2ⁿᵈᵉ · Chapitre 11 · Statistiques et probabilités

Croisement de deux variables qualitatives

Tableaux croisés d'effectifs, fréquences conditionnelles et marginales.

Ce qu'il faut savoir faire

Tableaux croisés d'effectifs
Fréquences conditionnelles et marginales

Le chapitre précédent a montré comment résumer une variable observée sur une population : effectifs, fréquences, indicateurs. Mais les questions les plus intéressantes portent souvent sur deux variables à la fois : le moyen de transport des élèves dépend-il de leur sexe ? La gravité des accidents de la route dépend-elle du type de route ? Pour y répondre, on croise les deux variables dans un même tableau — le tableau croisé d'effectifs — et on y lit deux nouveaux types de fréquences : les fréquences marginales et les fréquences conditionnelles. Au passage, ce chapitre est un premier contact avec les bases de données, et un entraînement à décoder les pourcentages que l'on croise chaque jour dans les médias.

Deux variables sur une même population

Rappelons le vocabulaire du chapitre 10. Une étude statistique porte sur une population (les élèves d'une classe, les clients d'un magasin, les accidents d'une année…) dont les éléments sont les individus. Sur chaque individu, on observe une ou plusieurs variables (on dit aussi caractères).

Définition

Une variable est qualitative lorsque ses valeurs possibles, appelées modalités, ne sont pas des nombres sur lesquels on calcule. On distingue deux natures de variables qualitatives :

une variable qualitative est nominale lorsque ses modalités ne sont pas naturellement ordonnées ;
elle est ordinale lorsque ses modalités peuvent être rangées dans un ordre naturel.

Exemple

Nominales : la profession (agriculteur, enseignant, infirmier…), l'espèce cultivée dans une parcelle (blé, maïs, colza…), le département de résidence, le moyen de transport.
Ordinales : le niveau d'étude (brevet $<$ bac $<$ bac $+ 2$ $<$ …), le degré de satisfaction d'un client (très insatisfait $<$ insatisfait $<$ satisfait $<$ très satisfait), la gravité d'un accident de la route (matériel $<$ corporel léger $<$ corporel grave).

Remarque

Une variable quantitative peut devenir qualitative ordinale quand on regroupe ses valeurs en classes : l'âge, regroupé en tranches (« moins de 25 ans », « 25 à 64 ans », « 65 ans et plus »), devient une variable qualitative dont les modalités sont ordonnées. C'est très fréquent en démographie. Dans tout ce chapitre, les deux variables croisées sont qualitatives — jamais deux variables numériques brutes.

Pourquoi observer deux variables à la fois ? Parce que la question intéressante est souvent celle du lien entre elles : la répartition des moyens de transport est-elle la même chez les filles et chez les garçons ? Le degré de satisfaction est-il le même chez les nouveaux clients et chez les clients fidèles ? Pour le savoir, il faut disposer, pour chaque individu, de la valeur des deux variables. Ces données se présentent sous la forme d'un fichier des individus : un tableau où chaque ligne décrit un individu et chaque colonne une variable. C'est exactement le principe d'une base de données — celles qu'exploitent l'INSEE, la Sécurité routière ou n'importe quelle entreprise.

Le tableau croisé d'effectifs

Voici le fil rouge du chapitre. Dans une classe de seconde de $30$ élèves, on relève pour chaque élève deux variables qualitatives : son sexe (fille ou garçon) et son moyen de transport pour venir au lycée (en bus, à vélo ou à pied). Le fichier des individus commence ainsi :

Élève	Sexe	Moyen de transport
$1$	fille	bus
$2$	garçon	à pied
$3$	fille	bus
$4$	fille	vélo
…	…	…
$30$	garçon	bus

Trente lignes de ce type sont illisibles d'un seul coup d'œil : on les résume dans un tableau à double entrée.

Définition

Le tableau croisé d'effectifs de deux variables qualitatives observées sur une même population est le tableau à double entrée dans lequel :

les lignes correspondent aux modalités de la première variable, les colonnes aux modalités de la seconde ;
la case située à l'intersection d'une ligne et d'une colonne contient l'effectif croisé : le nombre d'individus qui présentent à la fois ces deux modalités ;
une ligne et une colonne Total complètent le tableau : les totaux de lignes et de colonnes sont les effectifs marginaux, et la case en bas à droite est l'effectif total $N$ de la population.

