Exercices — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité

Pour chacune des cinq fonctions ci-dessous, on demande :

1. son ensemble de définition $D$ ;
2. si $D$ est symétrique par rapport à $0$, sa parité éventuelle ;
3. sa périodicité éventuelle, et la plus petite période strictement positive lorsqu'il y en a une ;
4. l'intervalle d'étude minimal que ces informations permettent d'atteindre, et le procédé qui reconstitue la courbe entière à partir de cet intervalle.

Pour c, on établira en outre l'égalité $f_3(\pi -x)=f_3(x)$ et on en tirera parti. Pour d, on commencera par écrire $f_4(x)$ à l'aide de $\cos (4x)$. Pour e, on démontrera qu'aucun réel $T>0$ n'est période de $f_5$.

Terminer par l'énoncé, en toutes lettres, du principe de réduction utilisé.

On note $\lfloor x\rfloor$ la partie entière du réel $x$ et l'on pose

$$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor \mathrm{.}$$

Le réel $\{x\}$ s'appelle la partie fractionnaire de $x$. Dans tout l'exercice, on emploie librement l'encadrement fondamental

$$x-1<\lfloor x\rfloor ⩽x,\text{équivalent à}\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1,$$

démontré dans le chapitre « Suites réelles » : il n'est pas demandé de le redémontrer.

1. Donner l'ensemble de définition de chacune des deux fonctions $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ et $x\mapsto \{x\}$, ainsi que l'ensemble de leurs valeurs. Calculer :

2. Démontrer que $\lfloor x+1\rfloor =\lfloor x\rfloor +1$ pour tout réel $x$. En déduire que $x\mapsto \{x\}$ est périodique, puis déterminer sa plus petite période strictement positive.

3. Soit $n\in \mathbb{Z}$. Déterminer les quatre limites latérales

$$\underset{x\to n^{-}}{\lim }\lfloor x\rfloor ,\underset{x\to n^{+}}{\lim }\lfloor x\rfloor ,\underset{x\to n^{-}}{\lim }\{x\},\underset{x\to n^{+}}{\lim }\{x\},$$

et les comparer aux valeurs $\lfloor n\rfloor$ et $\{n\}$. Que se passe-t-il en un point $a$ qui n'est pas un entier ?

4. Étudier la monotonie de chacune des deux fonctions sur $\mathbb{R}$, puis sur un intervalle $[n,n+1[$ avec $n\in \mathbb{Z}$.

5. Décrire, en français, l'allure des deux courbes.

6. Calculer $\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor$ puis $\{x\}+\{-x\}$, en distinguant selon que $x$ est entier ou non.

Soit $f$ une fonction définie sur une partie $I$ non vide de $\mathbb{R}$. On pose, lorsque ces bornes existent,

$$\underset{I}{\sup }f=\sup \{f(x);x\in I\}\text{et}\underset{I}{\inf }f=\inf \{f(x);x\in I\}\mathrm{.}$$

Autrement dit, la borne supérieure d'une fonction sur $I$ est la borne supérieure de la partie $f(I)$ de $\mathbb{R}$. Tout ce qui a été démontré dans le chapitre « Suites réelles » sur $\sup A$ et $\inf A$ s'applique donc ici sans un mot de plus, en particulier la caractérisation par les $\epsilon$, que l'on citera sans la réénoncer.

1. Soit $f:x\mapsto 3-\mid x-2\mid$. Déterminer ${\sup }_{I}f$ et ${\inf }_{I}f$, et dire s'ils sont atteints, pour

$$I_1=[0,2],I_2=[0,5],I_3=]2,5[\mathrm{.}$$

Que conclure sur la dépendance de ${\sup }_{I}f$ vis-à-vis de $I$ ?

2. Soit $g=\cos$ et $I=[-2\pi ,2\pi ]$. Déterminer ${\sup }_{I}g$ et ${\inf }_{I}g$, et tous les points où ils sont atteints.

3. Soit $h:x\mapsto 1-e^{-x}$ sur $I=[0,+\mathrm{\infty }[$. Démontrer que ${\inf }_{I}h$ est atteint et que ${\sup }_{I}h$ ne l'est pas.

4. Soient $f$ et $g$ deux fonctions majorées sur $I$. Démontrer que ${\sup }_I(f+g)⩽{\sup }_{I}f+{\sup }_{I}g$, puis donner un couple $(f,g)$ pour lequel l'inégalité est stricte, et un couple pour lequel c'est une égalité.

