Suites de nombres réels

Vous avez déjà rencontré les suites en terminale : suites arithmétiques, suites géométriques, un peu de récurrence, et la phrase « $(u_n)$ tend vers $\mathrm{\ell }$ » comprise de manière intuitive, comme « les termes s'approchent de $\mathrm{\ell }$ ». Ce chapitre reprend tout cela et le refonde. La différence tient en une seule ligne, celle de la définition de la limite : à partir d'aujourd'hui, « $u_n$ tend vers $\mathrm{\ell }$ » signifie que pour tout $\epsilon >0$, tous les termes de la suite sont à distance au plus $\epsilon$ de $\mathrm{\ell }$ à partir d'un certain rang. Cette phrase, avec ses deux quantificateurs, est le cœur de toute l'analyse de première et de deuxième année. Elle remplace l'intuition par un énoncé que l'on peut démontrer, et surtout dont on peut démontrer la négation.

Ce basculement a un prix : il faut d'abord savoir de quoi l'on parle quand on dit « $\mathbb{R}$ ». La section $1$ y est consacrée. On y trouve le vocabulaire de l'ordre, la valeur absolue vue comme une distance, et surtout la notion de borne supérieure, qui est la propriété caractéristique de $\mathbb{R}$ : c'est elle qui distingue les réels des rationnels, c'est elle qui fera fonctionner le théorème de la limite monotone en section $5$, donc toute l'étude des suites récurrentes en section $6$. Le programme demande d'en admettre l'existence, sans construire $\mathbb{R}$ ; nous l'admettrons donc, mais nous nous en servirons constamment.

Le plan est le suivant. La section $1$ met en place le vocabulaire sur $\mathbb{R}$, la borne supérieure, la partie entière et la densité de $\mathbb{Q}$. La section $2$ donne les généralités sur les suites : modes de définition, majoration, monotonie. La section $3$ traite les quatre familles de suites dont on connaît le terme général explicitement : arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, et récurrentes linéaires d'ordre $2$. La section $4$ définit la limite et donne les règles de calcul. La section $5$ rassemble les théorèmes qui font le lien entre limites et inégalités : encadrement, comparaison, limite monotone, suites adjacentes, croissances comparées. La section $6$ enfin étudie les suites définies par $u_{n+1}=f(u_n)$, qui sont le sujet d'exercice le plus fréquent aux concours.

Deux avertissements sur le cadre. D'une part, les nombres complexes ne sont pas au programme de la filière ECG : toute équation du second degré que nous rencontrerons sera donc supposée de discriminant positif ou nul, et le cas d'un discriminant strictement négatif sera écarté d'une phrase. D'autre part, le chapitre sur les fonctions d'une variable réelle vient après celui-ci. Nous utiliserons librement les fonctions usuelles du lycée (polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, logarithme) et leurs propriétés élémentaires de monotonie, mais chaque fois que nous emprunterons un résultat à ce chapitre à venir, en particulier la continuité, nous le signalerons explicitement par la mention « admis ».

Voici les notations employées dans tout le chapitre.

Vocabulaire sur l'ensemble des nombres réels

L'ordre sur $\mathbb{R}$ et la manipulation des inégalités

On rappelle les inclusions $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, et l'on admet que $\mathbb{R}$ est muni d'une relation d'ordre $⩽$ totale : deux réels sont toujours comparables. Les règles de manipulation ci-dessous sont supposées connues depuis le lycée ; nous les rassemblons parce que chaque erreur de calcul sur les inégalités se paye comptant dans une démonstration de limite.

La propriété suivante, d'apparence anodine, sert à conclure une démonstration sur deux : c'est elle qui transforme « on peut rendre cette quantité aussi petite que l'on veut » en « cette quantité est nulle ».

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons $a>0$. Le réel $\epsilon ={\displaystyle \frac{a}{2}}$ est alors strictement positif, donc l'hypothèse s'applique et donne $a⩽{\displaystyle \frac{a}{2}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{a}{2}}⩽0$, puis $a⩽0$ : c'est contradictoire avec $a>0$. Donc $a⩽0$. Le cas particulier s'obtient par antisymétrie. $\mathrm{\square }$

Valeur absolue et distance

La dernière équivalence est la plus utilisée de tout le chapitre. Écrite avec une distance, elle devient : pour $\epsilon >0$,

$$\mathrm{\mid }x-x_0\mathrm{\mid }⩽\epsilon ⟺x_0-\epsilon ⩽x⩽x_0+\epsilon ⟺x\in [x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ]\mathrm{.}$$

Autrement dit, « $x$ est à distance au plus $\epsilon$ de $x_0$ » et « $x$ appartient à l'intervalle centré en $x_0$ de rayon $\epsilon$ » sont deux façons de dire la même chose. Toute la définition de la limite repose sur ce va-et-vient.

