2ⁿᵈᵉ · Chapitre 12 · Statistiques et probabilités

Probabilités et probabilités conditionnelles

Modèle probabiliste, loi des grands nombres (approche), probabilité conditionnelle, arbres pondérés, faux positifs.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Modèle probabiliste
Loi des grands nombres (approche)
Probabilité conditionnelle
Arbres pondérés
Faux positifs

Les chapitres précédents ont étudié l'information chiffrée du point de vue des statistiques : résumer une variable, puis croiser deux variables qualitatives dans un tableau et y lire des fréquences marginales et conditionnelles. Ce chapitre change de point de vue : au lieu de décrire des données déjà observées, on cherche à prévoir le hasard — quantifier les chances qu'un événement se produise avant que l'expérience n'ait lieu. Il prolonge le modèle probabiliste rencontré en classe de troisième en le formalisant avec le langage des ensembles, et introduit la grande nouveauté de la seconde : la probabilité conditionnelle, c'est-à-dire la probabilité d'un événement quand on dispose d'une information partielle, et son outil de prédilection, l'arbre pondéré. On verra que les deux points de vue, statistique et probabiliste, se rejoignent : une fréquence conditionnelle dans une population et une probabilité conditionnelle dans un tirage au sort sont les deux faces d'un même calcul.

Le modèle probabiliste

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prédire lequel se produira : lancer un dé, tirer une carte dans un jeu battu, interroger une personne au hasard dans une population. Chaque résultat possible s'appelle une issue, et l'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers de l'expérience, noté $Ω$ . Dans tout ce chapitre, l'univers est un ensemble fini.

Le langage des ensembles, utilisé tout au long de l'année, fournit le vocabulaire naturel des probabilités.

Définition

Soit $Ω$ l'univers d'une expérience aléatoire.

Un événement $A$ est un sous-ensemble de $Ω$ : l'ensemble des issues pour lesquelles on considère que « $A$ est réalisé ». Un événement réduit à une seule issue est un événement élémentaire.
L'événement $A \cap B$ (« $A$ inter $B$ ») est réalisé lorsque $A$ et $B$ sont réalisés simultanément.
L'événement $A \cup B$ (« $A$ union $B$ ») est réalisé lorsque $A$ ou $B$ est réalisé (l'un, l'autre, ou les deux).
L'événement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ , est constitué des issues qui ne sont pas dans $A$ : il est réalisé exactement quand $A$ ne l'est pas.
Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps, c'est-à-dire lorsque $A \cap B = \emptyset$ .

Exemple

On lance un dé à six faces et on note le numéro de la face supérieure : l'univers est $Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . Considérons les événements $A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir un multiple de $3$ ». La traduction entre le français et les symboles fonctionne dans les deux sens :

$A = {2; 4; 6}$ et $B = {3; 6}$ ;
« obtenir un nombre pair et multiple de $3$ » se traduit par $A \cap B = {6}$ ;
« obtenir un nombre pair ou multiple de $3$ » se traduit par $A \cup B = {2; 3; 4; 6}$ ;
« ne pas obtenir un nombre pair », c'est-à-dire « obtenir un nombre impair », se traduit par $\overline{A} = {1; 3; 5}$ ;
si $C$ est l'événement « obtenir $1$ », alors $A \cap C = \emptyset$ : les événements $A$ et $C$ sont incompatibles — on ne peut pas obtenir à la fois un nombre pair et le nombre $1$ .

Décrire les issues ne suffit pas : il faut dire quelles sont leurs chances respectives de se produire. C'est le rôle de la loi de probabilité.

Définition

Définir une loi de probabilité sur l'univers $Ω = {e_{1}; e_{2}; \dots; e_{n}}$ , c'est associer à chaque issue $e_{i}$ un nombre $p_{i}$ , appelé sa probabilité, tel que :

chaque $p_{i}$ vérifie $0 ⩽ p_{i} ⩽ 1$ ;
la somme de toutes les probabilités vaut $1$ : $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ .

La probabilité d'un événement $A$ , notée $P (A)$ , est alors la somme des probabilités des issues qui composent $A$ .

