2ⁿᵈᵉ · Chapitre 10 · Statistiques et probabilités

Statistique descriptive

Moyenne (pondération, linéarité), médiane, quartiles, écart type, histogrammes, comparaison de séries.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Quarante plants de tomates dans un potager, les notes de deux classes entières, les salaires de tous les employés d'une entreprise : dès que les données se comptent par dizaines, les lire une à une n'apprend plus rien. La statistique descriptive consiste à résumer une série de données par quelques nombres bien choisis — les indicateurs — et par des graphiques, afin de décrire la série puis de la comparer à d'autres. Ce chapitre met en place deux familles d'indicateurs : ceux de position (moyenne, médiane), qui situent le « centre » de la série, et ceux de dispersion (étendue, écart interquartile, écart type), qui mesurent son étalement. Les tailles de nos $40$ plants de tomates serviront de fil rouge.

Séries statistiques, effectifs et fréquences

Avant de calculer quoi que ce soit, il faut savoir de quoi on parle : sur qui porte l'étude, et qu'est-ce qu'on mesure ? Ce vocabulaire, rencontré au collège, structure tout le chapitre.

Définition

La population est l'ensemble sur lequel porte l'étude statistique ; ses éléments sont les individus (les élèves d'une classe, les plants de tomates d'un potager, les jours d'un mois…).
Le caractère est la propriété étudiée sur chaque individu. Il est quantitatif lorsque ses valeurs sont des nombres (une taille, une note, un temps de trajet), qualitatif sinon (une couleur, un moyen de transport).
Une série statistique est la liste des valeurs du caractère relevées sur tous les individus de la population.

Dans tout ce chapitre, le caractère étudié est quantitatif : on peut donc ranger les valeurs dans l'ordre croissant et faire des calculs avec elles. Quand une même valeur apparaît plusieurs fois, on résume la série par un tableau : à chaque valeur, on associe son nombre d'apparitions.

Définition

Soit une série statistique portant sur $N$ individus.

L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus pour lesquels le caractère prend cette valeur.
L'effectif total est le nombre $N$ d'individus : c'est la somme de tous les effectifs.
La fréquence d'une valeur est la proportion $f = \frac{effectif}{N}$ . Elle peut s'écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.
L'effectif cumulé croissant d'une valeur est le nombre de valeurs de la série qui lui sont inférieures ou égales.

Exemple

On demande aux $25$ élèves d'une classe combien de livres ils ont lus pendant l'année. Les réponses sont résumées dans ce tableau :

Nombre de livres	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif	$4$	$7$	$8$	$4$	$2$

L'effectif total est $N = 4 + 7 + 8 + 4 + 2 = 25$ : c'est bien le nombre d'élèves interrogés.
La fréquence de la valeur $2$ est $f = \frac{8}{25} = 0,32$ , soit $32 %$ : environ un tiers des élèves ont lu exactement deux livres.
Les effectifs cumulés croissants sont $4$ , $11$ , $19$ , $23$ et $25$ . Par exemple, $19$ élèves ont lu au plus $2$ livres.

Remarque

La somme de toutes les fréquences d'une série vaut toujours $1$ (c'est-à-dire $100 %$ ) : chaque individu est compté exactement une fois. C'est un bon moyen de vérifier un tableau de fréquences. De même, le dernier effectif cumulé croissant vaut toujours $N$ .

La moyenne

À partir des données brutes

La moyenne est l'indicateur de position le plus connu : elle « répartit équitablement » le total entre tous les individus.

Définition

La moyenne d'une série statistique de $N$ valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}$ est le nombre

\overset{ˉ}{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{N}}{N} .

Exemple

Un élève a obtenu les notes $8$ , $12$ , $13$ , $9$ et $18$ ce trimestre. Sa moyenne est

\overset{ˉ}{x} = \frac{8 + 12 + 13 + 9 + 18}{5} = \frac{60}{5} = 12.