5. On lit souvent que « la borne supérieure d'une fonction est sa limite ». Discuter, en s'appuyant sur les fonctions $h$ de la question 3 et $f$ de la question 1, toutes deux vues sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

Soit $I$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ et $f:I\to \mathbb{R}$.

1. On suppose $f$ majorée sur $I$ et l'on pose $M={\sup }_{I}f$.

Démontrer qu'il existe une suite $(x_n{)}_{n⩾1}$ d'éléments de $I$ telle que

$$\mathrm{\forall }n⩾1,M-\frac{1}{n}<f(x_n)⩽M,$$

puis en déduire que $f(x_n)\to M$. On citera la caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$ et la propriété d'Archimède, toutes deux acquises dans le chapitre « Suites réelles » ; on ne les redémontrera pas.

2. On suppose maintenant $f$ non majorée sur $I$, ce que l'on note ${\sup }_{I}f=+\mathrm{\infty }$. Construire une suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ telle que $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$.

3. Appliquer la question 1 à $I=[0,+\mathrm{\infty }[$ et $f:x\mapsto 2-e^{-x}$ : déterminer $M$, puis donner une formule explicite pour un $x_n$ convenable.

4. Appliquer la question 2 à $I=\mathbb{R}$ et $g:x\mapsto x^2-4x$, avec une formule explicite également.

5. La suite $(x_n)$ de la question 1 est-elle nécessairement convergente ? On étudiera le cas de $I=[0,2\pi ]$ et $f=\cos$.

6. Que devient l'énoncé de la question 1 lorsque $M$ est atteint ?

La figure ci-dessous représente la courbe d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{4\}$. Seule la fenêtre $-4⩽x⩽6$ est tracée. Les deux droites en pointillés sont des asymptotes. Un cercle vide signale un point qui n'appartient pas à la courbe, un point plein un point qui lui appartient.

On rappelle les notations $f(a^{-})=\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$ et $f(a^{+})=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$.

1. Lire $f(-1)$, $f(2)$ et $f(6)$.

2. Lire les huit limites suivantes :

3. En quels points de l'intervalle $[-4,6]$ la fonction $f$ est-elle continue ? En quels points ne l'est-elle pas, et pourquoi ?

4. En quels points $f$ est-elle continue à gauche sans être continue à droite ? Continue à droite sans être continue à gauche ? Ni l'un ni l'autre ?

5. Donner les équations des deux asymptotes, en précisant pour chacune en quel point ou en quel infini elle est asymptote, et de quel côté.

6. Peut-on modifier la valeur de $f$ en un seul point de sorte que la fonction obtenue soit continue en $2$ ? Même question en $-1$. Justifier les deux réponses.

Pour chacune des huit fonctions ci-dessous :

1. donner son ensemble de définition ;
2. déterminer ses limites aux bornes de cet ensemble et de part et d'autre de chaque valeur interdite, en indiquant à chaque fois le signe du dénominateur lorsqu'il tend vers $0$ ;
3. en déduire toutes les asymptotes de sa courbe, en précisant pour chacune de quel côté elle est asymptote.

Le théorème d'encadrement et le théorème de comparaison sont ceux du cours : on les cite, on ne les redémontre pas. On vérifiera en revanche par écrit leurs hypothèses avant chaque emploi.

Partie A. Trois encadrements en un point fini

1. Soit $f$ une fonction définie sur $[-4,+\mathrm{\infty }[$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }x⩾-4,6x-8⩽f(x)⩽\frac{x^3}{2}\mathrm{.}$$

Vérifier d'abord que cet encadrement n'est pas contradictoire, c'est-à-dire que $6x-8⩽{\displaystyle \frac{x^3}{2}}$ pour tout $x⩾-4$. En déduire $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$.

2. Soit $g$ une fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }x>0,\mid g(x)-x^2\mid ⩽(x+1)\mid x-3\mid \mathrm{.}$$

Déterminer $\underset{x\to 3}{\lim }g(x)$.

3. Soit $h:x\mapsto {\displaystyle \frac{x^2+x}{x-3}}$, définie sur $]3,+\mathrm{\infty }[$. Démontrer que $h(x)>{\displaystyle \frac{12}{x-3}}$ pour tout $x>3$, et en déduire $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }h(x)$.