Exemple

Un dé à six faces est truqué de sorte que la face $6$ ait trois fois plus de chances de sortir que chacune des autres faces, ces cinq autres faces étant équivalentes entre elles. En notant $p$ la probabilité commune des faces $1$ à $5$ , la somme des probabilités vaut $5 p + 3 p = 8 p = 1$ , donc $p = \frac{1}{8}$ et $P ({6}) = \frac{3}{8}$ . La probabilité de l'événement $A$ : « obtenir un nombre pair » est la somme des probabilités de ses issues :

P (A) = P ({2}) + P ({4}) + P ({6}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

De la définition découlent immédiatement les propriétés déjà rencontrées en troisième.

Propriété

Pour tous événements $A$ et $B$ d'un univers $Ω$ muni d'une loi de probabilité :

$0 ⩽ P (A) ⩽ 1$ ;
$P (\emptyset) = 0$ et $P (Ω) = 1$ ;
$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ ;
si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

La dernière propriété se comprend bien : si $A \cap B = \emptyset$ , aucune issue n'appartient à la fois à $A$ et à $B$ , donc additionner les probabilités des issues de $A$ puis celles des issues de $B$ ne compte rien deux fois — c'est exactement la somme des probabilités des issues de $A \cup B$ .

Remarque

Le modèle n'est pas la réalité. Une loi de probabilité est une hypothèse que l'on choisit pour modéliser une situation réelle : elle ne se démontre pas. Dire « ce dé est équilibré » n'est pas un théorème, c'est un choix de modèle — que la réalité peut contredire si le dé est pipé. Il faut donc toujours distinguer deux niveaux : la situation réelle (un objet physique, une population, un phénomène) et le modèle probabiliste (un univers et une loi, objets mathématiques abstraits). Le choix du modèle peut se justifier de deux façons : soit par une hypothèse d'équiprobabilité que l'on explicite (pièce équilibrée, dé équilibré, tirage « au hasard » — c'est la section suivante), soit à partir de fréquences observées sur un grand nombre d'essais (c'est la section 3). Dans les deux cas, c'est l'utilisateur qui décide du modèle, et les calculs qui suivent ne valent que ce que vaut ce choix.

L'équiprobabilité

Le modèle le plus courant est celui où aucune issue n'a de raison d'être favorisée par rapport aux autres.

Définition

Il y a équiprobabilité sur l'univers $Ω$ lorsque toutes les issues ont la même probabilité. Si $Ω$ compte $Card (Ω)$ issues, chacune a alors pour probabilité $\frac{1}{Card (Ω)}$ .

Propriété

Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ est :

P (A) = \frac{Card (A)}{Card (Ω)} = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}

En effet, $P (A)$ est la somme des probabilités des issues de $A$ , soit $Card (A)$ termes tous égaux à $\frac{1}{Card (Ω)}$ .

Le calcul d'une probabilité se ramène alors à un comptage. Mais attention : l'équiprobabilité est une hypothèse du modèle, et un énoncé sérieux la signale toujours par une formule consacrée — « le dé est équilibré », « la pièce est équilibrée », « on tire une carte au hasard », « les boules sont indiscernables au toucher ». En l'absence d'une telle mention, rien n'autorise à supposer les issues équivalentes : la punaise de la section suivante en est un exemple.

Exemple

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes ( $4$ couleurs — cœur, carreau, trèfle, pique — et $8$ valeurs par couleur). L'expression « au hasard » signale l'équiprobabilité : chaque carte a la probabilité $\frac{1}{32}$ d'être tirée. Notons $R$ l'événement « tirer un roi » et $C$ l'événement « tirer un cœur ». Alors :

$Card (R) = 4$ (un roi par couleur), donc $P (R) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ ;
$Card (C) = 8$ , donc $P (C) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ ;
$R \cap C$ est l'événement « tirer le roi de cœur », donc $P (R \cap C) = \frac{1}{32}$ ;
$\overline{C}$ est l'événement « ne pas tirer un cœur », donc $P (\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Remarque

Compter une réunion sans compter deux fois l'intersection. Sur l'exemple du jeu de $32$ cartes, combien de cartes réalisent $R \cup C$ , « tirer un roi ou un cœur » ? Si l'on additionne brutalement $Card (R) + Card (C) = 4 + 8 = 12$ , on compte le roi de cœur deux fois : une fois parmi les rois, une fois parmi les cœurs. Le bon compte est $Card (R \cup C)$ où l'on retire une fois la carte comptée en double :

Card (R \cup C) = 4 + 8 - 1 = 11, donc P (R \cup C) = \frac{11}{32}

Ce n'est qu'avec des événements incompatibles (intersection vide, rien n'est compté deux fois) que l'on peut additionner directement les probabilités, comme le dit la propriété de la section 1.

