Compléments de probabilités : couples et n-uplets de variables aléatoires réelles

Les deux chapitres de probabilités de première année ont construit un édifice complet, et cet édifice repose entièrement sur une hypothèse : les variables aléatoires étudiées sont discrètes, c'est-à-dire qu'elles ne prennent qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Sous cette hypothèse, la loi d'une variable est la famille des nombres $P(X=x_k)$, l'espérance est la somme ${\sum }_k{x}_{k}P(X=x_k)$, et tout le calcul des probabilités se ramène à de l'arithmétique et à des séries.

Cette hypothèse tombe dès qu'on quitte le comptage. La durée de vie d'un composant électronique, le temps d'attente d'un client à un guichet, la taille d'un individu tiré au hasard dans une population, l'erreur commise par un instrument de mesure : aucune de ces quantités n'est un entier, ni même une valeur choisie dans une liste. Elles prennent leurs valeurs dans un intervalle, et un intervalle non réduit à un point contient une infinité non dénombrable de réels.

L'obstacle est alors immédiat, et il est de nature arithmétique. Supposons qu'une durée de vie $X$ soit à valeurs dans $]0,+\mathrm{\infty }[$ et qu'aucune valeur ne soit privilégiée. Si l'on avait $P(X=a)=c>0$ pour une valeur $a$, la même chose vaudrait pour une infinité de valeurs voisines, et la somme des probabilités dépasserait $1$. La seule issue cohérente est donc $P(X=a)=0$ pour tout réel $a$. La loi de $X$ ne peut plus être décrite par la famille des $P(X=x)$ : cette famille est identiquement nulle, elle ne contient plus aucune information.

Il faut donc changer d'objet, et le programme en désigne un seul : la fonction de répartition $F_X(x)=P(X⩽x)$. Elle a l'immense avantage d'être définie pour n'importe quelle variable aléatoire réelle, discrète ou non, et l'on admet qu'elle caractérise entièrement la loi. Tout le chapitre s'organise autour d'elle. Pour une variable discrète, elle est en escalier, et ses sauts redonnent les probabilités ponctuelles. Pour les variables nouvelles de ce chapitre, elle est continue, et sa dérivée s'appelle une densité.

Ce qui change, une fois la densité en place, tient en une phrase : la somme devient une intégrale. Là où l'on écrivait ${\sum }_k{x}_{k}P(X=x_k)$, on écrira ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}tf(t)\mathrm{d}t$ ; là où l'on additionnait des probabilités élémentaires, on intégrera une densité sur un intervalle. La question de la convergence, qui portait sur des séries, porte désormais sur des intégrales impropres, et elle se règle avec les mêmes outils : comparaison, équivalents, croissances comparées, intégrales de Riemann.

Ce qui ne change pas est tout aussi important, et il faut le dire d'emblée : l'espérance reste la valeur moyenne, la variance reste la dispersion, la covariance reste la mesure de liaison linéaire, l'indépendance signifie toujours que la connaissance de l'une des variables n'apporte aucune information sur l'autre. Les propriétés opératoires sont les mêmes, mot pour mot : linéarité de l'espérance sans hypothèse, $V(aX+b)=a^{2}V(X)$, formule de König-Huygens, variance d'une somme avec le terme de covariance. Un étudiant qui a compris le cas discret n'a rien à réapprendre sur le fond ; il a un outil de calcul à changer.

Ce chapitre est ainsi le point de rencontre entre les deux moitiés du programme. Il ne se comprend pas sans l'analyse de première année, et il en réactive tout l'arsenal : intégration sur un segment, intégration par parties, changement de variable affine, intégrales impropres et critères de convergence, croissances comparées. Réciproquement, il donne à cette analyse sa justification la plus concrète : c'est parce que ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t$ converge qu'une durée de vie a une durée moyenne.

Deux réflexes doivent être installés dès les premières lignes, parce que ce sont eux que les concours sanctionnent. Le premier : une espérance n'existe que si l'intégrale converge absolument, et cette convergence se justifie AVANT tout calcul. Le second : la loi d'une transformée $g(X)$ se cherche par la fonction de répartition, jamais en dérivant la densité de $X$. La dernière partie du chapitre étend enfin le cadre à plusieurs variables simultanées, ce qui permet de traiter les sommes, les minimums, les maximums et les échantillons, c'est-à-dire l'essentiel des problèmes de concours.

Voici les notations employées dans tout le chapitre.

Compléments sur les variables aléatoires réelles

Variable aléatoire réelle et fonction de répartition

Une remarque de méthode s'impose tout de suite. La condition figurant dans la définition est une condition technique, héritée de la théorie de la mesure, et le programme est explicite : vérifier qu'une application est une variable aléatoire n'est jamais un objectif. Dans un exercice, toutes les applications rencontrées sont des variables aléatoires, et l'on n'écrit pas une ligne à ce sujet. Ce qui compte est que tous les événements que l'on écrira, $(X⩽x)$, $(X<x)$, $(X>x)$, $(a<X⩽b)$, $(X=a)$, soient effectivement des événements, ce qui est acquis à partir de la définition par des opérations ensemblistes dénombrables.

La nouveauté par rapport à la première année n'est donc pas la définition, c'est la portée : $X(\mathrm{\Omega })$ n'est plus supposé fini ou dénombrable. Il peut être un intervalle, une réunion d'intervalles, ou $\mathbb{R}$ tout entier. Il faut alors un objet capable de décrire la loi sans passer par les valeurs prises une à une.

Trois observations, à retenir dès maintenant.

D'abord, $F_X$ est définie pour toute variable aléatoire réelle, sans aucune hypothèse : discrète, à densité, ou ni l'une ni l'autre. C'est le seul objet du programme qui possède cette universalité, et c'est ce qui en fait le pivot du chapitre.

Ensuite, l'inégalité dans $P(X⩽x)$ est large, et le choix n'est pas anodin : c'est lui qui donne la continuité à droite plutôt qu'à gauche. Écrire $P(X<x)$ définirait une autre fonction, qui coïncide avec $F_X$ pour les variables à densité mais en diffère pour les variables discrètes. On respecte donc scrupuleusement la convention.

Enfin, et c'est le point essentiel, la fonction de répartition caractérise la loi.

Ce théorème est admis, sa démonstration relevant de la théorie de la mesure. Sa portée pratique est considérable, et elle donne le schéma de travail de tout le chapitre : pour identifier la loi d'une variable, il suffit de calculer sa fonction de répartition et de la reconnaître. C'est exactement ce que l'on fera pour la loi d'une transformée, pour un minimum, pour un maximum, et pour une somme.

Propriétés de la fonction de répartition

Démonstration. a. Soient $x⩽y$ deux réels. Tout résultat $\omega$ tel que $X(\omega )⩽x$ vérifie a fortiori $X(\omega )⩽y$, d'où l'inclusion d'événements

$$(X⩽x)\subset (X⩽y)\mathrm{.}$$

La croissance de la probabilité donne $P(X⩽x)⩽P(X⩽y)$, c'est-à-dire $F_X(x)⩽F_X(y)$.

b. La fonction $F_X$ étant croissante et bornée par $0$ et $1$, elle admet une limite en $-\mathrm{\infty }$ et une limite en $+\mathrm{\infty }$ ; il suffit donc de les calculer le long d'une suite. Posons $A_n=(X⩽n)$ pour $n\in \mathbb{N}$. La suite $(A_n)$ est croissante pour l'inclusion, d'après a, et sa réunion vaut $\mathrm{\Omega }$ tout entier : en effet, pour tout $\omega$, le réel $X(\omega )$ est majoré par un entier. Le théorème de la limite monotone donne donc

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(n)=P\left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\right)=P(\mathrm{\Omega })=1.$$

Posons de même $B_n=(X⩽-n)$. La suite $(B_n)$ est décroissante pour l'inclusion et son intersection est vide, puisque aucun réel $X(\omega )$ n'est inférieur à tous les entiers négatifs. Le théorème de la limite monotone donne

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(-n)=P\left(\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{B}_n\right)=P(\mathrm{\varnothing })=0.$$

c. Soit $a$ un réel. La fonction $F_X$ étant croissante, elle admet une limite à droite en $a$, et cette limite se calcule le long de n'importe quelle suite décroissant vers $a$. Posons $C_n=(X⩽a+{\displaystyle \frac{1}{n}})$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. La suite $(C_n)$ est décroissante pour l'inclusion, et son intersection vaut $(X⩽a)$ : un résultat $\omega$ vérifie $X(\omega )⩽a+{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾1$ si et seulement si $X(\omega )⩽a$, par passage à la limite dans l'inégalité. Le théorème de la limite monotone donne alors

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(a+{\displaystyle \frac{1}{n}})=P(X⩽a)=F_X(a),$$

ce qui est exactement la continuité à droite de $F_X$ en $a$. $\mathrm{\square }$

Ces trois propriétés sont caractéristiques : on admet que toute fonction croissante, continue à droite, de limites $0$ en $-\mathrm{\infty }$ et $1$ en $+\mathrm{\infty }$, est la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle. C'est le contrôle de cohérence à faire mentalement chaque fois qu'un énoncé propose une fonction et demande si elle peut être une fonction de répartition.