Démonstration. On sait que $-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽x⩽\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ et $-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }⩽y⩽\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$. En additionnant ces deux encadrements membre à membre, ce qui est licite puisqu'ils sont de même sens, on obtient

$$-(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })⩽x+y⩽\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Le réel $a=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ est positif, donc la caractérisation ci-dessus s'applique et donne $\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. En écrivant $x=(x-y)+y$ et en appliquant l'inégalité triangulaire,

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid },\text{donc}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

En échangeant les rôles de $x$ et de $y$, on obtient de même $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }y-x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$, c'est-à-dire $-(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })⩽\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$. Les deux inégalités réunies donnent

$$-\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid },$$

soit exactement $\mid \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\mid ⩽\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$. $\mathrm{\square }$

Intervalles

Ainsi $[a,b]=\{x\in \mathbb{R};a⩽x⩽b\}$ et $]a,b[=\{x\in \mathbb{R};a<x<b\}$. Un crochet tourné vers l'extérieur signifie que la borne est exclue. On notera que $]a,+\mathrm{\infty }[$ ne contient évidemment pas $+\mathrm{\infty }$, qui n'est pas un nombre réel : le crochet extérieur du côté de l'infini est obligatoire.

Parties majorées, minorées, bornées

Démonstration. Si un tel $M$ existe, alors $-M⩽x⩽M$ pour tout $x\in A$, donc $A$ est majorée par $M$ et minorée par $-M$ : elle est bornée. Réciproquement, supposons $A$ bornée : il existe $m$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ tels que $m⩽x⩽M^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $x$ de $A$. Posons $M=\max (\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid })$, qui est positif. Pour $x\in A$, on a d'une part $x⩽M^{\mathrm{\prime }}⩽\mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽M$, d'autre part $x⩾m⩾-\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }⩾-M$. Donc $-M⩽x⩽M$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽M$. $\mathrm{\square }$

Maximum et minimum

Un maximum est donc un majorant qui appartient à l'ensemble. C'est cette double condition qui fait toute la difficulté : la seconde partie est souvent facile, la première pas toujours vérifiable.

Démonstration. Soient $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ deux maximums de $A$. Comme $M^{\mathrm{\prime }}\in A$ et que $M$ majore $A$, on a $M^{\mathrm{\prime }}⩽M$. Comme $M\in A$ et que $M^{\mathrm{\prime }}$ majore $A$, on a $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$. Par antisymétrie, $M=M^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

L'exemple b. met le doigt sur une insuffisance : $[0,1[$ est majorée, le réel $1$ est visiblement « le meilleur majorant possible », mais le vocabulaire du maximum ne permet pas de le dire. C'est exactement ce que la borne supérieure va corriger.

Borne supérieure et borne inférieure

La borne supérieure, quand elle existe, est unique : c'est le minimum de l'ensemble des majorants, et un minimum est unique.

Démonstration. Supposons d'abord $s=\sup (A)$. La condition $1$ est vraie par définition, puisque $s$ est un majorant. Pour la condition $2$, soit $\epsilon >0$. Le réel $s-\epsilon$ est strictement plus petit que $s$ ; comme $s$ est le plus petit des majorants, $s-\epsilon$ n'est pas un majorant de $A$. La négation de « $\mathrm{\forall }x\in A,x⩽s-\epsilon$ » fournit donc un élément $x$ de $A$ tel que $x>s-\epsilon$.

Réciproquement, supposons les conditions $1$ et $2$ satisfaites. La condition $1$ dit que $s$ est un majorant de $A$. Montrons que c'est le plus petit. Soit $M$ un majorant de $A$, et supposons par l'absurde $M<s$. Posons $\epsilon =s-M>0$. La condition $2$ fournit un $x\in A$ tel que $x>s-\epsilon =M$, ce qui contredit le fait que $M$ majore $A$. Donc $s⩽M$ pour tout majorant $M$, et $s$ est bien le plus petit des majorants : $s=\sup (A)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Posons $M=\max (A)$. Alors $M$ majore $A$, et si $M^{\mathrm{\prime }}$ est un majorant quelconque de $A$, on a $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$ puisque $M\in A$ : ainsi $M$ est le plus petit des majorants, donc $M=\sup (A)$. Réciproquement, si $s=\sup (A)$ appartient à $A$, alors $s$ est un majorant de $A$ appartenant à $A$ : c'est le maximum de $A$. $\mathrm{\square }$

La propriété d'Archimède

Nous aurons besoin en permanence du fait que « $\mathbb{N}$ est aussi grand que l'on veut ». Cela paraît évident, et c'est pourtant une conséquence de la propriété de la borne supérieure.

Démonstration. Supposons par l'absurde que $\mathbb{N}$ soit majoré. Comme $\mathbb{N}$ est non vide, il admet une borne supérieure $s$. En appliquant la caractérisation avec $\epsilon =1$, il existe un entier $n\in \mathbb{N}$ tel que $n>s-1$, d'où $n+1>s$. Or $n+1$ est un entier naturel, donc $n+1⩽s$ puisque $s$ majore $\mathbb{N}$ : contradiction. Donc $\mathbb{N}$ n'est pas majoré, ce qui signifie exactement qu'aucun réel $x$ ne majore $\mathbb{N}$, c'est-à-dire qu'il existe toujours un entier $n>x$.