Tout se passe comme si l'élève avait obtenu $12$ à chacun des cinq devoirs : la moyenne répartit le total de $60$ points équitablement.

La moyenne pondérée

Quand la série est donnée par un tableau d'effectifs, inutile de recopier chaque valeur autant de fois que son effectif : on multiplie directement chaque valeur par son effectif. C'est la moyenne pondérée, nouveauté de cette année.

Définition

Soit une série statistique dont les valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ ont pour effectifs respectifs $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{p}$ , avec $N = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{p}$ l'effectif total. La moyenne de la série est

\overset{ˉ}{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{p} x_{p}}{N} .

On dit que la moyenne est pondérée par les effectifs : chaque valeur « pèse » proportionnellement à son effectif.

Méthode

Calculer une moyenne à partir d'un tableau d'effectifs.

Multiplier chaque valeur par son effectif, puis additionner tous ces produits.
Calculer l'effectif total $N$ (somme des effectifs).
Diviser la somme des produits par $N$ .

Exemple

Voici les notes obtenues par les $20$ élèves d'une classe à un contrôle :

Note	$8$	$10$	$12$	$15$
Effectif	$3$	$7$	$6$	$4$

L'effectif total est $N = 3 + 7 + 6 + 4 = 20$ , et la moyenne de la classe vaut

\overset{ˉ}{x} = \frac{3 \times 8 + 7 \times 10 + 6 \times 12 + 4 \times 15}{20} = \frac{24 + 70 + 72 + 60}{20} = \frac{226}{20} = 11,3.

La moyenne de la classe à ce contrôle est de $11,3$ sur $20$ .

Moyenne de deux groupes

Autre situation fréquente : on connaît la moyenne de chaque groupe, mais pas les valeurs individuelles. Peut-on retrouver la moyenne de l'ensemble ? Oui — à condition de connaître aussi les effectifs.

Propriété

On réunit deux groupes : le premier a pour effectif $n_{1}$ et pour moyenne ${\overset{ˉ}{x}}_{1}$ , le second a pour effectif $n_{2}$ et pour moyenne ${\overset{ˉ}{x}}_{2}$ . La moyenne de la série totale est

\overset{ˉ}{x} = \frac{n_{1} {\overset{ˉ}{x}}_{1} + n_{2} {\overset{ˉ}{x}}_{2}}{n_{1} + n_{2}} .

C'est la moyenne des deux moyennes, pondérée par les effectifs des groupes.

En effet, $n_{1} {\overset{ˉ}{x}}_{1}$ est la somme de toutes les valeurs du premier groupe (par définition de la moyenne), et $n_{2} {\overset{ˉ}{x}}_{2}$ celle du second : le numérateur est bien la somme de toutes les valeurs, et le dénominateur l'effectif total.

Exemple

Au dernier contrôle commun, la classe de 2nde A ( $25$ élèves) a obtenu une moyenne de $12$ , et la classe de 2nde B ( $15$ élèves) une moyenne de $10$ . La moyenne de l'ensemble des $40$ élèves est

\overset{ˉ}{x} = \frac{25 \times 12 + 15 \times 10}{25 + 15} = \frac{300 + 150}{40} = \frac{450}{40} = 11,25.

La moyenne globale, $11,25$ , est plus proche de $12$ que de $10$ : c'est normal, la 2nde A est plus nombreuse et « pèse » donc davantage.

Remarque

Piège classique. La moyenne globale n'est pas la moyenne des deux moyennes : ici, $\frac{12 + 10}{2} = 11 \neq 11,25$ . Faire la simple moyenne des moyennes n'est correct que lorsque les deux groupes ont le même effectif. Dès que les effectifs diffèrent, il faut pondérer.

Linéarité de la moyenne

Que devient la moyenne quand toutes les valeurs subissent la même transformation — par exemple quand tous les salaires d'une entreprise augmentent de $2 %$ ? La propriété suivante permet de répondre sans refaire aucun calcul individuel.