Fréquences et loi des grands nombres

Que faire quand rien ne justifie l'équiprobabilité ? Lançons une punaise en l'air : elle retombe soit la pointe en l'air, soit la pointe contre le sol. Deux issues, mais aucune symétrie entre elles — la forme de la punaise favorise visiblement l'une des deux positions, sans qu'on puisse dire laquelle ni de combien par un simple raisonnement. Le seul recours est l'expérimentation : répéter le lancer un grand nombre de fois et observer les fréquences.

Rappelons que si l'on répète $n$ fois une expérience aléatoire, la fréquence observée d'un événement est le quotient du nombre de réalisations de cet événement par $n$ . Cette fréquence est une donnée statistique : elle dépend de la série d'essais effectuée, et deux séries de $n$ lancers donnent en général deux fréquences différentes. La probabilité, elle, est un nombre fixé par le modèle. Le pont entre les deux est un théorème fondamental, démontré en cours d'études supérieures, dont le programme de seconde retient la version vulgarisée suivante.

Propriété

Loi des grands nombres (version vulgarisée). Lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.

Fréquence de PILE en fonction du nombre de lancers, courbe se stabilisant autour de la droite pointillée d'ordonnée 0,5

La figure ci-dessus montre une simulation de $1 000$ lancers d'une pièce équilibrée : en abscisse le nombre $n$ de lancers effectués, en ordonnée la fréquence de PILE obtenue sur ces $n$ lancers. Pour les petites valeurs de $n$ , la courbe fluctue fortement — après $10$ lancers, une fréquence de $0,3$ ou de $0,7$ n'a rien d'étonnant. Puis, à mesure que $n$ grandit, les fluctuations s'amortissent et la courbe se stabilise autour de la droite pointillée d'ordonnée $0,5$ , la probabilité de PILE dans le modèle de la pièce équilibrée. C'est exactement ce que prédit la loi des grands nombres.

Cette loi a une conséquence pratique majeure : elle permet de construire un modèle à partir de données observées, dans les situations où aucune hypothèse d'équiprobabilité n'est disponible.

Exemple

On lance $10 000$ fois une punaise : elle retombe la pointe en l'air dans $62 %$ des lancers. Le nombre de lancers est grand, donc, sauf exception, la fréquence observée $0,62$ est proche de la probabilité inconnue. On adopte alors le modèle suivant : $Ω = {pointe en l’air; pointe au sol}$ avec

P (pointe en l’air) = 0,62 et P (pointe au sol) = 0,38

Ce choix ne se démontre pas : c'est une décision de modélisation, appuyée sur les données. C'est ainsi que sont établies bien des probabilités du monde réel, comme la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon, voisine de $0,51$ d'après les registres de naissances.

La figure de la loi des grands nombres a été produite par simulation : plutôt que de lancer une vraie pièce $1 000$ fois, on demande à un ordinateur de produire des résultats au hasard. En Python, la fonction randint du module random renvoie un entier au hasard entre les deux bornes fournies (incluses), chaque entier étant équiprobable. Le script suivant simule $n$ lancers d'une pièce équilibrée et renvoie la fréquence de PILE :

from random import randint

def frequence_pile(n):
    """Frequence de PILE sur n lancers d'une piece equilibree."""
    compteur = 0
    for i in range(n):
        if randint(0, 1) == 1:   # 1 code PILE, 0 code FACE
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

print(frequence_pile(100))     # par exemple 0.46
print(frequence_pile(10000))   # par exemple 0.4983

Le principe est celui de tous les comptages vus dans les chapitres de statistiques : un compteur initialisé à zéro, une boucle qui répète l'expérience n fois, une incrémentation à chaque PILE, puis la division finale par n qui transforme l'effectif en fréquence. Chaque exécution donne un résultat différent — c'est le hasard — mais, conformément à la loi des grands nombres, les résultats pour n = 10000 s'écartent rarement beaucoup de $0,5$ , alors que ceux pour n = 100 fluctuent davantage. Le même travail se mène sur tableur avec une fonction de tirage aléatoire et un comptage conditionnel.

