ECG approfondies · Chapitre 03 · Premier semestre

Algèbre linéaire : calcul matriciel et systèmes

1re année

Calcul matriciel rectangulaire et carré, systèmes linéaires, introduction aux espaces et sous-espaces vectoriels.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Calcul matriciel rectangulaire et carré
Systèmes linéaires
Introduction aux espaces et sous-espaces vectoriels

Vous savez depuis le collège résoudre un système de deux équations à deux inconnues, par substitution ou par combinaison. Ce chapitre part de là, et va très loin. Il commence par une remarque d'apparence anodine : dans un système linéaire, seuls comptent les coefficients, rangés dans un tableau ; les noms des inconnues, eux, ne servent qu'à la mise en forme. Ce tableau de nombres, c'est une matrice. En le manipulant pour lui-même, on découvre qu'il se prête à une arithmétique complète, avec une addition, une multiplication, des puissances, parfois un inverse. Cette arithmétique ressemble beaucoup à celle des nombres réels, à une différence près, considérable : le produit n'est pas commutatif. Presque toutes les erreurs de début d'année viennent de l'oubli de ce point.

Le chapitre poursuit deux objectifs qui se répondent. Le premier est calculatoire : savoir multiplier deux matrices sans faute, calculer une puissance $n$ -ième, inverser une matrice, résoudre un système de trois équations à trois inconnues par la méthode du pivot de Gauss, et discuter un système dépendant d'un paramètre. Ces gestes seront exigés en permanence, aux concours comme dans les autres chapitres : l'analyse les utilise dans l'étude des suites récurrentes couplées, les probabilités dans les calculs sur les lois d'un couple, et toute la deuxième année d'algèbre linéaire repose dessus. Le second objectif est conceptuel : reconnaître, derrière $R^{n}$ , l'ensemble des matrices, l'ensemble des suites et l'ensemble des fonctions, une seule et même structure, celle d'espace vectoriel. Ce vocabulaire, introduit ici sur des exemples, sera l'ossature de toute l'algèbre linéaire du second semestre.

Le programme de la voie ECG fixe pour ce chapitre un parti pris qu'il faut connaître : sur le calcul matriciel, tout développement théorique est hors programme. Autrement dit, on ne démontre pas l'associativité du produit, on ne construit pas les espaces vectoriels de manière abstraite, et l'on admet que les exemples usuels en sont bien. En revanche, tout ce qui a une valeur de méthode est démontré, et vous le retrouverez ici en entier : le binôme de Newton matriciel, l'unicité de l'inverse, la formule de l'inverse d'un produit, la structure de l'ensemble des solutions d'un système, la caractérisation des sous-espaces vectoriels. Ce ne sont pas des ornements : ce sont les démonstrations qui contiennent les gestes de l'exercice.

Le plan est le suivant. Les sections $1$ à $4$ mettent en place les objets et les opérations : vocabulaire, somme, produit par un réel, produit matriciel, transposition. Les sections $5$ et $6$ traitent les deux grandes questions du calcul dans $M_{n} (R)$ : calculer $A^{n}$ , et inverser $A$ . Les sections $7$ à $9$ sont consacrées aux systèmes linéaires, à la méthode du pivot de Gauss et au lien entre systèmes et inversibilité. Les sections $10$ à $12$ ouvrent la théorie des espaces vectoriels : définition, sous-espaces vectoriels, sous-espace engendré. Les sections $3$ , $5$ , $8$ et $9$ sont, de très loin, les plus utilisées dans la suite de l'année.

Voici enfin les notations en vigueur dans tout le chapitre. L'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients réels est noté $M_{n, p} (R)$ , et l'on abrège $M_{n, n} (R)$ en $M_{n} (R)$ . Le coefficient situé à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ d'une matrice $A$ est noté $a_{i, j}$ , et l'on écrit $A = (a_{i, j})$ . La matrice identité d'ordre $n$ est $I_{n}$ , la matrice nulle de $M_{n, p} (R)$ est $0_{n, p}$ , abrégée en $0_{n}$ si elle est carrée, voire en $0$ quand le format est évident. La transposée de $A$ est notée $^{t} A$ , son inverse $A^{- 1}$ . Les lignes d'une matrice sont notées $L_{1}, L_{2}, \dots$ et ses colonnes $C_{1}, C_{2}, \dots$ . Le sous-espace engendré par des vecteurs $x_{1}, \dots, x_{p}$ est noté $Vect (x_{1}, \dots, x_{p})$ . Enfin, le symbole $□$ marque la fin d'une démonstration.

Matrices : vocabulaire

Définition et égalité

Définition

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients réels, ou matrice de format $n \times p$ , tout tableau rectangulaire de réels

A = (\begin{array}{cccc} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, p} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, p} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, p} \end{array}) .

Le réel $a_{i, j}$ , situé à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ , est le coefficient d'indice $(i, j)$ de $A$ . On écrit en abrégé $A = (a_{i, j})$ , ou $A = (a_{i, j})_{1 ⩽ i ⩽ n, 1 ⩽ j ⩽ p}$ lorsqu'il faut préciser le format. L'ensemble de ces matrices est noté $M_{n, p} (R)$ .

L'ordre des deux indices est une convention absolue : le premier indice est celui de la ligne, le second celui de la colonne. Un moyen mnémotechnique commode consiste à retenir que l'on lit une matrice comme on lit une page, d'abord en descendant, puis en allant vers la droite. Cette convention gouverne tout le chapitre ; l'inverser, c'est transposer sans le savoir toutes les matrices que l'on écrit.

Définition

Deux matrices $A$ et $B$ sont égales lorsqu'elles ont le même format et que tous leurs coefficients de mêmes indices coïncident :

A = B ⟺ (A et B ont m \hat{e} me format et \forall (i, j), a_{i, j} = b_{i, j}) .

Deux matrices de formats différents ne sont donc jamais égales, même si elles contiennent les mêmes nombres. Une égalité entre deux matrices de $M_{n, p} (R)$ équivaut à $n p$ égalités entre réels : c'est ce qui permet, en pratique, de transformer une équation matricielle en un système.

Exemple

La matrice

A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 0 \\ 3 & 5 & 4 \end{array})

appartient à $M_{2, 3} (R)$ : elle a deux lignes et trois colonnes. Ses coefficients sont $a_{1, 1} = 2$ , $a_{1, 2} = - 1$ , $a_{1, 3} = 0$ , $a_{2, 1} = 3$ , $a_{2, 2} = 5$ et $a_{2, 3} = 4$ . Attention : $a_{2, 1} = 3$ et $a_{1, 2} = - 1$ sont deux coefficients différents.

Matrices particulières

Définition

Soit $A = (a_{i, j}) \in M_{n, p} (R)$ .

Si $n = 1$ , $A$ est une matrice ligne.
Si $p = 1$ , $A$ est une matrice colonne.
Si $n = p$ , $A$ est une matrice carrée d'ordre $n$ , et l'on note $M_{n} (R)$ leur ensemble. Les coefficients $a_{1, 1}, a_{2, 2}, \dots, a_{n, n}$ forment la diagonale principale de $A$ .
La matrice nulle de $M_{n, p} (R)$ , notée $0_{n, p}$ , est celle dont tous les coefficients sont nuls.

Définition

Soit $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (R)$ une matrice carrée.

$A$ est diagonale lorsque $a_{i, j} = 0$ dès que $i \neq j$ .
$A$ est triangulaire supérieure lorsque $a_{i, j} = 0$ dès que $i > j$ : tous les coefficients strictement sous la diagonale sont nuls.
$A$ est triangulaire inférieure lorsque $a_{i, j} = 0$ dès que $i < j$ : tous les coefficients strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.
$A$ est scalaire lorsqu'elle est de la forme $λ I_{n}$ avec $λ \in R$ , où $I_{n}$ est la matrice définie ci-dessous.

Définition

La matrice identité d'ordre $n$ , notée $I_{n}$ , est la matrice carrée diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent $1$ :

I_{2} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}), I_{3} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) .

Une matrice carrée est diagonale si et seulement si elle est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure : les deux conditions $a_{i, j} = 0$ pour $i > j$ et $a_{i, j} = 0$ pour $i < j$ réunies signifient exactement que les seuls coefficients éventuellement non nuls sont ceux d'indices $i = j$ . Notez également qu'une matrice diagonale peut fort bien avoir des zéros sur sa diagonale : la définition n'impose rien aux $a_{i, i}$ .

Voici, pour finir cette section, quelques exemples de ces matrices particulières.

a. $(\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 5 \end{array})$ est une matrice ligne de $M_{1, 3} (R)$ .

b. $(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$ est une matrice colonne de $M_{3, 1} (R)$ .

c. $(\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ est diagonale, d'ordre $3$ . Le zéro en position $(3, 3)$ ne l'empêche nullement d'être diagonale.

d. $(\begin{array}{ccc} 1 & 7 & - 2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \end{array})$ est triangulaire supérieure.

e. $(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - 6 & 2 \end{array})$ est triangulaire inférieure.

f. $(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{array}) = 5 I_{2}$ est scalaire, donc en particulier diagonale.

Somme et produit par un réel

Définitions

Définition

Soient $A = (a_{i, j})$ et $B = (b_{i, j})$ deux matrices de même format $n \times p$ , et soit $λ$ un réel.

La somme $A + B$ est la matrice de $M_{n, p} (R)$ de coefficient d'indice $(i, j)$ égal à $a_{i, j} + b_{i, j}$ .
Le produit de $A$ par le réel $λ$ , noté $λ A$ , est la matrice de $M_{n, p} (R)$ de coefficient d'indice $(i, j)$ égal à $λ a_{i, j}$ .
On note $- A = (- 1) A$ et $A - B = A + (- B)$ .

Ces deux opérations se font coefficient par coefficient, aux mêmes positions. La somme n'est définie que pour des matrices de même format : additionner une matrice $2 \times 3$ et une matrice $3 \times 2$ n'a aucun sens, et une copie qui écrit une telle somme perd immédiatement la confiance de son correcteur.

Exemple

Prenons $A = (\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ - 1 & 5 \end{array})$ . Alors

A + B = (\begin{array}{cc} 5 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array}), 3 A = (\begin{array}{cc} 3 & - 6 \\ 9 & 0 \end{array}), 2 A - 3 B = (\begin{array}{cc} 2 - 12 & - 4 - 3 \\ 6 + 3 & 0 - 15 \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 10 & - 7 \\ 9 & - 15 \end{array}) .

Propriétés

Propriété

Règles de calcul (admises). Soient $A$ , $B$ , $C$ des matrices de $M_{n, p} (R)$ et $λ$ , $μ$ des réels. On a

A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + 0_{n, p} = A, A + (- A) = 0_{n, p},

λ (A + B) = λ A + λ B, (λ + μ) A = λ A + μ A, λ (μ A) = (λ μ) A, 1 \cdot A = A .

Toutes ces égalités se vérifient coefficient par coefficient, et ne font que traduire les règles de calcul dans $R$ : par exemple, le coefficient d'indice $(i, j)$ de $A + B$ est $a_{i, j} + b_{i, j}$ , celui de $B + A$ est $b_{i, j} + a_{i, j}$ , et ces deux réels sont égaux. Le programme précise que ces vérifications ne sont pas exigibles ; on les admet donc, et on les utilise sans commentaire. Retenez en particulier que l'on peut manipuler une somme de matrices comme une somme de nombres : développer, factoriser, faire passer un terme de l'autre côté d'une égalité. C'est le produit, en section $3$ , qui demandera de la prudence.

Ces huit propriétés ont un nom, que nous justifierons en section $10$ : elles disent exactement que $M_{n, p} (R)$ , muni de ces deux opérations, est un espace vectoriel réel.

Exemple

Résolvons l'équation $2 X + A = 3 B$ d'inconnue $X \in M_{2} (R)$ , avec $A$ et $B$ comme dans l'exemple précédent. Les règles ci-dessus autorisent le calcul habituel : $2 X = 3 B - A$ , puis $X = \frac{1}{2} (3 B - A)$ . Or

3 B - A = (\begin{array}{cc} 12 - 1 & 3 + 2 \\ - 3 - 3 & 15 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 11 & 5 \\ - 6 & 15 \end{array}), donc X = (\begin{array}{cc} \frac{11}{2} & \frac{5}{2} \\ - 3 & \frac{15}{2} \end{array}) .