Méthode

Construire un tableau croisé à partir des données brutes (dépouillement). Acquis depuis : collège.

Préparer un tableau vide : une ligne par modalité de la première variable, une colonne par modalité de la seconde.
Parcourir le fichier des individus ligne par ligne et ajouter un bâton dans la case correspondant au couple de modalités de chaque individu.
Compter les bâtons de chaque case, puis calculer les totaux de chaque ligne et de chaque colonne.
Contrôler : la somme des totaux de lignes et la somme des totaux de colonnes doivent toutes deux redonner l'effectif total $N$ .

Exemple

Le dépouillement des $30$ élèves de la classe donne le tableau croisé suivant :

	En bus	À vélo	À pied	Total
Filles	$12$	$2$	$4$	$18$
Garçons	$3$	$4$	$5$	$12$
Total	$15$	$6$	$9$	$30$

Contrôle : $18 + 12 = 30$ et $15 + 6 + 9 = 30$ — les deux lectures redonnent bien l'effectif total.

Remarque

Ce tableau porte aussi le nom savant de table de contingence — on le rencontrera dans les études supérieures.
Le choix de placer une variable en lignes et l'autre en colonnes est libre : échanger les deux revient à transposer le tableau, sans changer aucune information.

Lire « et », lire « ou »

Chaque case intérieure du tableau se lit avec le mot et : la case $(Filles, En bus)$ contient $12$ , donc $12$ élèves sont des filles et viennent en bus. Les totaux, eux, ne portent que sur une seule variable : $18$ élèves sont des filles (peu importe leur transport), $15$ élèves viennent en bus (peu importe leur sexe).

Pour compter les individus qui vérifient une condition ou une autre (au sens usuel des mathématiques : l'une, l'autre, ou les deux), il faut se méfier du double comptage.

Propriété

Pour deux conditions $A$ et $B$ portant sur les individus d'une même population :

effectif de (A ou B) = effectif de A + effectif de B - effectif de (A et B)

On soustrait l'effectif de $(A et B)$ car les individus qui vérifient les deux conditions ont été comptés deux fois : une fois dans l'effectif de $A$ , une fois dans celui de $B$ .

Exemple

Combien d'élèves de la classe sont des filles ou viennent en bus ? Si l'on additionne brutalement $18 + 15 = 33$ , on dépasse l'effectif de la classe : les $12$ filles qui viennent en bus ont été comptées deux fois. Le bon compte est :

18 + 15 - 12 = 21.

Vérification par le complément : les élèves qui ne sont ni des filles ni des usagers du bus sont les garçons à vélo ( $4$ ) et les garçons à pied ( $5$ ), soit $9$ élèves — et $30 - 9 = 21$ .

Fréquences marginales

Les effectifs dépendent de la taille de la population : $12$ filles en bus, c'est beaucoup dans une classe de $30$ , très peu dans un lycée de $1 200$ élèves. Pour comparer, on passe aux fréquences, comme au chapitre 9. La première famille de fréquences ne fait intervenir qu'une variable à la fois.

Définition

La fréquence marginale d'une modalité $A$ est la proportion d'individus de la population qui présentent cette modalité :

f (A) = \frac{effectif marginal de A}{N},

où $N$ est l'effectif total. Les fréquences marginales se calculent donc à partir de la ligne et de la colonne Total du tableau croisé — la marge du tableau.

Exemple

Dans la classe fil rouge ( $N = 30$ ) :

fréquence marginale des filles : $f (fille) = \frac{18}{30} = 0,6$ , soit $60 %$ ; celle des garçons : $f (garçon) = \frac{12}{30} = 0,4$ , soit $40 %$ ;
fréquences marginales des transports : $f (bus) = \frac{15}{30} = 0,5$ , $f (vélo) = \frac{6}{30} = 0,2$ et $f (à pied) = \frac{9}{30} = 0,3$ , soit $50 %$ , $20 %$ et $30 %$ .

Propriété

Pour chacune des deux variables, la somme des fréquences marginales de toutes ses modalités vaut $1$ , c'est-à-dire $100 %$ .

