Fonctions réelles définies sur Rⁿ

Toute l'analyse que vous avez pratiquée jusqu'ici portait sur des fonctions d'une variable : une entrée réelle, une sortie réelle, une courbe dans le plan. Or presque aucune grandeur intéressante ne dépend d'un seul paramètre. Le coût de production d'une entreprise dépend de la quantité de travail et de la quantité de capital engagées ; la satisfaction d'un consommateur dépend des quantités de tous les biens qu'il achète ; l'erreur d'un ajustement statistique dépend de tous les coefficients du modèle ; la valeur d'un portefeuille dépend du prix de chacun des actifs qui le composent. Ce chapitre construit l'outillage qui permet de dériver, d'approcher et d'optimiser de telles grandeurs.

Le programme d'ECG procède par transfert méthodique. Chaque notion d'une variable a ici son analogue, et la démarche consiste à se demander ce qui subsiste et ce qui change. La continuité subsiste presque telle quelle, à condition de remplacer la valeur absolue $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }$ par une norme $\parallel x-a\parallel$ qui mesure la distance entre deux points de ${\mathbb{R}}^n$. La dérivée, elle, éclate : il n'y a plus une dérivée mais $n$ dérivées partielles, une par variable, rassemblées dans un vecteur appelé gradient. Le développement limité d'ordre $1$ subsiste, sous une forme remarquablement compacte où le produit $f^{\mathrm{\prime }}(a)h$ devient un produit scalaire $⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩$. Enfin, la condition nécessaire d'extremum « la dérivée s'annule » subsiste presque mot pour mot : « le gradient s'annule ».

Ce qui change vraiment, et qu'il faut comprendre dès la première lecture, c'est la richesse des directions. En une variable, on ne peut approcher un point $a$ que par la gauche ou par la droite : deux directions, et la limite existe dès que les deux coïncident. Dans ${\mathbb{R}}^2$, on peut approcher un point par une infinité de directions, et même par des chemins qui ne sont pas des droites. C'est la source de tous les phénomènes nouveaux du chapitre : une fonction peut posséder des dérivées partielles en un point sans y être continue, un point critique peut n'être ni un maximum ni un minimum, et l'on ne peut jamais conclure à une limite après avoir examiné une seule direction. Le contre-exemple $f(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}$, que nous croiserons deux fois, résume à lui seul ces avertissements.

Un mot enfin sur ce que ce chapitre ne contient pas, car la répartition du programme est ici très précise. Nous nous arrêtons volontairement à l'ordre $1$ : dérivées partielles premières, développement limité d'ordre $1$, condition nécessaire d'ordre $1$ pour un extremum. L'outil systématique qui permet de décider si un point critique est un maximum, un minimum ou aucun des deux, ainsi que la recherche d'extremums sur une partie qui n'est pas ouverte, relèvent du chapitre du semestre suivant. Dans l'intervalle, nous disposons malgré tout d'une méthode complète, et souvent plus rapide que la machinerie générale : l'étude directe du signe de $f(x)-f(a)$, par mise sous forme canonique ou par minoration. Elle suffit pour tous les exercices de ce semestre, et elle reste, même plus tard, la méthode la plus élégante quand elle s'applique.

Le plan est le suivant. La section $1$ met en place le cadre : norme euclidienne sur ${\mathbb{R}}^n$, boules, parties ouvertes, fermées et bornées. La section $2$ définit les fonctions de plusieurs variables et leur vocabulaire géométrique. La section $3$ traite la continuité. La section $4$ introduit les dérivées partielles et le gradient. La section $5$ définit la classe ${\mathcal{C}}^1$, qui est l'hypothèse standard de tout le reste du chapitre. La section $6$ établit le développement limité d'ordre $1$ et l'approximation affine. La section $7$ étudie la dérivée le long d'une droite et montre que le gradient indique la direction de plus forte pente. La section $8$ traite les extremums. La section $9$ récapitule les méthodes.

Voici les notations employées dans tout le chapitre.

L'espace des n-uplets : norme, boules, parties ouvertes

Produit scalaire canonique et norme euclidienne

Le chapitre d'algèbre bilinéaire a muni ${\mathbb{R}}^n$ d'un produit scalaire ; nous en reprenons ici la définition et les deux inégalités dont nous aurons besoin. Rien n'est nouveau dans cette sous-section, mais tout y sera utilisé.

Les points $1$ et $2$ sont immédiats sur l'expression avec les carrés, et le point $3$ a été démontré dans le chapitre euclidien : nous l'admettons ici. Démontrons en revanche les points $4$ et $5$, qui seront les outils de calcul de toute la section.