Propriété

Soit une série de valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}$ de moyenne $\overset{ˉ}{x}$ , et soient $a$ et $b$ deux nombres.

Si on multiplie toutes les valeurs par $a$ , la moyenne est multipliée par $a$ : la série $a x_{1}, a x_{2}, \dots, a x_{N}$ a pour moyenne $a \overset{ˉ}{x}$ .
Si on ajoute $b$ à toutes les valeurs, la moyenne augmente de $b$ : la série $x_{1} + b, x_{2} + b, \dots, x_{N} + b$ a pour moyenne $\overset{ˉ}{x} + b$ .
En combinant les deux : la série des valeurs $a x_{1} + b, a x_{2} + b, \dots, a x_{N} + b$ a pour moyenne $a \overset{ˉ}{x} + b$ .

C'est ce qu'on appelle la linéarité de la moyenne.

Démonstration (sur une série de trois valeurs, le raisonnement étant le même pour $N$ valeurs). Soit une série $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ de moyenne $\overset{ˉ}{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}$ . La moyenne de la série $a x_{1} + b$ , $a x_{2} + b$ , $a x_{3} + b$ vaut, en regroupant les termes puis en factorisant par $a$ :

\frac{(a x_{1} + b) + (a x_{2} + b) + (a x_{3} + b)}{3} = \frac{a (x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 3 b}{3} = a \times \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} + b = a \overset{ˉ}{x} + b .

Exemple

Dans une entreprise, le salaire mensuel moyen est de $1 850$ €. La direction accorde à tous les employés une augmentation générale de $2 %$ (chaque salaire est multiplié par $1,02$ ), puis une prime mensuelle de $30$ €. Chaque salaire $x$ devient $1,02 x + 30$ ; d'après la linéarité de la moyenne, le nouveau salaire moyen est

1,02 \times 1 850 + 30 = 1 887 + 30 = 1 917 € .

On connaît la nouvelle moyenne sans avoir recalculé un seul salaire individuel.

Ajout ou suppression d'une valeur

La linéarité concerne une transformation de toutes les valeurs. Autre question : que se passe-t-il si on ajoute ou on supprime une seule valeur ? La réponse distingue nettement la moyenne de la médiane (la valeur « du milieu », vue au collège et étudiée en détail dans la partie suivante).

Propriété

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : l'ajout (ou la suppression) d'une valeur très éloignée des autres peut la modifier fortement, car cette valeur entre directement dans la somme.
La médiane est robuste : elle ne dépend que du rang des valeurs centrales, donc l'ajout ou la suppression d'une valeur extrême ne la modifie que peu, voire pas du tout.

Exemple

Une petite entreprise compte cinq employés, dont les salaires mensuels en euros sont : $1 600$ , $1 700$ , $1 800$ , $1 900$ , $2 000$ .

Moyenne : $\overset{ˉ}{x} = \frac{9 000}{5} = 1 800$ € ; médiane : la valeur centrale, $1 800$ €. Les deux indicateurs coïncident.
L'entreprise embauche une directrice payée $7 800$ €. La série devient $1 600$ , $1 700$ , $1 800$ , $1 900$ , $2 000$ , $7 800$ et la moyenne bondit à $\overset{ˉ}{x} = \frac{16 800}{6} = 2 800$ €, alors que la médiane passe seulement à $\frac{1 800 + 1 900}{2} = 1 850$ €.

L'ajout d'un seul très haut salaire fait gagner $1 000$ € à la moyenne, mais seulement $50$ € à la médiane. Dire que « le salaire moyen est de $2 800$ € » donne une image trompeuse de l'entreprise : cinq employés sur six gagnent moins.

Remarque

Quel indicateur choisir ? Quand une série contient des valeurs extrêmes ou très dissymétriques (salaires, prix de l'immobilier, patrimoines…), la médiane décrit mieux la situation « typique » que la moyenne. C'est pourquoi les études sur les salaires publient le salaire médian. La moyenne reste indispensable dès qu'on s'intéresse au total (elle seule permet de le retrouver : total $= N \times \overset{ˉ}{x}$ ).

