Devoir surveillé — Compléments de probabilités : couples et n-uplets de variables aléatoires réelles

Consignes générales. Durée : 5 h. Calculatrice interdite : toutes les valeurs numériques utiles sont fournies. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; à l'intérieur d'un exercice, le résultat d'une question peut toujours être admis pour en traiter une autre. Toute intégrale impropre et toute espérance doivent être justifiées avant d'être écrites : la rigueur des justifications de convergence compte pour une part importante de la note.

Un modèle de prévision annonce chaque soir la température du lendemain. On note $X$ l'écart, en degrés, entre la température relevée et la température annoncée : $X$ est négatif quand le modèle a surestimé, positif quand il a sous-estimé. On ne modélise pas ici cet écart par une loi normale, mais par une variable aléatoire réelle $X$ de densité

$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-\mid x\mid }$$

On donne ${\int }_0^{A}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1-(1+A){\mathrm{e}}^{-A}$ pour tout $A>0$, ainsi que ${\mathrm{e}}^{-6}\approx \mathrm{0,002479}$ et $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$. On note $\mathrm{\Phi }$ la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$, avec $1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{4,24})\approx \mathrm{1,12}\times {10}^{-5}$.

1. (0,5 point) Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité. On justifiera la convergence de l'intégrale utilisée.

2. (0,5 point) Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$ en tout réel $x$, en distinguant les cas $x⩽0$ et $x⩾0$. Vérifier la cohérence des deux expressions en $0$.

3. (0,5 point) Montrer que $X$ admet une espérance et que $E(X)=0$. On établira d'abord la convergence absolue de l'intégrale avant de calculer quoi que ce soit.

4. (0,75 point) Montrer que $\mid X\mid$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(1)$.

5. (0,25 point) En déduire $E\left(X^2\right)$, puis $V(X)$, sans effectuer aucune intégration.

6. (0,5 point) Calculer $P(\mid X\mid >6)$. Soit $Y$ une variable suivant une loi normale de même espérance et de même variance que $X$ ; calculer $P(\mid Y\mid >6)$ et comparer les deux résultats. Que faut-il en conclure sur le choix du modèle ?

À la sortie d'une station d'épuration, la concentration d'un polluant, exprimée en microgrammes par litre, varie d'un prélèvement à l'autre. Le modèle retenu par les hydrologues n'est pas une loi normale, qui prendrait des valeurs négatives, mais son exponentielle : la concentration est modélisée par la variable aléatoire

$$C=c_0{\mathrm{e}}^{\mu +\sigma Z}$$

où $Z\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$, où $c_0>0$ et $\sigma >0$ sont deux réels strictement positifs et où $\mu$ est un réel. On rappelle que $\mu +\sigma Z$ suit alors la loi $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$, par définition même d'une loi normale. On note $\mathrm{\Phi }$ la fonction de répartition de la loi $\mathcal{N}(0,1)$ et $\phi$ sa densité, de sorte que $\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-z^2\mathrm{/}2}$. On pourra ramener tous les calculs à des calculs portant sur $Z$.

On donne $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,2})=\mathrm{0,5793}$, ainsi que ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,18}}\approx \mathrm{1,1972}$ et ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,76}}\approx \mathrm{2,1383}$.

1. (0,25 point) Justifier que $C$ ne prend que des valeurs strictement positives, et en déduire que $C$ ne suit aucune loi normale.

2. (1 point) Soit $a$ un réel quelconque. Montrer que $E\left({\mathrm{e}}^{aZ}\right)$ existe et que

$$E\left({\mathrm{e}}^{aZ}\right)={\mathrm{e}}^{a^2\mathrm{/}2}$$

On mettra l'exposant sous forme canonique, puis on fera apparaître la densité d'une loi normale bien choisie.

3. (0,5 point) En déduire que $C$ admet une espérance et que $E(C)=c_0{\mathrm{e}}^{\mu +{\sigma }^2\mathrm{/}2}$.

4. (0,5 point) Montrer que $C$ admet une variance et que

$$V(C)=c_0^2{\mathrm{e}}^{2\mu +{\sigma }^2}({\mathrm{e}}^{{\sigma }^2}-1)$$

5. (0,5 point) Déterminer la fonction de répartition $F_C$ de $C$ en tout réel $x$. En déduire l'expression, en fonction de $c_0$, $\mu$ et $\sigma$, du réel $q$ tel que $P(C⩽q)=\mathrm{0,95}$ : c'est la concentration qui n'est dépassée qu'un prélèvement sur vingt. On prendra ${\mathrm{\Phi }}^{-1}(\mathrm{0,95})=\mathrm{1,65}$.