Pour la conséquence, soit $\epsilon >0$. En appliquant ce qui précède à $x={\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}$, il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $n>{\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}>0$. Un tel $n$ est non nul, et par passage à l'inverse dans une inégalité entre réels strictement positifs, ${\displaystyle \frac{1}{n}}<\epsilon$. $\mathrm{\square }$

Partie entière

Existence et unicité. L'existence est admise : elle repose sur la propriété d'Archimède, qui garantit que $x$ est encadré par deux entiers, et sur le fait que toute partie non vide et majorée de $\mathbb{Z}$ admet un plus grand élément. L'unicité, elle, se démontre en deux lignes. Supposons $n⩽x<n+1$ et $m⩽x<m+1$ avec $n$ et $m$ entiers. De $n⩽x$ et $x<m+1$ on tire $n<m+1$, donc $n-m<1$ ; en échangeant les rôles, $m-n<1$. Ainsi $\mathrm{\mid }n-m\mathrm{\mid }<1$, et comme $n-m$ est un entier, $n-m=0$. $\mathrm{\square }$

Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$

Démonstration. Soient $a<b$. Comme $b-a>0$, la propriété d'Archimède fournit un entier $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que ${\displaystyle \frac{1}{q}}<b-a$, c'est-à-dire, en multipliant par $q>0$,

$$1<qb-qa\mathrm{.}$$

Posons alors $p=\lfloor qa\rfloor +1$, qui est un entier relatif. L'encadrement fondamental donne d'une part

$$p=\lfloor qa\rfloor +1>qa,$$

et d'autre part, puisque $\lfloor qa\rfloor ⩽qa$,

$$p⩽qa+1<qa+(qb-qa)=qb\mathrm{.}$$

On a donc $qa<p<qb$, et en divisant par $q>0$,

$$a<{\displaystyle \frac{p}{q}}<b\mathrm{.}$$

Le rationnel $r={\displaystyle \frac{p}{q}}$ convient. $\mathrm{\square }$

Généralités sur les suites

Définition et modes de définition

Il y a essentiellement trois manières de définir une suite.

Définition explicite. On donne une formule qui calcule $u_n$ directement en fonction de $n$, par exemple $u_n={\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}$ pour $n\in \mathbb{N}$, ou $u_n=2^n-n^2$. Autrement dit, $u_n=f(n)$ où $f$ est une fonction définie au moins sur $\mathbb{N}$. C'est le cas le plus confortable : on peut calculer $u_{1000}$ sans calculer les mille termes précédents.

Définition par récurrence. On donne le ou les premiers termes, et une relation qui exprime chaque terme à partir des précédents. À l'ordre $1$ : $u_0$ donné et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$. À l'ordre $2$ : $u_0$ et $u_1$ donnés, et une relation exprimant $u_{n+2}$ en fonction de $u_{n+1}$ et de $u_n$. Ici, il n'y a en général pas de formule explicite, et c'est tout l'objet des sections $3$ et $6$ que d'en fournir une, ou à défaut d'obtenir la limite sans formule.

Définition implicite. Pour chaque $n$, le terme $u_n$ est défini comme l'unique solution d'une équation dépendant de $n$, par exemple « $u_n$ est l'unique solution positive de $x^3+nx=1$ ». Nous nous contentons ici de signaler ce mode de définition : les outils permettant de justifier l'existence et l'unicité d'une telle solution relèvent du chapitre sur les fonctions.

Suites majorées, minorées, bornées

Démonstration. C'est la propriété démontrée en section $1$ pour les parties de $\mathbb{R}$, appliquée à l'ensemble $A=\{u_n;n\in \mathbb{N}\}$ des valeurs prises par la suite. $\mathrm{\square }$

Monotonie

Démonstration. Fixons $p$ et montrons par récurrence sur $n⩾p$ la propriété $\mathcal{H}(n)$ : « $u_p⩽u_n$ ». Pour $n=p$, c'est l'égalité $u_p⩽u_p$. Si $\mathcal{H}(n)$ est vraie pour un $n⩾p$, alors $u_p⩽u_n⩽u_{n+1}$ par croissance, donc $\mathcal{H}(n+1)$ est vraie. $\mathrm{\square }$

Propriétés vraies à partir d'un certain rang

Cette locution est omniprésente en analyse, pour une raison de fond : les notions de limite ne dépendent que du comportement de la suite « au bout ». Modifier un nombre fini de termes d'une suite ne change ni son caractère convergent, ni sa limite éventuelle, ni son caractère borné. En revanche, cela peut évidemment changer sa monotonie ou la valeur de son maximum.

Suites usuelles

Cette section rassemble les suites dont on sait calculer le terme général. Certains énoncés portent sur des limites, notion définie précisément en section $4$ : pour ne pas éparpiller les résultats, nous les regroupons ici, en rappelant à chaque fois la définition utilisée. En première lecture, on peut admettre ces limites et revenir aux démonstrations après avoir lu la section $4$.