Vérification sur le fil rouge : $0,6 + 0,4 = 1$ pour le sexe, et $0,5 + 0,2 + 0,3 = 1$ pour le transport.

Remarque

Le mot marginal n'a rien de péjoratif : il vient de la marge du tableau, où sont inscrits les totaux. Une fréquence marginale ignore complètement l'autre variable — $f (bus) = 0,5$ ne dit rien de la répartition filles/garçons parmi les usagers du bus.

Fréquences conditionnelles

Les fréquences marginales ne suffisent pas pour répondre à la question de départ : les filles et les garçons se déplacent-ils de la même façon ? Comparer les effectifs $12$ (filles en bus) et $3$ (garçons en bus) est trompeur, car il y a $18$ filles et seulement $12$ garçons dans la classe : les deux groupes n'ont pas la même taille. La bonne idée est de rapporter chaque effectif croisé à l'effectif du groupe concerné — c'est la fréquence conditionnelle.

Définition

Soient $A$ et $B$ deux conditions portant sur les individus (par exemple deux modalités des deux variables). La fréquence conditionnelle de $B$ parmi les individus qui vérifient $A$ est :

f_{A} (B) = \frac{effectif de (A et B)}{effectif de A}

Elle se lit : « fréquence de $B$ parmi les individus qui vérifient $A$ ». La sous-population de référence n'est plus la population entière, mais uniquement les individus qui vérifient $A$ .

Exemple

Dans la classe fil rouge, on peut conditionner en ligne (parmi les filles, parmi les garçons) ou en colonne (parmi les usagers du bus, parmi les cyclistes) :

En ligne. Parmi les $18$ filles, $12$ viennent en bus : $f_{fille} (bus) = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \approx 0,67$ . Environ $67 %$ des filles viennent en bus.
En ligne. Parmi les $12$ garçons, $5$ viennent à pied : $f_{garçon} (à pied) = \frac{5}{12} \approx 0,42$ , soit environ $42 %$ des garçons.
En colonne. Parmi les $15$ usagers du bus, $12$ sont des filles : $f_{bus} (fille) = \frac{12}{15} = 0,8$ . Ainsi $80 %$ des usagers du bus sont des filles.
En colonne. Parmi les $6$ cyclistes, $4$ sont des garçons : $f_{vélo} (garçon) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0,67$ des cyclistes.

Ces fréquences permettent enfin la comparaison cherchée : $f_{fille} (vélo) = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \approx 0,11$ tandis que $f_{garçon} (vélo) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0,33$ — dans cette classe, la part des cyclistes est nettement plus élevée chez les garçons que chez les filles, alors même que les effectifs croisés ( $2$ et $4$ ) semblaient proches.

Exemple

Le tableau des fréquences conditionnelles en ligne. En divisant chaque case d'une ligne par le total de cette ligne, on obtient le tableau des fréquences conditionnelles sachant le sexe, ici en pourcentages arrondis à l'unité :

	En bus	À vélo	À pied	Total
Parmi les filles	$\approx 67 %$	$\approx 11 %$	$\approx 22 %$	$100 %$
Parmi les garçons	$25 %$	$\approx 33 %$	$\approx 42 %$	$100 %$

Ce tableau compare d'un coup d'œil les habitudes des deux groupes comme s'ils avaient la même taille : les filles de cette classe prennent surtout le bus, les garçons se répartissent plus également entre les trois modes. Chaque ligne a pour total $100 %$ — c'est la propriété ci-dessous. (À cause des arrondis, une somme peut parfois afficher $99 %$ ou $101 %$ ; on le signale alors en note.)

Propriété

Pour une condition $A$ fixée, la somme des fréquences conditionnelles $f_{A} (B)$ de toutes les modalités $B$ de l'autre variable vaut $1$ .

Vérification parmi les filles :

f_{fille} (bus) + f_{fille} (vélo) + f_{fille} (à pied) = \frac{12}{18} + \frac{2}{18} + \frac{4}{18} = \frac{18}{18} = 1.