Démonstration. Pour le point $4$, développons le carré de la norme à l'aide de la bilinéarité du produit scalaire :

$$\parallel x+y{\parallel }^2=⟨x+y,x+y⟩=\parallel x{\parallel }^2+2⟨x,y⟩+\parallel y{\parallel }^2\mathrm{.}$$

Or $⟨x,y⟩⩽\mathrm{\mid }⟨x,y⟩\mathrm{\mid }⩽\parallel x\parallel \parallel y\parallel$ par Cauchy-Schwarz, donc

$$\parallel x+y{\parallel }^2⩽\parallel x{\parallel }^2+2\parallel x\parallel \parallel y\parallel +\parallel y{\parallel }^2=(\parallel x\parallel +\parallel y\parallel {)}^2\mathrm{.}$$

Les deux membres sont positifs, et la fonction racine carrée est croissante : on conclut $\parallel x+y\parallel ⩽\parallel x\parallel +\parallel y\parallel$.

Pour le point $5$, écrivons $x=(x-y)+y$ et appliquons le point $4$ :

$$\parallel x\parallel ⩽\parallel x-y\parallel +\parallel y\parallel ,\text{donc}\parallel x\parallel -\parallel y\parallel ⩽\parallel x-y\parallel \mathrm{.}$$

En échangeant les rôles de $x$ et de $y$, et en remarquant que $\parallel y-x\parallel =\parallel -(x-y)\parallel =\parallel x-y\parallel$, on obtient aussi $\parallel y\parallel -\parallel x\parallel ⩽\parallel x-y\parallel$. Les deux inégalités réunies donnent le résultat annoncé sur la valeur absolue. $\mathrm{\square }$

Le petit résultat suivant est constamment utilisé pour passer d'une coordonnée à la norme complète. Il est élémentaire, mais c'est lui qui rend les démonstrations de continuité faciles.

Démonstration. Tous les termes de la somme $x_1^2+\cdots +x_n^2$ sont positifs, donc $x_i^2⩽x_1^2+\cdots +x_n^2=\parallel x{\parallel }^2$. En prenant la racine carrée, croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, il vient $\sqrt{x_i^2}⩽\parallel x\parallel$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }⩽\parallel x\parallel$. $\mathrm{\square }$

Distance, boules ouvertes et boules fermées

Pour $n=1$, on retrouve $d(x,y)=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$ : la norme euclidienne prolonge la valeur absolue. Pour $n=2$ et $n=3$, c'est la distance usuelle du plan et de l'espace, donnée par le théorème de Pythagore.

Parties ouvertes

Toute la suite du chapitre se déroulera sur des parties ouvertes : c'est l'hypothèse qui permet de dériver dans toutes les directions sans sortir de l'ensemble de définition, et c'est aussi l'hypothèse cruciale du théorème sur les extremums. Il faut donc savoir manipuler cette notion avec aisance.

En clair : $U$ est ouvert si aucun de ses points n'est « au bord ». Autour de chaque point de $U$, on peut tracer une boule entière, si petite soit-elle, qui reste dans $U$. Le rayon $r$ n'a aucune raison d'être le même pour tous les points : plus le point est proche du bord, plus le rayon doit être petit. C'est exactement ce que montre la figure suivante.

Le premier exemple à connaître est aussi celui qui justifie le vocabulaire : une boule ouverte est bien un ouvert. Sa démonstration est le prototype de toutes les autres, et le rayon $r-\parallel x-a\parallel$ qu'elle fait apparaître est à retenir.

Démonstration. Soit $x$ un point de $B(a,r)$. Par définition, $\parallel x-a\parallel <r$, donc le réel

$$\rho =r-\parallel x-a\parallel$$

est strictement positif. Montrons que $B(x,\rho )\subset B(a,r)$, ce qui achèvera la démonstration.

Soit $y\in B(x,\rho )$, c'est-à-dire $\parallel y-x\parallel <\rho$. Écrivons $y-a=(y-x)+(x-a)$ et appliquons l'inégalité triangulaire :

$$\parallel y-a\parallel ⩽\parallel y-x\parallel +\parallel x-a\parallel <\rho +\parallel x-a\parallel =(r-\parallel x-a\parallel )+\parallel x-a\parallel =r\mathrm{.}$$

Donc $\parallel y-a\parallel <r$, c'est-à-dire $y\in B(a,r)$. Ainsi tout point de $B(x,\rho )$ appartient à $B(a,r)$, soit $B(x,\rho )\subset B(a,r)$. Le point $x$ étant quelconque dans $B(a,r)$, la boule $B(a,r)$ est ouverte. $\mathrm{\square }$

Passons aux deux exemples extrêmes, puis à un ouvert défini par une inégalité.

Démonstration. Soit $a\in {\mathbb{R}}^n$. La boule $B(a,1)$ est évidemment incluse dans ${\mathbb{R}}^n$, donc la condition est vérifiée avec $r=1$ : ${\mathbb{R}}^n$ est ouvert. Pour $\mathrm{\varnothing }$, la condition « pour tout point $a$ de $\mathrm{\varnothing }$… » ne porte sur aucun point : elle est vérifiée par vacuité, et $\mathrm{\varnothing }$ est ouvert. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $a=(a_1,a_2)$ un point de $U$, et posons

$$\delta =a_1+2a_2-3>0,u=(1,2),\text{de sorte que }\parallel u\parallel =\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Posons $r={\displaystyle \frac{\delta }{\sqrt{5}}}>0$ et montrons que $B(a,r)\subset U$.