Suites arithmétiques

Démonstration. Montrons par récurrence la propriété $\mathcal{H}(n)$ : « $u_n=u_0+nr$ ». Pour $n=0$ : $u_0+0\times r=u_0$, vrai. Supposons $\mathcal{H}(n)$ vraie. Alors

$$u_{n+1}=u_n+r=(u_0+nr)+r=u_0+(n+1)r,$$

donc $\mathcal{H}(n+1)$ est vraie. La formule générale s'en déduit : $u_n-u_p=(u_0+nr)-(u_0+pr)=(n-p)r$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Commençons par la somme des premiers entiers. Posons $S={\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k}$. En écrivant la somme dans les deux sens et en ajoutant terme à terme,

$$2S={\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k+{\displaystyle \sum _{k=0}^n(n-k)={\displaystyle \sum _{k=0}^{n}n=(n+1)n,}}}$$

d'où ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$. Traitons maintenant le cas $p=0$ :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}}& {\displaystyle ={\displaystyle \sum _{k=0}^n(u_0+kr)=(n+1)u_0+r{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)u_0+r{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}=(n+1)(u_0+{\displaystyle \frac{nr}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)\times {\displaystyle \frac{u_0+(u_0+nr)}{2}}=(n+1)\times {\displaystyle \frac{u_0+u_n}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$

Le cas général s'obtient en appliquant ce résultat à la suite $(v_k)$ définie par $v_k=u_{k+p}$, qui est arithmétique de même raison, et qui compte $n-p+1$ termes de $v_0=u_p$ à $v_{n-p}=u_n$. $\mathrm{\square }$

Suites géométriques

Démonstration. Récurrence immédiate : la formule est vraie au rang $0$, et si $u_n=u_0{q}^n$, alors $u_{n+1}=q{u}_n=q\times u_0{q}^n=u_0{q}^{n+1}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Posons $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^k}$. Alors

$$S_n-q{S}_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^k-{\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^{k+1}={\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^k-{\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}{q}^k=q^0-q^{n+1}=1-q^{n+1},}}}}$$

tous les termes intermédiaires se simplifiant deux à deux. Donc $(1-q)S_n=1-q^{n+1}$, et comme $q\mathrm{\ne }1$ on peut diviser par $1-q$. La formule générale s'obtient en factorisant $q^p$ dans la somme. $\mathrm{\square }$

Passons aux limites. Rappelons par anticipation sur la section $4$ que « $u_n\to +\mathrm{\infty }$ » signifie : pour tout réel $A$, on a $u_n⩾A$ à partir d'un certain rang ; et que « $u_n\to 0$ » signifie : pour tout $\epsilon >0$, on a $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ à partir d'un certain rang. L'outil de la démonstration est l'inégalité suivante, à connaître par cœur.

Démonstration. Récurrence sur $n$, à $x⩾-1$ fixé. Au rang $0$ : $(1+x{)}^0=1$ et $1+0\times x=1$, l'inégalité est vraie (avec égalité). Supposons $(1+x{)}^n⩾1+nx$. Comme $x⩾-1$, le réel $1+x$ est positif, donc on peut multiplier l'inégalité par $1+x$ sans en changer le sens :

$$(1+x{)}^{n+1}⩾(1+nx)(1+x)=1+x+nx+n{x}^2=1+(n+1)x+n{x}^2\mathrm{.}$$

Or $n{x}^2⩾0$, donc $(1+x{)}^{n+1}⩾1+(n+1)x$, ce qui est la propriété au rang $n+1$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Cas $q>1$. Posons $x=q-1>0$, de sorte que $q=1+x$ avec $x⩾-1$. L'inégalité de Bernoulli donne $q^n⩾1+nx$ pour tout $n$. Soit $A$ un réel. Posons $n_0=\max (0,\lfloor {\displaystyle \frac{A-1}{x}}\rfloor +1)$, qui est un entier naturel vérifiant $n_0>{\displaystyle \frac{A-1}{x}}$. Pour tout $n⩾n_0$, on a $n>{\displaystyle \frac{A-1}{x}}$, donc $nx>A-1$ (on multiplie par $x>0$), donc

$$q^n⩾1+nx>1+(A-1)=A\mathrm{.}$$

Ainsi $q^n⩾A$ à partir du rang $n_0$ : par définition, $q^n\to +\mathrm{\infty }$.

Cas $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$. Si $q=0$, la suite est nulle à partir du rang $1$ et tend vers $0$. Sinon, posons $Q={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}}>1$. D'après le premier cas, $Q^n\to +\mathrm{\infty }$. Soit $\epsilon >0$ : il existe un rang $n_0$ tel que $Q^n⩾{\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}$ pour tout $n⩾n_0$. Pour un tel $n$, comme $Q^n>0$, le passage à l'inverse donne

$$\mathrm{\mid }{q}^n-0\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }q{\mathrm{\mid }}^n={\displaystyle \frac{1}{Q^n}}⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Donc $q^n\to 0$.

Cas $q⩽-1$. Les termes d'indice pair valent $q^{2n}=(q^2{)}^n⩾1$ et ceux d'indice impair $q^{2n+1}⩽-1$. La suite prend donc une infinité de fois des valeurs $⩾1$ et une infinité de fois des valeurs $⩽-1$ : nous verrons en section $4$ (unicité de la limite) qu'un tel comportement interdit toute limite, finie ou infinie. $\mathrm{\square }$

Suites arithmético-géométriques

Si $a=1$, la suite est arithmétique de raison $b$ ; si $b=0$, elle est géométrique de raison $a$. Le cas intéressant est donc $a\mathrm{\ne }1$ et $b\mathrm{\ne }0$, que l'on suppose désormais.