Produit matriciel

Définition

Soient $A = (a_{i, j}) \in M_{n, p} (R)$ et $B = (b_{i, j}) \in M_{p, q} (R)$ . Le produit $A B$ est la matrice $C = (c_{i, j})$ de $M_{n, q} (R)$ définie par

\forall i \in {1, \dots, n}, \forall j \in {1, \dots, q}, c_{i, j} = \sum_{k = 1}^{p} a_{i, k} b_{k, j} .

Le produit $A B$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ . Cette condition de compatibilité se retient par un schéma de formats :

(n \times p) \times (p \times q) ⟶ (n \times q) .

Les deux $p$ qui se touchent doivent être égaux, et ils disparaissent ; il reste le format du produit. En particulier, si $A$ est une matrice $2 \times 3$ et $B$ une matrice $3 \times 2$ , alors $A B$ est carrée d'ordre $2$ et $B A$ est carrée d'ordre $3$ : les deux produits existent, mais ils n'ont même pas le même format.

Méthode

Poser un produit matriciel. La disposition suivante évite les erreurs de ligne et de colonne. On écrit $B$ en haut à droite, $A$ en bas à gauche, et l'on remplit le rectangle situé sous $B$ et à droite de $A$ : le coefficient qui s'y trouve à l'intersection d'une ligne de $A$ et d'une colonne de $B$ est le produit de cette ligne par cette colonne, c'est-à-dire la somme des produits des termes qui se correspondent.

                          |  2   1 |
                          |  0  -1 |
                          |  3   4 |
        ------------------+---------
        |  1   2   0 |    |  2  -1 |
        | -1   3   1 |    |  1   0 |

Trois réflexes accompagnent cette disposition.

Vérifier les formats avant de commencer : le nombre de colonnes de $A$ doit être le nombre de lignes de $B$ , sans quoi le produit n'existe pas.
Calculer un coefficient à la fois, en faisant glisser un doigt le long de la ligne de $A$ et un autre le long de la colonne de $B$ .
Contrôler le format du résultat : autant de lignes que $A$ , autant de colonnes que $B$ .

Exemple

Calculons les deux produits associés à

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 3 & 1 \end{array}) \in M_{2, 3} (R), B = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & - 1 \\ 3 & 4 \end{array}) \in M_{3, 2} (R) .

Le produit $A B$ . Il est de format $2 \times 2$ . Détaillons les quatre coefficients :

c_{1, 1} = 1 \times 2 + 2 \times 0 + 0 \times 3 = 2, c_{1, 2} = 1 \times 1 + 2 \times (- 1) + 0 \times 4 = - 1,

c_{2, 1} = (- 1) \times 2 + 3 \times 0 + 1 \times 3 = 1, c_{2, 2} = (- 1) \times 1 + 3 \times (- 1) + 1 \times 4 = 0.

D'où

A B = (\begin{array}{cc} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) .

Le produit $B A$ . Il est de format $3 \times 3$ . La première ligne de $B$ est $(\begin{array}{cc} 2 & 1 \end{array})$ , et son produit par les trois colonnes de $A$ donne $2 \times 1 + 1 \times (- 1) = 1$ , puis $2 \times 2 + 1 \times 3 = 7$ , puis $2 \times 0 + 1 \times 1 = 1$ . En procédant de même avec les deux autres lignes,

B A = (\begin{array}{ccc} 1 & 7 & 1 \\ 1 & - 3 & - 1 \\ - 1 & 18 & 4 \end{array}) .

Les deux produits existent, mais l'un est d'ordre $2$ et l'autre d'ordre $3$ .

Propriétés admises

Propriété

Règles de calcul (admises). Sous réserve que les formats rendent les produits possibles, on a

A (B C) = (A B) C, A (B + C) = A B + A C, (A + B) C = A C + B C, λ (A B) = (λ A) B = A (λ B) .

De plus, pour toute matrice $A \in M_{n, p} (R)$ ,

I_{n} A = A et A I_{p} = A,

et enfin $A 0_{p, q} = 0_{n, q}$ .

Le programme indique explicitement que tout développement théorique sur le calcul matriciel est hors programme : la démonstration de l'associativité, qui consiste à écrire deux sommes doubles et à les intervertir, n'est donc pas exigible et nous ne la donnons pas. Ce qu'il faut retenir de la propriété $A I_{p} = A$ , c'est que la matrice identité joue pour le produit matriciel le rôle que joue le nombre $1$ pour le produit des réels. C'est elle qui rendra possible, en section $6$ , la définition de l'inverse.

Les trois pièges

Le produit matriciel obéit aux règles de développement usuelles, mais il en viole trois auxquelles l'habitude du calcul numérique nous a accoutumés. Ces trois pièges sont la source d'à peu près toutes les fautes graves d'algèbre linéaire en première année.

Propriété

Premier piège : le produit n'est pas commutatif. En général, $A B \neq B A$ , même lorsque les deux produits existent et ont le même format.

Exemple

Avec $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array})$ , on calcule

A B = (\begin{array}{cc} 1 \times 1 + 1 \times 1 & 1 \times 0 + 1 \times 1 \\ 0 \times 1 + 1 \times 1 & 0 \times 0 + 1 \times 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}), B A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}) .

Ces deux matrices sont distinctes. Conséquence immédiate, à graver : on ne peut jamais échanger deux facteurs dans un produit matriciel, ni écrire $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ , puisque le développement correct est

(A + B)^{2} = (A + B) (A + B) = A^{2} + A B + B A + B^{2},

et que rien ne permet de regrouper $A B$ et $B A$ .

Propriété

Deuxième piège : un produit peut être nul sans qu'aucun facteur le soit. L'égalité $A B = 0$ n'entraîne ni $A = 0$ , ni $B = 0$ .

Exemple

Avec $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array})$ , on trouve

A B = (\begin{array}{cc} 1 - 1 & - 1 + 1 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) = 0_{2},

alors que ni $A$ ni $B$ n'est nulle. Le phénomène peut même être dissymétrique : avec $A$ inchangée et $B^{'} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array})$ , on obtient $A B^{'} = 0_{2}$ tandis que

B^{'} A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}) \neq 0_{2} .

Il faut donc renoncer au réflexe « un produit est nul, donc l'un des facteurs est nul » : il est valable dans $R$ , il est faux dans $M_{n} (R)$ .

Propriété

Troisième piège : on ne peut pas simplifier. L'égalité $A B = A C$ n'entraîne pas $B = C$ , même si $A$ est non nulle.

Exemple

Reprenons $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ , et posons $B = I_{2}$ et $C = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ . On a $A B = A$ , et

A C = (\begin{array}{cc} 0 + 1 & 1 + 0 \\ 0 + 1 & 1 + 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}) = A .

Ainsi $A B = A C$ alors que $B \neq C$ . Ce troisième piège est en fait une conséquence du deuxième : $A B = A C$ s'écrit $A (B - C) = 0$ , et l'on vient de voir qu'un produit nul n'oblige aucun facteur à l'être. Nous verrons en section $6$ que la simplification redevient licite quand $A$ est inversible, et seulement dans ce cas.

Deux usages du produit

Le produit d'une matrice par une matrice colonne mérite d'être isolé, car c'est lui qui relie les matrices aux systèmes. Si $A = (a_{i, j}) \in M_{n, p} (R)$ et si $X$ est la colonne des inconnues $x_{1}, \dots, x_{p}$ , alors $A X$ est la colonne dont la $i$ -ième ligne vaut $a_{i, 1} x_{1} + a_{i, 2} x_{2} + \dots + a_{i, p} x_{p}$ , c'est-à-dire exactement le membre de gauche de la $i$ -ième équation d'un système linéaire. Nous exploiterons systématiquement cette lecture à partir de la section $7$ .

Exemple

Avec $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 2 \end{array})$ et $X = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})$ , on obtient

A X = (\begin{array}{c} 1 \times 1 + 2 \times 2 + (- 1) \times 3 \\ 2 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 3 \\ (- 1) \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 7 \\ 7 \end{array}) .

Autrement dit, le triplet $(1, 2, 3)$ est solution du système dont les équations sont $x + 2 y - z = 2$ , $2 x + y + z = 7$ et $- x + y + 2 z = 7$ . Nous le résoudrons en section $8$ .

Transposition

Définition

Soit $A = (a_{i, j}) \in M_{n, p} (R)$ . La transposée de $A$ , notée $^{t} A$ , est la matrice de $M_{p, n} (R)$ dont le coefficient d'indice $(i, j)$ est $a_{j, i}$ . Autrement dit, on échange les lignes et les colonnes : la $i$ -ième ligne de $A$ devient la $i$ -ième colonne de $^{t} A$ .

Exemple

Pour $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}) \in M_{2, 3} (R)$ , on a

^{t} A = (\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array}) \in M_{3, 2} (R) .

La transposée d'une matrice ligne est une matrice colonne, et réciproquement.

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux matrices et $λ$ un réel. Sous réserve que les opérations écrites aient un sens :

^{t} (^{t} A) = A,^{t} (A + B) =^{t} A +^{t} B,^{t} (λ A) = λ^{t} A,^{t} (A B) =^{t} B^{t} A .

Les trois premières égalités sont immédiates coefficient par coefficient. La quatrième est la seule qui réserve une surprise : l'ordre des facteurs est inversé. C'est d'ailleurs la seule possibilité si l'on veut que les formats s'accordent : si $A$ est de format $n \times p$ et $B$ de format $p \times q$ , alors $A B$ est de format $n \times q$ , donc $^{t} (A B)$ est de format $q \times n$ ; or $^{t} B$ est de format $q \times p$ et $^{t} A$ de format $p \times n$ , si bien que le produit $^{t} B^{t} A$ est bien défini et de format $q \times n$ , tandis que $^{t} A^{t} B$ n'a en général aucun sens. Contrôler les formats est donc un moyen sûr de ne jamais se tromper sur cette formule.

Exemple

Vérifions la formule sur les matrices de la section $3$ : $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 3 & 1 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & - 1 \\ 3 & 4 \end{array})$ , pour lesquelles $A B = (\begin{array}{cc} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ . D'une part

^{t} (A B) = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) .

D'autre part $^{t} B = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 3 \\ 1 & - 1 & 4 \end{array})$ et $^{t} A = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array})$ , donc

^{t} B^{t} A = (\begin{array}{cc} 2 + 0 + 0 & - 2 + 0 + 3 \\ 1 - 2 + 0 & - 1 - 3 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) .

Les deux résultats coïncident.

Définition

Soit $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (R)$ une matrice carrée.

$A$ est symétrique lorsque $^{t} A = A$ , c'est-à-dire lorsque $a_{i, j} = a_{j, i}$ pour tous $i$ et $j$ .
$A$ est antisymétrique lorsque $^{t} A = - A$ , c'est-à-dire lorsque $a_{i, j} = - a_{j, i}$ pour tous $i$ et $j$ .

Une matrice symétrique est celle qui se lit de la même façon de part et d'autre de sa diagonale principale ; on peut se la représenter comme invariante par « pliage » le long de cette diagonale.

Propriété

Les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont tous nuls.

Démonstration. Soit $A = (a_{i, j})$ antisymétrique et soit $i \in {1, \dots, n}$ . La relation $a_{i, j} = - a_{j, i}$ appliquée avec $j = i$ donne $a_{i, i} = - a_{i, i}$ , d'où $2 a_{i, i} = 0$ , puis $a_{i, i} = 0$ . $□$

Exemple

La matrice $(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 0 & 5 \\ - 3 & 5 & 4 \end{array})$ est symétrique, et la matrice $(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & - 3 \\ - 2 & 0 & 5 \\ 3 & - 5 & 0 \end{array})$ est antisymétrique : on vérifie sur cette dernière que la diagonale est nulle, comme le prévoit la propriété précédente. En revanche $(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ - 2 & 3 \end{array})$ n'est ni l'une ni l'autre.

Puissances d'une matrice carrée

Définition et matrices qui commutent

Définition

Soit $A \in M_{n} (R)$ . On définit les puissances de $A$ par récurrence :

A^{0} = I_{n}, et \forall m \in N, A^{m + 1} = A^{m} A .

La définition n'a de sens que pour une matrice carrée : c'est la seule situation où le produit $A A$ existe. On vérifie sans peine, par récurrence, que $A^{m} A^{m^{'}} = A^{m + m^{'}}$ et $(A^{m})^{m^{'}} = A^{m m^{'}}$ pour tous entiers naturels $m$ et $m^{'}$ . En revanche, $(A B)^{m}$ n'a aucune raison de valoir $A^{m} B^{m}$ : le développement de $(A B)^{m} = A B A B \dots A B$ ne peut être réorganisé que si $A$ et $B$ commutent.

Définition

Deux matrices $A$ et $B$ de $M_{n} (R)$ commutent lorsque $A B = B A$ .