Soit $x=(x_1,x_2)$ un point de $B(a,r)$. On remarque que

$$(x_1+2x_2)-(a_1+2a_2)=1\times (x_1-a_1)+2\times (x_2-a_2)=⟨u,x-a⟩\mathrm{.}$$

L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne alors

$$\mid ⟨u,x-a⟩\mid ⩽\parallel u\parallel \parallel x-a\parallel <\sqrt{5}\times \frac{\delta }{\sqrt{5}}=\delta ,$$

donc en particulier $⟨u,x-a⟩>-\delta$. Il vient

$$x_1+2x_2=(a_1+2a_2)+⟨u,x-a⟩>(a_1+2a_2)-\delta =3,$$

c'est-à-dire $x\in U$. Ainsi $B(a,r)\subset U$, et $U$ est ouvert. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $(U_j{)}_{j\in J}$ une famille d'ouverts et $V$ leur réunion. Si $a\in V$, il existe un indice $j$ tel que $a\in U_j$ ; comme $U_j$ est ouvert, il existe $r>0$ avec $B(a,r)\subset U_j\subset V$. Donc $V$ est ouvert.

Soient maintenant $U_1$ et $U_2$ deux ouverts et $a\in U_1\cap U_2$. Il existe $r_1>0$ tel que $B(a,r_1)\subset U_1$ et $r_2>0$ tel que $B(a,r_2)\subset U_2$. Posons $r=\min (r_1,r_2)>0$ : alors $B(a,r)\subset B(a,r_1)\subset U_1$ et $B(a,r)\subset B(a,r_2)\subset U_2$, donc $B(a,r)\subset U_1\cap U_2$. $\mathrm{\square }$

Parties fermées, parties bornées

Démonstration. Le complémentaire de $\bar{B}(a,r)$ est $C=\{x\in {\mathbb{R}}^n;\parallel x-a\parallel >r\}$. Soit $x\in C$ et posons

$$\rho =\parallel x-a\parallel -r>0.$$

Soit $y\in B(x,\rho )$. La seconde inégalité triangulaire donne $\parallel x-a\parallel -\parallel y-a\parallel ⩽\parallel x-y\parallel <\rho$, donc

$$\parallel y-a\parallel >\parallel x-a\parallel -\rho =r\mathrm{.}$$

Ainsi $y\in C$, ce qui prouve $B(x,\rho )\subset C$. Le complémentaire $C$ est donc ouvert, et $\bar{B}(a,r)$ est fermée. $\mathrm{\square }$

Méthode : reconnaître un ouvert ou un fermé sur des inégalités

En pratique, on ne revient presque jamais à la définition avec une boule : on lit la réponse sur la forme des inégalités qui définissent la partie. Le résultat suivant est admis. Il fait intervenir la notion de continuité pour une fonction de plusieurs variables, qui sera définie précisément en section $3$ ; retenez pour l'instant que les fonctions polynomiales sont continues, ce qui couvre l'immense majorité des cas rencontrés.

Fonctions de plusieurs variables

Définition et domaine de définition

Graphe et surface représentative

Pour une fonction d'une variable, le graphe est une courbe du plan ; pour une fonction de deux variables, c'est une surface de l'espace, que l'on peut se représenter comme un relief au-dessus du domaine $D$ : au point $(x,y)$ du sol, l'altitude vaut $f(x,y)$. Pour $n⩾3$, le graphe vit dans ${\mathbb{R}}^{n+1}$ et n'est plus représentable ; c'est pourquoi tous les dessins de ce chapitre concernent le cas $n=2$.

Fonctions partielles

Puisqu'on ne sait dériver que des fonctions d'une variable, la stratégie de tout le chapitre consiste à figer toutes les variables sauf une. On obtient ainsi des fonctions d'une variable, qu'on appelle les fonctions partielles.

Pour $n=2$ et $a=(a_1,a_2)$, cela s'écrit simplement

$$f_1:t⟼f(t,a_2)\text{et}{f}_2:t⟼f(a_1,t)\mathrm{.}$$

Géométriquement, la courbe représentative de $f_1$ s'obtient en coupant la surface ${\mathcal{S}}_f$ par le plan vertical d'équation $y=a_2$ : c'est le profil du relief le long de cette coupe.

Lignes de niveau

C'est la traduction en mathématiques des courbes de niveau d'une carte de randonnée : le niveau $k$ rassemble tous les points du domaine où l'altitude vaut exactement $k$. Une ligne de niveau peut être une courbe, un point, ou l'ensemble vide.

La figure ci-dessous représente quatre de ces lignes de niveau, pour $k=1$, $k=3$, $k=6$ et $k=9$, ainsi qu'un vecteur que nous ne saurons interpréter qu'à la section $7$ : le gradient de $f$ au point $A=(1,1)$. Observez dès maintenant qu'il est dirigé vers les niveaux croissants, et qu'il est perpendiculaire à la ligne de niveau qui passe par $A$.

