Devoir surveillé — Suites de nombres réels

Les quatre questions sont indépendantes. Pour chacune, dire si l'énoncé est vrai ou faux. Une réponse « vrai » doit être accompagnée d'une démonstration complète ; une réponse « faux » d'un contre-exemple entièrement justifié (il ne suffit pas de proposer une suite, il faut prouver qu'elle contredit bien l'énoncé). Une affirmation tranchée sans preuve ne rapporte aucun point.

1. Toute suite d'entiers relatifs qui converge est constante à partir d'un certain rang. On pourra appliquer la définition de la convergence avec la valeur particulière $\epsilon =\frac{1}{3}$. (0,5 point)

2. Si $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge et si $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ne converge pas, alors la suite $(u_n+v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ne converge pas. (0,5 point)

3. Si la suite produit $(u_n{v}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge, alors l'une au moins des deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ converge. (0,5 point)

4. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\mathbb{R}$ telles que $A\subset B$. Si $\sup (A)=\sup (B)$, alors $A=B$. (0,5 point)

Un entier naturel non nul $N$ s'écrit en base dix avec un certain nombre de chiffres, son premier chiffre étant non nul. On admet la caractérisation suivante : pour tout entier $c⩾1$,

$$N\text{ s’écrit avec exactement }c\text{ chiffres\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}}⟺{10}^{c-1}⩽N<{10}^c\mathrm{.}$$

Pour tout entier naturel $n$, on note $c_n$ le nombre de chiffres de $2^n$. On pose

$$\alpha =\frac{\ln 2}{\ln 10}\mathrm{.}$$

On utilisera librement la stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, la relation $\ln \left(a^k\right)=k\ln a$ pour $a>0$ et $k\in \mathbb{N}$, ainsi que la valeur approchée

$$\alpha \approx \mathrm{0,301030.}$$

1. Calculer $2^n$ puis $c_n$ pour $n$ allant de $0$ à $10$, et présenter les résultats dans un tableau. Démontrer au passage, à partir de la stricte croissance de $\ln$ et sans utiliser la valeur approchée fournie, que $0<\alpha <1$. (0,25 point)

2. Soit $N$ un entier naturel non nul, s'écrivant avec $c$ chiffres. Démontrer que

$$c=\lfloor \frac{\ln N}{\ln 10}\rfloor +1.$$

(0,5 point)

3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $c_n=\lfloor n\alpha \rfloor +1$. Vérifier cette formule pour $n=4$, $n=7$ et $n=10$ à l'aide du tableau de la question 1. (0,5 point)

4. Le cours établit que la suite $\left(\frac{\lfloor nx\rfloor }{n}\right)$ converge vers $x$ ; en transposant sa démonstration au réel $n\alpha$ et en tenant compte du terme $+1$ qui distingue $c_n$ de $\lfloor n\alpha \rfloor$, on admet l'encadrement

$$\mathrm{\forall }n⩾1,\alpha <\frac{c_n}{n}⩽\alpha +\frac{1}{n}\mathrm{.}$$

a. En déduire la limite de la suite ${\left({\displaystyle \frac{c_n}{n}}\right)}_{n⩾1}$, puis déterminer un rang à partir duquel ${\displaystyle \frac{c_n}{n}}$ approche $\alpha$ à ${10}^{-3}$ près.

b. Calculer $c_{1000}$ à l'aide de la question 3., puis comparer les développements décimaux de ${\displaystyle \frac{c_{1000}}{1000}}$ et de $\alpha$. Une approximation à ${10}^{-3}$ près garantit-elle trois décimales exactes ?

c. Déduire enfin de la limite trouvée en a. le nombre moyen de doublements nécessaires pour gagner un chiffre. (1 point)

5. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1}-c_n$ vaut $0$ ou $1$. Interpréter cette propriété en une phrase. On pourra poser $a=\lfloor n\alpha \rfloor$ et encadrer $\lfloor (n+1)\alpha \rfloor$ entre $a$ et $a+1$. (0,75 point)

Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On note $M=\max (a,b,c)$ et, pour tout entier $n⩾1$,

$$S_n=a^n+b^n+c^n,\text{puis}{x}_n=S_n^{1\mathrm{/}n}\mathrm{.}$$

On rappelle que, pour un réel $t>0$ et un entier $n⩾1$, la puissance $t^{1\mathrm{/}n}$ est définie par $t^{1\mathrm{/}n}={\mathrm{e}}^{\frac{\ln t}{n}}$, et l'on admet les deux faits suivants :

• pour $n⩾1$ fixé, la fonction $t\mapsto t^{1\mathrm{/}n}$ est croissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, et ${\left(t^n\right)}^{1\mathrm{/}n}=t$ pour tout $t>0$ ;
• si une suite $(t_n)$ converge vers un réel $t$, alors $\left({\mathrm{e}}^{t_n}\right)$ converge vers ${\mathrm{e}}^t$ ;

1. Dans cette question seulement, $a=1$, $b=2$ et $c=3$. Calculer $x_1$, puis donner une valeur approchée de $x_2$ et de $x_3$ à ${10}^{-4}$ près, sachant que $\sqrt{14}\approx \mathrm{3,7417}$ et ${36}^{1\mathrm{/}3}\approx \mathrm{3,3019}$. Quelle conjecture peut-on formuler sur la limite de $(x_n)$ ? (0,25 point)

2. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$,

$$M^n⩽S_n⩽3M^n\mathrm{.}$$

(0,5 point)

3. En déduire que, pour tout entier $n⩾1$, $M⩽x_n⩽3^{1\mathrm{/}n}M$. On justifiera au passage l'égalité ${\left(3M^n\right)}^{1\mathrm{/}n}=3^{1\mathrm{/}n}M$, que le fait admis ne couvre pas. (0,5 point)

4. Déterminer la limite de la suite ${\left(3^{1\mathrm{/}n}\right)}_{n⩾1}$, puis conclure quant à la limite de $(x_n{)}_{n⩾1}$. Vérifier la cohérence avec la question 1. (0,25 point)

Un atelier fixe sa production de chaque mois en fonction des deux mois précédents : la quantité produite est la moyenne pondérée des deux dernières, celle du mois le plus récent comptant pour ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ et l'autre pour ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

On note $q_n$ la quantité produite le mois $n$, exprimée en centaines de pièces. Les deux premiers mois sont imposés par le carnet de commandes :

$$q_0=90,q_1=120,$$

puis, pour tout entier naturel $n$,

$$q_{n+2}=\frac{2q_{n+1}+q_n}{3}\mathrm{.}$$

1. Calculer $q_2$, $q_3$ et $q_4$, sous forme de fractions irréductibles puis en valeurs approchées à ${10}^{-2}$ près. (0,25 point)

2. La suite $(q_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est-elle monotone ? Justifier à l'aide des valeurs de la question 1. (0,25 point)

3. Écrire l'équation caractéristique associée à cette relation de récurrence, calculer son discriminant et déterminer ses deux racines. (0,5 point)

4. En déduire l'expression de $q_n$ en fonction de $n$, puis vérifier la formule obtenue au rang $2$. (0,25 point)

5. Déterminer la limite $\mathrm{\ell }$ de la suite $(q_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Exprimer $\mathrm{\ell }$ en fonction de $q_0$ et de $q_1$, et commenter le poids respectif des deux mois initiaux. (0,5 point)

6. Une autre voie. Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n=3q_{n+1}+q_n$. Démontrer que la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est constante, puis retrouver la valeur de $\mathrm{\ell }$ sans utiliser l'expression explicite de la question 4. (0,5 point)

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$$u_0=2\text{et}{u}_{n+1}=\frac{1}{1-u_n},$$

sous réserve que chaque terme soit bien défini.