Démonstration. a. L'événement $(X⩽b)$ se décompose en la réunion disjointe

$$(X⩽b)=(X⩽a)\cup (a<X⩽b)\mathrm{.}$$

En effet, tout résultat $\omega$ vérifiant $X(\omega )⩽b$ vérifie soit $X(\omega )⩽a$, soit $a<X(\omega )⩽b$, et ces deux cas s'excluent mutuellement. L'additivité de la probabilité donne

$$P(X⩽b)=P(X⩽a)+P(a<X⩽b),$$

d'où le résultat en isolant le dernier terme.

b. Les événements $(X⩽a)$ et $(X>a)$ sont contraires l'un de l'autre, donc leurs probabilités sont de somme $1$.

c. Posons $D_n=(X⩽a-{\displaystyle \frac{1}{n}})$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. La suite $(D_n)$ est croissante pour l'inclusion, et sa réunion vaut $(X<a)$ : un résultat vérifie $X(\omega )<a$ si et seulement s'il existe un entier $n⩾1$ tel que $X(\omega )⩽a-{\displaystyle \frac{1}{n}}$, par définition d'une inégalité stricte. Le théorème de la limite monotone donne

$$P(X<a)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(a-{\displaystyle \frac{1}{n}})=F_X(a^{-}),$$

la dernière égalité venant de ce que $F_X$ est croissante, donc admet une limite à gauche en $a$ que l'on peut calculer le long de cette suite.

d. L'événement $(X⩽a)$ est la réunion disjointe de $(X<a)$ et de $(X=a)$, d'où

$$F_X(a)=P(X<a)+P(X=a)=F_X(a^{-})+P(X=a),$$

ce qui donne le résultat. $\mathrm{\square }$

Le point d mérite d'être commenté longuement, car il contient toute l'idée du chapitre. La quantité $F_X(a)-F_X(a^{-})$ est le saut de la fonction de répartition au point $a$. L'égalité $P(X=a)=F_X(a)-F_X(a^{-})$ dit donc que :

• $F_X$ est discontinue en $a$ si et seulement si $P(X=a)>0$, et l'amplitude du saut est exactement la masse de probabilité concentrée au point $a$ ;
• $F_X$ est continue en $a$ si et seulement si $P(X=a)=0$.

Une variable dont la fonction de répartition est continue sur $\mathbb{R}$ tout entier vérifie donc $P(X=a)=0$ pour tout réel $a$ : aucun point ne porte de masse. C'est exactement la situation des variables à densité, et c'est la raison pour laquelle la continuité de $F_X$ figure dans leur définition.

Démonstration. L'événement $(a⩽X⩽b)$ est la réunion disjointe de $(X=a)$ et de $(a<X⩽b)$, donc sa probabilité vaut

$$P(X=a)+F_X(b)-F_X(a)=(F_X(a)-F_X(a^{-}))+F_X(b)-F_X(a)=F_X(b)-F_X(a^{-})\mathrm{.}$$

De même, $(a<X⩽b)$ est la réunion disjointe de $(a<X<b)$ et de $(X=b)$, d'où

$$P(a<X<b)=F_X(b)-F_X(a)-(F_X(b)-F_X(b^{-}))=F_X(b^{-})-F_X(a)\mathrm{.}$$

Si $F_X$ est continue, on a $F_X(a^{-})=F_X(a)$ et $F_X(b^{-})=F_X(b)$, et les trois expressions coïncident. $\mathrm{\square }$

Fonction de répartition d'une variable discrète, fonction de répartition d'une variable continue

Le contraste entre les deux situations est le meilleur moyen de comprendre ce que la fonction de répartition mesure. On le traite sur deux exemples aussi simples que possible.

La comparaison est parlante. Dans le premier cas, l'information est concentrée dans les sauts : la loi se lit sur les hauteurs des marches. Dans le second, il n'y a aucun saut, et l'information est portée par la pente : là où $F_X$ monte vite, les valeurs sont probables ; là où elle est plate, elles ne le sont pas. La pente d'une fonction, c'est sa dérivée, et la dérivée de $F_X$ s'appellera la densité. Toute la section suivante consiste à rendre cette phrase précise.

Un dernier point, souvent mal compris. Il n'y a que deux types de variables aléatoires au programme, les discrètes et celles à densité, mais ce ne sont pas les seuls types possibles : une variable dont la fonction de répartition serait continue en certains points et discontinue en d'autres, par exemple $X=\max (Y,0)$ avec $Y$ à densité, n'entre dans aucune des deux catégories. On rencontre parfois de telles variables dans un exercice, et l'on travaille alors directement avec $F_X$, sans chercher de densité. C'est un argument de plus en faveur du théorème de caractérisation : la fonction de répartition, elle, existe toujours.

Espérance conditionnelle et formule de l'espérance totale

Cette section clôt les compléments sur le cas général, et elle ne concerne que les variables discrètes. Le programme est ici très précis : seule l'espérance conditionnelle sachant un événement de probabilité non nulle est au programme.

La définition ne contient aucune idée nouvelle : c'est exactement la définition de l'espérance, appliquée à la probabilité $P_A$ au lieu de $P$. On a démontré en première année que $P_A$ est une probabilité sur $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A})$ dès que $P(A)\mathrm{\ne }0$ ; tout ce qui vaut pour une espérance vaut donc pour une espérance conditionnelle, en particulier la linéarité, la positivité et le théorème de transfert. La loi $(P_A(X=x_k){)}_k$ s'appelle la loi conditionnelle de $X$ sachant $A$, et $E(X\mid A)$ est simplement sa moyenne.

L'interprétation est directe : $E(X\mid A)$ est la valeur moyenne de $X$ lorsqu'on se restreint aux réalisations de l'expérience pour lesquelles $A$ s'est produit. Si $X$ est le chiffre d'affaires d'une journée et $A$ l'événement « il pleut », alors $E(X\mid A)$ est le chiffre d'affaires moyen des jours de pluie.

Démonstration. On traite le cas où le support de $X$ est fini, $X(\mathrm{\Omega })=\{x_1,\dots ,x_p\}$ : toutes les sommes écrites sont alors finies, et aucune précaution de convergence n'est nécessaire. L'existence des espérances conditionnelles est acquise pour la même raison.

Point de départ : la formule des probabilités totales. Le système $(A_1,\dots ,A_n)$ étant complet et formé d'événements de probabilité non nulle, on a, pour toute valeur $x_k$ du support,

$$P(X=x_k)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(X=x_k)\mathrm{.}$$

Report dans l'espérance. Par définition de l'espérance d'une variable à support fini,

$$E(X)=\sum _{k=1}^p{x}_{k}P(X=x_k)=\sum _{k=1}^p{x}_k(\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(X=x_k))\mathrm{.}$$

Interversion des deux sommes finies. Les deux sommes portent sur des ensembles d'indices finis, donc leur interversion est licite sans aucune justification supplémentaire. En regroupant selon l'indice $i$ et en sortant le facteur $P(A_i)$, qui ne dépend pas de $k$ :

$$E(X)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)(\sum _{k=1}^p{x}_k{P}_{A_i}(X=x_k))=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)E(X\mid A_i),$$

la dernière égalité étant la définition de $E(X\mid A_i)$. $\mathrm{\square }$

Le passage du cas fini au cas dénombrable n'apporte rien de nouveau sur le fond : la formule est la même, la démonstration suit le même chemin. La seule difficulté est technique, puisqu'il faut intervertir deux sommes infinies, ce qui exige une justification que le programme n'attend pas. On admet donc ce résultat, et on l'utilise sans état d'âme.

Variables aléatoires à densité

Définition d'une variable à densité

Les deux conditions ne jouent pas le même rôle, et il faut les distinguer.

La continuité sur $\mathbb{R}$ est la condition de fond : c'est elle qui interdit les sauts, donc qui garantit $P(X=a)=0$ pour tout réel $a$. Elle exprime que la loi ne concentre aucune masse en un point, ce qui est précisément la situation d'une durée, d'une longueur ou d'une mesure physique.

La condition de classe ${\mathcal{C}}^1$ sauf en un nombre fini de points est une condition de commodité : elle autorise les points anguleux, qui apparaissent inévitablement aux bornes du support. La fonction de répartition d'une variable uniforme sur $[0,1]$ n'est pas dérivable en $0$ ni en $1$, et c'est sans importance : deux points d'exception ne changent aucune intégrale.

Ce résultat est la version intégrale du théorème fondamental de l'analyse : $F_X$ est une primitive de $f$ sur chaque intervalle où $f$ est continue, elle est continue partout, et ses limites sont $0$ en $-\mathrm{\infty }$ et $1$ en $+\mathrm{\infty }$. La convergence de l'intégrale traduit exactement l'existence de ces limites, et la valeur $1$ traduit la limite en $+\mathrm{\infty }$. On l'admet dans le cadre du programme, les recollements aux points d'exception relevant d'une vérification fastidieuse et sans intérêt.

Un point réclame de l'attention, car il déroute souvent : la densité d'une variable n'est pas unique. En un point $x_0$ où $F_X$ n'est pas dérivable, la troisième condition de la définition n'impose rien, et l'on peut donner à $f(x_0)$ n'importe quelle valeur positive. Deux densités de la même variable coïncident donc partout sauf, éventuellement, en un nombre fini de points.

Cette indétermination est sans conséquence, pour une raison simple : modifier une fonction en un nombre fini de points ne change aucune intégrale, donc ne change aucune probabilité. Par convention, on choisit la valeur qui rend l'expression la plus lisible, presque toujours $0$ ou la valeur du prolongement par continuité d'un des deux morceaux. On dira donc « une densité de $X$ », et non « la densité de $X$ ».

Reconnaître une densité, déterminer une constante de normalisation

Le théorème suivant est le pendant du résultat de première année selon lequel une famille de réels positifs de somme $1$ définit une loi discrète. C'est lui qui permet de fabriquer des variables à densité.

Calcul de probabilités pour une variable à densité

Démonstration. a. La relation de Chasles pour les intégrales convergentes donne

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{a}f(t)\mathrm{d}t=F_X(b)-F_X(a),$$

et cette différence vaut $P(a<X⩽b)$ d'après la propriété générale de la fonction de répartition.

b. La première égalité est la définition de $F_X$ sous forme intégrale. La seconde vient de $P(X⩾a)=1-P(X<a)$ et de la continuité de $F_X$, qui donne $P(X<a)=F_X(a^{-})=F_X(a)$.

c. La fonction $F_X$ est continue en $a$ par définition d'une variable à densité, donc $F_X(a^{-})=F_X(a)$ et

$$P(X=a)=F_X(a)-F_X(a^{-})=0.$$

d. Les quatre événements diffèrent deux à deux par l'ajout ou le retrait de $(X=a)$ ou de $(X=b)$, événements de probabilité nulle d'après c. Leurs probabilités sont donc égales. $\mathrm{\square }$

Le point d est une commodité de calcul considérable, et il est propre aux variables à densité : dans le cas discret, oublier une borne change le résultat. On profitera de cette liberté sans arrière-pensée, en gardant toutefois à l'esprit qu'elle ne vaut que pour les variables à densité.