6. (0,5 point) On prend $c_0=20$, $\mu =\mathrm{0,1}$ et $\sigma =\mathrm{0,4}$. Calculer $E(C)$ et $q$. Montrer ensuite que $P(C>E(C))=1-\mathrm{\Phi }\left(\frac{\sigma }{2}\right)$, quelles que soient les valeurs de $c_0$ et de $\mu$, et en donner la valeur numérique. Commenter en deux ou trois phrases ce que ces nombres disent d'une norme réglementaire qui porterait sur la concentration moyenne.

La durée de vie d'un composant, exprimée en années, est modélisée par une variable aléatoire $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$, avec $\lambda >0$. Le fabricant ne consigne pas la durée exacte : il note seulement le nombre d'années entières que le composant a vécues, et le technicien s'intéresse au temps qui reste au-delà. On pose donc

$$N=\lfloor X\rfloor \text{et}R=X-N$$

où $\lfloor X\rfloor$ désigne la partie entière de $X$, c'est-à-dire l'unique entier $k$ tel que $k⩽X<k+1$. Ainsi $N$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$, $R$ est à valeurs dans $[0,1[$, et $X=N+R$.

Le cours affirme que la loi exponentielle est l'analogue continu de la loi géométrique. L'objet de cet exercice est de donner à cette phrase un sens exact, et d'établir un résultat qui ne va pas de soi : les deux morceaux $N$ et $R$ d'une même variable $X$ sont indépendants.

Dans tout l'exercice on pose $q={\mathrm{e}}^{-\lambda }$ et $p=1-q$, de sorte que $0<p<1$ et $0<q<1$. On donne $\frac{1}{\ln (2)}\approx \mathrm{1,4427}$.

1. (0,5 point) Soit $k\in \mathbb{N}$. Montrer que $P(N=k)=q^{k}p$, et en déduire que $N+1$ suit la loi géométrique de paramètre $p$, puis la valeur de $E(N)$ en fonction de $p$ et $q$.

2. (0,75 point) Soit $r\in [0,1[$. En décomposant l'événement $(R⩽r)$ sur le système complet $((N=k){)}_{k\in \mathbb{N}}$, montrer que

$$P(R⩽r)={\displaystyle \frac{1-{\mathrm{e}}^{-\lambda r}}{p}}$$

On justifiera la convergence de la série utilisée. En déduire que $R$ est une variable à densité, et en donner une densité.

3. (0,75 point) Démontrer que $N$ et $R$ sont indépendantes. La définition du cours demande d'établir $P(N⩽x,R⩽y)=P(N⩽x)P(R⩽y)$ pour tout couple $(x,y)$ de réels ; on admettra que les cas $x<0$, $y<0$ et $y⩾1$ sont immédiats, et que $N$ étant à valeurs entières, il suffit de traiter le cas où $x$ est un entier naturel $n$ et où $y=r\in [0,1[$.

4. (0,5 point) Application numérique avec $\lambda =\ln (2)$. Calculer $p$, $q$, $P(N=0)$, $P(N⩾3)$ et $E(N)$. Comparer $E(N)$ à $E(X)$ et expliquer en une ou deux phrases l'écart observé.

Un ruban de longueur $1$ est posé le long d'un axe gradué, ses extrémités aux abscisses $0$ et $1$. On y marque deux points au hasard, indépendamment l'un de l'autre : leurs abscisses sont deux variables aléatoires $U$ et $V$ indépendantes, suivant toutes deux la loi uniforme $\mathcal{U}([0,1])$. On coupe alors le ruban en ces deux points, ce qui produit trois morceaux, de longueurs

$$L_1=\min (U,V),L_2=\mid U-V\mid ,L_3=1-\max (U,V)$$

On note $M=\max (U,V)$.

1. (0,75 point) Le cours établit la loi du minimum et du maximum d'un $n$-uplet de variables indépendantes ; on demande ici d'en refaire le raisonnement dans le cas particulier $n=2$, en indiquant précisément où sert l'indépendance. Montrer donc que, pour tout $t\in [0,1]$, $P(M⩽t)=t^2$ et $P(L_1>t)=(1-t{)}^2$. En déduire une densité de $M$, puis une densité de $L_1$. Montrer enfin que $L_3$ suit la même loi que $L_1$.

2. (0,25 point) Calculer $E\left(L_1\right)$ et $V\left(L_1\right)$.

