Croisement de deux variables qualitatives

• Nominales : la profession (agriculteur, enseignant, infirmier…), l'espèce cultivée dans une parcelle (blé, maïs, colza…), le département de résidence, le moyen de transport.
• Ordinales : le niveau d'étude (brevet $<$ bac $<$ bac$+2$ $<$ …), le degré de satisfaction d'un client (très insatisfait $<$ insatisfait $<$ satisfait $<$ très satisfait), la gravité d'un accident de la route (matériel $<$ corporel léger $<$ corporel grave).

Le dépouillement des $30$ élèves de la classe donne le tableau croisé suivant :

Contrôle : $18+12=30$ et $15+6+9=30$ — les deux lectures redonnent bien l'effectif total.

Combien d'élèves de la classe sont des filles ou viennent en bus ? Si l'on additionne brutalement $18+15=33$, on dépasse l'effectif de la classe : les $12$ filles qui viennent en bus ont été comptées deux fois. Le bon compte est :

Vérification par le complément : les élèves qui ne sont ni des filles ni des usagers du bus sont les garçons à vélo ($4$) et les garçons à pied ($5$), soit $9$ élèves — et $30-9=21$.

Dans la classe fil rouge ($N=30$) :

• fréquence marginale des filles : $f(\text{fille})={\displaystyle \frac{18}{30}}=\mathrm{0,6}$, soit $60\mathrm{\%}$ ; celle des garçons : $f(\text{gar}\stackrel{¸}{\text{c}}\text{on})={\displaystyle \frac{12}{30}}=\mathrm{0,4}$, soit $40\mathrm{\%}$ ;
• fréquences marginales des transports : $f(\text{bus})={\displaystyle \frac{15}{30}}=\mathrm{0,5}$, $f(\text{v}\acute{\text{e}}\text{lo})={\displaystyle \frac{6}{30}}=\mathrm{0,2}$ et $f(\grave{\text{a}}\text{ pied})={\displaystyle \frac{9}{30}}=\mathrm{0,3}$, soit $50\mathrm{\%}$, $20\mathrm{\%}$ et $30\mathrm{\%}$.

Dans la classe fil rouge, on peut conditionner en ligne (parmi les filles, parmi les garçons) ou en colonne (parmi les usagers du bus, parmi les cyclistes) :

• En ligne. Parmi les $18$ filles, $12$ viennent en bus : $f_{\text{fille}}(\text{bus})={\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,67}$. Environ $67\mathrm{\%}$ des filles viennent en bus.
• En ligne. Parmi les $12$ garçons, $5$ viennent à pied : $f_{\text{gar}\stackrel{¸}{\text{c}}\text{on}}(\grave{\text{a}}\text{ pied})={\displaystyle \frac{5}{12}}\approx \mathrm{0,42}$, soit environ $42\mathrm{\%}$ des garçons.
• En colonne. Parmi les $15$ usagers du bus, $12$ sont des filles : $f_{\text{bus}}(\text{fille})={\displaystyle \frac{12}{15}}=\mathrm{0,8}$. Ainsi $80\mathrm{\%}$ des usagers du bus sont des filles.
• En colonne. Parmi les $6$ cyclistes, $4$ sont des garçons : $f_{\text{v}\acute{\text{e}}\text{lo}}(\text{gar}\stackrel{¸}{\text{c}}\text{on})={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,67}$ des cyclistes.

Le tableau des fréquences conditionnelles en ligne. En divisant chaque case d'une ligne par le total de cette ligne, on obtient le tableau des fréquences conditionnelles sachant le sexe, ici en pourcentages arrondis à l'unité :

Ce tableau compare d'un coup d'œil les habitudes des deux groupes comme s'ils avaient la même taille : les filles de cette classe prennent surtout le bus, les garçons se répartissent plus également entre les trois modes. Chaque ligne a pour total $100\mathrm{\%}$ — c'est la propriété ci-dessous. (À cause des arrondis, une somme peut parfois afficher $99\mathrm{\%}$ ou $101\mathrm{\%}$ ; on le signale alors en note.)

Une enseigne interroge $200$ clients d'un magasin. On sait que $120$ d'entre eux sont des clients fidèles, que $158$ clients au total se déclarent satisfaits, et que, parmi les clients fidèles, $85\mathrm{\%}$ se déclarent satisfaits. Le tableau à compléter :

1. Effectifs marginaux (méthode 1). Nouveaux clients : $200-120=80$. Clients non satisfaits : $200-158=42$.
2. La fréquence conditionnelle (méthode 2). « Parmi les clients fidèles, $85\mathrm{\%}$ sont satisfaits » se traduit par $f_{\text{fid}\grave{\text{e}}\text{le}}(\text{satisfait})=\mathrm{0,85}$, donc :

3. Propagation (méthode 1). Fidèles non satisfaits : $120-102=18$. Nouveaux clients satisfaits : $158-102=56$. Nouveaux clients non satisfaits : $80-56=24$.
4. Contrôle. Colonne « Non satisfaits » : $18+24=42$ — cohérent avec l'étape 1.