Partie B. Classer des vitesses, avec des exposants quelconques

Soient $\alpha >0$, $\beta >0$ et $\gamma >0$ trois réels quelconques. On rappelle les deux limites de référence du cours :

$$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln t}{t}=0\text{et}\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^t}{t}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

4. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{(\ln x{)}^{\beta }}{x^{\alpha }}}$.

5. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^{\alpha }}{e^{\gamma x}}}$.

6. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }\mid \ln x{\mid }^{\beta }$.

7. Classer, par ordre de vitesse de croissance en $+\mathrm{\infty }$, les trois fonctions

$$x\mapsto (\ln x{)}^{1000},x\mapsto x^{100},x\mapsto e^{x\mathrm{/}1000},$$

puis comparer leurs valeurs en $x=100$. Commenter.

Dans tout l'exercice, $f$ est une fonction définie sur une partie $D$ de $\mathbb{R}$, et $a$ et $\mathrm{\ell }$ sont des réels.

1. Traduire chacune des quatre phrases suivantes par un énoncé entièrement quantifié, en respectant la convention du cours : inégalités larges dans la conclusion, et voisinage épointé en un point fini.

Ces quatre énoncés se notent respectivement $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

2. Démontrer, en exhibant explicitement le seuil, que

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{5}{(x-2{)}^2}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

3. Démontrer, en exhibant explicitement le seuil, que

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x^2-1}{x^2+3}=2.$$

4. Les trois fonctions suivantes sont étudiées en $+\mathrm{\infty }$. Pour chacune, dire si elle admet une limite finie, une limite infinie, ou aucune limite, et le justifier.

Expliquer enfin, à l'aide de ces exemples, pourquoi les deux phrases « $f$ n'a pas de limite finie en $+\mathrm{\infty }$ » et « $f$ n'a aucune limite en $+\mathrm{\infty }$ » ne disent pas la même chose.

1. Question préliminaire. On admet l'inégalité $1+t⩽e^t$, valable pour tout réel $t$. Démontrer que

$$\mathrm{\forall }u\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}],\mid e^u-1\mid ⩽2\mid u\mid \mathrm{.}$$

2. Démontrer, en revenant à la définition en $\epsilon$-$\delta$, chacune des trois limites suivantes :

Pour chacune, on présentera séparément la recherche du $\delta$, qui est un brouillon, puis la rédaction destinée à la copie. On indiquera à chaque fois pourquoi le $\delta$ obtenu est un minimum de deux quantités, et ce que contrôle chacune des deux.

On rappelle la définition : $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $a$ lorsque

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in D,(0<\mid x-a\mid ⩽\delta ⟹\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon )\mathrm{.}$$

Partie A. La limite ignore la valeur au point

1. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par

$$f(x)=x^2+1\text{ si }x\mathrm{\ne }3,f(3)=7.$$

Démontrer, en revenant à la définition, que $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=10$. Comparer avec $f(3)$ et expliquer pourquoi les deux affirmations ne se contredisent pas.

2. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $D$, coïncidant en tout point de $D$ sauf peut-être en $a$. Démontrer que si $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $a$, alors $g$ aussi. Quelle propriété de $f$, en revanche, la modification en $a$ peut-elle détruire ?

Partie B. Nier

3. Écrire la négation quantifiée de « $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $a$ ».

4. Écrire la négation quantifiée de « $f$ admet une limite finie en $a$ ». Préciser de quoi le $\epsilon$ obtenu a le droit de dépendre.

Partie C. Appliquer

5. Démontrer, en utilisant la négation de la question 4 et elle seule, que $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x-2}}$ n'admet aucune limite finie en $2$. En admet-elle une infinie ?

6. Soit $h$ définie sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ par $h(x)=\left\{{\displaystyle \frac{1}{x-1}}\right\}$, où $\{t\}$ désigne la partie fractionnaire de $t$ étudiée à l'exercice 02. Démontrer que $h$ n'admet aucune limite en $1^{+}$.

Pour chacune des six fonctions ci-dessous :

1. déterminer son ensemble de définition $D$, exactement ;
2. écrire une phrase complète justifiant sa continuité sur $D$, du type attendu sur une copie : on nommera les fonctions de référence utilisées et l'opération qui les combine, et l'on vérifiera explicitement la condition que cette opération exige.

