Exercices — Croisement de deux variables qualitatives

On a interrogé les $24$ élèves d'une classe de seconde sur leur moyen de transport pour venir au lycée. Pour chaque élève, on a noté son sexe (F = fille, G = garçon) et son moyen de transport (B = bus, V = vélo, P = à pied). Voici le fichier des réponses, élève par élève :

F–B ; G–V ; F–P ; G–B ; F–B ; F–V ; G–B ; F–B ; G–P ; F–V ; G–B ; F–B ; G–V ; F–P ; F–B ; G–V ; F–B ; G–B ; F–V ; G–P ; F–B ; G–V ; F–P ; G–B

1. Quelles sont les deux variables étudiées dans cette enquête ? Donner les modalités de chacune. Pourquoi dit-on que ces variables sont qualitatives ?

2. Construire le tableau croisé des effectifs de cette enquête, en faisant figurer le total de chaque ligne, le total de chaque colonne et l'effectif total.

3. a. Combien de filles viennent au lycée en bus ?

   b. Combien d'élèves viennent à vélo ? Parmi eux, combien sont des garçons ?

Le tableau croisé ci-dessous donne la répartition des élèves d'un lycée selon leur régime (demi-pensionnaire ou externe) et leur niveau.

1. Combien d'élèves compte ce lycée ? Combien d'élèves de première sont demi-pensionnaires ?
2. Combien d'élèves sont externes et en terminale ?
3. Combien d'élèves sont externes ou en terminale ? Expliquer pourquoi la réponse n'est pas $280+270$.
4. Quelle proportion des élèves du lycée sont demi-pensionnaires ? Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée, puis en pourcentage arrondi à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$.

Un service de statistiques a réparti les habitants d'un département selon leur type de commune de résidence (urbaine ou rurale) et leur tranche d'âge. Les effectifs sont donnés en milliers d'habitants.

1. Combien ce département compte-t-il d'habitants ? Combien vivent en commune rurale ?
2. Calculer, en pourcentage, la fréquence marginale de chacune des trois tranches d'âge. Vérifier que la somme de ces trois fréquences vaut $100\mathrm{\%}$.
3. Calculer la fréquence marginale de la modalité « commune urbaine », puis interpréter ce résultat par une phrase.
4. Compléter la phrase suivante : « Dans ce département, $\dots \mathrm{\%}$ des habitants ont $60$ ans ou plus. »

Une coopérative agricole a trié sa récolte de tomates selon la variété (« Cœur de bœuf » ou « Roma ») et le calibre (petit, moyen ou gros).

On rappelle que $f_{\text{Roma}}(\text{petit})$ désigne la fréquence du calibre « petit » parmi les tomates de la variété Roma.

1. Calculer, en pourcentage, chacune des fréquences conditionnelles suivantes :

   a. $f_{\text{Cœur de bœuf}}(\text{petit})$

   b. $f_{\text{Cœur de bœuf}}(\text{gros})$

   c. $f_{\text{Roma}}(\text{petit})$

   d. $f_{\text{Roma}}(\text{gros})$

2. Interpréter chacun des quatre résultats de la question 1 par une phrase commençant par « Parmi… ».

3. Un maraîcher affirme : « Parmi les tomates Roma, une sur deux est de petit calibre. » A-t-il raison ? Justifier.

4. Quelle variété fournit, en proportion, le plus de tomates de gros calibre ? Justifier à l'aide de deux fréquences conditionnelles.

Une salle de sport a classé ses clients selon leur type d'abonnement (« Essentiel » ou « Premium ») et leur tranche d'âge. Voici le tableau croisé des effectifs :

1. Combien cette salle de sport compte-t-elle de clients ?

2. Construire le tableau des fréquences par rapport à l'effectif total, marges comprises : chaque effectif du tableau (y compris les totaux) est remplacé par la fréquence correspondante, écrite sous forme décimale et arrondie si nécessaire au centième.

3. a. Que représente, pour la salle de sport, le nombre $\mathrm{0,24}$ obtenu dans ce tableau ? Répondre par une phrase.

   b. Quelle est la fréquence marginale de la tranche d'âge « moins de $30$ ans » ? Interpréter ce résultat par une phrase.

4. Que vaut la case située à l'intersection de la ligne « Total » et de la colonne « Total » du tableau des fréquences ? Expliquer pourquoi ce résultat était prévisible.

Lors d'une opération de contrôle routier, les forces de l'ordre ont relevé, pour chacun des $1000$ conducteurs contrôlés, le lieu du contrôle (en agglomération ou hors agglomération) et le port de la ceinture de sécurité. Les résultats sont regroupés dans le tableau croisé d'effectifs suivant.