Le point c est en revanche une source d'erreurs. Il ne signifie pas que l'événement $(X=a)$ est impossible : la variable prend bien une valeur, et cette valeur est un réel. Il signifie que la probabilité de tomber exactement sur une valeur fixée à l'avance est nulle, ce qui est cohérent avec l'intuition : la probabilité qu'une durée de vie vaille exactement $3$ ans, à la nanoseconde près, est nulle. On retrouve ici la distinction entre « négligeable » et « impossible » vue en première année.

La lecture géométrique de ces formules est la clé pour se les rappeler : la probabilité que $X$ tombe dans un intervalle est l'aire située sous la courbe de la densité, au-dessus de cet intervalle. L'aire totale sous la courbe vaut $1$, ce qui est l'expression de $P(\mathrm{\Omega })=1$, et une aire au-dessus d'un point isolé est nulle, ce qui est l'expression de $P(X=a)=0$.

Loi d'une transformée

La question est la suivante : $X$ est une variable à densité connue, $g$ une fonction, et l'on cherche la loi de $Y=g(X)$. C'est l'une des trois ou quatre questions les plus fréquentes des concours, et elle possède une seule méthode correcte.

Démonstration. Soit $y$ un réel. On traite séparément les deux signes possibles de $a$, car c'est là que se joue toute la démonstration.

Cas $a>0$. L'inéquation $at+b⩽y$ équivaut à $t⩽{\displaystyle \frac{y-b}{a}}$, la division par $a>0$ conservant le sens de l'inégalité. Donc

$$F_Y(y)=P(X⩽{\displaystyle \frac{y-b}{a}})=F_X\left({\displaystyle \frac{y-b}{a}}\right)\mathrm{.}$$

La fonction $F_Y$ est la composée de $F_X$ avec une fonction affine : elle est donc continue sur $\mathbb{R}$, et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sauf éventuellement aux $y$ tels que ${\displaystyle \frac{y-b}{a}}$ soit un point d'exception de $F_X$, c'est-à-dire en un nombre fini de points. La variable $Y$ est donc à densité, et en dérivant,

$$f_Y(y)={\displaystyle \frac{1}{a}}f\left({\displaystyle \frac{y-b}{a}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\mid a\mid }}f\left({\displaystyle \frac{y-b}{a}}\right),$$

puisque $\mid a\mid =a$ dans ce cas.

Cas $a<0$. L'inéquation $at+b⩽y$ équivaut cette fois à $t⩾{\displaystyle \frac{y-b}{a}}$, la division par $a<0$ renversant l'inégalité. Donc

$$F_Y(y)=P(X⩾{\displaystyle \frac{y-b}{a}})=1-P(X<{\displaystyle \frac{y-b}{a}})=1-F_X\left({\displaystyle \frac{y-b}{a}}\right),$$

la dernière égalité utilisant la continuité de $F_X$, qui rend les inégalités strictes et larges interchangeables. Les mêmes arguments de régularité s'appliquent, et en dérivant,

$$f_Y(y)=-{\displaystyle \frac{1}{a}}f\left({\displaystyle \frac{y-b}{a}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\mid a\mid }}f\left({\displaystyle \frac{y-b}{a}}\right),$$

puisque $\mid a\mid =-a$ dans ce cas. Les deux cas se recollent en la formule unique de l'énoncé. $\mathrm{\square }$

Le facteur ${\displaystyle \frac{1}{\mid a\mid }}$ est le point sur lequel les copies achoppent, et son oubli est immédiatement visible : sans lui, l'intégrale de $f_Y$ ne vaudrait plus $1$. Il a d'ailleurs une interprétation limpide. Multiplier une variable par $a$ dilate l'axe des abscisses d'un facteur $\mid a\mid$ ; pour que l'aire sous la courbe reste égale à $1$, il faut comprimer les ordonnées du même facteur.

Ces deux exemples partagent la même structure, et c'est elle qu'il faut retenir : le support d'abord, l'inéquation ensuite, la dérivation en dernier. Lorsque $g$ n'est pas monotone, par exemple $g(t)=t^2$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, l'étape 3 produit un encadrement au lieu d'une inégalité simple, et l'on écrit $F_Y(y)=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})$. On en verra une application avec le carré d'une variable normale.

Espérance, variance et moments d'une variable à densité

Espérance

La définition transpose mot pour mot celle du cas discret : la somme ${\sum }_k{x}_{k}P(X=x_k)$ devient l'intégrale $\int tf(t)\mathrm{d}t$, et la convergence absolue de la série devient la convergence absolue de l'intégrale. Le sens n'a pas changé : $E(X)$ est la moyenne des valeurs de $X$, pondérées par leur probabilité.

L'exigence de convergence absolue n'est pas un raffinement de professeur. Elle garantit que la valeur obtenue ne dépend pas de la façon dont on découpe l'intégrale, exactement comme la convergence absolue d'une série garantit que la somme ne dépend pas de l'ordre des termes. Une intégrale seulement convergente donnerait une « moyenne » sans propriété opératoire, donc sans intérêt.

Deux remarques pratiques allègent considérablement le travail.

Si $X$ est une variable positive, c'est-à-dire de densité nulle sur $]-\mathrm{\infty },0[$, alors $\mid t\mid f(t)=tf(t)$ sur tout le support et la convergence absolue équivaut à la convergence simple. On n'a donc rien à faire de plus que d'étudier ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}tf(t)\mathrm{d}t$, ce qui couvre les lois exponentielle et gamma.

Si le support de $X$ est borné, c'est-à-dire si $f$ est nulle en dehors d'un segment $[a,b]$, alors l'intégrale porte sur ce segment et la fonction $t\mapsto tf(t)$ y est continue sauf en un nombre fini de points : l'espérance existe toujours. On le dit en une phrase, et l'on calcule. C'est le cas de la loi uniforme.

Théorème de transfert

Ce théorème est admis, conformément au programme, et il est l'outil de calcul le plus employé de tout le chapitre. Son intérêt est d'économiser un travail considérable : pour calculer $E(g(X))$, il n'est pas nécessaire de déterminer la loi de $g(X)$. On intègre $g$ contre la densité de $X$, et c'est tout.

La comparaison avec la méthode de la fonction de répartition mérite d'être posée nettement, car les deux questions se ressemblent et n'appellent pas le même outil.

• L'énoncé demande la loi de $g(X)$, ou sa densité, ou sa fonction de répartition : méthode de la fonction de répartition, en quatre étapes. Le transfert ne sert à rien ici.
• L'énoncé demande seulement l'espérance de $g(X)$, ou celle de $X^2$, ou celle de ${\mathrm{e}}^X$ : théorème de transfert, directement. Chercher la loi serait une perte de temps.

Linéarité, positivité, croissance

Ces propriétés sont admises dans le cas général, comme le prévoit le programme : leur démonstration réclamerait des outils qui dépassent largement le cadre de la filière. Elles sont exactement celles du cas discret, et elles s'emploient de la même manière.

Un point mérite d'être souligné parce qu'il servira sans arrêt dans la dernière partie du chapitre : la linéarité de l'espérance ne demande aucune hypothèse d'indépendance. Que $X$ et $Y$ soient liées de la façon la plus étroite ne change rien, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ reste vraie. On verra que la variance, elle, n'a pas cette propriété.

La croissance se déduit de la positivité par linéarité : si $X⩽Y$, alors $Y-X$ est une variable positive, donc $E(Y)-E(X)=E(Y-X)⩾0$. C'est l'argument à écrire lorsqu'un énoncé demande de comparer deux espérances.

Variance, écart-type et moments

L'existence de la variance est ainsi subordonnée à une condition unique, qu'il faut énoncer avant tout calcul : $X$ admet un moment d'ordre $2$. On admet, comme dans le cas discret, que l'existence d'un moment d'ordre $2$ entraîne celle de l'espérance, et que la réciproque est fausse.

Démonstration. Posons $m=E(X)$, qui existe puisque $X$ admet un moment d'ordre $2$. Développons le carré :

$$(t-m{)}^{2}f(t)=t^{2}f(t)-2mtf(t)+m^{2}f(t)\mathrm{.}$$

Les trois intégrales correspondantes convergent : la première parce que $X$ admet un moment d'ordre $2$, la deuxième parce que $X$ admet une espérance, la troisième parce que $f$ est une densité. Par somme, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(t-m{)}^{2}f(t)\mathrm{d}t}$ converge, et elle converge absolument puisque son intégrande est positif. Le théorème de transfert, appliqué à la fonction $g(t)=(t-m{)}^2$, donne donc

$$V(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(t-m{)}^{2}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Par linéarité de l'intégrale sur les intégrales convergentes,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(X)}& {\displaystyle ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t-2m{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}tf(t)\mathrm{d}t+m^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =E\left(X^2\right)-2m\times m+m^2\times 1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =E\left(X^2\right)-m^2\mathrm{.}}\end{array}$$

La positivité de $V(X)$ vient de ce que $(X-m{)}^2$ est une variable positive, dont l'espérance est donc positive. $\mathrm{\square }$

C'est toujours cette formule que l'on utilise en pratique, et jamais la définition : elle ne réclame que deux intégrales, $\int tf$ et $\int t^{2}f$, toutes deux calculables directement. La définition, elle, ne sert qu'à la démonstration.

Démonstration. Posons $Y=aX+b$ et $m=E(X)$. La linéarité de l'espérance donne $E(Y)=am+b$, donc

$$Y-E(Y)=aX+b-am-b=a(X-m)\mathrm{.}$$

En élevant au carré, $(Y-E(Y){)}^2=a^2(X-m{)}^2$. Cette variable admet une espérance, puisque $(X-m{)}^2$ en admet une par hypothèse, et la linéarité donne

$$V(Y)=E(a^2(X-m{)}^2)=a^{2}E((X-m{)}^2)=a^{2}V(X)\mathrm{.}$$

L'écart-type s'obtient en prenant la racine carrée, en se rappelant que $\sqrt{a^2}=\mid a\mid$ et non $a$. $\mathrm{\square }$

Le carré dans $a^{2}V(X)$ et la valeur absolue dans $\mid a\mid \sigma (X)$ traduisent la même chose : la variance est un carré, donc elle est homogène au carré de l'unité de $X$, tandis que l'écart-type est homogène à l'unité de $X$. C'est la raison pour laquelle on préfère l'écart-type dès qu'on veut interpréter une dispersion : si $X$ est une durée en heures, $\sigma (X)$ est en heures et $V(X)$ en heures au carré.