Remarque

Le piège du chapitre : en général, $f_{A} (B) \neq f_{B} (A)$ . Les deux fréquences ont le même numérateur (l'effectif de $A$ et $B$ ) mais des dénominateurs différents. Sur le fil rouge :

$f_{fille} (bus) = \frac{12}{18} \approx 0,67$ : environ $67 %$ des filles viennent en bus ;
$f_{bus} (fille) = \frac{12}{15} = 0,8$ : $80 %$ des usagers du bus sont des filles.

Deux phrases, deux sous-populations de référence, deux nombres différents. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente — et la plus exploitée dans les discours trompeurs.

Méthode

Identifier la sous-population de référence. Dans un énoncé en français, la sous-population $A$ d'une fréquence conditionnelle $f_{A} (B)$ est signalée par les mots « parmi les… », « chez les… », ou par le complément « des… » :

« parmi les filles, deux tiers viennent en bus » : la référence est l'ensemble des filles, la fréquence est $f_{fille} (bus)$ ;
« $80 %$ des usagers du bus sont des filles » : la référence est l'ensemble des usagers du bus, la fréquence est $f_{bus} (fille)$ .

Avant tout calcul, écrire noir sur blanc : « sous-population de référence = … ; son effectif = … (le dénominateur) ».

Compléter un tableau croisé

Dans la pratique, un tableau croisé arrive rarement complet : une enquête fournit quelques effectifs, un total, une fréquence… et il faut reconstituer le reste. Deux outils s'enchaînent.

Méthode

Compléter un tableau croisé à trous.

Méthode 1 — raisonner sur les effectifs. Chaque ligne et chaque colonne a pour somme son total marginal, et les totaux marginaux ont pour somme l'effectif total $N$ . Chaque case inconnue s'obtient donc par une soustraction dans sa ligne ou dans sa colonne.
Méthode 2 — utiliser une fréquence conditionnelle donnée. De la définition $f_{A} (B) = \frac{effectif de (A et B)}{effectif de A}$ on tire :

effectif de (A et B) = f_{A} (B) \times effectif de A

On commence par convertir les fréquences données en effectifs (méthode 2), puis on propage par sommes et différences (méthode 1), en contrôlant à la fin que toutes les lignes et colonnes retombent sur leurs totaux.

Exemple

Une enseigne interroge $200$ clients d'un magasin. On sait que $120$ d'entre eux sont des clients fidèles, que $158$ clients au total se déclarent satisfaits, et que, parmi les clients fidèles, $85 %$ se déclarent satisfaits. Le tableau à compléter :

	Satisfaits	Total
Clients fidèles		$120$
Nouveaux clients
Total	$158$	$200$

Effectifs marginaux (méthode 1). Nouveaux clients : $200 - 120 = 80$ . Clients non satisfaits : $200 - 158 = 42$ .
La fréquence conditionnelle (méthode 2). « Parmi les clients fidèles, $85 %$ sont satisfaits » se traduit par $f_{fidèle} (satisfait) = 0,85$ , donc :

effectif de (fidèle et satisfait) = 0,85 \times 120 = 102.

Propagation (méthode 1). Fidèles non satisfaits : $120 - 102 = 18$ . Nouveaux clients satisfaits : $158 - 102 = 56$ . Nouveaux clients non satisfaits : $80 - 56 = 24$ .
Contrôle. Colonne « Non satisfaits » : $18 + 24 = 42$ — cohérent avec l'étape 1.

	Satisfaits	Non satisfaits	Total
Clients fidèles	$102$	$18$	$120$
Nouveaux clients	$56$	$24$	$80$
Total	$158$	$42$	$200$

Le tableau complété permet d'aller plus loin : $f_{nouveau} (satisfait) = \frac{56}{80} = 0,7$ , soit $70 %$ — la satisfaction est plus faible chez les nouveaux clients ( $70 %$ ) que chez les fidèles ( $85 %$ ).

Interpréter : les formulations des médias

Les fréquences marginales et conditionnelles sont partout dans la presse, souvent sans que le mot « fréquence » apparaisse : « $x %$ des Français… », « chez les jeunes, … », « un conducteur sur trois… ». Savoir traduire ces phrases est une capacité du programme — et un réflexe de citoyen.

Méthode

Traduire une phrase de presse en fréquence.