Les deux premières questions portent sur la même case du tableau : les $50$ conducteurs contrôlés en agglomération dont la ceinture n'était pas attachée.

1. Calculer $f_{\text{agglomération}}(\text{ceinture non attachée})$, la fréquence des conducteurs dont la ceinture n'était pas attachée parmi les conducteurs contrôlés en agglomération. On donnera le résultat en pourcentage.
2. Calculer $f_{\text{ceinture non attachée}}(\text{agglomération})$, la fréquence des conducteurs contrôlés en agglomération parmi les conducteurs dont la ceinture n'était pas attachée. On donnera le résultat en pourcentage.
3. Ces deux fréquences sont calculées à partir du même effectif, $50$, et pourtant elles sont très différentes. Expliquer pourquoi, puis rédiger pour chacune une phrase d'interprétation qui précise clairement sa sous-population de référence.
4. La préfecture souhaite savoir si le défaut de port de la ceinture est plus fréquent en agglomération que hors agglomération. Parmi les fréquences conditionnelles que l'on peut calculer avec ce tableau, lesquelles faut-il comparer pour répondre à cette question ? Les calculer et conclure.

Un week-end, une ville organise deux courses à pied : un $10$ km et un semi-marathon. Pour chaque participant, l'organisation a relevé la course choisie et l'issue de sa course (arrivé ou abandon). Les résultats sont regroupés dans le tableau croisé d'effectifs suivant.

Le lendemain, la presse locale publie les quatre phrases suivantes.

Phrase 1. « Sur l'ensemble du week-end, $5\mathrm{\%}$ des coureurs ont abandonné. »

Phrase 2. « $8\mathrm{\%}$ des participants au semi-marathon n'ont pas franchi la ligne d'arrivée. »

Phrase 3. « $64\mathrm{\%}$ des abandons ont été enregistrés sur le semi-marathon. »

Phrase 4. « Sur le $10$ km, $36\mathrm{\%}$ des coureurs ont abandonné. »

Pour chacune de ces quatre phrases :

1. Dire si le pourcentage annoncé correspond à une fréquence marginale ou à une fréquence conditionnelle.
2. Identifier la sous-population de référence (le groupe « parmi lequel » le pourcentage est calculé) et donner son effectif.
3. Calculer la fréquence correspondante à l'aide du tableau, puis dire si la phrase du journal est exacte ou fausse. Si elle est fausse, proposer une phrase corrigée et expliquer d'où peut venir l'erreur du journaliste.

Une boulangerie artisanale vend ses pains soit à la boutique, soit sur le marché. Un samedi soir, la boulangère fait le bilan de sa journée : chaque pain vendu est classé selon sa variété (nature, aux céréales ou complet) et son lieu de vente. Son tableau de bilan, incomplet, est reproduit ci-dessous.

1. Expliquer comment retrouver le nombre de pains aux céréales vendus à la boutique, puis le calculer.
2. Recopier et compléter tout le tableau. Pour chaque case complétée, on indiquera le calcul effectué (somme ou différence sur une ligne ou une colonne).
3. Vérifier que le total général peut s'obtenir de deux façons différentes.
4. La boulangère affirme : « sur le marché, plus d'un pain vendu sur trois est un pain aux céréales. » A-t-elle raison ? Justifier à l'aide du tableau complété.

Dans un groupe de $12$ élèves, chacun a choisi une option artistique : théâtre ou musique. Les données sont stockées dans deux listes Python parallèles : pour chaque indice i, sexe[i] et option[i] concernent le même élève. (Les chaînes de caractères du script sont écrites sans accent.)

sexe = ["F", "G", "F", "F", "G", "F",
        "G", "F", "F", "G", "F", "G"]
option = ["theatre", "musique", "theatre", "musique", "theatre", "theatre",
          "musique", "musique", "theatre", "musique", "musique", "theatre"]

On veut compter le nombre de filles ayant choisi l'option théâtre. Pour cela, on écrit le script suivant, à compléter :

compteur = 0
for i in range(len(sexe)):
    if sexe[i] == ... and option[i] == ...:
        compteur = compteur + 1
print(compteur)

1. Recopier et compléter les deux ... de la condition.

2. En dépouillant les deux listes à la main (élève par élève), prédire le nombre affiché par le script.

3. On modifie uniquement la ligne de la condition. Écrire la nouvelle condition, puis prédire l'affichage, dans chacun des deux cas suivants :

   a. compter les élèves de l'option théâtre qui ne sont pas des filles (on utilisera le mot-clé not) ;

   b. compter les élèves qui sont des filles ou qui ont choisi le théâtre (on utilisera le mot-clé or).