Démonstration. Posons $m=E(X)$ et $s=\sigma (X)>0$. La variable $X^{\ast }$ s'écrit $aX+b$ avec $a={\displaystyle \frac{1}{s}}$ et $b=-{\displaystyle \frac{m}{s}}$. La linéarité de l'espérance donne

$$E\left(X^{\ast }\right)={\displaystyle \frac{E(X)-m}{s}}=0,$$

et la propriété précédente donne

$$V\left(X^{\ast }\right)={\displaystyle \frac{1}{s^2}}V(X)={\displaystyle \frac{V(X)}{V(X)}}=1.\mathrm{\square }$$

Cette opération, dite de centrage-réduction, sera l'outil central de l'étude de la loi normale : elle permet de ramener toute variable normale à la seule loi dont on possède une table numérique.

Les lois à densité usuelles

Quatre lois sont au programme, et quatre seulement. Chacune est traitée selon le même plan : densité, fonction de répartition, espérance et variance démontrées, situation modélisée, exemple numérique. Les résultats sont à connaître par cœur, et les démonstrations à savoir refaire : elles tombent régulièrement aux concours, seules ou en première question d'un problème.

Loi uniforme sur un segment

Démonstration. C'est une densité. La fonction $f$ est positive, puisque $b-a>0$, et continue sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en $a$ et en $b$, soit deux points. Son intégrale se réduit à celle sur le segment $[a,b]$, où la fonction est constante :

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^b{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{b-a}}={\displaystyle \frac{b-a}{b-a}}=1.$$

Fonction de répartition. Pour $x<a$, la densité est nulle sur $]-\mathrm{\infty },x]$, donc $F_X(x)=0$. Pour $a⩽x⩽b$,

$$F_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^x{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{b-a}}={\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}\mathrm{.}$$

Pour $x>b$, l'intégrale porte sur tout le support et vaut $1$. Les raccordements en $a$ et en $b$ donnent respectivement $0$ et $1$ : la fonction obtenue est bien continue sur $\mathbb{R}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. D'après la propriété précédente,

$$P(c⩽X⩽d)=F_X(d)-F_X(c)={\displaystyle \frac{d-a}{b-a}}-{\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}={\displaystyle \frac{d-c}{b-a}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Cette propriété est la traduction exacte de l'expression « au hasard sur $[a,b]$ » : la probabilité de tomber dans un sous-intervalle ne dépend que de sa longueur, et pas de sa position. C'est le seul modèle qui possède cette propriété, et c'est ce qui en fait le modèle du hasard sans information.

Démonstration. Existence. Le support de $X$ est le segment $[a,b]$, et les fonctions $t\mapsto tf(t)$ et $t\mapsto t^{2}f(t)$ y sont continues. Les intégrales ne sont donc pas impropres : $X$ admet une espérance et un moment d'ordre $2$.

Espérance.

$$E(X)={\int }_a^b{\displaystyle \frac{t}{b-a}}\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\left[{\displaystyle \frac{t^2}{2}}\right]}_a^b={\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2(b-a)}}={\displaystyle \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}}={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\mathrm{.}$$

Moment d'ordre $2$, par transfert.

$$E\left(X^2\right)={\int }_a^b{\displaystyle \frac{t^2}{b-a}}\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\left[{\displaystyle \frac{t^3}{3}}\right]}_a^b={\displaystyle \frac{b^3-a^3}{3(b-a)}}={\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{3}},$$

en utilisant l'identité $b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2)$.

Variance. La formule de König-Huygens donne

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(X)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{3}}-{\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4(a^2+ab+b^2)-3(a+b{)}^2}{12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}}={\displaystyle \frac{a^2-2ab+b^2}{12}}={\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$

L'écart-type s'obtient en prenant la racine carrée : $\sigma (X)={\displaystyle \frac{b-a}{\sqrt{12}}}={\displaystyle \frac{b-a}{2\sqrt{3}}}$. $\mathrm{\square }$

Les deux résultats se retiennent sans effort. L'espérance est le milieu du segment, ce qui est évident par symétrie. La variance ne dépend que de la longueur du segment, et pas de sa position, ce qui découle de $V(X+c)=V(X)$.

Loi exponentielle

Démonstration. C'est une densité. La fonction $f$ est positive, puisque $\lambda >0$ et que l'exponentielle est positive, et continue sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en $0$. Pour $A>0$,

$${\int }_0^A\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^A=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda A}\mathrm{.}$$

Comme $\lambda >0$, on a ${\mathrm{e}}^{-\lambda A}\to 0$ quand $A\to +\mathrm{\infty }$ : l'intégrale converge et vaut $1$.

Fonction de répartition. Pour $x<0$, la densité est nulle sur $]-\mathrm{\infty },x]$, donc $F_X(x)=0$. Pour $x⩾0$, le calcul ci-dessus avec $A=x$ donne $F_X(x)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$. Le raccordement en $0$ est correct, les deux expressions y valant $0$.

Queue de distribution. Pour $x⩾0$, $P(X>x)=1-F_X(x)={\mathrm{e}}^{-\lambda x}$. $\mathrm{\square }$

L'expression $P(X>x)={\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ est de loin la plus utile des trois : c'est elle qui intervient dans l'absence de mémoire, dans le calcul d'un minimum, et dans la plupart des exercices. Il faut la connaître aussi bien que la densité elle-même.

Démonstration. La variable est positive, donc la convergence absolue équivaut à la convergence pour les deux intégrales à étudier.

Espérance. Soit $A>0$. Une intégration par parties sur le segment $[0,A]$, avec $u(t)=t$ et $v^{\mathrm{\prime }}(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, donc $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, donne

$${\int }_0^{A}t\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^A+{\int }_0^A{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=-A{\mathrm{e}}^{-\lambda A}+{\displaystyle \frac{1-{\mathrm{e}}^{-\lambda A}}{\lambda }}\mathrm{.}$$

Par croissances comparées, $A{\mathrm{e}}^{-\lambda A}\to 0$ quand $A\to +\mathrm{\infty }$, et ${\mathrm{e}}^{-\lambda A}\to 0$. L'intégrale converge donc, et

$$E(X)=\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(-A{\mathrm{e}}^{-\lambda A}+{\displaystyle \frac{1-{\mathrm{e}}^{-\lambda A}}{\lambda }})={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\mathrm{.}$$

Moment d'ordre $2$. Par le théorème de transfert, on étudie ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t}$. Une intégration par parties sur $[0,A]$, avec $u(t)=t^2$ et $v^{\mathrm{\prime }}(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, donne

$${\int }_0^A{t}^2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=[-t^2{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^A+{\int }_0^{A}2t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=-A^2{\mathrm{e}}^{-\lambda A}+{\displaystyle \frac{2}{\lambda }}{\int }_0^{A}t\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Le premier terme tend vers $0$ par croissances comparées, et l'intégrale restante tend vers $E(X)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ d'après le calcul précédent. Donc l'intégrale converge et

$$E\left(X^2\right)={\displaystyle \frac{2}{\lambda }}\times {\displaystyle \frac{1}{\lambda }}={\displaystyle \frac{2}{{\lambda }^2}}\mathrm{.}$$

Variance. La formule de König-Huygens donne

$$V(X)={\displaystyle \frac{2}{{\lambda }^2}}-{\left({\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\right)}^2={\displaystyle \frac{2}{{\lambda }^2}}-{\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^2}}={\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^2}},$$

et l'écart-type vaut ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$, le paramètre $\lambda$ étant strictement positif. $\mathrm{\square }$

Une conséquence remarquable mérite d'être notée : pour la loi exponentielle, l'espérance et l'écart-type sont égaux. La dispersion est donc du même ordre de grandeur que la moyenne, ce qui traduit le caractère très erratique des durées de vie sans vieillissement.

Démonstration. L'événement $(X>t)$ a pour probabilité ${\mathrm{e}}^{-\lambda t}>0$, le conditionnement est donc licite. Comme $s⩾0$, on a $t+s⩾t$, d'où l'inclusion $(X>t+s)\subset (X>t)$ et par conséquent

$$(X>t)\cap (X>t+s)=(X>t+s)\mathrm{.}$$

Il vient

$$P_{(X>t)}(X>t+s)={\displaystyle \frac{P(X>t+s)}{P(X>t)}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda (t+s)}}{{\mathrm{e}}^{-\lambda t}}}={\mathrm{e}}^{-\lambda s}=P(X>s)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

L'interprétation est saisissante. Si $X$ est la durée de vie d'un composant, l'égalité dit que la probabilité qu'il survive encore $s$ unités de temps ne dépend pas de son âge $t$ : un composant de dix ans est aussi neuf qu'un composant sortant d'usine. On parle de durée de vie sans vieillissement. Ce modèle convient à ce qui tombe en panne par accident (composant électronique, ampoule) et ne convient pas à ce qui s'use (pièce mécanique, être vivant).

On admet la réciproque, qui explique le rôle central de cette loi : la loi exponentielle est la seule loi à densité, à support dans $[0,+\mathrm{\infty }[$, possédant la propriété d'absence de mémoire. Elle est ainsi l'exact analogue continu de la loi géométrique, dont on avait établi la même propriété en première année.

Loi normale

La valeur de cette intégrale est admise par le programme : sa démonstration exige des outils qui ne sont pas au programme. La convergence, en revanche, se justifie en une ligne et il est bon de savoir le faire : par croissances comparées, $t^2{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}\to 0$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$, donc ${\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}=o\left({\displaystyle \frac{1}{t^2}}\right)$, et l'intégrale de Riemann d'exposant $2$ converge en $+\mathrm{\infty }$. La parité de la fonction donne le même résultat en $-\mathrm{\infty }$.