Le tableau complété permet d'aller plus loin : $f_{\text{nouveau}}(\text{satisfait})={\displaystyle \frac{56}{80}}=\mathrm{0,7}$, soit $70\mathrm{\%}$ — la satisfaction est plus faible chez les nouveaux clients ($70\mathrm{\%}$) que chez les fidèles ($85\mathrm{\%}$).

Trois phrases de style journalistique, analysées :

• « Dans cette entreprise, $23\mathrm{\%}$ des salariés travaillent à temps partiel. » La référence est la population entière (tous les salariés de l'entreprise) : c'est la fréquence marginale $f(\text{temps partiel})=\mathrm{0,23}$.
• « Parmi les conducteurs impliqués dans un accident mortel, un sur trois avait une alcoolémie supérieure à la limite légale. » Le « parmi » signale une fréquence conditionnelle : $f_{\text{accident mortel}}(\text{alcool}\acute{\text{e}}\text{mie excessive})={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,33}$. Attention au sens de lecture : cette phrase ne dit pas qu'un conducteur alcoolisé sur trois a un accident mortel — ce serait $f_{\text{alcool}\acute{\text{e}}\text{mie excessive}}(\text{accident mortel})$, une tout autre fréquence.
• « Chez les moins de 25 ans, le taux de chômage atteint $17\mathrm{\%}$. » Le « chez les » signale encore une fréquence conditionnelle : parmi les actifs de moins de 25 ans, $17\mathrm{\%}$ sont au chômage, soit $f_{\text{moins de 25 ans}}(\text{ch}\hat{\text{o}}\text{mage})=\mathrm{0,17}$. La sous-population de référence (les actifs de cette tranche d'âge) est bien plus petite que « les jeunes » en général.

Filtrer : compter les individus vérifiant un critère. Le script parcourt les $30$ élèves et compte ceux qui répondent au critère, construit avec and, or ou not :

sexe = ["F", "G", "F", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "F",
        "G", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "G", "F", "F",
        "G", "F", "G", "F", "F", "G", "F", "G", "F", "G"]
transport = ["bus", "pied", "bus", "velo", "bus", "pied",
             "bus", "velo", "bus", "bus", "pied", "bus",
             "velo", "bus", "pied", "bus", "bus", "pied",
             "bus", "bus", "velo", "bus", "pied", "velo",
             "bus", "velo", "pied", "pied", "pied", "bus"]

# Les filles qui viennent a velo (ET)
compteur = 0
for i in range(30):
    if sexe[i] == "F" and transport[i] == "velo":
        compteur = compteur + 1
print(compteur)   # affiche 2

# Les eleves qui viennent a velo ou a pied (OU)
compteur = 0
for i in range(30):
    if transport[i] == "velo" or transport[i] == "pied":
        compteur = compteur + 1
print(compteur)   # affiche 15

# Les eleves qui ne viennent pas en bus (NON)
compteur = 0
for i in range(30):
    if not transport[i] == "bus":
        compteur = compteur + 1
print(compteur)   # affiche 15

Les deux derniers comptages donnent le même résultat ($6+9=15$) : « à vélo ou à pied » et « pas en bus » décrivent ici le même sous-ensemble d'élèves, puisqu'il n'y a que trois modalités de transport.

Croiser : reconstruire une case du tableau et une fréquence conditionnelle. Avec les mêmes listes, une fonction à double condition calcule l'effectif de n'importe quelle case du tableau croisé, et une seconde fonction calcule un effectif marginal :

def effectif_croise(s, t):
    """Effectif de la case (sexe s, transport t)."""
    compteur = 0
    for i in range(len(sexe)):
        if sexe[i] == s and transport[i] == t:
            compteur = compteur + 1
    return compteur

def effectif_sexe(s):
    """Effectif marginal du sexe s."""
    compteur = 0
    for i in range(len(sexe)):
        if sexe[i] == s:
            compteur = compteur + 1
    return compteur

print(effectif_croise("F", "bus"))   # affiche 12
print(effectif_sexe("F"))            # affiche 18

# Frequence conditionnelle du bus parmi les filles
f = effectif_croise("F", "bus") / effectif_sexe("F")
print(f)   # affiche 0.6666666666666666 (environ 0,67)

On retrouve exactement les valeurs du cours : la case $(\text{Filles},\text{ En bus})$ vaut $12$, l'effectif marginal des filles vaut $18$, et $f_{\text{fille}}(\text{bus})={\displaystyle \frac{12}{18}}\approx \mathrm{0,67}$. En appelant effectif_croise pour les six couples de modalités, on reconstruit tout le tableau croisé de la section 2.