Fonctions polynomiales

Les fonctions polynomiales joueront le même rôle qu'en une variable : ce sont les briques élémentaires, dont toutes les bonnes propriétés (continuité, classe ${\mathcal{C}}^1$) seront admises, et à partir desquelles on construira tout le reste par opérations.

L'exemple filé du chapitre

Pour que les notions successives s'éclairent les unes les autres, nous suivrons une même fonction d'un bout à l'autre du chapitre.

Continuité

Définition

Théorèmes opératoires

Comme en une variable, on ne revient jamais à la définition pour établir une continuité : on décompose la fonction en opérations élémentaires. Commençons par les briques.

Démonstration. Traitons $p_i$, le cas des constantes étant immédiat. Soient $a\in {\mathbb{R}}^n$ et $\epsilon >0$. Posons $\alpha =\epsilon$. Si $\parallel x-a\parallel ⩽\alpha$, alors, d'après la majoration d'une coordonnée par la norme établie en section $1$ appliquée au vecteur $x-a$,

$$\mathrm{\mid }{p}_i(x)-p_i(a)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{x}_i-a_i\mathrm{\mid }⩽\parallel x-a\parallel ⩽\alpha =\epsilon \mathrm{.}$$

La définition est donc vérifiée, et $p_i$ est continue en $a$, pour tout $a$. $\mathrm{\square }$

Méthode : justifier la continuité par opérations

Montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point

Voici le phénomène véritablement nouveau du chapitre. Puisque la continuité exige un contrôle dans toutes les directions, il suffit d'exhiber deux directions d'approche donnant deux résultats différents pour la mettre en défaut.

Continuité en dehors de l'origine. Sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, la fonction $f$ est le quotient de la fonction polynomiale $(x,y)\mapsto xy$ par la fonction polynomiale $(x,y)\mapsto x^2+y^2$, qui ne s'annule qu'en $(0,0)$, donc jamais sur cet ensemble. Par quotient, $f$ y est continue.

Première direction : l'axe des abscisses. Pour $t\mathrm{\ne }0$, le point $(t,0)$ est différent de l'origine et

$$f(t,0)=\frac{t\times 0}{t^2+0}=0.$$

La fonction $t\mapsto f(t,0)$ est donc identiquement nulle, et sa limite en $0$ vaut $0$, qui est bien $f(0,0)$. Le long de cet axe, tout se passe bien.

Deuxième direction : la première bissectrice. Pour $t\mathrm{\ne }0$, le point $(t,t)$ est différent de l'origine et

$$f(t,t)=\frac{t\times t}{t^2+t^2}=\frac{t^2}{2t^2}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

La fonction $t\mapsto f(t,t)$ est donc constante égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, et sa limite en $0$ vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ne }0=f(0,0)$.

Conclusion, rédigée avec la définition. Prenons $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et soit $\alpha >0$ quelconque. Posons $x_{\alpha }=({\displaystyle \frac{\alpha }{2}},{\displaystyle \frac{\alpha }{2}})$. Alors

$$\parallel x_{\alpha }-(0,0)\parallel =\sqrt{\frac{{\alpha }^2}{4}+\frac{{\alpha }^2}{4}}=\frac{\alpha }{\sqrt{2}}⩽\alpha ,$$

et pourtant

$$\mathrm{\mid }f(x_{\alpha })-f(0,0)\mathrm{\mid }=\mid \frac{1}{2}-0\mid =\frac{1}{2}>\frac{1}{4}=\epsilon \mathrm{.}$$

Aucun $\alpha$ ne convient donc pour $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{4}}$ : la fonction $f$ n'est pas continue en $(0,0)$. $\mathrm{\square }$

Dérivées partielles d'ordre 1 et gradient

Définition

Dériver, c'est comparer un accroissement de la fonction à un accroissement de la variable. Avec $n$ variables, il y a $n$ accroissements élémentaires possibles, donc $n$ dérivées.

Pour $n=2$, en notant les variables $x$ et $y$ et le point $a=(a_1,a_2)$, la définition s'écrit

$${\mathrm{\partial }}_{1}f(a_1,a_2)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a_1+t,a_2)-f(a_1,a_2)}{t},{\mathrm{\partial }}_{2}f(a_1,a_2)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,a_2+t)-f(a_1,a_2)}{t}\mathrm{.}$$

Méthode pratique de calcul

Le calcul par la définition n'est jamais utilisé en pratique, sauf en un point où la formule change (typiquement une fonction prolongée). La règle est la suivante.

Quatre calculs entièrement détaillés

Le gradient

Le gradient rassemble en un seul objet toute l'information d'ordre $1$ sur $f$ au point $a$. C'est lui qui remplacera le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ dans tous les énoncés du chapitre : développement limité, dérivée directionnelle, condition d'extremum. Attention à ne pas confondre $f(a)$, qui est un réel, et $\mathrm{\nabla }f(a)$, qui est un vecteur de ${\mathbb{R}}^n$.