Exemple

La matrice identité commute avec toutes les matrices, ainsi que toute matrice scalaire $λ I_{n}$ , puisque $(λ I_{n}) A = λ A = A (λ I_{n})$ . Une matrice commute évidemment avec toutes ses propres puissances. C'est presque tout : deux matrices prises au hasard ne commutent pas, comme l'a montré le premier piège de la section $3$ .

Propriété

Si $A$ et $B$ commutent, alors pour tout entier naturel $j$ , $A B^{j} = B^{j} A$ .

Démonstration. Par récurrence sur $j$ . Pour $j = 0$ , $A B^{0} = A I_{n} = A = I_{n} A = B^{0} A$ . Supposons la propriété vraie au rang $j$ , c'est-à-dire $A B^{j} = B^{j} A$ . Alors

A B^{j + 1} = A B^{j} B = (A B^{j}) B = (B^{j} A) B = B^{j} (A B) = B^{j} (B A) = B^{j + 1} A,

où l'on a utilisé l'associativité, l'hypothèse de récurrence, puis l'hypothèse $A B = B A$ . La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $j \in N$ . $□$

Le binôme de Newton matriciel

Propriété

Formule du binôme de Newton. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_{n} (R)$ qui commutent. Alors, pour tout entier naturel $m$ ,

(A + B)^{m} = \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) A^{k} B^{m - k} .

L'hypothèse $A B = B A$ est essentielle : sans elle, la formule est fausse dès $m = 2$ , puisque $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ ne se réduit à $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ que si $A B = B A$ . Toute rédaction qui utilise le binôme sans avoir vérifié la commutation est sanctionnée.

Démonstration. Raisonnons par récurrence sur $m$ .

Initialisation. Pour $m = 0$ , le membre de gauche vaut $(A + B)^{0} = I_{n}$ , et le membre de droite se réduit au seul terme d'indice $k = 0$ , à savoir $(\binom{0}{0}) A^{0} B^{0} = I_{n}$ . L'égalité est vraie.

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $m$ . Alors

(A + B)^{m + 1} = (A + B)^{m} (A + B) = (\sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) A^{k} B^{m - k}) (A + B) .

En développant par distributivité,

(A + B)^{m + 1} = \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) A^{k} B^{m - k} A + \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) A^{k} B^{m - k} B .

Dans la première somme, la propriété précédente donne $B^{m - k} A = A B^{m - k}$ , donc $A^{k} B^{m - k} A = A^{k + 1} B^{m - k}$ . Dans la seconde, $B^{m - k} B = B^{m - k + 1}$ . Ainsi

(A + B)^{m + 1} = \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) A^{k + 1} B^{m - k} + \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) A^{k} B^{m + 1 - k} .

Dans la première somme, effectuons le changement d'indice $j = k + 1$ , de sorte que $k = j - 1$ et que $j$ varie de $1$ à $m + 1$ ; dans la seconde, posons simplement $j = k$ :

(A + B)^{m + 1} = \sum_{j = 1}^{m + 1} (\binom{m}{j - 1}) A^{j} B^{m + 1 - j} + \sum_{j = 0}^{m} (\binom{m}{j}) A^{j} B^{m + 1 - j} .

Isolons le terme $j = m + 1$ de la première somme et le terme $j = 0$ de la seconde, puis regroupons les termes d'indices $j$ compris entre $1$ et $m$ :

(A + B)^{m + 1} = (\binom{m}{m}) A^{m + 1} + \sum_{j = 1}^{m} [(\binom{m}{j - 1}) + (\binom{m}{j})] A^{j} B^{m + 1 - j} + (\binom{m}{0}) B^{m + 1} .

La formule de Pascal donne $(\binom{m}{j - 1}) + (\binom{m}{j}) = (\binom{m + 1}{j})$ , et l'on a $(\binom{m}{m}) = 1 = (\binom{m + 1}{m + 1})$ ainsi que $(\binom{m}{0}) = 1 = (\binom{m + 1}{0})$ . Par conséquent

(A + B)^{m + 1} = \sum_{j = 0}^{m + 1} (\binom{m + 1}{j}) A^{j} B^{m + 1 - j},

ce qui est la formule au rang $m + 1$ . La récurrence est établie. $□$

Matrices nilpotentes

Définition

Une matrice $N \in M_{n} (R)$ est dite nilpotente lorsqu'il existe un entier naturel non nul $r$ tel que $N^{r} = 0_{n}$ .

Si $N^{r} = 0_{n}$ , alors $N^{m} = 0_{n}$ pour tout $m ⩾ r$ , puisque $N^{m} = N^{r} N^{m - r} = 0_{n}$ . Une matrice nilpotente est donc une matrice dont les puissances finissent par s'annuler et le restent : c'est exactement ce qui rend le binôme de Newton efficace, car la somme qu'il produit ne comporte alors qu'un petit nombre de termes non nuls.

Exemple

Posons

N = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) .

On calcule

N^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), N^{3} = N^{2} N = 0_{3} .

La matrice $N$ est donc nilpotente. Plus généralement, toute matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est nulle est nilpotente.

Les trois façons de calculer $A^{n}$

Méthode

Calculer $A^{n}$ : les trois méthodes. Face à une puissance $n$ -ième de matrice, on dispose de trois techniques, à essayer dans cet ordre.

Conjecturer puis démontrer par récurrence. On calcule $A^{2}$ , $A^{3}$ , parfois $A^{4}$ , on devine la forme générale, et on la démontre par récurrence. Méthode toujours disponible, mais qui exige que le motif soit visible.
Écrire $A = λ I_{n} + N$ avec $N$ nilpotente, puis appliquer le binôme. À tenter dès que $A$ est triangulaire avec une diagonale constante : on pose $N = A - λ I_{n}$ , on vérifie que $N$ est nilpotente, et l'on remarque que $λ I_{n}$ commute avec $N$ , ce qui autorise le binôme. La somme est finie et courte.
Utiliser une relation polynomiale vérifiée par $A$ . Si l'on connaît une relation du type $A^{2} = α A + β I_{n}$ , on effectue la division euclidienne de $x^{n}$ par le polynôme correspondant $x^{2} - α x - β$ : le reste $a x + b$ fournit $A^{n} = a A + b I_{n}$ . Lorsque le trinôme $x^{2} - α x - β$ possède deux racines réelles distinctes, les réels $a$ et $b$ s'obtiennent en évaluant l'identité polynomiale en ces deux racines ; sinon, on écrit $A^{n} = a_{n} A + b_{n} I_{n}$ et l'on détermine les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ par récurrence, en multipliant cette égalité par $A$ .

Exemple

Méthode 1 : conjecture et récurrence. Soit $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array})$ . Calculons les premières puissances :

A^{2} = (\begin{array}{cc} 1 & 1 + 2 \\ 0 & 4 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{array}), A^{3} = A^{2} A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 + 6 \\ 0 & 8 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{array}) .

Les coefficients diagonaux sont $1$ et $2^{n}$ , et le coefficient en haut à droite vaut $1$ , $3$ , $7$ , c'est-à-dire $2^{n} - 1$ . Conjecturons donc que, pour tout $n \in N$ ,

A^{n} = (\begin{array}{cc} 1 & 2^{n} - 1 \\ 0 & 2^{n} \end{array}) .

Démonstration par récurrence. Pour $n = 0$ , le membre de droite vaut $(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = I_{2} = A^{0}$ : la formule est vraie. Supposons-la vraie au rang $n$ . Alors

A^{n + 1} = A^{n} A = (\begin{array}{cc} 1 & 2^{n} - 1 \\ 0 & 2^{n} \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 1 + 2 (2^{n} - 1) \\ 0 & 2 \times 2^{n} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 2^{n + 1} - 1 \\ 0 & 2^{n + 1} \end{array}),

puisque $1 + 2^{n + 1} - 2 = 2^{n + 1} - 1$ . La formule est héréditaire, donc vraie pour tout $n \in N$ . $□$

Exemple

Méthode 2 : binôme de Newton. Soit

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) .

Posons $N = A - 2 I_{3}$ , c'est-à-dire la matrice nilpotente de l'exemple précédent, pour laquelle $N^{2} \neq 0_{3}$ et $N^{3} = 0_{3}$ . On a $A = 2 I_{3} + N$ , et les matrices $2 I_{3}$ et $N$ commutent, car une matrice scalaire commute avec toute matrice. Le binôme de Newton s'applique donc : pour tout $n \in N$ ,

A^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) N^{k} (2 I_{3})^{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 2^{n - k} N^{k} .

Comme $N^{k} = 0_{3}$ dès que $k ⩾ 3$ , seuls subsistent les termes $k = 0$ , $k = 1$ et $k = 2$ . Pour $n ⩾ 2$ ,

A^{n} = 2^{n} I_{3} + n 2^{n - 1} N + \frac{n (n - 1)}{2} 2^{n - 2} N^{2} = (\begin{array}{ccc} 2^{n} & n 2^{n - 1} & \frac{n (n - 1)}{2} 2^{n - 2} \\ 0 & 2^{n} & n 2^{n - 1} \\ 0 & 0 & 2^{n} \end{array}) .

Contrôle. Pour $n = 2$ , la formule donne $(\begin{array}{ccc} 4 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \end{array})$ , et le calcul direct de $A^{2}$ donne bien cette matrice. Pour $n = 3$ , la formule donne $(\begin{array}{ccc} 8 & 12 & 6 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{array})$ , ce que confirme le produit $A^{2} A$ .

Exemple

Méthode 3 : relation polynomiale. Soit $A = (\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array})$ . Calculons d'abord $A^{2}$ :

A^{2} = (\begin{array}{cc} 9 - 2 & - 3 + 0 \\ 6 + 0 & - 2 + 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 7 & - 3 \\ 6 & - 2 \end{array}) .

On constate que $A^{2} = 3 A - 2 I_{2}$ , autrement dit

A^{2} - 3 A + 2 I_{2} = 0_{2} .

Le polynôme $x^{2} - 3 x + 2$ se factorise en $(x - 1) (x - 2)$ : ses racines sont $1$ et $2$ . Effectuons la division euclidienne de $x^{n}$ par $x^{2} - 3 x + 2$ : il existe un polynôme $Q$ et deux réels $a$ et $b$ tels que

\forall x \in R, x^{n} = (x^{2} - 3 x + 2) Q (x) + a x + b .

En évaluant cette identité en $x = 1$ puis en $x = 2$ , le premier terme s'annule et il reste

1 = a + b et 2^{n} = 2 a + b .

En soustrayant, $a = 2^{n} - 1$ , puis $b = 1 - a = 2 - 2^{n}$ . Remplaçons maintenant $x$ par $A$ dans l'identité polynomiale, en remplaçant la constante $b$ par $b I_{2}$ : l'opération est licite car toutes les puissances de $A$ commutent entre elles, si bien que les calculs sur les polynômes se transportent tels quels. Comme $A^{2} - 3 A + 2 I_{2} = 0_{2}$ , le premier terme disparaît et

A^{n} = (2^{n} - 1) A + (2 - 2^{n}) I_{2} = (\begin{array}{cc} 3 (2^{n} - 1) + 2 - 2^{n} & - (2^{n} - 1) \\ 2 (2^{n} - 1) & 2 - 2^{n} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 2^{n + 1} - 1 & 1 - 2^{n} \\ 2^{n + 1} - 2 & 2 - 2^{n} \end{array}) .

Contrôle. Pour $n = 1$ , on obtient $(\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array}) = A$ . Pour $n = 2$ , on obtient $(\begin{array}{cc} 7 & - 3 \\ 6 & - 2 \end{array}) = A^{2}$ . Pour $n = 3$ , la formule donne $(\begin{array}{cc} 15 & - 7 \\ 14 & - 6 \end{array})$ , et le calcul direct $A^{3} = A^{2} A$ donne également $(\begin{array}{cc} 21 - 6 & - 7 \\ 18 - 4 & - 6 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 15 & - 7 \\ 14 & - 6 \end{array})$ .

Matrices inversibles

Définition et unicité de l'inverse

Définition

Une matrice $A \in M_{n} (R)$ est dite inversible lorsqu'il existe une matrice $B \in M_{n} (R)$ telle que

A B = B A = I_{n} .

Une telle matrice $B$ est alors unique ; on l'appelle l'inverse de $A$ et on la note $A^{- 1}$ .