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$ sous forme de fractions irréductibles. Que constate-t-on ? (0,5 point)

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ est bien défini et vérifie $u_{n+3}=u_n$. On raisonnera sur les paquets de trois termes consécutifs, en démontrant d'un seul coup l'existence de $u_{3k}$, $u_{3k+1}$ et $u_{3k+2}$ et leurs valeurs : une récurrence portant sur la seule égalité $u_{n+3}=u_n$ ne garantit pas l'existence des termes. (0,75 point)

3. Démontrer que la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ne converge pas. On reviendra à la définition quantifiée de la limite. (0,5 point)

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}=x$. Énoncer le résultat du cours que cette résolution permettait de pressentir, et dire quelle hypothèse de ce résultat fait ici défaut. (0,5 point)

5. On remplace maintenant $u_0=2$ par un premier terme $u_0=t$, où $t$ est un réel quelconque. Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles la suite est définie à tout rang, puis justifier en une ligne, sans étudier les valeurs prises, que l'ensemble $\{u_n;n\in \mathbb{N}\}$ admet alors un maximum et un minimum.

On commencera par exprimer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ en fonction de $t$, puis on reprendra le raisonnement de la question 2. (0,5 point)

Situation. Un atelier fabrique un produit sur commande. Pour tout entier $n⩾1$, on note $u_n$ le coût total, en euros, de la production d'une série de $n$ pièces. Une série de $m+n$ pièces peut toujours être fabriquée en lançant deux séries séparées, de $m$ puis de $n$ pièces ; le coût optimal de la série de $m+n$ pièces ne dépasse donc jamais la somme des deux coûts. Cela conduit à la définition suivante.

Dans tout le problème, $(u_n{)}_{n⩾1}$ désigne une suite sous-additive à termes positifs ou nuls, et l'on pose

$$\mathrm{\forall }n⩾1,a_n=\frac{u_n}{n},$$

qui s'interprète comme le coût moyen par pièce d'une série de $n$ pièces. L'ensemble de ces coûts moyens sera noté

$$E=\{a_n;n⩾1\}\mathrm{.}$$

L'objectif du problème est de démontrer le résultat suivant, qui n'a rien d'évident : le coût moyen converge toujours, et sa limite est exactement la borne inférieure de l'ensemble des coûts moyens. Autrement dit, une série suffisamment longue approche d'aussi près que l'on veut le meilleur coût moyen possible, sans jamais l'atteindre en général.

Les parties A et B sont largement indépendantes : la partie B n'utilise de la partie A que les questions 4. et 5.

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Partie A. Trois exemples et deux préliminaires

1. On prend $u_n=5n$ pour tout $n⩾1$. Vérifier que $(u_n)$ est sous-additive et à termes positifs, puis déterminer $a_n$, la limite de $(a_n)$ et la borne inférieure de l'ensemble $\{a_n;n⩾1\}$. Cette borne inférieure est-elle atteinte ? (0,25 point)

2. On admet l'inégalité $\sqrt{x+y}⩽\sqrt{x}+\sqrt{y}$, valable pour tous réels $x⩾0$ et $y⩾0$. En déduire que la suite définie par $u_n=\sqrt{n}$ est sous-additive. Déterminer $a_n$, sa limite, et la borne inférieure de l'ensemble des $a_n$ ; est-elle atteinte ? (0,5 point)

3. On prend désormais, pour tout $n⩾1$,

$$u_n=3n+10\sqrt{n}\mathrm{.}$$

Cette suite est à termes positifs, et elle est sous-additive : c'est la somme des suites $(3n)$ et $\left(10\sqrt{n}\right)$, sous-additives comme multiples à coefficients positifs de celles des questions 1. et 2., et l'on obtient l'inégalité voulue en additionnant les leurs. On l'admettra.