Identifier la population de référence : de qui parle-t-on exactement ? Si c'est la population entière, le pourcentage est une fréquence marginale ; si c'est une sous-population signalée par « parmi », « chez », « des… », c'est une fréquence conditionnelle.
Identifier la modalité comptée : quelle propriété le pourcentage mesure-t-il ?
Écrire la fréquence en notation : $f (B)$ ou $f_{A} (B)$ , et se demander quels effectifs il faudrait connaître pour remonter aux nombres d'individus.

Exemple

Trois phrases de style journalistique, analysées :

« Dans cette entreprise, $23 %$ des salariés travaillent à temps partiel. » La référence est la population entière (tous les salariés de l'entreprise) : c'est la fréquence marginale $f (temps partiel) = 0,23$ .
« Parmi les conducteurs impliqués dans un accident mortel, un sur trois avait une alcoolémie supérieure à la limite légale. » Le « parmi » signale une fréquence conditionnelle : $f_{accident mortel} (alcoolémie excessive) = \frac{1}{3} \approx 0,33$ . Attention au sens de lecture : cette phrase ne dit pas qu'un conducteur alcoolisé sur trois a un accident mortel — ce serait $f_{alcoolémie excessive} (accident mortel)$ , une tout autre fréquence.
« Chez les moins de 25 ans, le taux de chômage atteint $17 %$ . » Le « chez les » signale encore une fréquence conditionnelle : parmi les actifs de moins de 25 ans, $17 %$ sont au chômage, soit $f_{moins de 25 ans} (chômage) = 0,17$ . La sous-population de référence (les actifs de cette tranche d'âge) est bien plus petite que « les jeunes » en général.

Remarque

Esprit critique : une fréquence conditionnelle ne dit rien de l'effectif de sa sous-population. Dans la classe fil rouge, « deux tiers des cyclistes sont des garçons » ( $f_{vélo} (garçon) = \frac{4}{6} \approx 0,67$ ) sonne comme un phénomène massif… mais ne concerne que $6$ élèves sur $30$ , et seulement $4$ garçons sur $12$ . Un pourcentage conditionnel spectaculaire calculé sur une sous-population minuscule n'a pas grande portée : toujours se demander « pourcentage de quoi, et sur combien d'individus ? » avant de conclure.

Python : filtrer et croiser des données

Le fichier des individus de la classe fil rouge se représente en Python par deux listes parallèles : sexe[i] et transport[i] décrivent le même élève numéro i. C'est le principe de toute base de données : une ligne = un individu, une colonne = une variable. Les modalités sont codées par des chaînes courtes, sans accent : "F" et "G" pour le sexe, "bus", "velo" et "pied" pour le transport.

Exemple

Filtrer : compter les individus vérifiant un critère. Le script parcourt les $30$ élèves et compte ceux qui répondent au critère, construit avec and, or ou not :

sexe = ["F", "G", "F", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "F",
        "G", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "G", "F", "F",
        "G", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "G", "F", "G"]
transport = ["bus", "pied", "bus", "velo", "bus", "pied",
             "bus", "velo", "bus", "bus", "pied", "bus",
             "velo", "bus", "pied", "bus", "bus", "pied",
             "bus", "bus", "velo", "bus", "pied", "velo",
             "bus", "velo", "pied", "pied", "pied", "bus"]

# Les filles qui viennent a velo (ET)
compteur = 0
for i in range(30):
    if sexe[i] == "F" and transport[i] == "velo":
        compteur = compteur + 1
print(compteur)   # affiche 2

# Les eleves qui viennent a velo ou a pied (OU)
compteur = 0
for i in range(30):
    if transport[i] == "velo" or transport[i] == "pied":
        compteur = compteur + 1
print(compteur)   # affiche 15

# Les eleves qui ne viennent pas en bus (NON)
compteur = 0
for i in range(30):
    if not transport[i] == "bus":
        compteur = compteur + 1
print(compteur)   # affiche 15

Les deux derniers comptages donnent le même résultat ( $6 + 9 = 15$ ) : « à vélo ou à pied » et « pas en bus » décrivent ici le même sous-ensemble d'élèves, puisqu'il n'y a que trois modalités de transport.