Trois précautions accompagnent cette définition. D'abord, l'inversibilité ne concerne que les matrices carrées. Ensuite, les deux égalités $A B = I_{n}$ et $B A = I_{n}$ figurent dans la définition, précisément parce que le produit n'est pas commutatif. Enfin, la notation $A^{- 1}$ ne peut être employée qu'après avoir établi que $A$ est inversible : écrire $A^{- 1}$ pour une matrice dont on ignore le statut est une faute de raisonnement, et non une simple maladresse. En particulier, il n'existe pas de « division » de matrices, et une écriture telle que $\frac{B}{A}$ est dépourvue de sens.

Propriété

Unicité de l'inverse. Si $B$ et $C$ vérifient toutes deux $A B = B A = I_{n}$ et $A C = C A = I_{n}$ , alors $B = C$ .

Démonstration. Utilisons le fait que $I_{n}$ est neutre pour le produit, puis l'associativité :

C = C I_{n} = C (A B) = (C A) B = I_{n} B = B .

L'inverse, lorsqu'il existe, est donc unique, ce qui légitime la notation $A^{- 1}$ . $□$

Exemple

Un exemple. La matrice $A = (\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array})$ est inversible, d'inverse $B = (\begin{array}{cc} 2 & - 3 \\ - 1 & 2 \end{array})$ . En effet

A B = (\begin{array}{cc} 4 - 3 & - 6 + 6 \\ 2 - 2 & - 3 + 4 \end{array}) = I_{2}, B A = (\begin{array}{cc} 4 - 3 & 6 - 6 \\ - 2 + 2 & - 3 + 4 \end{array}) = I_{2} .

Deux contre-exemples. La matrice nulle $0_{n}$ n'est pas inversible, car $0_{n} B = 0_{n} \neq I_{n}$ pour toute matrice $B$ . La matrice $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ ne l'est pas davantage : on a vu en section $3$ que $A B = 0_{2}$ avec $B = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}) \neq 0_{2}$ . Si $A$ était inversible, en multipliant l'égalité $A B = 0_{2}$ à gauche par $A^{- 1}$ on obtiendrait $B = A^{- 1} 0_{2} = 0_{2}$ , ce qui est faux. Une matrice non nulle peut donc parfaitement ne pas être inversible : c'est une différence majeure avec les nombres réels.

Ce dernier raisonnement mérite d'être retenu pour lui-même, car il sert constamment : si $A$ est inversible, on peut simplifier. De $A B = A C$ on tire en effet $A^{- 1} A B = A^{- 1} A C$ , donc $B = C$ ; et de $A B = 0$ on tire $B = 0$ . Le troisième piège de la section $3$ ne se produit que pour des matrices non inversibles.

Opérations et inversibilité

Propriété

Inverse d'un produit. Si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles de $M_{n} (R)$ , alors $A B$ est inversible et

{(A B)}^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1} .

Démonstration. Calculons les deux produits, en utilisant l'associativité pour regrouper les facteurs centraux :

(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = A I_{n} A^{- 1} = A A^{- 1} = I_{n},

(B^{- 1} A^{- 1}) (A B) = B^{- 1} (A^{- 1} A) B = B^{- 1} I_{n} B = B^{- 1} B = I_{n} .

La matrice $B^{- 1} A^{- 1}$ vérifie donc les deux égalités de la définition : $A B$ est inversible, d'inverse $B^{- 1} A^{- 1}$ . $□$

Là encore, l'ordre est inversé, exactement comme pour la transposition. L'image usuelle est celle de l'habillage : pour défaire ce que l'on a fait en enfilant d'abord les chaussettes puis les chaussures, il faut retirer d'abord les chaussures. Par récurrence immédiate, on en déduit que si $A$ est inversible, alors $A^{m}$ l'est pour tout $m \in N$ , d'inverse ${(A^{m})}^{- 1} = {(A^{- 1})}^{m}$ .

Propriété

Inverse d'une transposée. Si $A$ est inversible, alors $^{t} A$ est inversible et

(^{t} A)^{- 1} =^{t} (A^{- 1}) .

Démonstration. Transposons l'égalité $A A^{- 1} = I_{n}$ . La formule $^{t} (A B) =^{t} B^{t} A$ donne $^{t} (A^{- 1})^{t} A =^{t} I_{n} = I_{n}$ . En transposant de même $A^{- 1} A = I_{n}$ , on obtient $^{t} A^{t} (A^{- 1}) = I_{n}$ . Les deux égalités de la définition sont vérifiées. $□$

Définition

Puissances négatives. Si $A$ est inversible et si $m$ est un entier naturel, on pose

A^{- m} = {(A^{- 1})}^{m} = {(A^{m})}^{- 1} .

Avec cette convention, l'égalité $A^{r} A^{s} = A^{r + s}$ est valable pour tous les entiers relatifs $r$ et $s$ .

Le cas des matrices d'ordre 2

Propriété

Critère et formule à l'ordre $2$ . Soit $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) \in M_{2} (R)$ . Alors $A$ est inversible si et seulement si $a d - b c \neq 0$ , et dans ce cas

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{array}{cc} d & - b \\ - c & a \end{array}) .

Démonstration. Posons $A^{'} = (\begin{array}{cc} d & - b \\ - c & a \end{array})$ . Un calcul direct donne

A A^{'} = (\begin{array}{cc} a d - b c & - a b + b a \\ c d - d c & - c b + d a \end{array}) = (a d - b c) I_{2}, A^{'} A = (\begin{array}{cc} d a - b c & d b - b d \\ - c a + a c & - c b + a d \end{array}) = (a d - b c) I_{2} .

Si $a d - b c \neq 0$ , on peut diviser par ce réel : la matrice $\frac{1}{a d - b c} A^{'}$ vérifie les deux égalités de la définition, donc $A$ est inversible et son inverse est bien celui annoncé.

Réciproquement, supposons $a d - b c = 0$ et supposons par l'absurde $A$ inversible. Les calculs ci-dessus donnent alors $A A^{'} = 0_{2}$ , et en multipliant à gauche par $A^{- 1}$ on obtient $A^{'} = 0_{2}$ , c'est-à-dire $a = b = c = d = 0$ , donc $A = 0_{2}$ . Or la matrice nulle n'est pas inversible : contradiction. Ainsi $A$ n'est pas inversible. $□$

La formule se retient en trois gestes : on échange les deux coefficients de la diagonale, on change le signe des deux autres, et on divise par le réel $a d - b c$ . Ce nombre est un critère très commode, mais il est propre à l'ordre $2$ : il ne se généralise pas dans le cadre de ce programme. Pour une matrice d'ordre $3$ ou plus, on disposera de deux outils, et de deux seulement : la relation polynomiale du paragraphe suivant, quand l'énoncé en fournit une, et sinon le pivot de Gauss de la section $9$ .

Exemple

La matrice $(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array})$ vérifie $a d - b c = 4 - 3 = 1 \neq 0$ : elle est inversible, et son inverse est $\frac{1}{1} (\begin{array}{cc} 2 & - 3 \\ - 1 & 2 \end{array})$ , ce que l'on avait vérifié plus haut. En revanche, la matrice $(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array})$ vérifie $a d - b c = 4 - 4 = 0$ : elle n'est pas inversible. On le comprend en remarquant que sa seconde ligne est le double de la première.

Inverser à partir d'une relation polynomiale

Méthode

Inverser grâce à une relation polynomiale. Lorsqu'une matrice $A$ vérifie une relation du type

A^{2} + α A + β I_{n} = 0_{n} avec β \neq 0,

on la met sous la forme d'un produit égal à $I_{n}$ :

A^{2} + α A = - β I_{n} ⟹ A (A + α I_{n}) = - β I_{n} ⟹ A \times (- \frac{1}{β} (A + α I_{n})) = I_{n} .

Comme $A$ commute avec $A + α I_{n}$ , le produit dans l'autre ordre donne également $I_{n}$ . On conclut : $A$ est inversible et $A^{- 1} = - \frac{1}{β} (A + α I_{n})$ .

Deux points de vigilance. Il faut factoriser par $A$ , et non simplifier ; et il faut vérifier que le coefficient constant $β$ est non nul, faute de quoi la méthode échoue, et la matrice peut d'ailleurs ne pas être inversible.

Exemple

Soit

J = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}) .

Calculons $J^{2}$ . Le coefficient d'indice $(1, 1)$ vaut $0 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 1 = 2$ , celui d'indice $(1, 2)$ vaut $0 \times 1 + 1 \times 0 + 1 \times 1 = 1$ , et ainsi de suite :

J^{2} = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}) = J + 2 I_{3} .

On dispose donc de la relation $J^{2} - J - 2 I_{3} = 0_{3}$ , dans laquelle le coefficient constant vaut $- 2 \neq 0$ . Factorisons par $J$ :

J (J - I_{3}) = 2 I_{3} donc J \times \frac{1}{2} (J - I_{3}) = I_{3} .

Comme $J$ commute avec $J - I_{3}$ , on a aussi $\frac{1}{2} (J - I_{3}) \times J = I_{3}$ . La matrice $J$ est donc inversible, et

J^{- 1} = \frac{1}{2} (J - I_{3}) = \frac{1}{2} (\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{array}) .

Vérification. Le produit $J J^{- 1}$ a pour coefficient d'indice $(1, 1)$ le réel $\frac{1}{2} (0 \times (- 1) + 1 \times 1 + 1 \times 1) = 1$ , pour coefficient d'indice $(1, 2)$ le réel $\frac{1}{2} (0 \times 1 + 1 \times (- 1) + 1 \times 1) = 0$ , et pour coefficient d'indice $(1, 3)$ le réel $\frac{1}{2} (0 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times (- 1)) = 0$ . Les deux autres lignes se traitent de même, et l'on trouve bien $J J^{- 1} = I_{3}$ .

Systèmes linéaires

Vocabulaire

Définition

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On appelle système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues tout système de la forme

(S) {\begin{cases} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, p} x_{p} = b_{1} \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, p} x_{p} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n, 1} x_{1} + a_{n, 2} x_{2} + \dots + a_{n, p} x_{p} = b_{n} \end{cases}

où les $a_{i, j}$ et les $b_{i}$ sont des réels donnés, appelés respectivement coefficients et seconds membres. Une solution de $(S)$ est un $p$ -uplet $(x_{1}, \dots, x_{p})$ de réels vérifiant simultanément les $n$ équations. Résoudre $(S)$ , c'est déterminer l'ensemble de ses solutions. Le système est dit compatible s'il admet au moins une solution, incompatible sinon.

Définition

Avec les notations précédentes, on pose

A = (a_{i, j}) \in M_{n, p} (R), X = (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{p} \end{array}) \in M_{p, 1} (R), B = (\begin{array}{c} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}) \in M_{n, 1} (R) .

La matrice $A$ est la matrice du système, et $(S)$ s'écrit sous forme matricielle

A X = B .

Le système homogène associé à $(S)$ est le système $A X = 0$ , obtenu en remplaçant tous les seconds membres par $0$ .

L'équivalence entre le système et l'égalité matricielle $A X = B$ n'est pas un tour de passe-passe : elle traduit exactement le calcul du produit d'une matrice par une colonne, effectué en section $3$ . La $i$ -ième ligne de $A X$ vaut $a_{i, 1} x_{1} + \dots + a_{i, p} x_{p}$ , et l'égalité de deux colonnes équivaut à l'égalité de leurs lignes une à une.

Un système homogène est toujours compatible, puisque le $p$ -uplet nul $(0, \dots, 0)$ en est solution : on l'appelle la solution triviale. Toute la question, pour un système homogène, est donc de savoir s'il en possède d'autres.

Exemple

Le système

{\begin{cases} x + 2 y - z = 2 \\ 2 x + y + z = 7 \\ - x + y + 2 z = 7 \end{cases}

s'écrit matriciellement $A X = B$ avec

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 2 \end{array}), X = (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}), B = (\begin{array}{c} 2 \\ 7 \\ 7 \end{array}) .

Le calcul de la section $3$ montre que $(1, 2, 3)$ en est solution : le système est compatible.

Structure de l'ensemble des solutions

Propriété

Structure des solutions. Soit $(S)$ le système $A X = B$ , et soit $(S_{0})$ le système homogène associé $A X = 0$ . Notons $S$ et $S_{0}$ leurs ensembles de solutions respectifs. Si $(S)$ est compatible et si $X_{0}$ est une solution de $(S)$ , alors

S = {X_{0} + Y; Y \in S_{0}} .

Autrement dit : toute solution de $(S)$ est la somme d'une solution particulière et d'une solution du système homogène associé.

Démonstration. Procédons par double inclusion.