La fonction $\phi$ est positive, continue sur $\mathbb{R}$ tout entier, et son intégrale vaut ${\displaystyle \frac{\sqrt{2\pi }}{\sqrt{2\pi }}}=1$ : c'est bien une densité. Il faut par ailleurs savoir une chose sur $\mathrm{\Phi }$ : la fonction $\phi$ n'admet aucune primitive exprimable à l'aide des fonctions usuelles. Il n'existe donc pas de formule pour $\mathrm{\Phi }(x)$, et ses valeurs se lisent dans une table numérique. C'est la seule loi du programme dans ce cas, et c'est pourquoi la lecture de table fait partie du cours.

Démonstration. La fonction $\phi$ est paire : pour tout réel $t$, on a $(-t{)}^2=t^2$, donc $\phi (-t)=\phi (t)$.

Considérons la variable $-Z$. D'après le théorème de la transformation affine appliqué avec $a=-1$ et $b=0$, elle est à densité et une densité en est

$$y⟼{\displaystyle \frac{1}{\mid -1\mid }}\phi \left({\displaystyle \frac{y}{-1}}\right)=\phi (-y)=\phi (y)\mathrm{.}$$

La variable $-Z$ a donc la même densité que $Z$, donc la même loi : $-Z\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$.

Il en résulte, pour tout réel $x$,

$$\mathrm{\Phi }(-x)=P(Z⩽-x)=P(-Z⩾x)=P(Z⩾x)=1-P(Z<x)=1-\mathrm{\Phi }(x),$$

la troisième égalité venant de ce que $-Z$ et $Z$ ont la même loi, et la dernière de la continuité de $\mathrm{\Phi }$, qui rend équivalentes les inégalités strictes et larges. En prenant $x=0$, on obtient $\mathrm{\Phi }(0)=1-\mathrm{\Phi }(0)$, d'où $\mathrm{\Phi }(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. $\mathrm{\square }$

Cette formule est celle que les tables imposent : elles ne donnent $\mathrm{\Phi }(x)$ que pour $x⩾0$, et c'est la symétrie qui permet d'en déduire les valeurs négatives. Elle se lit graphiquement sans calcul : la courbe de $\phi$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc l'aire à gauche de $-x$ est égale à l'aire à droite de $x$.

Démonstration. Existence de l'espérance. La fonction $t\mapsto \mid t\mid \phi (t)$ est paire, il suffit donc d'étudier sa convergence sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Pour $A>0$, en remarquant que $t{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}$ a pour primitive $-{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}$ :

$${\int }_0^{A}t\phi (t)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}[-{\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}{]}_0^A={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}(1-{\mathrm{e}}^{-A^2\mathrm{/}2})\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}\mathrm{.}$$

L'intégrale converge sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, donc, par parité, ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mid t\mid \phi (t)\mathrm{d}t}$ converge : $Z$ admet une espérance.

Valeur de l'espérance. La fonction $t\mapsto t\phi (t)$ est impaire, et les deux intégrales impropres convergent séparément d'après ce qui précède. Leur somme est donc nulle :

$$E(Z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}t\phi (t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t\phi (t)\mathrm{d}t=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}=0.$$

Moment d'ordre $2$. La fonction $t\mapsto t^2\phi (t)$ est paire et positive, il suffit donc d'étudier ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^2\phi (t)\mathrm{d}t}$. On remarque que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=-t\phi (t)$, donc $t\phi (t)=-{\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$. Une intégration par parties sur $[0,A]$, avec $u(t)=t$ et $v^{\mathrm{\prime }}(t)=t\phi (t)$, donc $v(t)=-\phi (t)$, donne

$${\int }_0^A{t}^2\phi (t)\mathrm{d}t=[-t\phi (t){]}_0^A+{\int }_0^A\phi (t)\mathrm{d}t=-A\phi (A)+{\int }_0^A\phi (t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Par croissances comparées, $A\phi (A)\to 0$ quand $A\to +\mathrm{\infty }$. Par ailleurs, $\phi$ étant paire et d'intégrale $1$ sur $\mathbb{R}$, on a ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\phi (t)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{1}{2}}}$. L'intégrale converge donc, et

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^2\phi (t)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{1}{2}},\text{d’o}\grave{\text{u}}E\left(Z^2\right)=2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=1$$

par parité.

Variance. La formule de König-Huygens donne $V(Z)=E\left(Z^2\right)-(E(Z){)}^2=1-0=1$. $\mathrm{\square }$

Les noms sont donc justifiés : la loi $\mathcal{N}(0,1)$ est bien centrée et réduite. On peut maintenant définir la famille complète.

Démonstration. Densité. Le théorème de la transformation affine, appliqué à $X=\sigma Z+m$ avec $\sigma >0$, donne

$$f_X(x)={\displaystyle \frac{1}{\mid \sigma \mid }}\phi \left({\displaystyle \frac{x-m}{\sigma }}\right)={\displaystyle \frac{1}{\sigma }}\times {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-m}{\sigma }\right)}^2}={\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-m{)}^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{.}$$

Fonction de répartition. Pour tout réel $x$, l'inéquation $\sigma z+m⩽x$ équivaut à $z⩽{\displaystyle \frac{x-m}{\sigma }}$, puisque $\sigma >0$. Donc

$$F_X(x)=P(Z⩽{\displaystyle \frac{x-m}{\sigma }})=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{x-m}{\sigma }}\right)\mathrm{.}$$

Espérance et variance. La linéarité de l'espérance donne $E(X)=\sigma E(Z)+m=m$, et la formule de la transformation affine pour la variance donne $V(X)={\sigma }^{2}V(Z)={\sigma }^2$. $\mathrm{\square }$

Les deux paramètres se lisent donc directement : $m$ est l'espérance, ${\sigma }^2$ est la variance, et $\sigma$ est l'écart-type. C'est un point de vigilance permanent : le second paramètre de la notation $\mathcal{N}(m,{\sigma }^2)$ est la variance, pas l'écart-type. Une variable de loi $\mathcal{N}(3,16)$ a pour écart-type $4$, et non $16$.

Démonstration. Posons $Z={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}$, qui est de la forme $aX+b$ avec $a={\displaystyle \frac{1}{\sigma }}>0$ et $b=-{\displaystyle \frac{m}{\sigma }}$. Pour tout réel $z$, l'inéquation ${\displaystyle \frac{x-m}{\sigma }}⩽z$ équivaut à $x⩽\sigma z+m$, donc

$$F_Z(z)=P(X⩽\sigma z+m)=F_X(\sigma z+m)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{(\sigma z+m)-m}{\sigma }}\right)=\mathrm{\Phi }(z),$$

en utilisant l'expression de $F_X$ établie ci-dessus. La variable $Z$ a donc la même fonction de répartition que la loi $\mathcal{N}(0,1)$, donc la même loi d'après le théorème de caractérisation. $\mathrm{\square }$

C'est le geste technique de la loi normale, et il n'y en a pas d'autre : on ne calcule jamais une probabilité normale par une intégrale, on la ramène toujours à $\mathrm{\Phi }$.

Voici les valeurs à connaître de mémoire, les deux dernières étant les plus utilisées.

Les deux valeurs $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,96})\approx \mathrm{0,975}$ et $\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,58})\approx \mathrm{0,995}$ se retiennent sous la forme suivante, qui est celle sous laquelle elles servent :

$$P(\mid Z\mid ⩽\mathrm{1,96})=2\times \mathrm{0,975}-1=\mathrm{0,95},P(\mid Z\mid ⩽\mathrm{2,58})=2\times \mathrm{0,995}-1=\mathrm{0,99.}$$

Fonction Gamma d'Euler et lois gamma

La dernière famille du programme se construit à partir d'une fonction classique de l'analyse, qu'il faut étudier d'abord pour elle-même.

Démonstration. L'intégrale est impropre aux deux bornes dès que $\nu <1$, et il faut donc l'étudier séparément en $0$ et en $+\mathrm{\infty }$. Coupons-la en $1$ :

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t={\int }_0^1{t}^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t+{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{t}^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Étude en $0$. Quand $t\to 0^{+}$, on a ${\mathrm{e}}^{-t}\to 1$, donc

Les deux fonctions étant positives, la première intégrale est de même nature que l'intégrale de Riemann ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{t^{1-\nu }}}}$, qui converge si et seulement si $1-\nu <1$, c'est-à-dire si et seulement si $\nu >0$.

Étude en $+\mathrm{\infty }$. Par croissances comparées, quel que soit $\nu$,

$$t^2\times t^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}=t^{\nu +1}{\mathrm{e}}^{-t}\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

donc $t^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}=o\left({\displaystyle \frac{1}{t^2}}\right)$ en $+\mathrm{\infty }$. L'intégrale de Riemann d'exposant $2>1$ convergeant en $+\mathrm{\infty }$, la seconde intégrale converge, et ce pour toute valeur de $\nu$.