Médiane, quartiles et écart interquartile

La médiane et les quartiles sont des indicateurs de position par le rang : ils ne s'intéressent pas aux valeurs elles-mêmes mais à leur place dans la série rangée. Voici les définitions précises utilisées au lycée.

Définition

Les valeurs de la série étant rangées dans l'ordre croissant :

si $N$ est impair, la médiane est la valeur centrale de la série ;
si $N$ est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales.

Au moins la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

Définition

Le premier quartile $Q_{1}$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $25 %$ des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
Le troisième quartile $Q_{3}$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $75 %$ des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.

Remarque

$Q_{1}$ et $Q_{3}$ sont toujours des valeurs de la série ; la médiane, elle, n'en est pas forcément une (quand $N$ est pair, c'est une demi-somme).

Méthode

Déterminer la médiane et les quartiles d'une série.

Ranger les $N$ valeurs dans l'ordre croissant.
Médiane : si $N$ est impair, prendre la valeur centrale (celle de rang $\frac{N + 1}{2}$ ) ; si $N$ est pair, prendre la demi-somme des valeurs de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ .
Quartiles : calculer $\frac{N}{4}$ ; le rang de $Q_{1}$ est ce nombre s'il est entier, l'entier immédiatement supérieur sinon. Faire de même avec $\frac{3 N}{4}$ pour $Q_{3}$ .

Exemple

Un effectif impair. On relève les temps de trajet domicile–lycée, en minutes, de $9$ élèves : $6$ , $8$ , $8$ , $10$ , $11$ , $13$ , $14$ , $15$ , $17$ (série déjà rangée).

$N = 9$ est impair : la médiane est la $5^{e}$ valeur, soit $11$ minutes.
$\frac{N}{4} = 2,25$ n'est pas entier : $Q_{1}$ est la $3^{e}$ valeur, soit $8$ . De même $\frac{3 N}{4} = 6,75$ , donc $Q_{3}$ est la $7^{e}$ valeur, soit $14$ .

La moitié des élèves mettent au plus $11$ minutes pour venir au lycée, et au moins les trois quarts mettent $14$ minutes ou moins.

Exemple

Un effectif pair. Voici les prix, en euros, de $10$ jeux vidéo d'occasion : $5$ , $8$ , $10$ , $12$ , $14$ , $16$ , $20$ , $25$ , $30$ , $45$ .

$N = 10$ est pair : la médiane est la demi-somme des $5^{e}$ et $6^{e}$ valeurs, soit $\frac{14 + 16}{2} = 15$ €.
$\frac{N}{4} = 2,5$ n'est pas entier : $Q_{1}$ est la $3^{e}$ valeur, soit $10$ €. Et $\frac{3 N}{4} = 7,5$ , donc $Q_{3}$ est la $8^{e}$ valeur, soit $25$ €.

La moitié des jeux coûtent $15$ € ou moins. Remarquons que la médiane $15$ n'est pas une valeur de la série, alors que $Q_{1} = 10$ et $Q_{3} = 25$ en sont.

Les quartiles fournissent notre premier indicateur de dispersion « robuste », c'est-à-dire insensible aux valeurs extrêmes.

Définition

L'écart interquartile d'une série est le nombre $Q_{3} - Q_{1}$ .

C'est un indicateur de dispersion : l'intervalle $[Q_{1}; Q_{3}]$ contient toujours au moins la moitié des valeurs de la série — les plus centrales. Plus l'écart interquartile est petit, plus cette moitié centrale est resserrée.

Exemple

Pour les prix des $10$ jeux vidéo : $Q_{3} - Q_{1} = 25 - 10 = 15$ €. La moitié centrale des prix s'étale sur $15$ € seulement, alors que l'étendue (différence entre les valeurs extrêmes, vue au collège) vaut $45 - 5 = 40$ € : c'est le jeu à $45$ € qui étire la série vers le haut, sans affecter l'écart interquartile.