Question finale. Soit $g(x)=\ln (1-\sqrt{x})$. Déterminer $D_g$, puis justifier la continuité de $g$ sur $D_g$ en écrivant explicitement l'inclusion des images que la composition exige.

Dans tout l'exercice, $u$ et $v$ sont deux fonctions réelles, définies respectivement sur $I$ et sur $J$, avec $u(I)\subset J$ : la composée $v\circ u$ est donc définie sur $I$. Les réels $a$ et $b$ sont tels que les limites écrites ci-dessous aient un sens, c'est-à-dire qu'il existe ${\alpha }_0>0$ et ${\eta }_0>0$ vérifiant

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0<\mid x-a\mid ⩽{\alpha }_0}& {\displaystyle ⟹x\in I,}\\ {\displaystyle 0<\mid y-b\mid ⩽{\eta }_0}& {\displaystyle ⟹y\in J\mathrm{.}}\end{array}$$

On rappelle la convention du chapitre, thématisée à l'exercice 10 : la limite en un point se lit sur un voisinage épointé, donc ${\lim }_{y\to b}v(y)$ ne regarde jamais la valeur $v(b)$, que celle-ci existe ou non.

1. Écrire avec les quantificateurs les deux hypothèses ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }u(x)=b}$ et ${\displaystyle \underset{y\to b}{\lim }v(y)=c}$.

2. On suppose de plus qu'il existe $\alpha >0$ tel que $u(x)\mathrm{\ne }b$ pour tout $x$ vérifiant $0<\mid x-a\mid ⩽\alpha$. Démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }v(u(x))=c}$.

3. On suppose maintenant, à la place de l'hypothèse de la question 2, que $b\in J$ et que $v$ est continue en $b$ (donc $c=v(b)$). Démontrer que la conclusion subsiste. Dire, en une phrase, pourquoi cette démonstration est plus courte que la précédente.

4. Le piège. On pose, pour tout $y\in \mathbb{R}$,

$$v(y)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }y\mathrm{\ne }0,\\ 0& \text{si }y=0.\end{array}$$

a. Déterminer ${\displaystyle \underset{y\to 0}{\lim }v(y)}$ et dire si $v$ est continue en $0$.

b. Soit $u_1$ la fonction nulle sur $\mathbb{R}$. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{u}_1(x)}$, puis ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }v(u_1(x))}$. Que vaudrait la conclusion du théorème ?

c. Soit $u_2(x)=\max (x,0)$. Montrer que $v\circ u_2$ n'admet aucune limite en $0$.

d. Dans chacun des deux cas, dire laquelle des hypothèses de la question 2 est en défaut. Rédiger ensuite, en deux lignes, la mise en garde qui doit accompagner tout changement de variable.

5. Applications. Déterminer les limites suivantes en précisant à chaque fois la version du théorème utilisée et en vérifiant ses hypothèses par écrit. On admettra que le théorème et sa démonstration s'adaptent mot pour mot aux limites latérales et aux limites infinies, en remplaçant la condition « $0<\mid x-a\mid ⩽\alpha$ » par celle qui définit le voisinage concerné.

Les deux résultats de cet exercice sont des outils : ils servent dans la moitié des démonstrations du chapitre, et notamment aux exercices 20 et 23. Leurs analogues pour les suites sont démontrés dans le chapitre « Suites réelles », dont on pourra reprendre l'idée, mais pas la rédaction : le passage de l'entier $n$ au réel $x$ change ce qu'il faut écrire.

Partie A. Conservation locale du signe

1. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, continue en un point $a\in I$, telle que $f(a)>0$. Démontrer qu'il existe $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }x\in I,\mid x-a\mid ⩽\delta ⟹f(x)>0.$$

On précisera quelle valeur de $\epsilon$ on choisit dans la définition de la continuité, et pourquoi ce choix-là.

2. Énoncer et démontrer la variante avec une limite : si ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }}$ avec $\mathrm{\ell }>0$, que peut-on dire du signe de $f$ au voisinage de $a$ ? Que peut-on dire de $f(a)$ ?

3. Soit $f$ continue en $a$ avec $f(a)\mathrm{\ne }0$. Montrer qu'il existe $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }x\in I,\mid x-a\mid ⩽\delta ⟹\mid f(x)\mid ⩾\frac{\mid f(a)\mid }{2}\mathrm{.}$$

En déduire que ${\displaystyle \frac{1}{f}}$ est définie et bornée sur $I\cap [a-\delta ,a+\delta ]$.

