? Justifier.
Résoudre le système suivant, puis en déduire les coordonnées du point d'intersection de $d_{3}$ et $d_{4}$ :
${\begin{cases} x + y = 5 \\ 2 x - y = 1 \end{cases}$
Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à $d_{1}$ passant par le point d'intersection trouvé à la question 3. Que remarque-t-on ?

Exercice 4 (4 points) — Problème : alignement et intersection

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ , on considère les points $A (0; 4)$ , $B (6; 1)$ et $C (- 2; 5)$ .

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier par un calcul.
Déterminer une équation de la droite $Δ$ passant par le point $D (1; - 3)$ et parallèle à la droite $(A B)$ .
La droite $Δ^{'}$ d'équation $2 x + y - 8 = 0$ coupe-t-elle la droite $(A B)$ ? Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Exercice 5 (2 points) — Python

On considère la fonction Python suivante, où xa, ya, xb, yb, xc, yc désignent les coordonnées de trois points $A$ , $B$ et $C$ dans un repère orthonormé :

def mystere(xa, ya, xb, yb, xc, yc):
    d = (xb - xa) * (yc - ya) - (yb - ya) * (xc - xa)
    return d == 0

Que calcule la variable d ?
Que renvoie l'appel mystere(0, 4, 6, 1, -2, 5) ? Justifier par le calcul.
Que teste donc la fonction mystere ? Proposer un nom plus explicite pour cette fonction.

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