Ces cinq nombres — minimum, $Q_{1}$ , médiane, $Q_{3}$ , maximum — se lisent d'un coup d'œil sur une boîte à moustaches, rencontrée au collège.

Méthode

Construire une boîte à moustaches. Au-dessus d'un axe gradué :

tracer une boîte (un rectangle) allant de $Q_{1}$ à $Q_{3}$ , coupée par un trait vertical à la médiane ;
tracer les deux moustaches : des segments allant de la boîte jusqu'au minimum et jusqu'au maximum de la série.

La longueur de la boîte est l'écart interquartile ; la longueur totale (d'une pointe de moustache à l'autre) est l'étendue.

Deux boîtes à moustaches des notes sur 20 de deux classes : classe A avec minimum 4, premier quartile 8, médiane 11, troisième quartile 13, maximum 17 ; classe B avec minimum 7, premier quartile 10, médiane 11, troisième quartile 12, maximum 15

Exemple

La figure ci-dessus représente les notes sur $20$ obtenues par deux classes au même devoir. Lisons la boîte de la classe A : minimum $4$ , $Q_{1} = 8$ , médiane $11$ , $Q_{3} = 13$ , maximum $17$ . On en déduit son écart interquartile : $Q_{3} - Q_{1} = 13 - 8 = 5$ . Au moins la moitié des élèves de la classe A ont donc une note comprise entre $8$ et $13$ . La comparaison complète des deux classes est menée dans la dernière partie du chapitre.

L'écart type

Voici les notes de deux élèves sur quatre devoirs. Élève 1 : $8$ , $8$ , $12$ , $12$ . Élève 2 : $5$ , $5$ , $15$ , $15$ . Les deux ont la même moyenne, $\overset{ˉ}{x} = 10$ — pourtant leurs profils sont très différents : le premier est régulier, le second alterne notes faibles et notes fortes. Pour distinguer ces deux séries, il faut mesurer la dispersion des valeurs autour de la moyenne : c'est le rôle de l'écart type, l'autre grande nouveauté de l'année.

L'idée : calculer l'écart de chaque valeur à la moyenne, élever ces écarts au carré (pour que les écarts négatifs ne compensent pas les positifs), en prendre la moyenne, puis revenir à l'unité de départ avec une racine carrée.

Définition

Soit une série statistique de $N$ valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}$ et de moyenne $\overset{ˉ}{x}$ . L'écart type de la série est le nombre

s = \sqrt{\frac{(x_{1} - \overset{ˉ}{x})^{2} + (x_{2} - \overset{ˉ}{x})^{2} + \dots + (x_{N} - \overset{ˉ}{x})^{2}}{N}} .

Exemple

Calculons l'écart type des notes de l'élève 1, soit $8$ , $8$ , $12$ , $12$ , de moyenne $\overset{ˉ}{x} = 10$ . Les écarts à la moyenne sont $- 2$ , $- 2$ , $2$ et $2$ ; leurs carrés valent tous $4$ . Donc

s = \sqrt{\frac{(8 - 10)^{2} + (8 - 10)^{2} + (12 - 10)^{2} + (12 - 10)^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{4 + 4 + 4 + 4}{4}} = \sqrt{4} = 2.

Pour l'élève 2 ( $5$ , $5$ , $15$ , $15$ , même moyenne $10$ ), les écarts valent $- 5$ , $- 5$ , $5$ , $5$ et le même calcul donne $s = \sqrt{\frac{25 + 25 + 25 + 25}{4}} = \sqrt{25} = 5$ .

Même moyenne, mais écarts types $2$ et $5$ : les notes de l'élève 1 restent proches de $10$ , celles de l'élève 2 s'en écartent beaucoup plus. L'écart type confirme que l'élève 1 est nettement plus régulier.