Remarque

Le « sauf exception » n'est pas décoratif. Rien n'interdit d'obtenir $1 000$ fois PILE en $1 000$ lancers d'une pièce équilibrée : c'est possible, simplement extraordinairement rare. La loi des grands nombres ne promet pas que la fréquence observée sera proche de la probabilité, elle affirme que les séries d'essais où elle s'en écarte nettement deviennent exceptionnelles quand $n$ est grand. Elle ne dit rien non plus des essais individuels : après dix PILE consécutifs, la probabilité de PILE au onzième lancer reste $0,5$ — la pièce n'a pas de mémoire, et croire qu'un FACE devient « dû » est une erreur classique connue sous le nom d'illusion du joueur.

La probabilité conditionnelle

Reprenons la classe de seconde du chapitre précédent : $30$ élèves, dont $18$ filles ; $15$ élèves viennent en bus, dont $12$ filles. On tire au sort un élève de la classe pour un exposé, chaque élève ayant la même probabilité d'être choisi — voici le lien annoncé entre statistique et probabilités : une population s'étudie d'un point de vue probabiliste via l'expérience aléatoire « tirage au sort équiprobable d'un individu ». Notons $F$ l'événement « l'élève tiré est une fille » et $B$ « l'élève tiré vient en bus ». L'équiprobabilité donne $P (F) = \frac{18}{30} = 0,6$ et $P (B) = \frac{15}{30} = 0,5$ .

Supposons maintenant qu'on apprenne que l'élève tiré est une fille, sans rien savoir d'autre. Quelle est, avec cette information, la probabilité qu'il vienne en bus ? L'information reçue restreint l'univers : les $12$ garçons ne peuvent plus être l'élève tiré, et le tirage équiprobable se rejoue en pensée sur les $18$ filles seulement. Parmi elles, $12$ viennent en bus : la probabilité cherchée est $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ . Ce nombre est une probabilité conditionnelle : la probabilité de $B$ sachant $F$ . Remarquons que $\frac{12}{18} = \frac{12 / 30}{18 / 30} = \frac{P (F \cap B)}{P (F)}$ : rapporter l'effectif de l'intersection à celui de la sous-population revient à rapporter la probabilité de l'intersection à celle de l'événement conditionnant. C'est cette égalité qui sert de définition générale, valable même sans équiprobabilité.

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P (A) \neq 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ , est :

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

Elle se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » : c'est la probabilité que $B$ soit réalisé quand on sait que $A$ l'est.

Dans le cas du tirage au sort dans une population, la probabilité conditionnelle se calcule directement sur les effectifs, comme dans l'exemple introductif.

Propriété

Lorsque l'expérience aléatoire est le tirage au sort équiprobable d'un individu dans une population $Ω$ , alors pour tous événements $A$ et $B$ avec $Card (B) \neq 0$ :

P_{B} (A) = \frac{Card (A \cap B)}{Card (B)}

En effet, $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{Card (A \cap B) / Card (Ω)}{Card (B) / Card (Ω)} = \frac{Card (A \cap B)}{Card (B)}$ .

Ce quotient est exactement la fréquence conditionnelle $f_{B} (A)$ du chapitre précédent : l'effectif de « $A$ et $B$ » divisé par l'effectif de $B$ . Autrement dit, dans le modèle du tirage au sort équiprobable, fréquence conditionnelle dans la population et probabilité conditionnelle du tirage sont un seul et même nombre — le point de vue statistique décrit la population, le point de vue probabiliste prédit le tirage.

Exemple

Dans la classe fil rouge, calculons $P_{F} (B)$ et $P_{B} (F)$ à partir des effectifs : $Card (F) = 18$ , $Card (B) = 15$ et $Card (F \cap B) = 12$ .

$P_{F} (B) = \frac{Card (F \cap B)}{Card (F)} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ : sachant que l'élève tiré est une fille, la probabilité qu'il vienne en bus est $\frac{2}{3}$ .
$P_{B} (F) = \frac{Card (F \cap B)}{Card (B)} = \frac{12}{15} = 0,8$ : sachant que l'élève tiré vient en bus, la probabilité que ce soit une fille est $0,8$ .
Par la définition, on retrouve bien $P_{F} (B) = \frac{P (F \cap B)}{P (F)} = \frac{12 / 30}{18 / 30} = \frac{0,4}{0,6} = \frac{2}{3}$ .