3. On pose $D=U-V$.

a. (0,5 point) Montrer que $-V$ suit la loi uniforme $\mathcal{U}([-1,0])$, puis justifier que $U$ et $-V$ sont indépendantes.

b. (1 point) À l'aide du produit de convolution, montrer qu'une densité de $D$ est la fonction $f_D$ définie par $f_D(d)=1-\mid d\mid$ si $d\in [-1,1]$, et $f_D(d)=0$ sinon. On détaillera très soigneusement la recherche du domaine d'intégration.

4. (0,75 point) En déduire la fonction de répartition de $L_2$, puis une densité de $L_2$. Comparer alors les lois de $L_1$, $L_2$ et $L_3$, et donner la longueur moyenne d'un morceau. Ce résultat était-il prévisible ?

5.

a. (0,5 point) Justifier que $L_1+L_2=M$. Sachant que $V(M)=\frac{1}{18}$, en déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(L_1,L_2)$.

b. (0,25 point) Justifier que $L_2+L_3=1-L_1$, et en déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(L_2,L_3)$ par le même raisonnement qu'en 5. a.

c. (0,75 point) En remarquant que $L_1+L_2+L_3$ est une variable certaine, déterminer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(L_1,L_3)$ sans aucun nouveau calcul d'intégrale, puis le coefficient de corrélation $\rho (L_1,L_3)$. Interpréter le signe obtenu.

Un assureur couvre un risque. Le montant d'un sinistre, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda )$, avec $\lambda >0$. On note $f_X$ sa densité et $F_X$ sa fonction de répartition, de sorte que $f_X(x)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ pour $x>0$ et $F_X(x)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ pour $x⩾0$, ces deux fonctions étant nulles sur $]-\mathrm{\infty },0[$.

Aucun contrat ne rembourse la totalité d'un sinistre. Le problème étudie les deux dispositifs les plus courants, la franchise et le plafond, puis l'effet du nombre de contrats.

On rappelle l'absence de mémoire de la loi exponentielle, établie en cours : pour tous réels $s⩾0$ et $t⩾0$, $P_{(X>s)}(X>s+t)=P(X>t)$ ; autrement dit, conditionnellement à l'événement $(X>s)$, la variable $X-s$ a la même loi que $X$.

On admet en revanche les deux points suivants, qui sortent du cadre du programme. Pour une variable aléatoire réelle quelconque $W$ admettant une espérance et un événement $A$ de probabilité non nulle, on note $E(W\mid A)$ l'espérance de $W$ calculée pour la probabilité conditionnelle $P_A$ ; deux variables ayant même loi conditionnellement à $A$ ont alors même espérance conditionnelle, et en particulier, si conditionnellement à $A$ la variable $W$ suit une loi usuelle d'espérance $m$, alors $E(W\mid A)=m$. Et pour tout système complet d'événements de probabilités non nulles $(A,\bar{A})$,

$$E(W)=P(A)E(W\mid A)+P\left(\bar{A}\right)E(W\mid \bar{A})$$

Les applications numériques utilisent $\lambda =\frac{1}{2}$, c'est-à-dire un sinistre moyen de $2$ milliers d'euros. On donne

$${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{0,6065},{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{1,6487},\ln (\mathrm{0,3935})\approx -\mathrm{0,9327}$$ $$\sqrt{\mathrm{2,2974}}\approx \mathrm{1,5157},{\mathrm{151,57}}^2\approx 22973$$

Partie A. La franchise.

Le contrat prévoit une franchise $a>0$ : l'assuré garde à sa charge les $a$ premiers milliers d'euros, l'assureur paie le reste s'il y en a un. La part de l'assureur est donc

$$Z=\max (X-a,0)$$

A.1 (0,5 point) Déterminer $Z(\mathrm{\Omega })$. Calculer $P(Z=0)$ et vérifier que ce nombre est strictement positif. En déduire que $Z$ n'est pas une variable à densité.

A.2 (0,5 point) Déterminer $F_Z(z)$ pour tout réel $z$, préciser en quel point $F_Z$ est discontinue ainsi que la hauteur du saut. En déduire que $Z$ n'est pas non plus une variable discrète.

A.3 (0,75 point) Par le théorème de transfert appliqué à la fonction $g$ définie par $g(x)=\max (x-a,0)$, montrer que $Z$ admet une espérance et que

$$E(Z)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda a}}{\lambda }}$$

A.4 (0,5 point) Retrouver ce résultat par la formule de l'espérance totale appliquée au système complet $((X⩽a),(X>a))$. On justifiera d'abord que ce système est licite, puis on utilisera l'absence de mémoire pour obtenir $E(Z\mid X>a)$.