Conclusion. La convergence est donc gouvernée par la seule borne $0$, et elle a lieu si et seulement si $\nu >0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. a. Pour $A>0$,

$${\int }_0^A{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^A=1-{\mathrm{e}}^{-A}\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1,$$

donc $\mathrm{\Gamma }(1)=1$.

b. Soit $\nu >0$ et soient $0<\epsilon <A$. Une intégration par parties sur le segment $[\epsilon ,A]$, avec $u(t)=t^{\nu }$ et $v^{\mathrm{\prime }}(t)={\mathrm{e}}^{-t}$, donc $u^{\mathrm{\prime }}(t)=\nu t^{\nu -1}$ et $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-t}$, donne

$${\int }_{\epsilon }^A{t}^{\nu }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t^{\nu }{\mathrm{e}}^{-t}{]}_{\epsilon }^A+\nu {\int }_{\epsilon }^A{t}^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-A^{\nu }{\mathrm{e}}^{-A}+{\epsilon }^{\nu }{\mathrm{e}}^{-\epsilon }+\nu {\int }_{\epsilon }^A{t}^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Faisons tendre $\epsilon$ vers $0^{+}$ et $A$ vers $+\mathrm{\infty }$. Le terme ${\epsilon }^{\nu }{\mathrm{e}}^{-\epsilon }$ tend vers $0$ puisque $\nu >0$, et le terme $A^{\nu }{\mathrm{e}}^{-A}$ tend vers $0$ par croissances comparées. Les deux intégrales convergent, la première vers $\mathrm{\Gamma }(\nu +1)$ et la seconde vers $\mathrm{\Gamma }(\nu )$, d'où

$$\mathrm{\Gamma }(\nu +1)=\nu \mathrm{\Gamma }(\nu )\mathrm{.}$$

c. Récurrence sur $n⩾1$. Pour $n=1$, la formule donne $\mathrm{\Gamma }(1)=0!=1$, ce qui est le point a. Supposons $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$ pour un entier $n⩾1$. La relation fonctionnelle appliquée en $\nu =n>0$ donne

$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=n\times (n-1)!=n!,$$

ce qui est la formule au rang $n+1$. La récurrence est établie.

Le point d est admis : il se déduit de l'intégrale de Gauss, mais par un changement de variable qui n'est pas au programme. On retiendra la valeur, qui servira pour la loi gamma de paramètre ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. $\mathrm{\square }$

La fonction $\mathrm{\Gamma }$ prolonge donc la factorielle aux réels strictement positifs, décalée d'une unité. C'est ce qui explique son omniprésence dans les calculs de moments : chaque fois qu'on intègre $t^k{\mathrm{e}}^{-t}$, on obtient une factorielle.

C'est bien une densité : la fonction est positive sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ puisque $\mathrm{\Gamma }(\nu )>0$, elle est continue sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en $0$, et son intégrale vaut ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(\nu )}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}}=1$ par définition même de $\mathrm{\Gamma }(\nu )$. La constante ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}}$ est exactement la constante de normalisation, ce qui est la raison d'être de la fonction $\mathrm{\Gamma }$ dans ce contexte.

Le programme ne retient que la loi gamma à un seul paramètre, celle qui vient d'être définie. C'est une contrainte qu'il faut intégrer dès maintenant, car elle dicte la façon de rédiger : une somme de variables exponentielles ne se décrit jamais directement par une loi gamma, elle s'y ramène après multiplication par $\lambda$, comme on le verra dans la dernière partie.

Démonstration. La variable est positive, donc la convergence absolue équivaut à la convergence.

Espérance. On étudie

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t\times {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}}{t}^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{(\nu +1)-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Cette dernière intégrale est exactement $\mathrm{\Gamma }(\nu +1)$, qui converge puisque $\nu +1>0$. La variable $X$ admet donc une espérance, et la relation fonctionnelle donne

$$E(X)={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}}={\displaystyle \frac{\nu \mathrm{\Gamma }(\nu )}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}}=\nu \mathrm{.}$$

Moment d'ordre $2$. Le même calcul, avec $t^2$ au lieu de $t$, fait apparaître $\mathrm{\Gamma }(\nu +2)$, qui converge :

$$E\left(X^2\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{(\nu +2)-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(\nu +2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}}\mathrm{.}$$

En appliquant deux fois la relation fonctionnelle, $\mathrm{\Gamma }(\nu +2)=(\nu +1)\mathrm{\Gamma }(\nu +1)=(\nu +1)\nu \mathrm{\Gamma }(\nu )$, d'où

$$E\left(X^2\right)=\nu (\nu +1)\mathrm{.}$$

Variance. La formule de König-Huygens donne

$$V(X)=\nu (\nu +1)-{\nu }^2={\nu }^2+\nu -{\nu }^2=\nu \mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Le résultat est frappant par sa simplicité : pour une loi gamma, l'espérance et la variance sont toutes deux égales au paramètre. C'est l'analogue continu de la loi de Poisson, pour laquelle on avait déjà $E(X)=V(X)=\lambda$.

Démonstration. Pour $\nu =1$, on a $\mathrm{\Gamma }(1)=1$ et la densité de $\gamma (1)$ s'écrit, pour $t>0$,

$$f(t)={\displaystyle \frac{1}{1}}{t}^{1-1}{\mathrm{e}}^{-t}={\mathrm{e}}^{-t},$$

qui est exactement la densité de $\mathcal{E}(1)$, obtenue en prenant $\lambda =1$. Les deux lois ont la même densité, donc la même fonction de répartition, donc la même loi. On vérifie au passage la cohérence des formules : $E(X)=1={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ et $V(X)=1={\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^2}}$ avec $\lambda =1$. $\mathrm{\square }$

Tableau récapitulatif des quatre lois

Deux fonctions de répartition seulement sont explicites : celle de la loi uniforme, ${\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}$ sur $[a,b]$, et celle de la loi exponentielle, $1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Pour la loi normale, on passe par $\mathrm{\Phi }$ et la table ; pour la loi gamma, il n'existe pas d'expression générale et l'on travaille exclusivement avec la densité.

Couples et n-uplets de variables aléatoires réelles

Jusqu'ici, une seule variable était en jeu à la fois. Cette dernière partie en fait intervenir plusieurs simultanément, ce qui permet d'étudier des sommes, des minimums, des maximums et des échantillons. Une précision de programme s'impose d'emblée, et elle délimite tout ce qui suit : un couple de variables à densité s'étudie par deux voies, et deux seulement, l'indépendance d'une part, le produit de convolution pour la somme d'autre part. Aucun autre outil n'est disponible, et aucun autre n'est attendu.

Indépendance de deux variables aléatoires réelles

La définition s'écrit uniquement avec des fonctions de répartition, ce qui est cohérent avec tout le chapitre : c'est le seul objet dont on dispose pour une variable quelconque. On abrège d'ailleurs souvent le membre de gauche en $P(X⩽x,Y⩽y)$, la virgule tenant lieu d'intersection.

Cette égalité doit être vérifiée pour tout couple $(x,y)$ de réels, sans exception : c'est une infinité de conditions, et c'est pourquoi on ne démontre presque jamais une indépendance à la main. Dans la pratique, l'indépendance est une hypothèse posée par l'énoncé, qui traduit une situation concrète (deux tirages séparés, deux composants distincts, deux mesures indépendantes), et le travail consiste à s'en servir, non à l'établir.

La nouvelle définition prolonge donc l'ancienne : elle ne la contredit pas, et elle ne conduit à aucun résultat différent pour les variables discrètes. On admet cette équivalence, dont la démonstration consisterait à passer des inégalités aux égalités par différences successives.

L'interprétation, elle, ne change pas d'un mot : deux variables sont indépendantes lorsque la connaissance de l'une n'apporte aucune information sur l'autre. Deux mesures faites sur deux individus tirés au hasard sont indépendantes ; la taille et le poids d'un même individu ne le sont pas.

Le point a est admis dans le cas général, sa démonstration dépassant le cadre du programme. Le point b en découle immédiatement par la formule de König-Huygens pour la covariance, que l'on établira plus bas.

Il faut enfin savoir manipuler l'indépendance sur des événements plutôt que sur des variables. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors les événements $(X⩽x)$ et $(Y⩽y)$ sont indépendants, et il en va de même de leurs contraires : $(X>x)$ et $(Y>y)$ sont indépendants, tout comme $(X>x)$ et $(Y⩽y)$. C'est ce fait, et lui seul, qui permettra de traiter les minimums et les maximums.

Lemme des coalitions

Ce lemme est admis par le programme, et il est infiniment plus utile qu'il n'en a l'air : sans lui, on ne pourrait justifier aucune des manipulations les plus courantes. Il dit en substance que l'indépendance se transmet à tout ce que l'on fabrique à partir de groupes de variables qui ne se recouvrent pas.

n-uplets, indépendance mutuelle, échantillon

L'échantillon est la modélisation de la répétition d'une expérience dans des conditions identiques : $n$ mesures d'une même grandeur, $n$ durées de vie de composants issus de la même chaîne, $n$ observations d'un même phénomène. C'est le cadre de presque tous les problèmes de concours de cette partie.

Une mise en garde héritée de la première année reste d'actualité : l'indépendance mutuelle est strictement plus forte que l'indépendance deux à deux. Trois variables peuvent être deux à deux indépendantes sans que le triplet le soit. Un énoncé qui écrit « mutuellement indépendantes » donne donc davantage qu'un énoncé qui écrit « deux à deux indépendantes », et il faut lire cette hypothèse avec attention avant de factoriser une probabilité en un produit de $n$ facteurs.

Espérance, covariance et variance d'une somme

Il faut marteler ce que cet énoncé ne contient pas : aucune hypothèse d'indépendance. La linéarité de l'espérance est vraie pour des variables quelconques, liées ou non, et c'est ce qui en fait l'outil le plus robuste du calcul des probabilités. C'est aussi ce qui la distingue de la variance.

Démonstration. a. Posons $m=E(X)$ et $m^{\mathrm{\prime }}=E(Y)$. En développant le produit,

$$(X-m)(Y-m^{\mathrm{\prime }})=XY-m^{\mathrm{\prime }}X-mY+m{m}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Chacune des quatre variables du membre de droite admet une espérance, et la linéarité donne

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=E(XY)-m^{\mathrm{\prime }}E(X)-mE(Y)+m{m}^{\mathrm{\prime }}=E(XY)-m^{\mathrm{\prime }}m-m{m}^{\mathrm{\prime }}+m{m}^{\mathrm{\prime }}=E(XY)-m{m}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

b. Le produit de deux nombres est commutatif, donc les deux expressions sont identiques.

c. Avec $Y=X$, la définition redonne $E((X-m{)}^2)$, qui est la variance.

d. Notons $m_Z=E(Z)$. La variable $aX+bY$ a pour espérance $am+b{m}^{\mathrm{\prime }}$ par linéarité, donc

$$(aX+bY-(am+b{m}^{\mathrm{\prime }}))(Z-m_Z)=a(X-m)(Z-m_Z)+b(Y-m^{\mathrm{\prime }})(Z-m_Z)\mathrm{.}$$

En prenant l'espérance et en utilisant sa linéarité, on obtient l'égalité annoncée. La bilinéarité sur la seconde variable s'en déduit par symétrie.

e. Si $Y$ est la constante $b$, alors $Y-E(Y)$ est la variable nulle, donc le produit est nul et son espérance aussi.

f. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a $E(XY)=E(X)E(Y)$, donc le point a donne $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$. $\mathrm{\square }$

Le contre-exemple de référence est celui de première année, et il faut savoir l'écrire de mémoire : $X$ uniforme sur $\{-1,0,1\}$ et $Y=X^2$ vérifient $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$, alors que $Y$ est entièrement déterminée par $X$. La conséquence rédactionnelle est nette : une covariance nulle ne prouve jamais l'indépendance. Pour établir l'indépendance, on revient toujours à la définition.