Démonstration. L'équation $x=ax+b$ s'écrit $x(1-a)=b$, et comme $a\mathrm{\ne }1$, elle a l'unique solution $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{b}{1-a}}$. Posons $v_n=u_n-\mathrm{\ell }$. Alors, en utilisant successivement la relation de récurrence puis l'égalité $\mathrm{\ell }=a\mathrm{\ell }+b$ :

$$v_{n+1}=u_{n+1}-\mathrm{\ell }=(a{u}_n+b)-(a\mathrm{\ell }+b)=a(u_n-\mathrm{\ell })=a{v}_n\mathrm{.}$$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_0=u_0-\mathrm{\ell }$, d'où $v_n=a^n(u_0-\mathrm{\ell })$, puis $u_n=\mathrm{\ell }+a^n(u_0-\mathrm{\ell })$. $\mathrm{\square }$

Suites récurrentes linéaires d'ordre $2$

Vérification partielle du théorème. Le théorème comporte deux affirmations : ces suites sont solutions, et il n'y en a pas d'autres. La seconde est admise. La première se vérifie directement, et il est bon de savoir le faire.

Si $r$ est racine de $r^2=ar+b$, alors en multipliant par $r^n$ on obtient $r^{n+2}=a{r}^{n+1}+b{r}^n$ : la suite $(r^n)$ est bien solution. Comme la relation est linéaire, toute combinaison $\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ de deux solutions est encore solution. Dans le cas d'une racine double, il reste à vérifier que $(n{r}_0^n)$ est solution. Avec $a=2r_0$ et $b=-r_0^2$ :

$$a(n+1)r_0^{n+1}+bn{r}_0^n=2(n+1)r_0^{n+2}-n{r}_0^{n+2}=(2n+2-n)r_0^{n+2}=(n+2)r_0^{n+2},$$

ce qui est bien le terme d'indice $n+2$ de la suite $(n{r}_0^n)$. $\mathrm{\square }$

Limite d'une suite

Convergence

Divergence vers l'infini, divergence sans limite

Démonstration. Soit $M$ un réel quelconque. En appliquant la définition avec $A=M+1$, il existe un rang $n_0$ tel que $u_{n_0}⩾M+1>M$ : aucun réel $M$ ne majore la suite. $\mathrm{\square }$

Unicité de la limite

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Comme $u_n\to \mathrm{\ell }$, il existe un rang $n_1$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾n_1,\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}\mathrm{.}$$

Comme $u_n\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, il existe un rang $n_2$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾n_2,\mathrm{\mid }{u}_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}\mathrm{.}$$

Posons $n=\max (n_1,n_2)$ : les deux majorations sont alors vraies simultanément. En écrivant $\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=(\mathrm{\ell }-u_n)+(u_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})$ et en appliquant l'inégalité triangulaire,

$$\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }-u_n\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{u}_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}+{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}=\epsilon \mathrm{.}$$

Ceci vaut pour tout $\epsilon >0$. Le lemme fondamental de la section $1$ donne alors $\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽0$, et comme une valeur absolue est positive, $\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=0$, c'est-à-dire $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Toute suite convergente est bornée

Démonstration. Notons $\mathrm{\ell }$ la limite de $(u_n)$. Appliquons la définition avec la valeur particulière $\epsilon =1$ : il existe un rang $n_0$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾n_0,\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽1.$$

Pour un tel $n$, l'inégalité triangulaire donne

$$\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(u_n-\mathrm{\ell })+\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽1+\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Les termes d'indice $n<n_0$, eux, sont en nombre fini : l'ensemble $\{\mathrm{\mid }{u}_0\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{u}_1\mathrm{\mid },\dots ,\mathrm{\mid }{u}_{n_0}\mathrm{\mid }\}$ est une partie finie non vide de $\mathbb{R}$, elle admet donc un plus grand élément. Posons

$$M=\max (\mathrm{\mid }{u}_0\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{u}_1\mathrm{\mid },\dots ,\mathrm{\mid }{u}_{n_0}\mathrm{\mid },1+\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }\mathrm{\mid })\mathrm{.}$$

Alors $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n$ : pour $n⩽n_0$ parce que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$ figure dans la liste, et pour $n⩾n_0$ par la majoration ci-dessus. La suite est bornée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Appliquons la définition avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2}}>0$ : il existe un rang $n_0$ tel que, pour $n⩾n_0$, $\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2}}$, donc

$$u_n⩾\mathrm{\ell }-{\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2}}>0.\mathrm{\square }$$

Opérations sur les limites

Les théorèmes qui suivent sont admis, à deux exceptions près que nous démontrons parce que leurs démonstrations sont exigibles et courtes. Dans tous les tableaux, « FI » signifie forme indéterminée : aucune conclusion générale n'est possible, il faut transformer l'expression.