Soit $X \in S$ , c'est-à-dire $A X = B$ . Comme $A X_{0} = B$ , on a $A X = A X_{0}$ , donc $A X - A X_{0} = 0$ , soit $A (X - X_{0}) = 0$ par distributivité. Ainsi $Y = X - X_{0}$ appartient à $S_{0}$ , et $X = X_{0} + Y$ est bien de la forme annoncée.

Réciproquement, soit $Y \in S_{0}$ et posons $X = X_{0} + Y$ . Alors

A X = A (X_{0} + Y) = A X_{0} + A Y = B + 0 = B,

donc $X \in S$ . Les deux inclusions donnent l'égalité. $□$

Cette propriété a une conséquence pratique importante : un système linéaire admet zéro, une ou une infinité de solutions, jamais deux ni trois. En effet, s'il est compatible, son ensemble de solutions est en correspondance avec $S_{0}$ ; or si $S_{0}$ contient une solution $Y$ non nulle, il contient aussi $λ Y$ pour tout réel $λ$ , puisque $A (λ Y) = λ (A Y) = 0$ , ce qui fait une infinité de solutions distinctes. Un exercice qui aboutit à « le système a exactement deux solutions » contient donc nécessairement une erreur de calcul.

Opérations élémentaires sur les lignes

Définition

On appelle opération élémentaire sur les lignes d'un système, ou d'une matrice, l'une des trois transformations suivantes.

Échange de deux lignes : $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ .
Multiplication d'une ligne par un réel non nul $λ$ : $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ .
Ajout à une ligne d'un multiple d'une autre ligne : $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ , avec $i \neq j$ .

Propriété

Une opération élémentaire transforme un système en un système équivalent, c'est-à-dire ayant exactement le même ensemble de solutions.

La raison en est que chaque opération élémentaire est réversible, et que son inverse est elle-même une opération élémentaire : l'échange $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ se défait par le même échange, l'opération $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ se défait par $L_{i} \leftarrow \frac{1}{λ} L_{i}$ (c'est ici que sert l'hypothèse $λ \neq 0$ ), et l'opération $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ se défait par $L_{i} \leftarrow L_{i} - λ L_{j}$ . Ainsi, toute solution du système de départ est solution du système transformé, et réciproquement.

Deux mises en garde s'imposent sur la troisième opération. D'une part, la ligne $L_{j}$ que l'on ajoute doit être différente de la ligne modifiée : l'écriture $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{1}$ détruirait de l'information. D'autre part, on ne combine qu'une ligne à la fois avec la ligne pivot ; enchaîner deux opérations qui modifient simultanément $L_{2}$ et $L_{3}$ en s'appuyant l'une sur l'autre est la source d'erreurs la plus fréquente en début d'apprentissage. Enfin, il est vivement conseillé d'écrire l'opération effectuée en marge, à chaque étape : c'est ce qui permet de retrouver une erreur sans tout recommencer.

Systèmes échelonnés

Définition

Un système linéaire est dit échelonné (on dit aussi « en escalier ») lorsque, dans chaque équation non triviale, le nombre de coefficients nuls précédant le premier coefficient non nul est strictement plus grand que dans l'équation précédente, et lorsque les éventuelles équations dont tous les coefficients sont nuls figurent en dernier.

Dans un tel système, le premier coefficient non nul de chaque équation s'appelle un pivot. L'inconnue correspondante est une inconnue principale ; les autres sont les inconnues secondaires, ou paramètres.

Exemple

Le système

{\begin{cases} x + 2 y - z + t = 0 \\ z + t = 0 \end{cases}

est échelonné. Les pivots sont le coefficient de $x$ dans la première équation et le coefficient de $z$ dans la seconde : les inconnues principales sont $x$ et $z$ , les inconnues secondaires sont $y$ et $t$ .

L'intérêt d'un système échelonné est qu'il se résout de bas en haut, sans aucune difficulté : la dernière équation donne la dernière inconnue principale en fonction des paramètres, on remonte à l'avant-dernière, et ainsi de suite. Tout le travail consiste donc à ramener un système quelconque à cette forme, et c'est exactement ce que fait la méthode du pivot de Gauss.

Méthode du pivot de Gauss

Méthode

Algorithme du pivot de Gauss. Pour résoudre un système linéaire, on l'échelonne en éliminant les inconnues une à une.

Choisir le pivot. Dans la première colonne contenant un coefficient non nul, choisir une ligne dont le coefficient est non nul, et l'amener en première position par un échange $L_{1} \leftrightarrow L_{i}$ . On préfère, quand c'est possible, un pivot égal à $1$ ou $- 1$ : cela évite les fractions.
Éliminer. Pour chaque ligne $L_{i}$ située en dessous, effectuer $L_{i} \leftarrow L_{i} - \frac{a_{i, 1}}{a_{1, 1}} L_{1}$ de manière à annuler le coefficient de la première inconnue. Écrire l'opération en marge.
Recommencer sur le système formé par les lignes restantes, en oubliant la première ligne et la première colonne, jusqu'à obtenir un système échelonné.
Conclure. Trois cas se présentent. Si une équation de la forme $0 = c$ avec $c \neq 0$ est apparue, le système est incompatible et l'ensemble des solutions est vide. Sinon, si toutes les inconnues sont principales, le système a une unique solution, que l'on obtient en remontant. Sinon, il reste des inconnues secondaires, et il y a une infinité de solutions, que l'on décrit en exprimant les inconnues principales en fonction des paramètres.
Vérifier, en réinjectant la ou les solutions trouvées dans les équations de départ. Cette étape n'est jamais du temps perdu.

Exemple

Un système à solution unique. Résolvons

{\begin{cases} x + 2 y - z = 2 (L_{1}) \\ 2 x + y + z = 7 (L_{2}) \\ - x + y + 2 z = 7 (L_{3}) \end{cases}

Le pivot naturel est le coefficient de $x$ dans $L_{1}$ , qui vaut $1$ .

Première étape. On effectue $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{1}$ . Détaillons la première : le coefficient de $x$ devient $2 - 2 \times 1 = 0$ , celui de $y$ devient $1 - 2 \times 2 = - 3$ , celui de $z$ devient $1 - 2 \times (- 1) = 3$ , et le second membre devient $7 - 2 \times 2 = 3$ . De même pour la seconde : $- 1 + 1 = 0$ , $1 + 2 = 3$ , $2 + (- 1) = 1$ et $7 + 2 = 9$ . Le système devient

{\begin{cases} x + 2 y - z = 2 \\ - 3 y + 3 z = 3 \\ 3 y + z = 9 \end{cases}

Deuxième étape. On simplifie la deuxième ligne par $L_{2} \leftarrow - \frac{1}{3} L_{2}$ , ce qui donne $y - z = - 1$ , puis on élimine $y$ dans la troisième par $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{2}$ : le coefficient de $y$ devient $3 - 3 \times 1 = 0$ , celui de $z$ devient $1 - 3 \times (- 1) = 4$ , et le second membre devient $9 - 3 \times (- 1) = 12$ . Le système échelonné est

{\begin{cases} x + 2 y - z = 2 \\ y - z = - 1 \\ 4 z = 12 \end{cases}

Remontée. La dernière équation donne $z = 3$ . La deuxième donne $y = - 1 + z = 2$ . La première donne $x = 2 - 2 y + z = 2 - 4 + 3 = 1$ .

Vérification. Pour $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ : $1 + 4 - 3 = 2$ , $2 + 2 + 3 = 7$ et $- 1 + 2 + 6 = 7$ . Les trois équations sont satisfaites. L'ensemble des solutions est donc

S = {(1, 2, 3)} .

Exemple

Un système incompatible. Résolvons

{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2 x + 3 y - z = 4 \\ 3 x + 4 y = 6 \end{cases}

On effectue $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ , ce qui donne $y - 3 z = 2$ , puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1}$ , ce qui donne $y - 3 z = 3$ . Le système devient

{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y - 3 z = 2 \\ y - 3 z = 3 \end{cases}

Enfin $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ fournit l'équation

0 = 1,

qui n'est vérifiée par aucun triplet. Le système est incompatible et $S = \emptyset$ . On pouvait le pressentir : les deux dernières équations affirment que la même quantité $y - 3 z$ vaut à la fois $2$ et $3$ .

Exemple

Un système à une infinité de solutions. Reprenons le système précédent en remplaçant le second membre de la troisième équation par $5$ :

{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2 x + 3 y - z = 4 \\ 3 x + 4 y = 5 \end{cases}

Les mêmes opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1}$ donnent cette fois deux équations identiques $y - 3 z = 2$ , et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ produit la ligne nulle $0 = 0$ , que l'on supprime. Le système échelonné est

{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y - 3 z = 2 \end{cases}

Les inconnues principales sont $x$ et $y$ ; l'inconnue $z$ est secondaire. Posons $z = t$ , avec $t \in R$ . La deuxième équation donne $y = 2 + 3 t$ , et la première $x = 1 - y - z = 1 - (2 + 3 t) - t = - 1 - 4 t$ . L'ensemble des solutions est donc

S = {(- 1 - 4 t, 2 + 3 t, t); t \in R} .

Vérification. Pour tout réel $t$ : la première équation donne $(- 1 - 4 t) + (2 + 3 t) + t = 1$ , la deuxième $2 (- 1 - 4 t) + 3 (2 + 3 t) - t = - 2 - 8 t + 6 + 9 t - t = 4$ , et la troisième $3 (- 1 - 4 t) + 4 (2 + 3 t) = - 3 - 12 t + 8 + 12 t = 5$ . Les trois égalités sont vérifiées pour toute valeur de $t$ , ce qui confirme le résultat.

Exemple

Discussion d'un système dépendant d'un paramètre. Soit $m$ un réel. Résolvons, selon la valeur de $m$ , le système

{\begin{cases} m x + y + z = 1 \\ x + m y + z = 1 \\ x + y + m z = 1 \end{cases}

Le coefficient $m$ pouvant être nul, il ne faut surtout pas prendre $m$ comme premier pivot. Commençons donc par l'échange $L_{1} \leftrightarrow L_{2}$ , qui place un pivot égal à $1$ en tête :

{\begin{cases} x + m y + z = 1 \\ m x + y + z = 1 \\ x + y + m z = 1 \end{cases}

On effectue $L_{2} \leftarrow L_{2} - m L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ :

{\begin{cases} x + m y + z = 1 \\ (1 - m^{2}) y + (1 - m) z = 1 - m \\ (1 - m) y + (m - 1) z = 0 \end{cases}

Factorisons les deux dernières lignes, en remarquant que $1 - m^{2} = (1 - m) (1 + m)$ et $m - 1 = - (1 - m)$ :

(1 - m) [(1 + m) y + z] = 1 - m et (1 - m) [y - z] = 0.

Premier cas : $m = 1$ . Les deux dernières équations deviennent $0 = 0$ et ne disent plus rien. Le système se réduit à la seule équation $x + y + z = 1$ , qui possède une infinité de solutions à deux paramètres :

S = {(1 - s - t, s, t); (s, t) \in R^{2}} .

Second cas : $m \neq 1$ . On peut diviser les deux dernières lignes par $1 - m$ , qui est non nul, et le système équivaut à

{\begin{cases} x + m y + z = 1 \\ (1 + m) y + z = 1 \\ y - z = 0 \end{cases}

La dernière ligne donne $z = y$ , que l'on reporte dans la deuxième : $(1 + m) y + y = 1$ , soit

(m + 2) y = 1.

Sous-cas $m = - 2$ . Cette équation s'écrit $0 = 1$ : le système est incompatible, et $S = \emptyset$ .

Sous-cas $m \neq - 2$ . On obtient $y = \frac{1}{m + 2}$ , puis $z = \frac{1}{m + 2}$ , et la première équation donne

x = 1 - m y - z = 1 - \frac{m + 1}{m + 2} = \frac{1}{m + 2} .

Le système admet alors une unique solution, à savoir

S = {(\frac{1}{m + 2}, \frac{1}{m + 2}, \frac{1}{m + 2})} .

Vérification du cas général. En notant $u = \frac{1}{m + 2}$ , chacune des trois équations s'écrit $m u + u + u = (m + 2) u = 1$ : elle est bien vérifiée. Pour $m = 0$ par exemple, on retrouve la solution $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , dont on vérifie immédiatement qu'elle convient.

Conclusion de la discussion. Le système possède une unique solution si $m \notin {- 2, 1}$ , aucune solution si $m = - 2$ , et une infinité de solutions si $m = 1$ .

Systèmes de Cramer et inversibilité

Définition

Un système linéaire est dit carré lorsqu'il comporte autant d'équations que d'inconnues, c'est-à-dire lorsque sa matrice $A$ appartient à $M_{n} (R)$ . Un système carré est appelé système de Cramer lorsqu'il admet une unique solution.