L'écart type s'interprète toujours de la même façon : plus $s$ est grand, plus les valeurs de la série sont dispersées autour de la moyenne $\overset{ˉ}{x}$ ; plus $s$ est petit, plus elles sont concentrées près de $\overset{ˉ}{x}$ . Un écart type nul signifie que toutes les valeurs sont égales. Enfin, $s$ s'exprime dans la même unité que les valeurs de la série : des points pour des notes, des euros pour des salaires, des centimètres pour des tailles.

Méthode

Calculer un écart type à la calculatrice. Dès que la série dépasse une poignée de valeurs (au-delà de $6$ valeurs environ), le calcul à la main devient trop long : on utilise le mode statistiques de la calculatrice. On saisit les valeurs (et leurs effectifs le cas échéant) dans une liste, puis on lit $\overset{ˉ}{x}$ et $s$ dans l'écran de résultats. Attention : la plupart des calculatrices affichent deux écarts types ; celui du programme est celui obtenu en divisant par $N$ , et non celui qui divise par $N - 1$ .

Remarque

Le nombre sous la racine, $s^{2}$ , s'appelle la variance de la série. En seconde, on travaille directement avec l'écart type $s$ , qui a l'avantage de s'exprimer dans la même unité que les données.

Remarque

Lire des fonctions Python. Le programme demande de savoir lire des fonctions qui calculent une moyenne ou un écart type — le code est donné, il faut le comprendre. En voici deux, où donnees désigne la série de valeurs :

def moyenne(donnees):
    total = 0
    for x in donnees:
        total = total + x
    return total / len(donnees)

def ecart_type(donnees):
    m = moyenne(donnees)
    total = 0
    for x in donnees:
        total = total + (x - m) ** 2
    return (total / len(donnees)) ** 0.5

Dans moyenne, la boucle for x in donnees: parcourt les valeurs une à une et la variable total accumule leur somme, que l'on divise à la fin par l'effectif len(donnees) — c'est exactement la définition de $\overset{ˉ}{x}$ . Dans ecart_type, on accumule cette fois les carrés des écarts (x - m) ** 2 entre chaque valeur et la moyenne m, on divise par l'effectif, et l'élévation à la puissance 0.5 prend la racine carrée : on reconnaît la formule de $s$ .

Séries regroupées en classes

Mesurons maintenant les tailles, en centimètres, de $40$ plants de tomates — notre fil rouge. Le caractère est continu : une taille peut prendre n'importe quelle valeur ( $17,3$ cm, $22,61$ cm…), et avec $40$ mesures presque toutes différentes, un tableau d'effectifs valeur par valeur serait illisible. On regroupe alors les valeurs en intervalles.

Définition

Regrouper une série par classes, c'est répartir ses valeurs dans des intervalles contigus, appelés classes. L'amplitude d'une classe est la longueur de l'intervalle, et son centre en est le milieu.

En seconde, toutes les classes d'un même regroupement ont la même amplitude.

Voici le regroupement des tailles de nos $40$ plants en quatre classes d'amplitude $5$ cm :

Taille (cm)	$[10; 15 [$	$[15; 20 [$	$[20; 25 [$	$[25; 30 [$
Effectif	$6$	$10$	$16$	$8$

Remarque

Le regroupement fait perdre de l'information : on sait que $16$ plants mesurent entre $20$ et $25$ cm, mais on ne connaît plus leurs tailles exactes. Tous les indicateurs calculés sur une série regroupée sont donc des estimations.

L'histogramme

La représentation graphique adaptée aux séries regroupées en classes est l'histogramme : au-dessus de chaque classe, on dresse un rectangle dont la hauteur, lue sur l'axe vertical, est l'effectif de la classe. Les rectangles sont accolés (sans espace entre eux), car les classes sont des intervalles contigus — c'est ce qui distingue un histogramme d'un diagramme en barres.

Histogramme des tailles de 40 plants de tomates : classes de 10 à 15, de 15 à 20, de 20 à 25 et de 25 à 30 centimètres, d'effectifs respectifs 6, 10, 16 et 8

L'histogramme montre d'un coup d'œil la répartition des tailles : la classe $[20; 25 [$ domine, et la série est un peu plus étalée vers les petites tailles que vers les grandes.