Démonstration. Notons $m_i=E(X_i)$ et $S={\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}$. Par linéarité de l'espérance, $E(S)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}$, donc

$$S-E(S)=\sum _{i=1}^n(X_i-m_i)\mathrm{.}$$

Élevons au carré. Le carré d'une somme de $n$ termes est la somme des carrés augmentée du double des produits deux à deux :

$$(S-E(S){)}^2=\sum _{i=1}^n(X_i-m_i{)}^2+2\sum _{1⩽i<j⩽n}(X_i-m_i)(X_j-m_j)\mathrm{.}$$

Chacune des variables apparaissant au membre de droite admet une espérance : les carrés parce que les $X_i$ admettent un moment d'ordre $2$, et les produits croisés parce que les covariances existent sous la même hypothèse. La linéarité de l'espérance donne alors

$$V(S)=\sum _{i=1}^{n}E\left(\right(X_i-m_i{)}^2)+2\sum _{1⩽i<j⩽n}E((X_i-m_i)(X_j-m_j)),$$

c'est-à-dire exactement la formule annoncée, par définition de la variance et de la covariance. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Toutes les covariances $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j)$ pour $i<j$ sont nulles, puisque $X_i$ et $X_j$ sont indépendantes. Le second terme de la formule générale disparaît. $\mathrm{\square }$

Ce point est le plus mal traité de tout le chapitre dans les copies, et il mérite qu'on s'y arrête.

L'égalité $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ exige une hypothèse, à savoir l'indépendance, ou au minimum la nullité de la covariance. Elle est fausse en général, et elle l'est spectaculairement : pour $Y=X$, le membre de gauche vaut $V(2X)=4V(X)$, tandis que le membre de droite vaut $2V(X)$. Il n'y a donc aucune symétrie entre l'espérance et la variance : la première s'additionne toujours, la seconde presque jamais.

La formule complète, avec le terme $2{\sum }_{i<j}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j)$, est en revanche toujours vraie. Dans le doute, c'est elle qu'on écrit, quitte à annuler ensuite les covariances en invoquant explicitement l'indépendance. Une copie qui écrit « les variables étant indépendantes, les covariances sont nulles, donc $V(S)=\sum V(X_i)$ » obtient tous les points ; une copie qui écrit directement la somme des variances sans un mot d'hypothèse n'en obtient aucun.

Il faut enfin noter une asymétrie subtile : la variance d'une somme ne réclame que l'indépendance deux à deux, puisque seules des covariances de paires interviennent. C'est l'un des rares endroits du programme où cette hypothèse affaiblie suffit.

L'encadrement est admis, comme en première année. Le coefficient $\rho$ est la covariance rendue sans dimension : il ne dépend plus des unités, ce qui permet de comparer des situations hétérogènes. Sa valeur absolue vaut $1$ si et seulement si les deux variables sont liées par une relation affine.

Somme de deux variables indépendantes : le produit de convolution

Le texte officiel du programme précise que, en cas d'utilisation du produit de convolution, la preuve de sa légitimité n'est pas exigible. On utilise donc ce théorème librement, en signalant qu'il est admis, et l'on ne cherche jamais à justifier l'existence de la densité de la somme.

La formule est symétrique en $X$ et $Y$ : on peut aussi bien écrire $h(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(t)f(x-t)\mathrm{d}t$, et il faut choisir celle des deux qui rend le calcul le plus simple. Toute la difficulté pratique se concentre en un seul point, et il est essentiel de le repérer.

Ces quatre énoncés se généralisent par récurrence immédiate à $n$ variables mutuellement indépendantes. Deux mises en garde, cependant.

D'abord, l'hypothèse d'indépendance n'est pas décorative. Sans elle, tous ces énoncés sont faux, et le contre-exemple est toujours le même : prendre $Y=X$. Pour des lois normales, $X+X=2X$ suit la loi $\mathcal{N}(2m,4{\sigma }^2)$, et non $\mathcal{N}(2m,2{\sigma }^2)$.

Ensuite, la stabilité est l'exception, pas la règle. Les lois uniformes ne sont pas stables par somme, les lois exponentielles non plus, les lois géométriques non plus. En dehors de la liste ci-dessus, il faut calculer, par convolution dans le cas continu et par la formule de la somme discrète dans le cas discret.

Démonstration. Première étape : la loi de $\lambda X_i$. Le théorème de la transformation affine, appliqué avec $a=\lambda >0$ et $b=0$, donne pour densité de $\lambda X_i$ la fonction

$$y⟼{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}f\left({\displaystyle \frac{y}{\lambda }}\right)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\times \lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda \times \frac{y}{\lambda }}={\mathrm{e}}^{-y}\text{pour }y>0,$$

et $0$ sinon. C'est la densité de $\mathcal{E}(1)$, c'est-à-dire de $\gamma (1)$ d'après le cas particulier établi plus haut. Donc $\lambda X_i\hookrightarrow \gamma (1)$ pour tout $i$.

Deuxième étape : l'indépendance est conservée. Chaque variable $\lambda X_i$ est une fonction de la seule variable $X_i$, et les blocs $\{X_1\},\dots ,\{X_n\}$ sont deux à deux disjoints. Le lemme des coalitions assure donc que $\lambda X_1,\dots ,\lambda X_n$ sont mutuellement indépendantes.

Troisième étape : la stabilité. Le théorème de stabilité des lois gamma, appliqué par récurrence à $n$ variables mutuellement indépendantes de loi $\gamma (1)$, donne

$$\sum _{i=1}^n\lambda X_i\hookrightarrow \gamma \left(\underset{n\text{ termes}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}\right)=\gamma (n)\mathrm{.}$$

Comme ${\displaystyle \sum _{i=1}^n\lambda X_i=\lambda \sum _{i=1}^n{X}_i}$, le résultat est démontré. $\mathrm{\square }$

Ce résultat est le classique de la filière, et il est presque toujours posé sous cette forme : on ne dit jamais que la somme des $X_i$ suit une loi gamma, ce qui serait faux avec un seul paramètre, on dit que $\lambda$ fois la somme suit $\gamma (n)$. On en déduit immédiatement, pour $S={\sum }_{i=1}^n{X}_i$ :

$$E(\lambda S)=n\text{donc}E(S)={\displaystyle \frac{n}{\lambda }},V(\lambda S)=n\text{donc}V(S)={\displaystyle \frac{n}{{\lambda }^2}},$$

ce qui recoupe le calcul direct par linéarité et indépendance. Le cas $n=2$ redonne la densité ${\lambda }^{2}x{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ calculée plus haut par convolution.

Minimum et maximum d'un n-uplet de variables indépendantes

Démonstration. Le maximum. Soit $x$ un réel. Dire que le plus grand des $X_i$ est inférieur ou égal à $x$, c'est dire que tous les $X_i$ le sont :

$$(M⩽x)=\bigcap _{i=1}^n(X_i⩽x)\mathrm{.}$$

Les variables étant mutuellement indépendantes, la probabilité de cette intersection est le produit des probabilités, d'où

$$F_M(x)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i⩽x)=\prod _{i=1}^n{F}_i(x)\mathrm{.}$$

Le minimum. Le même raisonnement ne s'applique pas directement à $(N⩽x)$, qui signifie « au moins un des $X_i$ est inférieur ou égal à $x$ » : une réunion ne se factorise pas. On passe donc par l'événement contraire. Dire que le plus petit des $X_i$ est strictement supérieur à $x$, c'est dire que tous le sont :

$$(N>x)=\bigcap _{i=1}^n(X_i>x)\mathrm{.}$$

L'indépendance mutuelle des variables entraîne celle des événements $(X_i>x)$, qui sont les contraires des $(X_i⩽x)$, d'où

$$P(N>x)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i>x)=\prod _{i=1}^n(1-F_i(x)),$$

et donc $F_N(x)=1-{\displaystyle \prod _{i=1}^n(1-F_i(x))}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Notons $N$ le minimum et $\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\lambda }_i}$. Toutes les variables étant positives, $N$ l'est aussi, donc $F_N(x)=0$ pour $x<0$. Soit $x⩾0$. La propriété précédente donne

$$P(N>x)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i>x)=\prod _{i=1}^n{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{i}x}={\mathrm{e}}^{-\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)x}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{\Lambda }x},$$

en utilisant la queue de la loi exponentielle puis la règle de produit des exponentielles. Par conséquent,

$$F_N(x)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\Lambda }x}\text{pour }x⩾0.$$

On reconnaît la fonction de répartition de la loi $\mathcal{E}(\mathrm{\Lambda })$, donc $N\hookrightarrow \mathcal{E}(\mathrm{\Lambda })$ d'après le théorème de caractérisation. $\mathrm{\square }$

L'interprétation est parlante et vaut d'être retenue : si $n$ composants indépendants tombent en panne selon des lois exponentielles, l'instant de la première panne suit encore une loi exponentielle, dont le paramètre est la somme des paramètres. Les taux de défaillance s'additionnent. Pour $n$ composants identiques de loi $\mathcal{E}(\lambda )$, le minimum suit $\mathcal{E}(n\lambda )$, donc la durée moyenne avant la première panne vaut ${\displaystyle \frac{1}{n\lambda }}$ : elle est divisée par $n$.