Démonstration (cas de deux limites finies). Soit $\epsilon >0$. Il existe $n_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $n⩾n_1$, et $n_2$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $n⩾n_2$. Posons $n_0=\max (n_1,n_2)$. Pour $n⩾n_0$,

$$\mid (u_n+v_n)-(\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\mid =\mid (u_n-\mathrm{\ell })+(v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\mid ⩽\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{v}_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}+{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}=\epsilon \mathrm{.}$$

Donc $u_n+v_n\to \mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $M⩾0$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n$. Soit $\epsilon >0$. Comme $v_n\to 0$, il existe un rang $n_0$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{M+1}}$ pour tout $n⩾n_0$ (on écrit $M+1$ plutôt que $M$ pour éviter une division par zéro si $M=0$). Pour un tel $n$,

$$\mathrm{\mid }{u}_n{v}_n-0\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }\times \mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }⩽M\times {\displaystyle \frac{\epsilon }{M+1}}⩽\epsilon ,$$

car ${\displaystyle \frac{M}{M+1}}⩽1$. Donc $u_n{v}_n\to 0$. $\mathrm{\square }$

Formes indéterminées

Le mot « indéterminé » ne signifie pas « il n'y a pas de limite » : il signifie que la seule connaissance des limites des morceaux ne suffit pas. Toutes les issues sont possibles, comme le montrent ces trois suites, toutes de la forme $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ :

$$(n+1)-n=1\to 1,n^2-n=n(n-1)\to +\mathrm{\infty },n-n^2=-n(n-1)\to -\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

Limites et inégalités, théorèmes fondamentaux

Passage à la limite dans les inégalités

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons $\mathrm{\ell }>{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. Posons $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}>0$. Il existe un rang $n_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $n⩾n_1$, un rang $n_2$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $n⩾n_2$, et un rang $n_3$ à partir duquel $u_n⩽v_n$. Pour $n⩾\max (n_1,n_2,n_3)$, on a simultanément

$$u_n⩾\mathrm{\ell }-\epsilon ={\displaystyle \frac{2\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}\text{et}{v}_n⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}+\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }+2{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}\mathrm{.}$$

Or

$${\displaystyle \frac{2\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }+2{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}>0,$$

donc $u_n⩾{\displaystyle \frac{2\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}>{\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }+2{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}⩾v_n$, c'est-à-dire $u_n>v_n$ : cela contredit $u_n⩽v_n$. Donc $\mathrm{\ell }⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Théorème d'encadrement

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Il existe un rang $n_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $n⩾n_1$, un rang $n_2$ tel que $\mathrm{\mid }{w}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $n⩾n_2$, et un rang $n_3$ à partir duquel l'encadrement $u_n⩽v_n⩽w_n$ est valable. Posons $n_0=\max (n_1,n_2,n_3)$. Pour tout $n⩾n_0$,

$$\mathrm{\ell }-\epsilon ⩽u_n⩽v_n⩽w_n⩽\mathrm{\ell }+\epsilon ,$$

donc $\mathrm{\ell }-\epsilon ⩽v_n⩽\mathrm{\ell }+\epsilon$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }{v}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. Ainsi $v_n\to \mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. L'hypothèse donne $\mathrm{\ell }-{\alpha }_n⩽v_n⩽\mathrm{\ell }+{\alpha }_n$, et les deux suites encadrantes tendent vers $\mathrm{\ell }$ d'après les opérations sur les limites. Le théorème d'encadrement conclut. $\mathrm{\square }$

Ce corollaire est, en pratique, la forme la plus employée : pour démontrer que $v_n\to \mathrm{\ell }$, on majore $\mathrm{\mid }{v}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }$ par quelque chose de simple qui tend vers $0$.

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies

Démonstration. Traitons le premier point. Soit $A$ un réel. Comme $u_n\to +\mathrm{\infty }$, il existe un rang $n_1$ tel que $u_n⩾A$ pour tout $n⩾n_1$ ; soit $n_2$ un rang à partir duquel $u_n⩽v_n$. Pour $n⩾\max (n_1,n_2)$, on a $v_n⩾u_n⩾A$. Donc $v_n\to +\mathrm{\infty }$. Le second point s'obtient de la même manière, ou en appliquant le premier aux suites $(-v_n)$ et $(-u_n)$. $\mathrm{\square }$

Théorème de la limite monotone

Nous arrivons au théorème central du chapitre. C'est le seul qui garantisse la convergence d'une suite sans qu'on en connaisse la limite, et c'est là qu'intervient enfin la propriété de la borne supérieure admise en section $1$.

Démonstration. Premier cas. Supposons $(u_n)$ croissante et majorée. L'ensemble $A=\{u_n;n\in \mathbb{N}\}$ des valeurs de la suite est une partie de $\mathbb{R}$ non vide (elle contient $u_0$) et majorée (par hypothèse). D'après la propriété de la borne supérieure, elle admet une borne supérieure $\mathrm{\ell }=\sup (A)$.