Partie B. Passage à la limite dans une inégalité

4. Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)⩽g(x)$ pour tout $x$ d'un voisinage épointé de $a$, et telles que ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }}$ et ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }g(x)=m}$ existent et soient finies. Démontrer que $\mathrm{\ell }⩽m$. On raisonnera par l'absurde.

5. L'inégalité stricte, elle, ne passe pas à la limite. Donner deux couples de fonctions vérifiant $f(x)<g(x)$ sur un voisinage épointé de $a$ et pourtant $\mathrm{\ell }=m$, l'un avec $a$ fini, l'autre avec $a=+\mathrm{\infty }$.

6. Soit $f$ une fonction telle que $f(x)>0$ pour tout $x\mathrm{\ne }a$ d'un voisinage de $a$, et admettant une limite $\mathrm{\ell }$ en $a$. Que peut-on affirmer sur $\mathrm{\ell }$, et que ne peut-on pas affirmer ?

7. Comparer avec le chapitre « Suites réelles » : quel est l'énoncé analogue pour les suites, et qu'est-ce que le passage aux fonctions change dans les hypothèses comme dans la rédaction ? On citera au moins deux différences.

Le théorème de la limite monotone pour les suites est démontré dans le chapitre « Suites réelles » : une suite croissante et majorée converge vers la borne supérieure de l'ensemble de ses termes. On démontre ici son analogue pour les fonctions, énoncé que les cours de classe préparatoire admettent. Le corollaire de la question 5 est l'outil central des exercices 18, 19 et 26.

Dans tout l'exercice, $f$ est une fonction croissante sur un intervalle ouvert $]a,b[$ non vide, avec $-\mathrm{\infty }⩽a<b⩽+\mathrm{\infty }$. On note

$$E=f(]a,b[)=\{f(x);a<x<b\}$$

l'ensemble de ses valeurs. On rappelle que la caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$ est acquise (chapitre « Suites réelles ») : il n'est pas question de la redémontrer, mais de l'appliquer.

1. On suppose $f$ majorée sur $]a,b[$. Justifier que $\mathrm{\ell }=\sup E$ existe, puis traduire avec des quantificateurs, en distinguant les cas $b$ fini et $b=+\mathrm{\infty }$, l'énoncé « $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $b^{-}$ ».

2. Démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }}$. On soignera l'articulation : à partir de $\epsilon >0$, produire d'abord un point $x_0$, puis en déduire le seuil.

3. On suppose maintenant $f$ non majorée sur $]a,b[$. Démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }}$.

4. Énoncer et démontrer le résultat symétrique en $a^{+}$, pour $f$ croissante minorée puis non minorée.

5. Corollaire. Soit $g$ une fonction monotone sur un intervalle $I$ et $c$ un point intérieur à $I$. Démontrer que $g$ admet en $c$ une limite à gauche et une limite à droite, toutes deux finies, et que dans le cas croissant

$$g(c^{-})⩽g(c)⩽g(c^{+})\mathrm{.}$$

6. Dire précisément en quoi la démonstration de la question 2 diffère de celle du théorème analogue pour les suites, faite dans « Suites réelles ». On donnera au moins trois différences, dont une qui concerne l'énoncé lui-même et non sa démonstration.

On rappelle l'énoncé de la caractérisation séquentielle. Soient $f$ une fonction définie sur $D$, et $a$ un réel tel que tout voisinage épointé de $a$ rencontre $D$. Alors ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }}$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $D\setminus \{a\}$ vérifiant $x_n\to a$, on a $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$.

Le sens direct est établi dans le cours : c'est la composition d'une limite de fonction et d'une limite de suite, et il tient en cinq lignes. Le sens réciproque est celui que l'on admet presque partout ; c'est lui qu'on démontre ici, et il est plus subtil, car son hypothèse porte sur une infinité non dénombrable de suites alors que sa conclusion porte sur un seul $\delta$.

1. Écrire avec les quantificateurs la proposition « $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $a$ », puis sa négation.