Remarque

$P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ ne désignent pas la même chose : les deux quotients ont le même numérateur ( $P (A \cap B)$ , ou l'effectif de l'intersection), mais pas le même dénominateur, car l'information connue n'est pas la même. Dans l'exemple, « la probabilité qu'une fille vienne en bus » ( $\frac{2}{3}$ ) et « la probabilité qu'un usager du bus soit une fille » ( $0,8$ ) répondent à deux questions différentes. Cette distinction, déjà croisée avec les fréquences conditionnelles, devient cruciale quand les deux nombres sont très éloignés l'un de l'autre — la section 7 y est entièrement consacrée.

Tableaux croisés d'effectifs

Quand une population est décrite par deux caractères, le tableau croisé d'effectifs du chapitre précédent contient tout ce qu'il faut pour calculer probabilités et probabilités conditionnelles du tirage au sort.

Exemple

Un lycée compte $1 200$ élèves. Deux caractères sont relevés : le régime (demi-pensionnaire ou externe) et l'inscription à l'association sportive (AS). Le tableau croisé, avec ses marges :

	Demi-pensionnaires	Externes	Total
Inscrits à l'AS	$240$	$60$	$300$
Non inscrits	$560$	$340$	$900$
Total	$800$	$400$	$1 200$

On tire au sort un élève du lycée (équiprobabilité). Notons $D$ : « l'élève est demi-pensionnaire » et $S$ : « l'élève est inscrit à l'AS ». Les probabilités se lisent directement :

dans les marges : $P (D) = \frac{800}{1 200} = \frac{2}{3}$ et $P (S) = \frac{300}{1 200} = 0,25$ ;
dans les cases intérieures : $P (D \cap S) = \frac{240}{1 200} = 0,2$ .

Méthode

Calculer une probabilité conditionnelle dans un tableau croisé.

Identifier l'événement conditionnant (celui qui suit le mot « sachant ») : sa ligne ou sa colonne devient le nouveau référentiel, et son effectif marginal le dénominateur.
Repérer la case de l'intersection des deux événements : son effectif est le numérateur.
Diviser : $P_{B} (A) = \frac{Card (A \cap B)}{Card (B)}$ , puis interpréter le résultat par une phrase en français commençant par « sachant que… » ou « parmi les… ».

Exemple

Dans le lycée ci-dessus, calculons les deux probabilités conditionnelles associées à $D$ et $S$ , dans les deux sens.

Probabilité de $S$ sachant $D$ . Le référentiel est la colonne des demi-pensionnaires, d'effectif $800$ ; l'intersection vaut $240$ :

P_{D} (S) = \frac{240}{800} = 0,3

Sachant que l'élève tiré est demi-pensionnaire, la probabilité qu'il soit inscrit à l'AS est $0,3$ — autrement dit, $30 %$ des demi-pensionnaires sont inscrits à l'AS.

Probabilité de $D$ sachant $S$ . Le référentiel est cette fois la ligne des inscrits à l'AS, d'effectif $300$ ; l'intersection est la même case, $240$ :

P_{S} (D) = \frac{240}{300} = 0,8

Sachant que l'élève tiré est inscrit à l'AS, la probabilité qu'il soit demi-pensionnaire est $0,8$ — $80 %$ des inscrits à l'AS sont demi-pensionnaires.

Même numérateur ( $240$ ), deux dénominateurs, deux résultats très différents ( $0,3$ contre $0,8$ ) : le tableau croisé rend visible d'un coup d'œil pourquoi $P_{D} (S) \neq P_{S} (D)$ .

Les arbres pondérés

Le tableau croisé convient aux populations décrites par deux caractères. Quand l'expérience aléatoire se déroule en deux étapes successives — deux tirages, deux lancers, une machine puis un contrôle — un autre outil s'impose : l'arbre pondéré.