Mise en garde : dérivées partielles et continuité

Voici le point du chapitre le plus souvent mal compris, et le plus souvent sanctionné.

Démonstration. Il suffit d'un contre-exemple, et nous en avons déjà un sous la main. Reprenons la fonction de la section $3$ :

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\text{si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),f(0,0)=0.$$

Les deux dérivées partielles existent en $(0,0)$ et sont nulles. Calculons-les par la définition, seul moyen possible puisque la formule change en l'origine. Pour $t\mathrm{\ne }0$,

$$\frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{{\displaystyle \frac{t\times 0}{t^2+0}}-0}{t}=\frac{0}{t}=0.$$

Ce taux d'accroissement est nul pour tout $t\mathrm{\ne }0$, donc il admet la limite $0$ quand $t$ tend vers $0$ : la dérivée partielle existe et ${\mathrm{\partial }}_{1}f(0,0)=0$. Le même calcul avec $(0,t)$ donne

$$\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\frac{{\displaystyle \frac{0\times t}{0+t^2}}-0}{t}=0,\text{donc}{\mathrm{\partial }}_{2}f(0,0)=0.$$

Ainsi $\mathrm{\nabla }f(0,0)=(0,0)$ : le gradient existe et il est même nul.

Et pourtant $f$ n'est pas continue en $(0,0)$, comme nous l'avons établi en section $3$ en comparant les restrictions à la droite $y=0$ et à la droite $y=x$. $\mathrm{\square }$

Fonctions de classe C1

Définition

Théorèmes opératoires

Le point $4$ est celui qu'on utilise le plus souvent. Voici les quatre cas particuliers à connaître par cœur, avec $u$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$.

Méthode : justifier qu'une fonction est de classe C1

Développement limité d'ordre 1 et approximation affine

Le théorème

En une variable, dire que $f$ est dérivable en $a$ équivaut à écrire $f(a+h)=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)h+h\epsilon (h)$ avec $\epsilon (h)$ qui tend vers $0$. Le théorème suivant est la transposition exacte de cette écriture, le produit $f^{\mathrm{\prime }}(a)h$ devenant un produit scalaire.

En développant le produit scalaire, cela s'écrit, pour $n$ quelconque,

$$f(a_1+h_1,\dots ,a_n+h_n)=f(a)+\sum _{i=1}^n{\mathrm{\partial }}_{i}f(a)h_i+\parallel h\parallel \epsilon (h),$$

et dans le cas $n=2$, qui est celui des exercices,

$$f(a_1+h_1,a_2+h_2)=f(a_1,a_2)+{\mathrm{\partial }}_{1}f(a)h_1+{\mathrm{\partial }}_{2}f(a)h_2+\parallel h\parallel \epsilon (h)\mathrm{.}$$

Approximation affine et plan tangent

Le développement limité garantit que l'erreur commise est négligeable devant $\parallel h\parallel$ : c'est la meilleure approximation possible de $f$ par une fonction affine au voisinage de $a$.

C'est l'analogue exact de la tangente à une courbe, d'équation $y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$ : au voisinage du point de contact, la surface et son plan tangent sont indiscernables.

Un calcul de valeur approchée

Application économique : variation approchée d'une production

Dérivée le long d'une droite, dérivées directionnelles

La fonction t donne f(a + tv)

Les dérivées partielles n'explorent que les $n$ directions des axes. Rien n'empêche d'explorer une direction quelconque : c'est l'objet de cette section, et c'est le seul type de « chemin » au programme, à savoir la droite.

Démonstration. L'ouvert $U$ contient $a$, donc il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset U$. Soit $t\in I$. Alors

$$\parallel (a+tv)-a\parallel =\parallel tv\parallel =\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\parallel v\parallel <\frac{r}{\parallel v\parallel }\times \parallel v\parallel =r,$$

donc $a+tv\in B(a,r)\subset U$ et $f(a+tv)$ a un sens. Si $v=0$, la fonction $\phi$ est constante égale à $f(a)$ sur $\mathbb{R}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration (cas $t=0$). Le cas $v=0$ est immédiat, $\phi$ étant constante et le produit scalaire nul ; supposons donc $v\mathrm{\ne }0$. Appliquons le développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $a$ avec l'accroissement $h=tv$, licite dès que $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$ est assez petit :

$$f(a+tv)=f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a),tv⟩+\parallel tv\parallel \epsilon (tv)\mathrm{.}$$

Par linéarité du produit scalaire, $⟨\mathrm{\nabla }f(a),tv⟩=t⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩$, et $\parallel tv\parallel =\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\parallel v\parallel$. Donc, pour $t\mathrm{\ne }0$ assez petit,

$$\frac{\phi (t)-\phi (0)}{t}=\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}=⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩+\frac{\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }}{t}\parallel v\parallel \epsilon (tv)\mathrm{.}$$

Majorons le second terme en valeur absolue : comme $\mid {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }}{t}}\mid =1$,

$$\mid \frac{\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }}{t}\parallel v\parallel \epsilon (tv)\mid =\parallel v\parallel \times \mid \epsilon (tv)\mid \mathrm{.}$$