Propriété

Caractérisation de l'inversibilité (admise). Soit $A \in M_{n} (R)$ . Les trois propositions suivantes sont équivalentes.

$A$ est inversible.
Pour toute colonne $B \in M_{n, 1} (R)$ , le système $A X = B$ admet une unique solution, à savoir $X = A^{- 1} B$ .
Le système homogène $A X = 0$ admet la seule solution $X = 0$ .

Ce résultat est admis dans ce programme. Seule l'implication de $1$ vers $2$ est immédiate, et il vaut la peine de la connaître : si $A$ est inversible et si $A X = B$ , alors en multipliant à gauche par $A^{- 1}$ on obtient $X = A^{- 1} B$ , ce qui prouve à la fois qu'il y a au plus une solution et, en vérifiant que $A (A^{- 1} B) = B$ , qu'il y en a exactement une. Les réciproques reposent sur l'algorithme du pivot et ne sont pas exigibles.

Le point $3$ est celui que l'on utilise le plus souvent en exercice, car il est le plus économique : pour établir qu'une matrice carrée est inversible, il suffit de montrer que le système homogène $A X = 0$ force $X = 0$ . Retenez aussi la traduction pratique du point $2$ : résoudre un système de Cramer, c'est calculer $A^{- 1} B$ , mais en pratique le pivot de Gauss reste plus rapide qu'un calcul d'inverse dès que l'on n'a qu'un seul second membre à traiter.

Méthode

Calculer $A^{- 1}$ par le pivot de Gauss. Pour inverser une matrice $A \in M_{n} (R)$ :

Écrire côte à côte la matrice $A$ et la matrice $I_{n}$ , séparées par une barre : c'est la matrice augmentée $(A ∣ I_{n})$ .
Appliquer l'algorithme du pivot aux lignes entières, c'est-à-dire en répercutant chaque opération simultanément à gauche et à droite de la barre.
Poursuivre jusqu'à obtenir $I_{n}$ à gauche de la barre, en remontant après l'échelonnement pour annuler aussi les coefficients au-dessus des pivots.
Lire $A^{- 1}$ à droite de la barre.
Si, au cours du calcul, une ligne entière devient nulle à gauche de la barre, s'arrêter : la matrice $A$ n'est pas inversible.
Vérifier en calculant $A A^{- 1}$ , qui doit valoir $I_{n}$ .

Exemple

Inversion d'une matrice d'ordre $3$ . Inversons

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}) .

On part de la matrice augmentée

(\begin{array}{cccccc} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}) .

Étape 1 : amener un pivot égal à $1$ en haut à gauche, par l'échange $L_{1} \leftrightarrow L_{2}$ :

(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}) .

Étape 2 : éliminer la première colonne, par $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ :

(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & 0 & - 1 & 1 \end{array}) .

Étape 3 : normaliser le deuxième pivot, par $L_{2} \leftarrow - L_{2}$ :

(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & 0 & - 1 & 1 \end{array}) .

Étape 4 : éliminer la deuxième colonne sous le pivot, par $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$ :

(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 & 1 \end{array}) .

La partie gauche est maintenant échelonnée, avec trois pivots : la matrice $A$ est inversible.

Étape 5 : remonter. On annule les coefficients situés au-dessus des pivots, par $L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{3}$ puis $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2}$ :

(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 2 & - 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 & 1 \end{array}) .

On lit donc

A^{- 1} = (\begin{array}{ccc} 2 & - 2 & - 1 \\ - 2 & 3 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array}) .

Vérification. Calculons $A A^{- 1}$ coefficient par coefficient. Première ligne de $A$ : $(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \end{array})$ . Multipliée par les trois colonnes de $A^{- 1}$ , elle donne

2 \times 2 + 1 \times (- 2) + 1 \times (- 1) = 1, 2 \times (- 2) + 1 \times 3 + 1 \times 1 = 0, 2 \times (- 1) + 1 \times 1 + 1 \times 1 = 0.

Deuxième ligne $(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \end{array})$ :

2 - 2 + 0 = 0, - 2 + 3 + 0 = 1, - 1 + 1 + 0 = 0.

Troisième ligne $(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \end{array})$ :

2 + 0 - 2 = 0, - 2 + 0 + 2 = 0, - 1 + 0 + 2 = 1.

On obtient bien $A A^{- 1} = I_{3}$ .

Espaces vectoriels : première approche

Définition

Les sections précédentes ont fait apparaître deux fois la même situation : dans $M_{n, p} (R)$ comme dans $R^{n}$ , on dispose d'une addition et d'une multiplication par un réel, soumises aux mêmes huit règles de calcul. Le même phénomène se produit pour les suites, pour les fonctions et pour les polynômes. Plutôt que de refaire cinq fois les mêmes raisonnements, on isole la structure commune.

Définition

On appelle espace vectoriel réel, ou $R$ -espace vectoriel, tout ensemble non vide $E$ muni d'une addition, qui à $(x, y) \in E^{2}$ associe $x + y \in E$ , et d'une multiplication par un réel, qui à $(λ, x) \in R \times E$ associe $λ \cdot x \in E$ , vérifiant les huit propriétés suivantes.

Pour l'addition :

$x + y = y + x$ quels que soient $x$ , $y$ dans $E$ ;
$(x + y) + z = x + (y + z)$ quels que soient $x$ , $y$ , $z$ dans $E$ ;
il existe un élément de $E$ , noté $0_{E}$ et appelé vecteur nul, tel que $x + 0_{E} = x$ pour tout $x$ de $E$ (le même $0_{E}$ convient pour tous les vecteurs) ;
tout $x$ de $E$ possède un élément de $E$ , noté $- x$ , tel que $x + (- x) = 0_{E}$ .

Pour la multiplication par un réel, quels que soient $x$ , $y$ dans $E$ et $λ$ , $μ$ dans $R$ :

$1 \cdot x = x$ ;
$λ \cdot (μ \cdot x) = (λ μ) \cdot x$ ;
$(λ + μ) \cdot x = λ \cdot x + μ \cdot x$ ;
$λ \cdot (x + y) = λ \cdot x + λ \cdot y$ .

Les éléments de $E$ s'appellent des vecteurs, les réels des scalaires.

Deux commentaires sur cette liste. D'abord, la multiplication considérée est externe : elle fait intervenir un réel et un vecteur, et non deux vecteurs. Il n'y a, dans un espace vectoriel quelconque, aucune multiplication de deux vecteurs entre eux ; le fait que $M_{n} (R)$ en possède une est une richesse supplémentaire, pas une conséquence de la structure. Ensuite, le point noté $\cdot$ est le plus souvent omis : on écrit $λ x$ .

Conformément au programme, la vérification des huit axiomes sur les exemples usuels est admise : on ne demandera jamais de démontrer que $R^{3}$ est un espace vectoriel. Ce qu'il faut, c'est connaître la liste de ces exemples, car ils servent d'espace ambiant dans tous les exercices.

Les exemples usuels

Propriété

Exemples usuels (admis). Les ensembles suivants, munis des opérations naturelles définies terme à terme, sont des $R$ -espaces vectoriels.

$R$ lui-même, et plus généralement $R^{n}$ pour $n ⩾ 1$ , avec

(x_{1}, \dots, x_{n}) + (y_{1}, \dots, y_{n}) = (x_{1} + y_{1}, \dots, x_{n} + y_{n}), λ (x_{1}, \dots, x_{n}) = (λ x_{1}, \dots, λ x_{n}) .

Le vecteur nul est $0_{R^{n}} = (0, \dots, 0)$ .

$M_{n, p} (R)$ , avec les opérations de la section $2$ . Le vecteur nul est la matrice nulle $0_{n, p}$ .
L'ensemble $R^{N}$ des suites réelles, avec $(u + v)_{k} = u_{k} + v_{k}$ et $(λ u)_{k} = λ u_{k}$ . Le vecteur nul est la suite nulle.
L'ensemble $F (R, R)$ des fonctions de $R$ dans $R$ , avec $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ et $(λ f) (x) = λ f (x)$ . Le vecteur nul est la fonction nulle.
L'ensemble $R [x]$ des polynômes à coefficients réels, ainsi que $R_{n} [x]$ pour tout $n \in N$ . Le vecteur nul est le polynôme nul.

Il faut s'habituer à ce que le mot « vecteur » désigne, selon le contexte, un $n$ -uplet, une matrice, une suite, une fonction ou un polynôme. C'est précisément la puissance de la notion : un même énoncé, démontré une fois pour toutes, s'appliquera dans les cinq situations.

Règles de calcul

Propriété

Soit $E$ un $R$ -espace vectoriel, soit $x \in E$ et soit $λ \in R$ . Alors

0 \cdot x = 0_{E}, λ \cdot 0_{E} = 0_{E}, (- 1) \cdot x = - x,

λ \cdot x = 0_{E} ⟺ (λ = 0 ou x = 0_{E}) .

Prenez garde à la première égalité : le $0$ de gauche est le réel nul, celui de droite le vecteur nul. Ce sont deux objets de nature différente, et c'est justement le contenu de l'énoncé que d'affirmer un lien entre eux.

Démonstration. Montrons d'abord $0 \cdot x = 0_{E}$ . Le réel $0$ vérifie $0 = 0 + 0$ , donc l'axiome $7$ donne

0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x .

Ajoutons aux deux membres le vecteur $- (0 \cdot x)$ , dont l'axiome $4$ garantit l'existence : le membre de gauche devient $0_{E}$ , et le membre de droite $0 \cdot x$ . D'où $0 \cdot x = 0_{E}$ .

Le même argument donne la deuxième égalité : comme $0_{E} = 0_{E} + 0_{E}$ , l'axiome $8$ donne $λ \cdot 0_{E} = λ \cdot 0_{E} + λ \cdot 0_{E}$ , et en ajoutant $- (λ \cdot 0_{E})$ aux deux membres, on obtient $0_{E} = λ \cdot 0_{E}$ .

Pour la troisième, écrivons, en utilisant l'axiome $5$ puis l'axiome $7$ :

x + (- 1) \cdot x = 1 \cdot x + (- 1) \cdot x = (1 + (- 1)) \cdot x = 0 \cdot x = 0_{E} .

Ainsi $(- 1) \cdot x$ est un opposé de $x$ . Or l'opposé est unique : si $y$ et $y^{'}$ vérifient tous deux $x + y = 0_{E}$ et $x + y^{'} = 0_{E}$ , alors $y = y + 0_{E} = y + (x + y^{'}) = (y + x) + y^{'} = 0_{E} + y^{'} = y^{'}$ . Donc $(- 1) \cdot x = - x$ .

Enfin, l'équivalence. Si $λ = 0$ ou $x = 0_{E}$ , les deux premières égalités donnent $λ \cdot x = 0_{E}$ . Réciproquement, supposons $λ \cdot x = 0_{E}$ et $λ \neq 0$ . Le réel $\frac{1}{λ}$ existe, et les axiomes $6$ et $5$ donnent

x = 1 \cdot x = (\frac{1}{λ} λ) \cdot x = \frac{1}{λ} \cdot (λ \cdot x) = \frac{1}{λ} \cdot 0_{E} = 0_{E} .

Donc $λ = 0$ ou $x = 0_{E}$ . $□$

La dernière équivalence est celle que l'on utilise le plus. Elle indique que, contrairement au produit matriciel, la multiplication externe ne possède pas de diviseurs de zéro : un produit $λ x$ est nul si et seulement si l'un des deux facteurs l'est.

Sous-espaces vectoriels

Définition et caractérisation

Vérifier huit axiomes pour chaque ensemble rencontré serait interminable. Heureusement, la quasi-totalité des espaces vectoriels que l'on manipule sont des parties d'un espace vectoriel déjà connu. Il suffit alors d'un critère très court.

Définition

Soit $E$ un $R$ -espace vectoriel. Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ lorsque $F$ , muni des opérations de $E$ , est lui-même un $R$ -espace vectoriel.

Propriété

Caractérisation des sous-espaces vectoriels. Soit $E$ un $R$ -espace vectoriel et soit $F$ une partie de $E$ . Alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont réunies :

$F$ est non vide, ce que l'on vérifie en pratique en montrant que $0_{E} \in F$ ;
$F$ est stable par combinaison linéaire, c'est-à-dire

\forall (x, y) \in F^{2}, \forall (λ, μ) \in R^{2}, λ x + μ y \in F .