a. Exprimer $a_n$, démontrer que la suite $(a_n{)}_{n⩾1}$ est strictement décroissante et minorée, et en déduire, par le théorème de la limite monotone, qu'elle converge.

b. Déterminer sa limite, puis démontrer que la borne inférieure de l'ensemble $\{a_n;n⩾1\}$ vaut $3$ et qu'elle n'est pas atteinte. (1,25 point)

4. On revient au cas général d'une suite sous-additive à termes positifs. Justifier que l'ensemble $E$ admet une borne inférieure, que l'on notera $L$ dans toute la suite du problème. Démontrer que $L⩾0$ et que $a_n⩾L$ pour tout $n⩾1$. Énoncer enfin, appliquée à $L$, la caractérisation de la borne inférieure par les $\epsilon$ : c'est le résultat du cours déjà employé aux questions 2. et 3., on ne demande pas de le démontrer. (0,5 point)

5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $m⩾1$ et tout entier $q⩾1$,

$$u_{qm}⩽q{u}_m\mathrm{.}$$

(0,5 point)

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Partie B. Le théorème

Dans toute cette partie, $m$ désigne un entier fixé supérieur ou égal à $1$. On admet le théorème de la division euclidienne : pour tout entier $n⩾1$, il existe un unique couple d'entiers $(q,r)$ tel que

$$n=qm+r,q⩾0,0⩽r⩽m-1.$$

On pose enfin

$$C_m=\max (u_1,u_2,\dots ,u_{m-1})\text{ si }m⩾2,\text{et}{C}_1=0.$$

6. Démontrer que le quotient $q$ de la division euclidienne de $n$ par $m$ vérifie $q=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{m}}\rfloor$. On pourra réutiliser sans la redémontrer la caractérisation de la partie entière employée à l'exercice 2., question 2. (0,25 point)

7. Justifier que $C_m⩾0$, puis démontrer que, pour tout entier $n⩾1$,

$$u_n⩽q{u}_m+C_m,\text{où }q=\lfloor \frac{n}{m}\rfloor \mathrm{.}$$

On traitera successivement les trois cas $r=0$, puis $r⩾1$ avec $q⩾1$, puis $r⩾1$ avec $q=0$, en réutilisant à chaque fois la question 5. ou la définition de $C_m$. (1 point)

8. En déduire que, pour tout entier $n⩾1$,

$$L⩽a_n⩽\frac{u_m}{m}+\frac{C_m}{n}\mathrm{.}$$

(0,75 point)

9. Démontrer que la suite $(a_n{)}_{n⩾1}$ converge vers $L$.

On soignera l'ordre dans lequel les objets sont choisis : à partir d'un $\epsilon >0$ donné, on fixera d'abord un entier $m$ convenable, puis seulement ensuite un rang à partir duquel l'inégalité voulue est acquise. (1,75 point)

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Partie C. Ce que le théorème dit du coût moyen

10. On considère la suite définie par $u_n=n+4+(-1{)}^n$ pour $n⩾1$. On admet qu'elle est sous-additive.

a. Vérifier qu'elle est à termes positifs. Calculer $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$, et en déduire que la suite $(a_n)$ n'est pas monotone.

b. Déterminer malgré tout la limite de $(a_n)$ et la valeur de $L$. Quel théorème la partie B ne pouvait donc pas utiliser pour se raccourcir ? (1 point)

11. Démontrer que, pour toute suite sous-additive à termes positifs et pour tout $n⩾1$, on a $a_n⩽u_1$. Traduire cette inégalité en une phrase sur le coût de production. (0,25 point)

12. L'atelier de la question 3., dont le coût de série est $u_n=3n+10\sqrt{n}$ euros, annonce à un client qu'au-delà d'une certaine taille de série, son coût moyen descendra sous $\mathrm{2,90}$ € la pièce. Que faut-il lui répondre, et sur quel résultat du problème s'appuie-t-on ? (0,5 point)