Exemple

Croiser : reconstruire une case du tableau et une fréquence conditionnelle. Avec les mêmes listes, une fonction à double condition calcule l'effectif de n'importe quelle case du tableau croisé, et une seconde fonction calcule un effectif marginal :

def effectif_croise(s, t):
    """Effectif de la case (sexe s, transport t)."""
    compteur = 0
    for i in range(len(sexe)):
        if sexe[i] == s and transport[i] == t:
            compteur = compteur + 1
    return compteur

def effectif_sexe(s):
    """Effectif marginal du sexe s."""
    compteur = 0
    for i in range(len(sexe)):
        if sexe[i] == s:
            compteur = compteur + 1
    return compteur

print(effectif_croise("F", "bus"))   # affiche 12
print(effectif_sexe("F"))            # affiche 18

# Frequence conditionnelle du bus parmi les filles
f = effectif_croise("F", "bus") / effectif_sexe("F")
print(f)   # affiche 0.6666666666666666 (environ 0,67)

On retrouve exactement les valeurs du cours : la case $(Filles, En bus)$ vaut $12$ , l'effectif marginal des filles vaut $18$ , et $f_{fille} (bus) = \frac{12}{18} \approx 0,67$ . En appelant effectif_croise pour les six couples de modalités, on reconstruit tout le tableau croisé de la section 2.

Remarque

Ces quelques lignes contiennent le principe du traitement des vraies données : les fichiers de l'INSEE ou de la Sécurité routière comptent des millions de lignes, mais les ordinateurs qui les exploitent font exactement cela — parcourir les lignes, filtrer selon des critères combinés par ET/OU/NON, compter, puis diviser pour obtenir des fréquences. Le tableur (avec ses fonctions de comptage conditionnel) et les logiciels de statistique automatisent ce même schéma.

Le cours en PDF(PDF, 85 Ko)

Bloqué sur « Croisement de deux variables qualitatives » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Élève

Sexe

Moyen de transport

1

fille

bus

2

garçon

à pied

3

fille

bus

4

fille

vélo

…

30

garçon

bus

En bus

À vélo

À pied

Total

Filles

12

2

4

18

Garçons

3

4

5

12

Total

15

6

9

30

En bus

À vélo

À pied

Total

Parmi les filles

\approx 67 %

\approx 11 %

\approx 22 %

100 %

Parmi les garçons

25 %

\approx 33 %

\approx 42 %

100 %

Satisfaits

Non satisfaits

Total

Clients fidèles

120

Nouveaux clients

Total

158

200

Satisfaits

Non satisfaits

Total

Clients fidèles

102

18

120

Nouveaux clients

56

24

80

Total

158

42

200

sexe = ["F", "G", "F", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "G", "F", "G"] transport = ["bus", "pied", "bus", "velo", "bus", "pied", "bus", "velo", "bus", "bus", "pied", "bus", "velo", "bus", "pied", "bus", "bus", "pied", "bus", "bus", "velo", "bus", "pied", "velo", "bus", "velo", "pied", "pied", "pied", "bus"] # Les filles qui viennent a velo (ET) compteur = 0 for i in range(30): if sexe[i] == "F" and transport[i] == "velo": compteur = compteur + 1 print(compteur) # affiche 2 # Les eleves qui viennent a velo ou a pied (OU) compteur = 0 for i in range(30): if transport[i] == "velo" or transport[i] == "pied": compteur = compteur + 1 print(compteur) # affiche 15 # Les eleves qui ne viennent pas en bus (NON) compteur = 0 for i in range(30): if not transport[i] == "bus": compteur = compteur + 1 print(compteur) # affiche 15

def effectif_croise(s, t): """Effectif de la case (sexe s, transport t).""" compteur = 0 for i in range(len(sexe)): if sexe[i] == s and transport[i] == t: compteur = compteur + 1 return compteur def effectif_sexe(s): """Effectif marginal du sexe s.""" compteur = 0 for i in range(len(sexe)): if sexe[i] == s: compteur = compteur + 1 return compteur print(effectif_croise("F", "bus")) # affiche 12 print(effectif_sexe("F")) # affiche 18 # Frequence conditionnelle du bus parmi les filles f = effectif_croise("F", "bus") / effectif_sexe("F") print(f) # affiche 0.6666666666666666 (environ 0,67)