A.5 (0,25 point) Montrer que ${\displaystyle \frac{E(Z)}{E(X)}}={\mathrm{e}}^{-\lambda a}$. Application numérique avec $\lambda =\frac{1}{2}$ et $a=1$ : quel pourcentage du coût moyen d'un sinistre la franchise retire-t-elle à l'assureur ? Commenter.

Partie B. Le plafond.

Un autre contrat, sans franchise, prévoit un plafond $c>0$ : quel que soit le sinistre, l'assureur ne paie jamais plus de $c$. Sa part est donc

$$Y=\min (X,c)$$

B.1 (0,5 point) Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$, calculer $P(Y=c)$, puis donner $F_Y(y)$ pour tout réel $y$. En quel point $F_Y$ est-elle discontinue ? Comparer la position de cet atome à celle de l'atome de $Z$, et dire en une phrase ce que chacun signifie pour l'assureur.

B.2 (0,5 point) Vérifier l'identité $X=\min (X,c)+\max (X-c,0)$, en distinguant les cas $X⩽c$ et $X>c$. En déduire, sans aucune intégration et à partir du seul résultat de la partie A, que

$$E(Y)={\displaystyle \frac{1-{\mathrm{e}}^{-\lambda c}}{\lambda }}$$

B.3 (0,5 point) Montrer que les deux contrats coûtent en moyenne la même chose à l'assureur si et seulement si

$${\mathrm{e}}^{-\lambda a}+{\mathrm{e}}^{-\lambda c}=1$$

Pour $\lambda =\frac{1}{2}$ et $a=1$, en déduire la valeur exacte du plafond $c$ correspondant, puis une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près. Commenter.

Partie C. La mutualisation.

On revient au contrat à franchise de la partie A. L'assureur détient $n$ contrats identiques, portant sur des risques indépendants : les parts $Z_1,\dots ,Z_n$ qu'il devra payer sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la loi de $Z$. On pose

$$T_n=\sum _{j=1}^n{Z}_j$$

C.1 (0,75 point) En utilisant le moment d'ordre $2$ de la loi $\mathcal{E}(\lambda )$, qui vaut $\frac{2}{{\lambda }^2}$ d'après le cours, montrer que $E\left(Z^2\right)={\displaystyle \frac{2{\mathrm{e}}^{-\lambda a}}{{\lambda }^2}}$, puis que

$$V(Z)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda a}}{{\lambda }^2}}(2-{\mathrm{e}}^{-\lambda a})$$

C.2 (0,5 point) Donner $E\left(T_n\right)$, $V\left(T_n\right)$ et $\sigma \left(T_n\right)$, en indiquant précisément où sert l'hypothèse d'indépendance et où elle ne sert pas.

C.3 (0,25 point) On appelle dispersion relative d'une variable positive d'espérance non nulle le quotient de son écart-type par son espérance. Montrer que celle de $T_n$ vaut

$${\displaystyle \frac{\sigma \left(T_n\right)}{E\left(T_n\right)}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\times {\displaystyle \frac{\sigma (Z)}{E(Z)}}$$

C.4 (0,5 point) Montrer que ${\displaystyle \frac{\sigma (Z)}{E(Z)}}=\sqrt{2{\mathrm{e}}^{\lambda a}-1}$. Application numérique avec $\lambda =\frac{1}{2}$ et $a=1$ : calculer ce nombre, puis déterminer le plus petit nombre de contrats $n$ pour lequel la dispersion relative de $T_n$ est inférieure ou égale à $1\mathrm{\%}$. On donnera le résultat arrondi au millier supérieur.

C.5 (0,5 point) Si le contrat ne comportait aucune franchise, la charge totale de l'assureur serait $U_n=X_1+\cdots +X_n$, où $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes de même loi $\mathcal{E}(\lambda )$. En citant le résultat du cours sur la somme de $n$ lois exponentielles de même paramètre, donner la loi de $\lambda U_n$, puis $E\left(U_n\right)$ et $V\left(U_n\right)$. En déduire la dispersion relative de $U_n$, la comparer à celle de $T_n$ et commenter. Justifier enfin que $U_n$ est une variable à densité. Montrer en revanche, en factorisant l'événement $(T_n=0)$ grâce à l'indépendance mutuelle, que $P(T_n=0)={(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda a})}^n$ : l'atome de la partie A survit donc à la somme.