Le maximum, lui, n'a jamais de loi usuelle. On le traite systématiquement par sa fonction de répartition, comme le montre l'exemple suivant.

Moyenne d'un échantillon

Démonstration. Espérance. Les $X_i$ ayant toutes la loi commune de l'échantillon, elles ont toutes la même espérance $m$. La linéarité de l'espérance, qui ne demande aucune hypothèse, donne

$$E\left(\overline{X_n}\right)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)={\displaystyle \frac{1}{n}}\times nm=m\mathrm{.}$$

Variance. Les variables sont mutuellement indépendantes, donc en particulier deux à deux indépendantes, et toutes leurs covariances deux à deux sont nulles. La variance d'une somme se réduit à la somme des variances, et la formule $V(aZ)=a^{2}V(Z)$ appliquée avec $a={\displaystyle \frac{1}{n}}$ donne

$$V\left(\overline{X_n}\right)={\displaystyle \frac{1}{n^2}}V\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\sum _{i=1}^{n}V(X_i)={\displaystyle \frac{n{\sigma }^2}{n^2}}={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Ces deux résultats se lisent ensemble, et leur lecture conjointe est la conclusion naturelle du chapitre.

La moyenne d'un échantillon a la même espérance que chacune des observations : moyenner ne déplace pas le centre. En revanche, sa variance est divisée par $n$, donc son écart-type est divisé par $\sqrt{n}$. Autrement dit, la moyenne de plusieurs observations est bien moins dispersée qu'une observation isolée, et cette dispersion diminue quand la taille de l'échantillon augmente.

C'est la justification mathématique d'une pratique universelle : pour mesurer une grandeur avec précision, on répète la mesure et l'on moyenne. Avec $n=100$ observations, l'écart-type de la moyenne est dix fois plus petit que celui d'une mesure isolée. On notera la lenteur du gain : diviser l'écart-type par dix exige de multiplier par cent le nombre d'observations.

Les méthodes du chapitre

Cette section rassemble les gestes techniques du chapitre. Aucune notion nouvelle n'y figure : tout ce qui suit a été établi plus haut, il s'agit seulement de savoir quel outil sortir devant quel énoncé, et dans quel ordre écrire les lignes.

Erreurs classiques

Voici les erreurs qui coûtent le plus de points aux concours sur ce chapitre. Elles reviennent copie après copie, et elles sont toutes évitables par une relecture ciblée.

Erreur 1. Écrire $P(X=a)\mathrm{\ne }0$ pour une variable à densité. C'est l'erreur fondatrice, et elle prend souvent la forme d'un raisonnement discret plaqué sur une variable continue : on cherche « la valeur la plus probable », on écrit $P(X=2)$ à partir de la densité, ou l'on somme des $P(X=x)$ pour retrouver $1$. Pour une variable à densité, $F_X$ est continue, donc $P(X=a)=F_X(a)-F_X(a^{-})=0$ pour tout réel $a$. La densité $f(a)$ n'est pas une probabilité : elle peut d'ailleurs dépasser $1$, comme dans le cas de $\mathcal{U}\left([0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]\right)$ où elle vaut $2$. Seule une aire est une probabilité.

Erreur 2. Calculer une espérance sans justifier la convergence. Écrire $E(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}tf(t)\mathrm{d}t$ puis calculer, sans un mot sur la convergence absolue, c'est perdre les points de la question même si le résultat numérique est juste. Il existe des variables à densité sans espérance, l'exemple de densité ${\displaystyle \frac{1}{t^2}}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ est là pour le rappeler. La rédaction attendue tient en une phrase : « la variable étant positive, la convergence absolue équivaut à la convergence, et l'intégrale converge par croissances comparées, donc $X$ admet une espérance ». Même exigence pour la variance, avec le moment d'ordre $2$.

Erreur 3. « Dériver la densité » pour obtenir la loi de $g(X)$. On voit régulièrement des copies écrire $f_Y(y)=f(g(y))$, ou composer $g$ avec $f$, ou dériver $f$. Aucune de ces opérations n'a de sens. La loi d'une transformée se cherche toujours par la fonction de répartition, en quatre étapes, et la dérivation n'intervient qu'à la fin, sur $F_Y$ et non sur $f$. Le seul raccourci autorisé est la formule de la transformation affine, qui a été démontrée précisément pour éviter de refaire les quatre étapes à chaque fois.

Erreur 4. Oublier le facteur ${\displaystyle \frac{1}{\mid a\mid }}$ dans la densité de $aX+b$. L'oubli se produit surtout quand $a$ est négatif, ou lorsqu'on enchaîne les transformations. La formule correcte est $f_Y(y)={\displaystyle \frac{1}{\mid a\mid }}f\left({\displaystyle \frac{y-b}{a}}\right)$, avec une valeur absolue, et non ${\displaystyle \frac{1}{a}}$. Le contrôle est immédiat : sans ce facteur, l'intégrale de $f_Y$ ne vaut pas $1$, et avec ${\displaystyle \frac{1}{a}}$ pour $a<0$, la « densité » serait négative. Un signe négatif devant une densité est toujours le signe d'une erreur.

Erreur 5. Additionner les variances sans hypothèse d'indépendance. L'égalité $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ n'est vraie que si $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$, ce qui est assuré par l'indépendance. Sans hypothèse, la formule correcte est $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$. Le contre-exemple tient en une ligne : pour $Y=X$, le membre de gauche vaut $4V(X)$ et le membre de droite $2V(X)$. Dans le doute, on écrit la formule complète, qui est toujours vraie, et l'on annule ensuite les covariances en citant l'hypothèse.

Erreur 6. Croire qu'une covariance nulle entraîne l'indépendance. L'implication ne vaut que dans un sens : indépendantes entraîne covariance nulle. La réciproque est fausse, et le contre-exemple $X$ uniforme sur $\{-1,0,1\}$ avec $Y=X^2$ est à savoir écrire de mémoire. La covariance ne détecte que les liaisons linéaires. Conséquence rédactionnelle : pour établir une indépendance, on revient toujours à la définition, jamais à un calcul de covariance.

Erreur 7. Confondre $\mathrm{\Phi }(-x)=1-\mathrm{\Phi }(x)$ avec $\mathrm{\Phi }(-x)=-\mathrm{\Phi }(x)$. La seconde écriture est absurde : $\mathrm{\Phi }$ est à valeurs dans $[0,1]$, elle ne peut pas être négative. La fonction impaire est $x\mapsto \mathrm{\Phi }(x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, pas $\mathrm{\Phi }$ elle-même. La formule correcte se retrouve sans effort en pensant aux aires : l'aire à gauche de $-x$ est égale à l'aire à droite de $x$, c'est-à-dire à $1-\mathrm{\Phi }(x)$. Erreur voisine et tout aussi fréquente : confondre les deux paramètres de $\mathcal{N}(m,{\sigma }^2)$, en centrant et réduisant avec la variance au lieu de l'écart-type. On divise par $\sigma$, jamais par ${\sigma }^2$.

Erreur 8. Oublier de préciser le support d'une densité. Écrire « $f(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ » sans ajouter « pour $t>0$, et $f(t)=0$ sinon » est une réponse incomplète, et souvent fausse : la fonction $t\mapsto \lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ sur $\mathbb{R}$ tout entier n'est pas intégrable en $-\mathrm{\infty }$. Une densité se donne toujours sur $\mathbb{R}$ tout entier, avec la mention explicite de la zone où elle est nulle. La même exigence vaut pour une fonction de répartition, qui doit être définie sur $\mathbb{R}$, y compris avant et après le support.

Erreur 9. Croire que la somme de deux uniformes est uniforme. Elle ne l'est pas, et le résultat de la convolution le montre : la somme de deux variables $\mathcal{U}([0,1])$ indépendantes a une densité triangulaire, nulle en $0$ et en $2$, maximale en $1$. Plus généralement, la stabilité par somme est l'exception : elle ne vaut que pour les lois normales, les lois gamma, les lois de Poisson et les lois binomiales de même paramètre $p$, et toujours sous hypothèse d'indépendance. En dehors de cette liste, on calcule. Corollaire du même type : la somme de deux exponentielles indépendantes de même paramètre n'est pas exponentielle, sa densité est ${\lambda }^{2}x{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$.

Erreur 10. Utiliser une loi gamma à deux paramètres. Seule la loi $\gamma (\nu )$, à un paramètre, est au programme ECG. Écrire $\gamma (n,\lambda )$ pour la somme de $n$ variables $\mathcal{E}(\lambda )$ indépendantes est hors programme, donc sanctionné. La formulation correcte, et la seule attendue, est

$$\lambda \sum _{i=1}^n{X}_i\hookrightarrow \gamma (n),$$

c'est-à-dire que l'on multiplie la somme par $\lambda$ avant d'identifier la loi. Le passage se fait par $\lambda X_i\hookrightarrow \gamma (1)$, à justifier par la transformation affine.

Erreur 11. Confondre médiane et espérance. La médiane d'une variable à densité est le réel $\mu$ tel que $F_X(\mu )={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; l'espérance est $\int tf(t)\mathrm{d}t$. Les deux coïncident lorsque la densité est symétrique, ce qui est le cas de la loi uniforme et de la loi normale, mais pas en général. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$, l'équation $1-{\mathrm{e}}^{-\lambda \mu }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ donne $\mu ={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}\approx {\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\lambda }}$, nettement inférieur à l'espérance ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ : plus de la moitié des composants tombent en panne avant la durée de vie moyenne. Une loi dissymétrique n'a aucune raison d'avoir sa médiane au centre.

Erreur 12. Appliquer le lemme des coalitions à des blocs qui se recouvrent. Le lemme n'affirme l'indépendance que pour des fonctions de blocs disjoints. Les variables $X_1+X_2$ et $X_2+X_3$ partagent $X_2$ : elles ne sont pas indépendantes, et leur covariance vaut d'ailleurs $V(X_2)$. Avant toute factorisation d'une probabilité en produit, ou toute suppression d'une covariance, il faut donc vérifier que les groupes de variables invoqués ne se recouvrent pas.