Démonstration. Supposons d'abord que $F$ soit un sous-espace vectoriel de $E$ . Alors $F$ est un espace vectoriel, donc non vide, et ses opérations sont celles de $E$ : la somme $λ x + μ y$ de deux éléments de $F$ multipliés par des réels reste dans $F$ , puisque les deux opérations sont définies à valeurs dans $F$ . La condition $2$ est donc vérifiée. Appliquons-la avec un élément $x$ de $F$ , qui existe puisque $F$ est non vide, et avec $λ = μ = 0$ : elle donne $0 \cdot x + 0 \cdot x = 0_{E} \in F$ , ce qui établit la condition $1$ sous sa forme pratique, et montre au passage que le vecteur nul de $F$ est bien celui de $E$ .

Réciproquement, supposons les conditions $1$ et $2$ vérifiées. La condition $2$ assure d'abord que l'addition et la multiplication par un réel sont bien définies de $F$ dans $F$ : pour $x, y \in F$ , prendre $λ = μ = 1$ donne $x + y \in F$ , et prendre $μ = 0$ donne $λ x \in F$ . Il reste à vérifier les huit axiomes. Les axiomes $1$ , $2$ , $5$ , $6$ , $7$ et $8$ sont des égalités entre vecteurs qui sont vraies pour tous les éléments de $E$ : elles sont donc vraies en particulier pour les éléments de $F$ , sans rien à démontrer. L'axiome $3$ est assuré par la condition $1$ , puisque $0_{E} \in F$ et que $x + 0_{E} = x$ pour tout $x$ . Quant à l'axiome $4$ , si $x \in F$ , alors $- x = (- 1) \cdot x$ appartient à $F$ par stabilité. Ainsi $F$ est un $R$ -espace vectoriel. $□$

Cette caractérisation est la porte d'entrée obligatoire : dans un exercice, on ne démontre jamais qu'un ensemble est un espace vectoriel en revenant aux huit axiomes. On l'exhibe comme sous-espace vectoriel d'un espace usuel.

Méthode

Montrer qu'un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel. La rédaction comporte toujours les mêmes quatre temps.

Nommer l'espace ambiant $E$ et justifier l'inclusion $F \subset E$ . C'est l'étape que l'on saute à tort : « $F$ est un sous-espace vectoriel » ne veut rien dire sans préciser de quoi.
Vérifier que $0_{E} \in F$ , en revenant à la définition de $F$ . Si le vecteur nul n'y est pas, on s'arrête immédiatement : $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel, et c'est démontré.
Prendre deux éléments quelconques $x$ et $y$ de $F$ et deux réels quelconques $λ$ et $μ$ , puis montrer que $λ x + μ y$ appartient à $F$ , en vérifiant la ou les conditions qui définissent $F$ .
Conclure par une phrase : « $F$ est donc un sous-espace vectoriel de $E$ ».

Pour montrer au contraire qu'un ensemble n'en est pas un, il suffit d'un contre-exemple : soit $0_{E} \notin F$ , soit deux éléments explicites de $F$ dont la somme n'y est pas.

Exemples

Exemple

Un plan de $R^{3}$ passant par l'origine. Soit

P = {(x, y, z) \in R^{3}; x + 2 y - z = 0} .

Par construction, $P \subset R^{3}$ , qui est un espace vectoriel. Le triplet nul vérifie $0 + 0 - 0 = 0$ , donc $0_{R^{3}} \in P$ . Soient maintenant $u = (x, y, z)$ et $u^{'} = (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ deux éléments de $P$ , et soient $λ$ et $μ$ deux réels. Le vecteur $λ u + μ u^{'}$ a pour coordonnées $(λ x + μ x^{'}, λ y + μ y^{'}, λ z + μ z^{'})$ , et

(λ x + μ x^{'}) + 2 (λ y + μ y^{'}) - (λ z + μ z^{'}) = λ \underset{= 0}{\underset{⏟}{(x + 2 y - z)}} + μ \underset{= 0}{\underset{⏟}{(x^{'} + 2 y^{'} - z^{'})}} = 0.

Donc $λ u + μ u^{'} \in P$ , et $P$ est un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ .

Exemple

Une droite de $R^{3}$ passant par l'origine. Soit

D = {(t, 2 t, - t); t \in R} .

On a $D \subset R^{3}$ , et $0_{R^{3}}$ s'obtient pour $t = 0$ . Si $u = (t, 2 t, - t)$ et $u^{'} = (t^{'}, 2 t^{'}, - t^{'})$ sont dans $D$ et si $λ, μ$ sont réels, alors

λ u + μ u^{'} = (λ t + μ t^{'}, 2 (λ t + μ t^{'}), - (λ t + μ t^{'})),

qui est de la forme $(s, 2 s, - s)$ avec $s = λ t + μ t^{'}$ : c'est un élément de $D$ . Donc $D$ est un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ .

Exemple

Les matrices triangulaires supérieures. Soit

T = {A \in M_{2} (R); a_{2, 1} = 0} .

L'espace ambiant est $M_{2} (R)$ , et $T$ en est une partie. La matrice nulle a bien un coefficient d'indice $(2, 1)$ nul, donc $0_{2} \in T$ . Si $A$ et $B$ sont dans $T$ et si $λ, μ$ sont réels, le coefficient d'indice $(2, 1)$ de $λ A + μ B$ vaut $λ a_{2, 1} + μ b_{2, 1} = λ \times 0 + μ \times 0 = 0$ , donc $λ A + μ B \in T$ . Ainsi $T$ est un sous-espace vectoriel de $M_{2} (R)$ . Le raisonnement s'étend mot pour mot aux matrices triangulaires supérieures de $M_{n} (R)$ , ainsi qu'aux matrices diagonales, symétriques ou antisymétriques.

Exemple

Les suites vérifiant une relation de récurrence linéaire. Soit

F = {u \in R^{N}; \forall k \in N, u_{k + 2} = 3 u_{k + 1} - 2 u_{k}} .

L'espace ambiant est l'ensemble $R^{N}$ des suites réelles. La suite nulle vérifie la relation, car $0 = 3 \times 0 - 2 \times 0$ , donc elle appartient à $F$ . Soient $u$ et $v$ dans $F$ , soient $λ$ et $μ$ des réels, et posons $w = λ u + μ v$ . Pour tout $k \in N$ ,

w_{k + 2} = λ u_{k + 2} + μ v_{k + 2} = λ (3 u_{k + 1} - 2 u_{k}) + μ (3 v_{k + 1} - 2 v_{k}) = 3 (λ u_{k + 1} + μ v_{k + 1}) - 2 (λ u_{k} + μ v_{k}),

c'est-à-dire $w_{k + 2} = 3 w_{k + 1} - 2 w_{k}$ . Donc $w \in F$ , et $F$ est un sous-espace vectoriel de $R^{N}$ .

Exemple

Le commutant d'une matrice. Soit $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ et soit

C = {X \in M_{2} (R); A X = X A} .

La matrice nulle commute avec $A$ , donc $0_{2} \in C$ . Si $X$ et $Y$ commutent avec $A$ et si $λ, μ$ sont réels, alors

A (λ X + μ Y) = λ A X + μ A Y = λ X A + μ Y A = (λ X + μ Y) A,

donc $λ X + μ Y \in C$ : c'est un sous-espace vectoriel de $M_{2} (R)$ . On peut même le décrire complètement. En posant $X = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ , on calcule

A X = (\begin{array}{cc} a + c & b + d \\ c & d \end{array}), X A = (\begin{array}{cc} a & a + b \\ c & c + d \end{array}),

et l'égalité $A X = X A$ équivaut au système $a + c = a$ , $b + d = a + b$ , $c = c$ , $d = c + d$ , c'est-à-dire à $c = 0$ et $d = a$ . Ainsi

C = {(\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array}); (a, b) \in R^{2}} .

Exemple

Deux contre-exemples.

a. L'ensemble $F_{1} = {(x, y) \in R^{2}; x + y = 1}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $R^{2}$ , car $0 + 0 = 0 \neq 1$ : le vecteur nul ne lui appartient pas. C'est une droite du plan, mais elle ne passe pas par l'origine. Retenez ce test : un sous-espace vectoriel contient toujours le vecteur nul, et il permet d'éliminer un candidat en une ligne.

b. L'ensemble $F_{2} = {(x, y) \in R^{2}; x y = 0}$ contient le vecteur nul, et il est stable par multiplication par un réel, puisque $(λ x) (λ y) = λ^{2} x y = 0$ . Pourtant ce n'est pas un sous-espace vectoriel : les vecteurs $u = (1, 0)$ et $v = (0, 1)$ lui appartiennent, mais leur somme $u + v = (1, 1)$ vérifie $1 \times 1 = 1 \neq 0$ , donc $u + v \notin F_{2}$ . Cet exemple montre qu'il faut réellement vérifier la stabilité par somme, et pas seulement par multiplication.

Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Propriété

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un même $R$ -espace vectoriel $E$ . Alors $F \cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Démonstration. L'ensemble $F \cap G$ est une partie de $E$ . Comme $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels, chacun contient $0_{E}$ , donc $0_{E} \in F \cap G$ : l'intersection est non vide.

Soient maintenant $x$ et $y$ deux éléments de $F \cap G$ , et soient $λ$ et $μ$ deux réels. Comme $x$ et $y$ appartiennent à $F$ et que $F$ est stable par combinaison linéaire, on a $λ x + μ y \in F$ . Le même argument dans $G$ donne $λ x + μ y \in G$ . Par définition de l'intersection, $λ x + μ y \in F \cap G$ . La caractérisation s'applique : $F \cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ . $□$

En revanche, la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'en est pas un en général. Prenons dans $R^{2}$ les deux droites $F = {(x, 0); x \in R}$ et $G = {(0, y); y \in R}$ , qui sont bien des sous-espaces vectoriels. Leur réunion contient $(1, 0)$ et $(0, 1)$ , mais pas leur somme $(1, 1)$ , qui n'est ni sur l'un ni sur l'autre axe. On retrouve d'ailleurs exactement le contre-exemple $F_{2}$ ci-dessus, puisque $F \cup G$ est précisément l'ensemble des couples de produit nul.

Combinaisons linéaires et sous-espace engendré

Combinaisons linéaires

Définition

Soient $E$ un $R$ -espace vectoriel et $x_{1}, \dots, x_{p}$ des vecteurs de $E$ , en nombre fini. On appelle combinaison linéaire de $x_{1}, \dots, x_{p}$ tout vecteur de la forme

λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} + \dots + λ_{p} x_{p} = \sum_{k = 1}^{p} λ_{k} x_{k},

où $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ sont des réels, appelés coefficients de la combinaison.

Exemple

Dans $R^{3}$ , posons $u = (1, 1, 0)$ et $v = (1, - 1, 2)$ .

a. Le vecteur $(5, - 1, 6)$ est combinaison linéaire de $u$ et $v$ , car

2 u + 3 v = (2 + 3, 2 - 3, 0 + 6) = (5, - 1, 6) .

b. Le vecteur $(1, 0, 1)$ l'est également, mais il faut le chercher : on veut $λ$ et $μ$ tels que $λ u + μ v = (1, 0, 1)$ , ce qui s'écrit $λ + μ = 1$ , $λ - μ = 0$ et $2 μ = 1$ . La dernière équation donne $μ = \frac{1}{2}$ , la deuxième $λ = μ = \frac{1}{2}$ , et la première est alors satisfaite. On vérifie en effet que $\frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v = (1, 0, 1)$ .

c. Le vecteur $(1, 0, 0)$ , en revanche, n'est pas combinaison linéaire de $u$ et $v$ . Le système correspondant est $λ + μ = 1$ , $λ - μ = 0$ et $2 μ = 0$ : la dernière équation impose $μ = 0$ , la deuxième $λ = 0$ , et la première devient $0 = 1$ , ce qui est impossible. Décider si un vecteur est combinaison linéaire de vecteurs donnés revient donc toujours à résoudre un système linéaire, et à conclure sur sa compatibilité.

Le sous-espace engendré

Définition

Soient $E$ un $R$ -espace vectoriel et $x_{1}, \dots, x_{p}$ des vecteurs de $E$ . On appelle sous-espace engendré par $x_{1}, \dots, x_{p}$ , et l'on note $Vect (x_{1}, \dots, x_{p})$ , l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs :

Vect (x_{1}, \dots, x_{p}) = {\sum_{k = 1}^{p} λ_{k} x_{k}; (λ_{1}, \dots, λ_{p}) \in R^{p}} .

Propriété

$Vect (x_{1}, \dots, x_{p})$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , et il contient chacun des vecteurs $x_{1}, \dots, x_{p}$ .