Arbre pondéré générique à deux niveaux, avec les événements A et son contraire au premier niveau, B et son contraire au second

Le vocabulaire : chaque point de l'arbre est un nœud ; de chaque nœud partent des branches, portant chacune un événement et un nombre appelé pondération ; une suite de branches de la racine jusqu'à une extrémité (une feuille) est un chemin. Sur la figure, la racine se sépare en deux branches vers $A$ et $\overline{A}$ , puis chacun de ces nœuds se sépare à nouveau vers $B$ et $\overline{B}$ : les quatre chemins correspondent aux quatre intersections possibles $A \cap B$ , $A \cap \overline{B}$ , $\overline{A} \cap B$ et $\overline{A} \cap \overline{B}$ .

Propriété

Règles de l'arbre pondéré.

La somme des pondérations des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .
Les branches du premier niveau portent des probabilités ( $P (A)$ , $P (\overline{A})$ ) ; les branches du deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles : la branche menant de $A$ vers $B$ porte $P_{A} (B)$ , la probabilité de $B$ sachant que le premier niveau a donné $A$ .
Multiplication le long d'un chemin : la probabilité de l'intersection des événements rencontrés le long d'un chemin est le produit des pondérations de ses branches :

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

Remarque

La règle de multiplication n'est pas une propriété nouvelle : c'est la définition de la probabilité conditionnelle de la section 4, lue dans l'autre sens. Multiplier les deux membres de $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ par $P (A)$ donne exactement $P (A) \times P_{A} (B) = P (A \cap B)$ . La définition sert à calculer une probabilité conditionnelle quand on connaît l'intersection ; la règle du chemin sert à calculer une intersection quand on connaît la probabilité conditionnelle. Deux usages, une seule égalité.

Méthode

Construire un arbre pondéré à partir d'un énoncé.

Identifier les deux étapes de l'expérience (ou les deux caractères), et les événements de chaque étape.
Poser le premier niveau : une branche par événement de la première étape, pondérée par sa probabilité.
Traduire les « sachant que » de l'énoncé : chaque phrase du type « si la première étape a donné tel résultat, alors… » fournit la pondération conditionnelle d'une branche du deuxième niveau.
Vérifier la cohérence : à chaque nœud, la somme des pondérations des branches qui en partent doit valoir $1$ — c'est le contrôle systématique avant tout calcul.

Exemple

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard, on ne la remet pas dans l'urne, puis on tire une seconde boule. Notons $R_{1}$ et $V_{1}$ les événements « la première boule est rouge / verte », $R_{2}$ et $V_{2}$ les mêmes pour la seconde.

Construisons l'arbre en suivant la méthode. Premier niveau : $5$ boules dont $3$ rouges, donc $P (R_{1}) = \frac{3}{5}$ et $P (V_{1}) = \frac{2}{5}$ . Deuxième niveau : tout dépend du premier tirage, puisque la boule tirée n'est pas remise.

Sachant $R_{1}$ , il reste $4$ boules dont $2$ rouges et $2$ vertes : les branches issues de $R_{1}$ portent $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{2}{4}$ et $P_{R_{1}} (V_{2}) = \frac{2}{4}$ .
Sachant $V_{1}$ , il reste $4$ boules dont $3$ rouges et $1$ verte : les branches issues de $V_{1}$ portent $P_{V_{1}} (R_{2}) = \frac{3}{4}$ et $P_{V_{1}} (V_{2}) = \frac{1}{4}$ .

Cohérence : $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ , $\frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$ et $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ — chaque nœud est en règle. La pondération $\frac{2}{4}$ de la branche $R_{1} \to R_{2}$ n'est pas une probabilité « toute seule » : c'est la probabilité conditionnelle $P_{R_{1}} (R_{2})$ , celle d'une deuxième rouge sachant que la première l'était. La règle de multiplication donne alors la probabilité de tirer deux boules rouges :

P (R_{1} \cap R_{2}) = P (R_{1}) \times P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

Il y a donc $3$ chances sur $10$ que les deux boules tirées soient rouges.