4. Construire le tableau croisé d'effectifs des deux variables « sexe » et « option » pour ce groupe de $12$ élèves. À quelle case du tableau correspond le comptage de la question 2 ? Et celui de la question 3.a ?

Une commune a interrogé $1200$ habitants sur leur principal mode de déplacement pour se rendre au travail. Chaque habitant est classé selon son quartier de résidence (centre-ville ou périphérie) et son mode de déplacement (à vélo ou par un autre moyen). Le rapport d'enquête ne donne pas le tableau croisé, mais seulement les trois informations suivantes :

• $40\mathrm{\%}$ des habitants interrogés résident en centre-ville ;
• parmi les habitants du centre-ville, $35\mathrm{\%}$ se déplacent à vélo ;
• parmi les habitants de la périphérie, $10\mathrm{\%}$ se déplacent à vélo.

1. Calculer le nombre d'habitants interrogés résidant en centre-ville, puis en périphérie.
2. Calculer le nombre d'habitants du centre-ville qui se déplacent à vélo, puis le nombre d'habitants de la périphérie qui se déplacent à vélo.
3. Reconstituer entièrement le tableau croisé d'effectifs de l'enquête (avec les totaux).
4. Calculer $f_{\text{vélo}}(\text{centre-ville})$, la fréquence des habitants du centre-ville parmi les habitants qui se déplacent à vélo. On donnera le résultat en pourcentage.
5. Le centre-ville ne regroupe que $40\mathrm{\%}$ des habitants interrogés. Comparer ce pourcentage au résultat de la question 4 et rédiger une phrase qui explique ce que cette comparaison révèle.

Un club nature a passé un week-end à observer les oiseaux d'une parcelle bocagère. Pour chaque oiseau observé, on a noté son espèce (merle ou mésange) et l'habitat où il se trouvait (haie, prairie ou verger). Les $20$ observations sont stockées dans deux listes Python parallèles : pour chaque indice i, les valeurs espece[i] et habitat[i] décrivent le même oiseau.

espece = ["merle", "mesange", "merle", "merle", "mesange",
          "merle", "mesange", "merle", "mesange", "merle",
          "merle", "mesange", "merle", "mesange", "merle",
          "mesange", "merle", "mesange", "merle", "mesange"]

habitat = ["haie", "prairie", "verger", "haie", "haie",
           "prairie", "verger", "haie", "prairie", "verger",
           "haie", "haie", "verger", "prairie", "prairie",
           "haie", "verger", "prairie", "haie", "verger"]

Pour dresser le tableau croisé des deux variables « espèce » et « habitat », on écrit la fonction suivante, qui doit compter le nombre d'observations correspondant à une case du tableau :

def effectif(valeur1, valeur2):
    compteur = 0
    for i in range(len(espece)):
        if espece[i] == ... and habitat[i] == ...:
            compteur = compteur + 1
    return compteur

1. a. Recopier et compléter la fonction effectif.

   b. Sans ordinateur, déterminer ce que renvoie l'appel effectif("mesange", "prairie").

2. Chaque case du tableau croisé s'obtient par un appel de la fonction effectif. Dépouiller les deux listes à la main (comme le ferait la fonction) et recopier puis compléter le tableau croisé des effectifs :

   	Haie	Prairie	Verger	Total
   Merle	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
   Mésange	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
   Total	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$20$

3. Écrire une expression Python, n'utilisant que des appels de la fonction effectif et des opérations, qui calcule la fréquence de « merle » parmi les observations faites dans une haie, c'est-à-dire $f_{\text{haie}}(\text{merle})$. Donner la valeur de cette fréquence.

4. Un membre du club affirme : « sur cette parcelle, quand on observe un oiseau dans une haie, c'est plus souvent un merle qu'une mésange ». Cette affirmation est-elle cohérente avec le relevé ? Justifier à l'aide de la question 3.

Un centre de contrôle technique a dressé le bilan des $2200$ contrôles effectués au cours d'une année, selon l'âge du véhicule et le résultat du contrôle :

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée par un calcul de fréquence ou une comparaison chiffrée, en précisant à chaque fois parmi quels véhicules la fréquence est calculée.