Montrons que $u_n\to \mathrm{\ell }$. Soit $\epsilon >0$. D'après la caractérisation de la borne supérieure, il existe un élément de $A$ strictement supérieur à $\mathrm{\ell }-\epsilon$, c'est-à-dire un rang $n_0$ tel que

$$u_{n_0}>\mathrm{\ell }-\epsilon \mathrm{.}$$

Soit $n⩾n_0$. Par croissance de la suite, $u_n⩾u_{n_0}>\mathrm{\ell }-\epsilon$. Par ailleurs $\mathrm{\ell }$ majore $A$, donc $u_n⩽\mathrm{\ell }<\mathrm{\ell }+\epsilon$. On a donc

$$\mathrm{\ell }-\epsilon <u_n⩽\mathrm{\ell },\text{d’o}\grave{\text{u}}\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Ainsi $u_n\to \mathrm{\ell }$. L'inégalité $u_n⩽\mathrm{\ell }$ pour tout $n$ est immédiate, puisque $\mathrm{\ell }$ majore l'ensemble des valeurs de la suite.

Second cas. Supposons $(u_n)$ croissante et non majorée. Soit $A$ un réel. Comme $A$ ne majore pas la suite, il existe un rang $n_0$ tel que $u_{n_0}>A$. Pour tout $n⩾n_0$, la croissance donne $u_n⩾u_{n_0}>A$. Donc $u_n\to +\mathrm{\infty }$.

Cas décroissant. Il suffit d'appliquer ce qui précède à la suite $(-u_n)$, qui est croissante. $\mathrm{\square }$

Suites adjacentes

Démonstration. Étape 1 : $u_n⩽v_n$ pour tout $n$. Posons $w_n=v_n-u_n$. Alors

$$w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)⩽0,$$

car le premier terme est négatif ($(v_n)$ décroît) et le second positif ($(u_n)$ croît). La suite $(w_n)$ est donc décroissante, et par hypothèse elle tend vers $0$. Supposons qu'il existe un rang $N$ tel que $w_N<0$ : par décroissance, $w_n⩽w_N$ pour tout $n⩾N$, et le passage à la limite dans cette inégalité donne $0⩽w_N<0$, ce qui est absurde. Donc $w_n⩾0$ pour tout $n$, c'est-à-dire $u_n⩽v_n$.

Étape 2 : convergence. Pour tout $n$, la croissance de $(u_n)$ et la décroissance de $(v_n)$ donnent

$$u_0⩽u_n⩽v_n⩽v_0\mathrm{.}$$

Ainsi $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\mathrm{\ell }$. De même, $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$ : elle converge vers un réel ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$.

Étape 3 : même limite. Par opérations sur les limites, $v_n-u_n\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{\ell }$. Or $v_n-u_n\to 0$, donc par unicité de la limite ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{\ell }=0$, c'est-à-dire $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$.

Étape 4 : encadrement. La suite $(u_n)$ étant croissante de limite $\mathrm{\ell }$, le théorème de la limite monotone donne $u_n⩽\mathrm{\ell }$ pour tout $n$. Symétriquement, $(v_n)$ étant décroissante de limite $\mathrm{\ell }$, on a $\mathrm{\ell }⩽v_n$. $\mathrm{\square }$

Croissances comparées

Toutes les suites de référence tendent vers $+\mathrm{\infty }$, mais pas à la même vitesse. Le théorème suivant classe ces vitesses une fois pour toutes ; il est admis, sa démonstration relevant des outils du second semestre.

Ces quatre limites se résument par une échelle de comparaison, du plus lent au plus rapide :

$$(\ln n{)}^{\alpha }\ll n^{\beta }\ll q^n\ll n!\ll n^n,$$

le symbole $\ll$ signifiant ici, de manière informelle, « croît beaucoup moins vite que », c'est-à-dire que le quotient du terme de gauche par celui de droite tend vers $0$.

Suites définies par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$

Position du problème

On se donne une fonction $f$, un réel $u_0$, et l'on définit

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+1}=f(u_n)\mathrm{.}$$

Sauf cas particulier (suites arithmético-géométriques, récurrences homographiques bien choisies), il n'existe aucune formule explicite pour $u_n$. Toute l'étude consiste donc à obtenir des informations qualitatives : la suite est-elle bien définie ? est-elle monotone ? bornée ? convergente ? et si oui, vers quoi ?

Démonstration. Récurrence sur $n$. La propriété « $u_n$ existe et $u_n\in I$ » est vraie au rang $0$ par hypothèse. Si elle est vraie au rang $n$, alors $u_n\in I$, donc $f(u_n)$ existe (car $f$ est définie sur $I$) et appartient à $I$ par stabilité : $u_{n+1}=f(u_n)\in I$. $\mathrm{\square }$

Cette première étape n'est pas une formalité : elle garantit qu'on ne divise pas par zéro ni ne prend la racine d'un nombre négatif en cours de route, et elle fournit gratuitement une majoration et une minoration de la suite, ce dont on aura besoin pour appliquer le théorème de la limite monotone.

Points fixes : les candidats à la limite

Démonstration. Commençons par un point de détail utile : si $u_n\to \mathrm{\ell }$, alors la suite décalée $(u_{n+1})$ tend aussi vers $\mathrm{\ell }$. En effet, si pour tout $n⩾n_0$ on a $\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\epsilon$, alors pour tout $n⩾n_0$ on a en particulier $n+1⩾n_0$, donc $\mathrm{\mid }{u}_{n+1}-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\epsilon$.