Une capacité essentielle du chapitre est de circuler dans les deux sens entre la langue naturelle et le registre symbolique de l'arbre. Dans le sens énoncé $\to$ arbre, c'est la méthode ci-dessus : les « sachant que » du texte deviennent les pondérations du deuxième niveau. Dans le sens arbre $\to$ énoncé, chaque élément de la figure se lit par une phrase précise. Sur l'arbre de l'urne :

la pondération $\frac{2}{5}$ de la branche menant à $V_{1}$ se lit « la probabilité que la première boule soit verte vaut $\frac{2}{5}$ » ;
la pondération $\frac{3}{4}$ de la branche allant de $V_{1}$ à $R_{2}$ se lit « sachant que la première boule est verte, la probabilité que la seconde soit rouge vaut $\frac{3}{4}$ », c'est-à-dire $P_{V_{1}} (R_{2}) = \frac{3}{4}$ — et surtout pas « la probabilité que la seconde boule soit rouge », qui n'est pas une pondération de l'arbre ;
inversement, la question « quelle est la probabilité de tirer une verte puis une rouge ? » se traduit par $P (V_{1} \cap R_{2})$ et se calcule en suivant le chemin correspondant : $P (V_{1} \cap R_{2}) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .

Inverser un conditionnement : la question des faux positifs

La distinction entre $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ , croisée dans les sections 4 et 5, n'est pas une subtilité d'école : elle est au cœur de situations bien réelles — contrôle qualité industriel, études économiques, et surtout tests de dépistage médicaux. Un test de dépistage détecte une maladie, mais imparfaitement : il peut se tromper dans les deux sens. Le vocabulaire est fixé.

Définition

On note $M$ l'événement « l'individu est malade » et $T$ l'événement « le test de l'individu est positif ».

La sensibilité du test est $P_{M} (T)$ : la probabilité que le test soit positif sachant que l'individu est malade.
La spécificité du test est $P_{\overline{M}} (\overline{T})$ : la probabilité que le test soit négatif sachant que l'individu n'est pas malade.
Un faux positif est un individu dont le test est positif alors qu'il n'est pas malade ; un faux négatif est un individu dont le test est négatif alors qu'il est malade.

Un test de sensibilité $95 %$ détecte $95 %$ des malades : c'est $P_{M} (T)$ , la probabilité d'un test positif sachant malade. Mais la personne qui reçoit un résultat positif se pose la question inverse : « sachant que mon test est positif, quelle est la probabilité que je sois malade ? » — c'est $P_{T} (M)$ , un tout autre nombre. Pour le calculer, le programme de seconde propose une méthode aussi simple que robuste : repasser par les effectifs.

Méthode

La méthode des effectifs.

Choisir une population fictive de taille commode, par exemple $10 000$ individus.
Remplir un tableau croisé d'effectifs à partir des données de l'énoncé : la proportion de malades (la prévalence) donne la ligne des malades, la sensibilité répartit les malades entre positifs et négatifs, la spécificité répartit les non-malades.
Compléter les marges par sommes, puis lire la probabilité conditionnelle demandée comme un quotient de deux effectifs du tableau, en prenant pour dénominateur l'effectif de l'événement conditionnant.

Exemple

Une maladie touche $2 %$ de la population. Un test de dépistage a une sensibilité de $90 %$ et une spécificité de $85 %$ . Une personne prise au hasard dans la population est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ?

Prenons une population fictive de $10 000$ personnes et remplissons le tableau ligne par ligne.

Prévalence $2 %$ : il y a $0,02 \times 10 000 = 200$ malades, donc $9 800$ non-malades.
Sensibilité $90 %$ : parmi les $200$ malades, $0,9 \times 200 = 180$ sont testés positifs, et $20$ sont des faux négatifs.
Spécificité $85 %$ : parmi les $9 800$ non-malades, $0,85 \times 9 800 = 8 330$ sont testés négatifs… et les $1 470$ restants sont testés positifs : ce sont les faux positifs.

	Test positif	Test négatif	Total
Malades	$180$	$20$	$200$
Non-malades	$1 470$	$8 330$	$9 800$
Total	$1 650$	$8 350$	$10 000$

Il ne reste qu'à lire. Les personnes testées positives sont au nombre de $180 + 1 470 = 1 650$ , et parmi elles, seules $180$ sont malades :

P_{T} (M) = \frac{180}{1 650} \approx 0,109

Sachant le test positif, la probabilité d'être malade n'est que d'environ $11 %$ — alors que la sensibilité vaut $P_{M} (T) = 0,9$ . Le contraste est spectaculaire, et il s'explique en regardant la colonne des positifs : comme la maladie est rare, les $9 800$ non-malades, même trompés moins d'une fois sur six par le test, produisent $1 470$ faux positifs, qui noient les $180$ vrais malades détectés. Un résultat positif à ce test est donc, presque neuf fois sur dix, une fausse alerte — ce qui justifie en pratique la prescription d'un second test de confirmation.