La moyenne estimée par les centres de classes

Comment calculer une moyenne quand on ne connaît plus les valeurs exactes ? On suppose que, dans chaque classe, les valeurs sont réparties uniformément : tout se passe alors comme si chaque valeur était au centre de sa classe. On est ramené à une moyenne pondérée.

Méthode

Estimer la moyenne d'une série regroupée en classes.

Calculer le centre de chaque classe (le milieu de l'intervalle).
Calculer la moyenne pondérée des centres par les effectifs des classes.

Exemple

Les centres des quatre classes sont $12,5$ , $17,5$ , $22,5$ et $27,5$ (cm). La moyenne estimée des tailles vaut donc

\overset{ˉ}{x} = \frac{6 \times 12,5 + 10 \times 17,5 + 16 \times 22,5 + 8 \times 27,5}{40} = \frac{75 + 175 + 360 + 220}{40} = \frac{830}{40} = 20,75.

En moyenne, les plants de tomates mesurent environ $20,75$ cm.

La classe médiane

Faute de connaître les valeurs individuelles, on ne peut plus déterminer la médiane exactement — mais on peut localiser la classe qui la contient, grâce aux effectifs cumulés croissants.

Définition

La classe médiane d'une série regroupée est la première classe dont l'effectif cumulé croissant atteint $\frac{N}{2}$ .

Exemple

Complétons le tableau des tomates par les effectifs cumulés croissants :

Taille (cm)	$[10; 15 [$	$[15; 20 [$	$[20; 25 [$	$[25; 30 [$
Effectif	$6$	$10$	$16$	$8$
Effectif cumulé croissant	$6$	$16$	$32$	$40$

Ici $\frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20$ . Le cumul vaut $16$ à la fin de la classe $[15; 20 [$ (pas encore $20$ ), puis $32$ à la fin de la classe $[20; 25 [$ : la classe médiane est donc $[20; 25 [$ . La taille « du milieu » se situe entre $20$ et $25$ cm.

Polygone des fréquences cumulées et estimation de la médiane

Pour préciser la position de la médiane à l'intérieur de sa classe, on utilise les fréquences cumulées croissantes et leur représentation graphique.

Méthode

Tracer le polygone des fréquences cumulées croissantes.

Calculer la fréquence cumulée croissante à la borne supérieure de chaque classe (effectif cumulé divisé par $N$ , en pourcentage).
Placer, pour chaque classe, le point (borne supérieure ; fréquence cumulée), ainsi que le point de départ (borne inférieure de la première classe ; $0 %$ ).
Relier les points consécutifs par des segments : cela revient à supposer la répartition uniforme à l'intérieur de chaque classe.

La médiane estimée est l'abscisse du point du polygone d'ordonnée $50 %$ .

Exemple

Pour les tomates, les fréquences cumulées croissantes aux bornes $15$ , $20$ , $25$ et $30$ valent $\frac{6}{40} = 15 %$ , puis $\frac{16}{40} = 40 %$ , $\frac{32}{40} = 80 %$ et $\frac{40}{40} = 100 %$ . On place donc les points $(10; 0)$ , $(15; 15)$ , $(20; 40)$ , $(25; 80)$ et $(30; 100)$ .

Sur le graphique, l'horizontale à $50 %$ coupe le polygone dans la classe $[20; 25 [$ , en un point d'abscisse proche de $21$ cm : c'est la médiane estimée par lecture graphique.

Le calcul exact de cette abscisse repose sur la proportionnalité dans la classe médiane : la répartition y étant supposée uniforme, on avance dans la classe proportionnellement au nombre de valeurs qu'il reste à atteindre.