Or $tv$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers $0$, donc $\epsilon (tv)$ tend vers $0$, et le majorant ci-dessus tend vers $0$ puisque $\parallel v\parallel$ est une constante. Le taux d'accroissement de $\phi$ en $0$ admet donc une limite finie, et

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)=⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩\mathrm{.}$$

Pour un $t_0$ quelconque de $I$, il suffit d'appliquer ce qui précède au point $a^{\mathrm{\prime }}=a+t_{0}v$, qui appartient à $U$ : la fonction $s\mapsto f(a^{\mathrm{\prime }}+sv)=\phi (t_0+s)$ est dérivable en $0$, de dérivée $⟨\mathrm{\nabla }f(a^{\mathrm{\prime }}),v⟩$, ce qui donne ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t_0)=⟨\mathrm{\nabla }f(a+t_{0}v),v⟩$. $\mathrm{\square }$

Dérivée directionnelle

Interprétation : $D_{v}f(a)$ est le taux de variation instantané de $f$ lorsqu'on quitte le point $a$ en se déplaçant en ligne droite dans la direction $v$. Un signe positif signifie que $f$ augmente dans cette direction, un signe négatif qu'elle diminue, une valeur nulle qu'elle est stationnaire à l'ordre $1$.

Le gradient donne la direction de plus forte pente

Démonstration. Soit $v$ un vecteur unitaire. L'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs $\mathrm{\nabla }f(a)$ et $v$ donne

$$\mid D_{v}f(a)\mid =\mid ⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩\mid ⩽\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel \times \parallel v\parallel =\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel ,$$

c'est-à-dire

$$-\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel ⩽D_{v}f(a)⩽\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel \mathrm{.}$$

Ces bornes sont atteintes. En effet, le vecteur $v^{\ast }={\displaystyle \frac{\mathrm{\nabla }f(a)}{\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel }}$ est bien unitaire, et

$$D_{v^{\ast }}f(a)=⟨\mathrm{\nabla }f(a),\frac{\mathrm{\nabla }f(a)}{\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel }⟩=\frac{⟨\mathrm{\nabla }f(a),\mathrm{\nabla }f(a)⟩}{\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel }=\frac{\parallel \mathrm{\nabla }f(a){\parallel }^2}{\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel }=\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel \mathrm{.}$$

Le maximum est donc atteint en $v^{\ast }$, et il vaut $\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel$. De plus, le cas d'égalité dans Cauchy-Schwarz impose que $v$ soit colinéaire à $\mathrm{\nabla }f(a)$ : parmi les vecteurs unitaires, seuls $v^{\ast }$ et $-v^{\ast }$ conviennent, et le signe du produit scalaire les départage. Le calcul pour $-v^{\ast }$ donne $-\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel$, ce qui établit le point $2$. Le point $3$ est la traduction immédiate de $⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩=0$. $\mathrm{\square }$

Exemple entièrement traité

Extremums : la condition nécessaire d'ordre 1

Vocabulaire

La condition nécessaire d'ordre 1

Rappelons d'abord le résultat de première année qui sert de moteur à la démonstration, et donnons-en la preuve, très courte.

Démonstration. Supposons que $g$ admette un maximum local en $t_0$ : il existe $\rho >0$ tel que $]t_0-\rho ,t_0+\rho [\subset J$ et $g(t)⩽g(t_0)$ sur cet intervalle. Pour $t\in ]t_0,t_0+\rho [$, le numérateur $g(t)-g(t_0)$ est négatif et le dénominateur $t-t_0$ est strictement positif, donc

$$\frac{g(t)-g(t_0)}{t-t_0}⩽0,\text{d’o}\grave{\text{u}}\text{, par passage }\grave{\text{a}}\text{ la limite }\grave{\text{a}}\text{ droite,}{g}^{\mathrm{\prime }}(t_0)⩽0.$$

Pour $t\in ]t_0-\rho ,t_0[$, le numérateur est encore négatif mais le dénominateur est strictement négatif, donc le quotient est positif, et par passage à la limite à gauche $g^{\mathrm{\prime }}(t_0)⩾0$. Les deux limites valant $g^{\mathrm{\prime }}(t_0)$, on conclut $g^{\mathrm{\prime }}(t_0)=0$. Le cas d'un minimum s'obtient en appliquant ce qui précède à $-g$. $\mathrm{\square }$

Démonstration de la condition nécessaire d'ordre $1$. Supposons que $f$ admette un maximum local en $a$ (pour un minimum, on applique le résultat à $-f$, qui est aussi de classe ${\mathcal{C}}^1$ et admet un maximum local en $a$, et dont le gradient est $-\mathrm{\nabla }f$).