D'un côté, $u_{n+1}\to \mathrm{\ell }$. De l'autre, $u_{n+1}=f(u_n)$ et, $f$ étant continue en $\mathrm{\ell }$, la suite $(f(u_n))$ tend vers $f(\mathrm{\ell })$ (c'est le résultat admis sur la continuité). Une suite ayant au plus une limite, on conclut $f(\mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Monotonie d'une suite récurrente

Démonstration. Supposons $u_1⩾u_0$ et montrons par récurrence la propriété $\mathcal{H}(n)$ : « $u_{n+1}⩾u_n$ ». Elle est vraie au rang $0$ par hypothèse. Si elle est vraie au rang $n$, alors $u_n$ et $u_{n+1}$ appartiennent à $I$ et $u_{n+1}⩾u_n$ ; la croissance de $f$ sur $I$ donne $f(u_{n+1})⩾f(u_n)$, c'est-à-dire $u_{n+2}⩾u_{n+1}$ : c'est $\mathcal{H}(n+1)$. Le cas $u_1⩽u_0$ se traite de la même façon. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Comme $u_n\in I$, on a directement $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n⩾0$. Aucune récurrence n'est nécessaire. $\mathrm{\square }$

Méthode générale

Un exemple entièrement traité

Ce qu'il faut retenir

Les définitions à savoir énoncer sans hésiter

• Borne supérieure : le plus petit des majorants ; caractérisation par les $\epsilon$ : $s$ majore $A$, et pour tout $\epsilon >0$ il existe $x\in A$ tel que $x>s-\epsilon$.
• Convergence : $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0,\mathrm{\forall }n⩾n_0,\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. Les quantificateurs dans cet ordre, sans exception.
• Divergence vers $+\mathrm{\infty }$ : $\mathrm{\forall }A,\mathrm{\exists }{n}_0,\mathrm{\forall }n⩾n_0,u_n⩾A$.
• Suites adjacentes : l'une croît, l'autre décroît, leur différence tend vers $0$.
• Point fixe : $f(\mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }$. Candidat à la limite, jamais preuve de convergence.

Les théorèmes et leur usage

Les formules

• Arithmétique : $u_n=u_0+nr$, et ${\displaystyle \sum _{k=p}^n{u}_k=(n-p+1){\displaystyle \frac{u_p+u_n}{2}}}$.
• Géométrique : $u_n=u_0{q}^n$, et ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^k={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}}$ pour $q\mathrm{\ne }1$.
• Arithmético-géométrique $u_{n+1}=a{u}_n+b$ avec $a\mathrm{\ne }1$ : point fixe $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{b}{1-a}}$, puis $u_n=\mathrm{\ell }+a^n(u_0-\mathrm{\ell })$.
• Récurrence linéaire d'ordre $2$ : équation caractéristique $r^2-ar-b=0$, solutions $\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ si $\mathrm{\Delta }>0$, $(\lambda +\mu n)r_0^n$ si $\mathrm{\Delta }=0$.
• Bernoulli : $(1+x{)}^n⩾1+nx$ pour $x⩾-1$.
• Inégalité triangulaire : $\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$, et sa version renversée $\mid \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\mid ⩽\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$.
• Partie entière : $\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1$, et $n_0=\lfloor c\rfloor +1$ pour fabriquer un rang.
• Limites de référence : $q^n\to 0$ si $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, $q^n\to +\mathrm{\infty }$ si $q>1$, et l'échelle $\ln n\ll n^{\beta }\ll q^n\ll n!\ll n^n$.

Les erreurs classiques

Écrire un majorant qui dépend de $n$. « $u_n⩽n$ donc la suite est majorée » est faux. Un majorant est un réel fixe.

Conserver une inégalité stricte par passage à la limite. De $u_n>0$ on ne déduit que $\mathrm{\ell }⩾0$. C'est la faute la plus fréquente du chapitre.

Conclure « $\mathrm{\ell }=f(\mathrm{\ell })$ donc la suite converge vers $\mathrm{\ell }$ ». L'équation des points fixes ne s'utilise qu'après avoir démontré la convergence. Sans cette précaution, le raisonnement est nul, même si le résultat est juste.

Appliquer « $f$ croissante donc $(u_n)$ croissante » à une suite récurrente. La croissance de $f$ donne seulement la monotonie de $(u_n)$ ; le sens dépend du signe de $u_1-u_0$. Le critère « $f$ croissante $⟹$ suite croissante » ne vaut que pour les suites explicites $u_n=f(n)$.

Oublier de vérifier que la suite est bien définie. Avant toute étude d'une suite récurrente, il faut un intervalle stable et une récurrence : c'est là qu'on écarte les divisions par zéro.

Se tromper de nombre de termes dans une somme. De l'indice $p$ à l'indice $n$, il y a $n-p+1$ termes.

Conclure qu'une suite bornée converge. Elle ne converge pas nécessairement : $((-1{)}^n)$ est le contre-exemple à citer. Il faut la monotonie en plus.

Croire qu'une forme indéterminée n'a pas de limite. Elle en a peut-être une : il faut simplement transformer l'expression pour la trouver, par factorisation du terme dominant ou par quantité conjuguée.