Exemple

La même méthode en contrôle qualité. Une usine fabrique des pièces sur deux machines : la machine A assure $75 %$ de la production, la machine B les $25 %$ restants. Le service qualité a établi que $4 %$ des pièces issues de A sont défectueuses, contre $8 %$ de celles issues de B. On tire une pièce au hasard dans la production ; notons $A$ : « la pièce vient de la machine A », $B$ : « la pièce vient de la machine B » et $D$ : « la pièce est défectueuse ». Les données sont des probabilités conditionnelles : $P_{A} (D) = 0,04$ et $P_{B} (D) = 0,08$ . Deux questions : quelle est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse, toutes machines confondues ? et, sachant qu'une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine B ?

La méthode des effectifs répond aux deux d'un coup. Sur une production fictive de $10 000$ pièces : $7 500$ viennent de A, dont $0,04 \times 7 500 = 300$ défectueuses ; $2 500$ viennent de B, dont $0,08 \times 2 500 = 200$ défectueuses.

	Défectueuses	Conformes	Total
Machine A	$300$	$7 200$	$7 500$
Machine B	$200$	$2 300$	$2 500$
Total	$500$	$9 500$	$10 000$

Il ne reste qu'à compter. Les pièces défectueuses sont au nombre de $300 + 200 = 500$ , d'où

P (D) = \frac{500}{10 000} = 0,05

soit $5 %$ de la production. Et parmi ces $500$ pièces défectueuses, $200$ viennent de la machine B :

P_{D} (B) = \frac{200}{500} = 0,4

Sachant qu'une pièce est défectueuse, elle provient de la machine B avec une probabilité de $0,4$ : la machine B produit un quart des pièces, mais fournit $40 %$ des défauts. C'est encore une inversion de conditionnement — on connaissait $P_{B} (D) = 0,08$ , on a calculé $P_{D} (B) = 0,4$ — et, comme pour le test médical, le passage par une population fictive d'effectifs rend le calcul transparent.

Confondre $P_{M} (T)$ et $P_{T} (M)$ — annoncer « le test est fiable à $95 %$ , donc un positif a $95 %$ de chances d'être malade » — est une erreur de raisonnement si répandue qu'elle porte un nom : l'inversion du conditionnement. On la retrouve partout dans le débat public, bien au-delà de la médecine : confondre « la plupart des accidents graves impliquent tel facteur » avec « ce facteur rend l'accident grave probable », ou « la plupart des fraudeurs présentent tel profil » avec « la plupart des gens de ce profil sont des fraudeurs ». Le réflexe à acquérir est toujours le même : identifier l'événement conditionnant, se demander « sachant quoi ? », et si besoin reconstruire le tableau d'effectifs — les deux sens du conditionnement y occupent deux dénominateurs différents, et la confusion devient impossible.

Remarque

Un peu d'histoire. Le calcul des probabilités naît officiellement en 1654 d'un échange de lettres entre Blaise Pascal et Pierre de Fermat, provoqué par les questions du chevalier de Méré, joueur mondain : le fameux problème des partis demandait comment partager équitablement les mises d'un jeu de hasard interrompu avant son terme, en tenant compte des chances de chaque joueur de l'emporter. Quelques décennies plus tôt, le grand-duc de Toscane s'était étonné qu'aux trois dés la somme $10$ sorte plus souvent que la somme $9$ , alors que chacune s'obtient par six combinaisons de valeurs : Galilée résolut l'énigme en comptant les issues ordonnées — belle illustration de l'importance du choix de l'univers, à refaire soi-même dans le dernier exercice de la fiche. Les probabilités conditionnelles, elles, apparaissent au XVIIIe siècle dans les écrits, rédigés en anglais, d'Abraham de Moivre puis de Thomas Bayes ; c'est Pierre-Simon de Laplace qui, à la fin du siècle, élabore et systématise la notion, faisant du raisonnement « sachant que » un pilier de la théorie.

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