Choix d'un rayon. Par définition du maximum local, il existe $\rho >0$ tel que $f(x)⩽f(a)$ pour tout $x\in U\cap B(a,\rho )$. Par ailleurs, $U$ est ouvert et contient $a$, donc il existe $r_0>0$ tel que $B(a,r_0)\subset U$. Posons $r=\min (\rho ,r_0)>0$ : alors $B(a,r)\subset U$ et

$$\mathrm{\forall }x\in B(a,r),f(x)⩽f(a)\mathrm{.}$$

Passage aux fonctions partielles. Fixons un indice $i$ de $\{1,\dots ,n\}$ et posons

$$g:t⟼f(a+t{e}_i)\mathrm{.}$$

Pour tout $t\in ]-r,r[$, on a $\parallel (a+t{e}_i)-a\parallel =\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\parallel e_i\parallel =\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<r$, donc $a+t{e}_i\in B(a,r)\subset U$ : la fonction $g$ est bien définie sur l'intervalle ouvert $]-r,r[$.

Trois observations. Premièrement, $g(0)=f(a)$. Deuxièmement, pour tout $t\in ]-r,r[$, le point $a+t{e}_i$ appartient à $B(a,r)$, donc $g(t)=f(a+t{e}_i)⩽f(a)=g(0)$ : la fonction $g$ admet un maximum en $0$, et $0$ est bien un point intérieur à l'intervalle $]-r,r[$. Troisièmement, $f$ étant de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, elle admet une $i$-ème dérivée partielle en $a$, ce qui signifie exactement que $g$ est dérivable en $0$ avec

$$g^{\mathrm{\prime }}(0)={\mathrm{\partial }}_{i}f(a)\mathrm{.}$$

Conclusion. Le rappel d'une variable s'applique à $g$ sur l'intervalle ouvert $]-r,r[$ : $g^{\mathrm{\prime }}(0)=0$, c'est-à-dire ${\mathrm{\partial }}_{i}f(a)=0$. L'indice $i$ étant quelconque, toutes les dérivées partielles de $f$ en $a$ sont nulles, donc $\mathrm{\nabla }f(a)=0$. $\mathrm{\square }$

Points critiques : attention, la réciproque est fausse

Le théorème se reformule ainsi : sur un ouvert, les extremums locaux d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sont à chercher parmi les points critiques. Le mot « parmi » est essentiel.

L'hypothèse « ouvert » est indispensable

Méthode : chercher les extremums d'une fonction de classe C1 sur un ouvert

Deux exemples entièrement traités

Temps 1 : cadre et gradient. L'ensemble ${\mathbb{R}}^2$ est ouvert et $f$ est une fonction polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Calculons les deux dérivées partielles. En dérivant par rapport à $x$, la variable $y$ étant constante :

$${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)=2x-y-3.$$

En dérivant par rapport à $y$, la variable $x$ étant constante (le terme $-3x$ disparaît) :

$${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)=2y-x\mathrm{.}$$

Temps 2 : points critiques. Il faut résoudre le système

$$\{\begin{array}{l}2x-y-3=0\\ 2y-x=0\end{array}\text{soit}\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ x=2y\mathrm{.}\end{array}$$

En reportant $x=2y$ dans la première équation : $2\times 2y-y=3$, soit $3y=3$, donc $y=1$, puis $x=2$. Le système admet une unique solution, et $f$ possède donc un unique point critique

$$A=(2,1),\text{avec}f(2,1)=4+1-2-6=-3.$$

Vérification. ${\mathrm{\partial }}_{1}f(2,1)=4-1-3=0$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(2,1)=2-2=0$. Le point est bien critique.

Temps 3 : étude directe du signe de $f(x,y)+3$. Mettons $f$ sous forme canonique, en la considérant comme un trinôme en $x$ dont les coefficients dépendent de $y$ :

$$f(x,y)=x^2-(y+3)x+y^2={(x-\frac{y+3}{2})}^2-\frac{(y+3{)}^2}{4}+y^2\mathrm{.}$$

Simplifions le reste, qui ne dépend plus que de $y$ :

$$-\frac{(y+3{)}^2}{4}+y^2=\frac{-(y^2+6y+9)+4y^2}{4}=\frac{3y^2-6y-9}{4}=\frac{3}{4}(y^2-2y-3)=\frac{3}{4}((y-1{)}^2-4)\mathrm{.}$$

Donc

$$f(x,y)={(x-\frac{y+3}{2})}^2+\frac{3}{4}(y-1{)}^2-3.$$

Les deux carrés sont positifs, donc pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$

$$f(x,y)⩾-3=f(2,1)\mathrm{.}$$

L'égalité impose que les deux carrés soient nuls, c'est-à-dire $y=1$ et $x={\displaystyle \frac{1+3}{2}}=2$ : elle n'a lieu qu'au point $A$.