1. « Environ $15\mathrm{\%}$ des contrôles effectués dans ce centre ont donné un résultat défavorable. »

2. « Les véhicules de $10$ ans ou plus représentent moins d'un cinquième des véhicules contrôlés. »

3. « Presque les deux tiers des résultats défavorables concernent des véhicules de moins de $10$ ans : les véhicules récents échouent donc plus souvent au contrôle que les véhicules anciens. »

4. « Environ $\mathrm{35,7}\mathrm{\%}$ des véhicules de $10$ ans ou plus ont eu un résultat défavorable. »

5. « Il y a eu $216$ résultats défavorables chez les véhicules de moins de $10$ ans, contre seulement $120$ chez les véhicules de $10$ ans ou plus : le résultat défavorable est donc plus fréquent chez les véhicules récents. »

Une enquête statistique, inspirée des enquêtes Emploi de l'INSEE, porte sur $30$ millions d'actifs (personnes en emploi ou au chômage). Chaque actif est décrit par deux variables qualitatives : son niveau de diplôme (trois modalités, ordonnées) et sa situation (en emploi ou au chômage). Les effectifs sont donnés en milliers :

1. Compléter les deux cases manquantes du tableau en expliquant chaque calcul.

2. Calculer les fréquences marginales suivantes, en pourcentage arrondi au dixième :

   a. la fréquence des actifs au chômage ;

   b. la fréquence des actifs titulaires d'un diplôme du supérieur.

3. Pour chacun des trois niveaux de diplôme, calculer la fréquence conditionnelle du chômage parmi les actifs de ce niveau, c'est-à-dire $f_{\text{aucun diplôme}}(\text{chômage})$, $f_{\text{CAP-bac}}(\text{chômage})$ et $f_{\text{supérieur}}(\text{chômage})$. Donner les résultats en pourcentage (les valeurs sont exactes).

4. Comparer la situation des actifs sans diplôme et celle des diplômés du supérieur vis-à-vis du chômage. La comparaison des effectifs $600$ et $660$ suffit-elle ? Rédiger une réponse argumentée.

5. Calculer $f_{\text{chômage}}(\text{supérieur})$, la fréquence des diplômés du supérieur parmi les actifs au chômage, en pourcentage arrondi au dixième. Que peut-on alors répondre à quelqu'un qui affirme : « plus d'un tiers des chômeurs ont un diplôme du supérieur, preuve que faire des études ne protège pas du chômage » ?

Une usine possède deux ateliers, A et B, qui fabriquent chacun $1000$ pièces par semaine. Chaque pièce est de type standard ou de type précision (les pièces de précision, plus délicates à usiner, sont plus souvent défectueuses). En fin de semaine, chaque pièce est classée conforme ou défectueuse.

Le service qualité a relevé les données suivantes :

• l'atelier A a fabriqué $100$ pièces standard, dont $2$ défectueuses, et $900$ pièces de précision, dont $90$ défectueuses ;
• l'atelier B a fabriqué $900$ pièces standard, dont $27$ défectueuses, et $100$ pièces de précision, dont $12$ défectueuses.

1. Recopier et compléter les deux tableaux croisés suivants (un par type de pièce) :

   Pièces standard :

   	Défectueuses	Conformes	Total
   Atelier A	$2$	$\dots$	$100$
   Atelier B	$27$	$\dots$	$900$
   Total	$\dots$	$\dots$	$1000$

   Pièces de précision :

   	Défectueuses	Conformes	Total
   Atelier A	$90$	$\dots$	$900$
   Atelier B	$12$	$\dots$	$100$
   Total	$\dots$	$\dots$	$1000$

2. Le taux de défauts d'un atelier sur un type de pièce est la fréquence conditionnelle de « défectueuse » parmi les pièces de ce type fabriquées par cet atelier. Par exemple, pour les pièces standard, le taux de défauts de l'atelier A est $f_{\text{A}}(\text{défectueuse})={\displaystyle \frac{2}{100}}$.

   a. Calculer les quatre taux de défauts (atelier A puis atelier B, pour les pièces standard puis pour les pièces de précision). Donner les résultats en pourcentage.

   b. Pour chaque type de pièce, quel atelier a le taux de défauts le plus faible ?

3. On s'intéresse maintenant à l'ensemble des $1000$ pièces de chaque atelier, tous types confondus.

   a. Calculer le nombre total de pièces défectueuses fabriquées par chaque atelier.

   b. En déduire le taux de défauts global de chaque atelier, en pourcentage. Quel atelier a le taux global le plus faible ?

4. Le directeur s'étonne : « l'atelier A est meilleur que l'atelier B sur les pièces standard et sur les pièces de précision, mais son taux de défauts global est bien plus élevé ! » Expliquer ce qui semble contradictoire, puis pourquoi cela se produit, en comparant la répartition des types de pièces dans chaque atelier.

Remarque : ce phénomène, où une comparaison valable dans chaque sous-groupe s'inverse quand on regroupe les données, est connu sous le nom de « paradoxe de Simpson ».