Démonstration. Notons $F = Vect (x_{1}, \dots, x_{p})$ . C'est par construction une partie de $E$ , puisqu'une combinaison linéaire de vecteurs de $E$ est un vecteur de $E$ .

En prenant tous les coefficients nuls, on obtient $0 \cdot x_{1} + \dots + 0 \cdot x_{p} = 0_{E}$ , donc $0_{E} \in F$ .

Soient $x$ et $y$ deux éléments de $F$ et soient $λ$ et $μ$ deux réels. Par définition de $F$ , il existe des réels $a_{1}, \dots, a_{p}$ et $b_{1}, \dots, b_{p}$ tels que

x = \sum_{k = 1}^{p} a_{k} x_{k} et y = \sum_{k = 1}^{p} b_{k} x_{k} .

En utilisant les axiomes de l'espace vectoriel pour regrouper les termes de même indice,

λ x + μ y = λ \sum_{k = 1}^{p} a_{k} x_{k} + μ \sum_{k = 1}^{p} b_{k} x_{k} = \sum_{k = 1}^{p} (λ a_{k} + μ b_{k}) x_{k} .

C'est encore une combinaison linéaire de $x_{1}, \dots, x_{p}$ , donc $λ x + μ y \in F$ . La caractérisation de la section $11$ s'applique : $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Enfin, pour chaque indice $j$ , le vecteur $x_{j}$ s'obtient en prenant $λ_{j} = 1$ et tous les autres coefficients nuls : $x_{j} \in F$ . $□$

Définition

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . On dit que la famille $(x_{1}, \dots, x_{p})$ , de cardinal fini, est génératrice de $F$ , ou qu'elle engendre $F$ , lorsque

F = Vect (x_{1}, \dots, x_{p}),

c'est-à-dire lorsque tout vecteur de $F$ s'écrit comme combinaison linéaire de $x_{1}, \dots, x_{p}$ .

Cette notion fournit la manière la plus économique de décrire un sous-espace vectoriel : au lieu d'en donner une condition (« l'ensemble des triplets vérifiant telle équation »), on en donne une fabrication (« l'ensemble des combinaisons linéaires de tels vecteurs »). La propriété précédente offre par ailleurs une seconde méthode pour établir qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel : le reconnaître comme un $Vect$ , ce qui dispense de toute vérification.

Décrire les solutions d'un système homogène

Méthode

Écrire l'ensemble des solutions d'un système homogène comme un $Vect$ .

Résoudre le système par la méthode du pivot de Gauss.
Repérer les inconnues principales et les inconnues secondaires, et exprimer les premières en fonction des secondes.
Écrire le vecteur solution général, toutes coordonnées comprises, en fonction des seuls paramètres.
Séparer les paramètres : mettre chaque paramètre en facteur pour faire apparaître une combinaison linéaire de vecteurs fixes.
Conclure : l'ensemble des solutions est le $Vect$ de ces vecteurs, et c'est donc un sous-espace vectoriel, sans autre vérification.

Contrôle final : chacun des vecteurs obtenus doit vérifier toutes les équations du système de départ.

Exemple

Un premier système, à trois inconnues. Décrivons l'ensemble $S$ des triplets $(x, y, z)$ de $R^{3}$ vérifiant

{\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y + 2 z = 0 \end{cases}

L'opération $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ transforme la seconde équation en $- 2 y + z = 0$ , soit $z = 2 y$ . En reportant dans la première, $x = - y - z = - y - 2 y = - 3 y$ . Posons $y = t$ , avec $t \in R$ : les solutions sont les triplets

(x, y, z) = (- 3 t, t, 2 t) = t (- 3, 1, 2) .

Ainsi

S = Vect ((- 3, 1, 2)),

et c'est un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ , à savoir une droite passant par l'origine.

Contrôle. Le vecteur $(- 3, 1, 2)$ vérifie $- 3 + 1 + 2 = 0$ et $- 3 - 1 + 4 = 0$ .

Exemple

Un second système, à quatre inconnues. Décrivons l'ensemble $S$ des quadruplets $(x, y, z, t)$ de $R^{4}$ vérifiant

{\begin{cases} x + 2 y - z + t = 0 \\ 2 x + 4 y - z + 3 t = 0 \end{cases}

L'opération $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $z + t = 0$ : les coefficients de $x$ et de $y$ s'annulent tous les deux, et il reste $- 1 - 2 \times (- 1) = 1$ pour $z$ et $3 - 2 = 1$ pour $t$ . Le système échelonné est

{\begin{cases} x + 2 y - z + t = 0 \\ z + t = 0 \end{cases}

Les inconnues principales sont $x$ et $z$ , les paramètres sont $y$ et $t$ . La seconde équation donne $z = - t$ , et la première $x = - 2 y + z - t = - 2 y - t - t = - 2 y - 2 t$ . Le vecteur solution général s'écrit donc

(x, y, z, t) = (- 2 y - 2 t, y, - t, t) .

Séparons les deux paramètres :

(x, y, z, t) = y (- 2, 1, 0, 0) + t (- 2, 0, - 1, 1) .

Par conséquent

S = Vect ((- 2, 1, 0, 0), (- 2, 0, - 1, 1)),

et $S$ est un sous-espace vectoriel de $R^{4}$ .

Contrôle. Pour $(- 2, 1, 0, 0)$ : $- 2 + 2 - 0 + 0 = 0$ et $- 4 + 4 - 0 + 0 = 0$ . Pour $(- 2, 0, - 1, 1)$ : $- 2 + 0 + 1 + 1 = 0$ et $- 4 + 0 + 1 + 3 = 0$ . Les deux vecteurs sont bien solutions.

Deux familles peuvent engendrer le même sous-espace

Exemple

Dans $R^{3}$ , posons

u_{1} = (1, 0, 1), u_{2} = (0, 1, 1), v_{1} = (1, 1, 2), v_{2} = (1, - 1, 0),

et montrons que $Vect (u_{1}, u_{2}) = Vect (v_{1}, v_{2})$ .

Première inclusion. On remarque que $v_{1} = u_{1} + u_{2}$ et $v_{2} = u_{1} - u_{2}$ . Les vecteurs $v_{1}$ et $v_{2}$ appartiennent donc à $Vect (u_{1}, u_{2})$ . Comme $Vect (u_{1}, u_{2})$ est un sous-espace vectoriel, il est stable par combinaison linéaire, donc il contient toutes les combinaisons linéaires de $v_{1}$ et $v_{2}$ , c'est-à-dire

Vect (v_{1}, v_{2}) \subset Vect (u_{1}, u_{2}) .

Seconde inclusion. Réciproquement, en additionnant et en soustrayant les deux relations précédentes,

u_{1} = \frac{1}{2} (v_{1} + v_{2}) = \frac{1}{2} (2, 0, 2) = (1, 0, 1), u_{2} = \frac{1}{2} (v_{1} - v_{2}) = \frac{1}{2} (0, 2, 2) = (0, 1, 1) .

Donc $u_{1}$ et $u_{2}$ appartiennent à $Vect (v_{1}, v_{2})$ , et le même argument de stabilité donne l'inclusion réciproque

Vect (u_{1}, u_{2}) \subset Vect (v_{1}, v_{2}) .

Conclusion. Les deux sous-espaces sont égaux. Un même sous-espace vectoriel admet donc une infinité de familles génératrices différentes : l'écriture sous forme de $Vect$ n'a rien d'unique, et deux réponses d'apparence différente à un même exercice peuvent parfaitement être toutes les deux correctes. Pour les comparer, on procède comme ci-dessus, par double inclusion.

Exemple

Retour sur le commutant. Le sous-espace $C$ des matrices qui commutent avec $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ , calculé en section $11$ , s'écrit

(\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array}) = a (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) + b (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}),

donc

C = Vect (I_{2}, (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})) .

Cette écriture redonne gratuitement le fait que $C$ est un sous-espace vectoriel de $M_{2} (R)$ , et elle est bien plus maniable que la condition de départ $A X = X A$ .

Ce qu'il faut retenir

Ce chapitre est le premier d'algèbre linéaire, et tout le reste de l'année s'appuie dessus. Voici les réflexes à installer dès maintenant.

Ce qu'on cherche	Ce qu'on fait
Multiplier deux matrices	Vérifier les formats, poser la disposition ligne par colonne, contrôler le format du résultat
Calculer $A^{n}$	Conjecture et récurrence ; ou $A = λ I_{n} + N$ avec $N$ nilpotente et binôme ; ou relation polynomiale et division euclidienne
Utiliser le binôme de Newton	Vérifier d'abord que les deux matrices commutent, sans quoi la formule est fausse
Montrer qu'une matrice est inversible	Formule $a d - b c$ à l'ordre $2$ ; relation polynomiale factorisée par $A$ ; pivot de Gauss sur $(A ∣ I_{n})$ ; ou montrer que $A X = 0$ force $X = 0$
Calculer un inverse	Pivot de Gauss sur la matrice augmentée, puis vérification $A A^{- 1} = I_{n}$
Résoudre un système	Pivot de Gauss, opérations écrites en marge, puis remontée et vérification
Décrire une infinité de solutions	Choisir les paramètres parmi les inconnues secondaires, exprimer les principales, séparer les paramètres
Discuter selon un paramètre	Ne jamais prendre le paramètre comme pivot ; isoler les valeurs qui annulent un pivot et les traiter à part
Montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel	Nommer l'ambiant, vérifier $0_{E} \in F$ , puis la stabilité par $λ x + μ y$ ; ou le reconnaître comme un $Vect$
Décrire un ensemble de solutions d'un système homogène	Le mettre sous forme de $Vect$ en séparant les paramètres

Quelques erreurs classiques méritent enfin d'être nommées, car elles reviennent année après année.

Échanger deux facteurs dans un produit. Le produit matriciel n'est pas commutatif : $A B$ et $B A$ sont deux matrices différentes, quand elles existent toutes les deux. Ce seul oubli suffit à invalider une démonstration entière.

Développer $(A + B)^{2}$ en $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ . L'identité correcte est $A^{2} + A B + B A + B^{2}$ . Le regroupement n'est licite qu'après avoir vérifié $A B = B A$ , et cette vérification doit figurer sur la copie.

Simplifier par une matrice. De $A B = A C$ on ne déduit $B = C$ que si $A$ est inversible. Sans cette hypothèse, la simplification est fausse, et l'on dispose de contre-exemples élémentaires.

Écrire $A^{- 1}$ avant d'avoir prouvé que $A$ est inversible. C'est une faute de logique : la notation présuppose le résultat que l'on cherche à établir.

Prendre un paramètre comme pivot. Diviser par $m$ sans discuter le cas $m = 0$ fait perdre la moitié des points d'une question de discussion. Le bon réflexe est de commencer par un échange de lignes qui amène un pivot numérique.

Oublier de vérifier. Une solution de système se réinjecte dans les équations, un inverse se contrôle par $A A^{- 1} = I_{n}$ , une formule de puissance se teste sur $n = 2$ . Ces vérifications prennent trente secondes et sauvent des copies.

Conclure qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel sans nommer l'espace ambiant. La phrase « $F$ est un sous-espace vectoriel » n'a de sens que complétée par « de $E$ », et l'inclusion $F \subset E$ fait partie de la démonstration.

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Ce qu'il faut savoir faire

Matrices : vocabulaire

Définition et égalité

Matrices particulières

Somme et produit par un réel

Définitions

Propriétés

Produit matriciel

Définition

Propriétés admises

Les trois pièges

Deux usages du produit

Transposition

Puissances d'une matrice carrée

Définition et matrices qui commutent

Le binôme de Newton matriciel

Matrices nilpotentes

Les trois façons de calculer An

Matrices inversibles

Définition et unicité de l'inverse

Opérations et inversibilité

Le cas des matrices d'ordre 2

Inverser à partir d'une relation polynomiale

Systèmes linéaires

Vocabulaire

Structure de l'ensemble des solutions

Opérations élémentaires sur les lignes

Systèmes échelonnés

Méthode du pivot de Gauss

Systèmes de Cramer et inversibilité

Espaces vectoriels : première approche

Définition

Les exemples usuels

Règles de calcul

Sous-espaces vectoriels

Définition et caractérisation

Exemples

Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Combinaisons linéaires et sous-espace engendré

Combinaisons linéaires

Le sous-espace engendré

Décrire les solutions d'un système homogène

Deux familles peuvent engendrer le même sous-espace

Ce qu'il faut retenir

Bloqué sur « Algèbre linéaire : calcul matriciel et systèmes » ?

Les trois façons de calculer $A^{n}$