Exemple

Estimons par le calcul la médiane des tailles. La classe médiane est $[20; 25 [$ : elle commence à $20$ cm, a une amplitude de $5$ cm et contient $16$ valeurs. Avant elle, le cumul vaut $16$ ; pour atteindre la $\frac{N}{2} = 20^{e}$ valeur, il faut encore avancer de $20 - 16 = 4$ valeurs parmi les $16$ de la classe, soit une fraction $\frac{4}{16}$ de son amplitude :

m \overset{ˊ}{e} diane estim \overset{ˊ}{e} e = 20 + 5 \times \frac{20 - 16}{16} = 20 + 5 \times \frac{4}{16} = 20 + 1,25 = 21,25.

La médiane des tailles est estimée à $21,25$ cm : environ la moitié des plants mesurent moins de $21,25$ cm, ce qui est cohérent avec la lecture graphique et avec la moyenne estimée ( $20,75$ cm).

Comparer deux séries statistiques

Décrire une série, c'est bien ; le vrai pouvoir de la statistique descriptive, c'est de comparer : deux classes, deux traitements agricoles, deux machines de production… Un seul indicateur ne suffit jamais — on l'a vu avec les deux élèves de moyenne $10$ : il faut croiser position et dispersion.

Méthode

Comparer deux séries statistiques. On compare toujours un indicateur de position et un indicateur de dispersion, en utilisant l'un des deux couples :

(moyenne ; écart type) : la moyenne situe le niveau global, l'écart type mesure la régularité autour de ce niveau ;
(médiane ; écart interquartile) : même idée, avec des indicateurs de rang.

On conclut par une phrase dans le contexte : quelle série a le niveau le plus élevé ? laquelle est la plus homogène ?

Remarque

Quel couple choisir ? Les deux couples ne racontent pas toujours la même histoire. Le couple (médiane ; écart interquartile) est robuste : il est insensible aux valeurs extrêmes, et donc préférable quand la série en contient ou qu'elle est très dissymétrique (salaires, prix…). Le couple (moyenne ; écart type) utilise toutes les valeurs de la série et se prête mieux aux calculs — c'est lui qu'on retrouvera dans les chapitres de probabilités des classes suivantes. Graphiquement, deux boîtes à moustaches tracées au-dessus du même axe permettent une comparaison immédiate des médianes, des écarts interquartiles et des étendues.

Exemple

Revenons aux notes des classes A et B, déjà rencontrées dans la partie sur les quartiles. Leurs boîtes à moustaches se lisent ainsi — classe A : minimum $4$ , $Q_{1} = 8$ , médiane $11$ , $Q_{3} = 13$ , maximum $17$ ; classe B : minimum $7$ , $Q_{1} = 10$ , médiane $11$ , $Q_{3} = 12$ , maximum $15$ .

Comparons les deux classes avec le couple (médiane ; écart interquartile).

Position : les deux classes ont la même médiane, $11$ . Le niveau central est identique : dans chaque classe, environ la moitié des élèves dépassent $11$ .
Dispersion : l'écart interquartile vaut $13 - 8 = 5$ pour la classe A et $12 - 10 = 2$ pour la classe B. Les étendues confirment : $17 - 4 = 13$ points pour A, contre $15 - 7 = 8$ points pour B.

Conclusion, dans le contexte : les deux classes ont le même niveau d'ensemble, mais la classe B est nettement plus homogène — la moitié centrale de ses notes tient en $2$ points, contre $5$ pour la classe A, qui compte à la fois des notes très faibles et de très bonnes notes. Un même cours ne s'adressera donc pas de la même façon à ces deux classes : en A, l'enseignant devra gérer des profils très hétérogènes.

Remarque

Sur ce même exemple, le couple (moyenne ; écart type), calculé à la calculatrice à partir des listes de notes complètes, mènerait à la même conclusion : moyennes voisines, mais écart type nettement plus grand en classe A. Quand les deux couples s'accordent, la conclusion est solide ; quand ils divergent, c'est le signe de valeurs extrêmes — et le couple (médiane ; écart interquartile) est alors le plus fiable.

Le cours en PDF(PDF, 117 Ko)

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