Conclusion. La fonction $f$ admet un minimum global strict sur ${\mathbb{R}}^2$, égal à $-3$, atteint uniquement au point $(2,1)$. Elle n'admet pas de maximum : $f(x,0)=x^2-3x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Temps 1 : cadre et gradient. L'ensemble ${\mathbb{R}}^2$ est ouvert et $g$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$. Ses dérivées partielles sont

$${\mathrm{\partial }}_{1}g(x,y)=2x+4,{\mathrm{\partial }}_{2}g(x,y)=-4y-4.$$

Temps 2 : points critiques. Le système

$$\{\begin{array}{l}2x+4=0\\ -4y-4=0\end{array}$$

est immédiat : $x=-2$ et $y=-1$. Le seul point critique est $B=(-2,-1)$, et

$$g(-2,-1)=4-2-8+4=-2.$$

Temps 3 : étude directe du signe de $g(x,y)+2$. Regroupons les termes en $x$ et les termes en $y$ séparément :

$$g(x,y)=(x^2+4x)-2(y^2+2y)=((x+2{)}^2-4)-2((y+1{)}^2-1)=(x+2{)}^2-2(y+1{)}^2-2.$$

Vérification du développement. $(x+2{)}^2-2(y+1{)}^2-2=x^2+4x+4-2y^2-4y-2-2=x^2-2y^2+4x-4y$. C'est bien $g(x,y)$.

On obtient donc

$$g(x,y)-g(-2,-1)=(x+2{)}^2-2(y+1{)}^2,$$

qui est une différence de deux carrés : son signe n'est pas constant. Précisons-le en deux directions.

Le long de la droite $y=-1$ : $g(x,-1)-g(B)=(x+2{)}^2>0$ dès que $x\mathrm{\ne }-2$.

Le long de la droite $x=-2$ : $g(-2,y)-g(B)=-2(y+1{)}^2<0$ dès que $y\mathrm{\ne }-1$.

Conclusion. Soit $r>0$ quelconque. Le point $(-2+\frac{r}{2},-1)$ appartient à $B(B,r)$ et $g$ y est strictement supérieure à $g(B)$ ; le point $(-2,-1+\frac{r}{2})$ appartient aussi à $B(B,r)$ et $g$ y est strictement inférieure à $g(B)$. Dans toute boule centrée en $B$, la fonction prend donc des valeurs de part et d'autre de $g(B)$ : le point $B$ n'est ni un maximum local, ni un minimum local.

Comme $B$ était le seul point critique et que ${\mathbb{R}}^2$ est ouvert, la condition nécessaire d'ordre $1$ permet de conclure : $g$ n'admet aucun extremum local sur ${\mathbb{R}}^2$.

Synthèse des méthodes

Le tableau des réflexes

Les erreurs classiques

Croire que l'existence des dérivées partielles entraîne la continuité. C'est l'erreur emblématique du chapitre. La fonction $f(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}$ prolongée par $0$ possède un gradient nul en l'origine sans y être continue. Les dérivées partielles ne regardent que $n$ directions ; la continuité les exige toutes. C'est pour cela qu'on travaille avec la classe ${\mathcal{C}}^1$, qui ajoute la continuité des dérivées partielles.

Conclure à la continuité après avoir testé quelques directions. Le calcul de restrictions ne sert qu'à montrer qu'une fonction n'est pas continue. Deux directions qui donnent la même limite ne prouvent rien, et cent non plus.

Croire qu'un point critique est un extremum. La condition $\mathrm{\nabla }f(a)=0$ est nécessaire, jamais suffisante. Le contre-exemple $f(x,y)=x^2-y^2$ doit venir immédiatement à l'esprit. Après avoir résolu le système, le travail n'est pas terminé : il commence.

Oublier de vérifier que le domaine est ouvert. Sans cette hypothèse, le théorème de la section $8$ est faux : $f(x,y)=x+2y$ sur le carré $[0,1]\times [0,1]$ a deux extremums globaux et aucun point critique. Écrire « $U$ est ouvert » n'est pas une formule de politesse, c'est le cœur de la démonstration.

Confondre $f(a)$ et $\mathrm{\nabla }f(a)$. Le premier est un réel, le second un vecteur de ${\mathbb{R}}^n$. En particulier, l'équation $\mathrm{\nabla }f(a)=0$ est un système de $n$ équations, pas une seule ; oublier une équation, c'est trouver de faux points critiques.

Écrire le reste du développement limité sous la forme $h\epsilon (h)$. L'accroissement $h$ est un vecteur : le reste s'écrit $\parallel h\parallel \epsilon (h)$, avec la norme, qui est un nombre.

Oublier une variable figée dans une dérivée de produit ou de composée. La dérivée de $e^{xy}$ par rapport à $x$ vaut $y{e}^{xy}$ et non $e^{xy}$ : le facteur $y$ est une constante, mais il sort quand même de la composition.

Dériver avant d'avoir déterminé le domaine. Un quotient, un logarithme ou une racine imposent des contraintes ; les dérivées partielles n'ont de sens que sur l'ouvert où la fonction est définie. Une réponse juste sur un domaine faux est une réponse fausse.

Conclure « minimum global » à partir d'une étude locale, ou l'inverse. Une minoration valable sur $U$ tout entier donne un minimum global ; une minoration valable seulement sur une boule ne donne qu'un minimum local. Relire l'ensemble sur lequel l'inégalité obtenue est vraie avant de rédiger la conclusion.