2. Démontrer le sens réciproque par contraposée : on suppose que $f$ ne tend pas vers $\mathrm{\ell }$ en $a$, et l'on construit une suite $(x_n)$ d'éléments de $D\setminus \{a\}$ telle que $x_n\to a$ et $f(x_n)\to ̸\mathrm{\ell }$. On appliquera la négation avec $\delta ={\displaystyle \frac{1}{n}}$, en citant la propriété d'Archimède, acquise dans « Suites réelles ».

3. Pourquoi ce sens se démontre-t-il par contraposée, alors que le sens direct se démontre directement ? Répondre en une ou deux phrases, en regardant où se trouve le quantificateur « pour toute suite ».

4. Énoncer la variante pour la continuité : quelle est la seule modification à apporter à l'énoncé, et pourquoi ?

5. Application 1 : réfuter une limite. Soit $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ la partie fractionnaire, étudiée à l'exercice 02. Démontrer que $x\mapsto \{x\}$ n'admet aucune limite en $+\mathrm{\infty }$, finie ou infinie.

Puis répondre à ces deux questions de méthode : que démontre-t-on exactement avec une seule suite ? Pourquoi en faut-il deux pour réfuter l'existence d'une limite ?

6. Application 2 : ce qui se passe sur $\mathbb{Q}$ décide de tout. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ telles que $f(r)=g(r)$ pour tout $r\in \mathbb{Q}$. Démontrer que $f=g$. On utilisera la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, acquise dans « Suites réelles ».

En déduire la seule fonction continue sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f(r)=r^2$ pour tout rationnel $r$.

Enfin, préciser où exactement la continuité de $g$ a servi, et si l'hypothèse « continue sur $\mathbb{R}$ » peut être affaiblie.

On rappelle le critère qui structure tout l'exercice : pour un point $a$ intérieur au domaine,

$$f\text{ est continue en }a⟺f(a^{-})=f(a)=f(a^{+}),$$

c'est-à-dire : $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à gauche et continue à droite en $a$. Chaque question se traite donc en trois temps : la limite à gauche, la limite à droite, la valeur. Ces trois quantités sont indépendantes, et c'est exactement ce que les cinq fonctions ci-dessous illustrent.

1. Soit

$$f_1(x)=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{si }x⩽1,\\ x^2& \text{si }x>1.\end{array}$$

Étudier la continuité de $f_1$ en tout point de $\mathbb{R}$. En quel point est-elle continue à gauche sans être continue ?

2. Soit $a$ un réel et

$$f_2(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2+ax+3}{x-1}}& \text{si }x\mathrm{\ne }1,\\ -2& \text{si }x=1.\end{array}$$

Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $f_2$ est continue en $1$. On commencera par une condition nécessaire sur le numérateur, en expliquant pourquoi.

3. Soit $a$ un réel et

$$f_3(x)=\{\begin{array}{ll}ax+1& \text{si }x⩽0,\\ {\displaystyle \frac{a}{x}}& \text{si }x>0.\end{array}$$

Montrer qu'aucune valeur de $a$ ne rend $f_3$ continue en $0$. On discutera selon le signe de $a$, sans oublier le cas $a=0$.

4. Soit $f_4$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f_4(x)={\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}}$. Montrer que $f_4$ se prolonge par continuité en $0$ et donner la valeur du prolongement. On pourra utiliser l'identité $1-\cos x=2{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}$, la limite usuelle ${\displaystyle \underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1}$, et le théorème de composition de l'exercice 12, dont on vérifiera l'hypothèse.

5. Soit $f_5$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f_5(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }x\in \mathbb{Q},\\ 0& \text{si }x\mathrm{\notin }\mathbb{Q}\mathrm{.}\end{array}$$

a. Montrer que $f_5$ est continue en $0$.

b. Montrer que $f_5$ n'est continue en aucun autre point. On utilisera la caractérisation séquentielle de l'exercice 15 et la densité de $\mathbb{Q}$ comme celle de $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$, toutes deux acquises dans « Suites réelles ».

6. Parmi les discontinuités rencontrées, lesquelles pourraient être supprimées en modifiant la valeur de la fonction en un seul point ? Lesquelles ne le pourraient pas, et pourquoi ?

Une fonction n'est pas discontinue « d'une seule façon ». Le vocabulaire ci-dessous, à connaître, sert à dire de quelle manière la continuité échoue en un point. Soit $f$ définie au moins sur un voisinage épointé d'un point $a$, et discontinue en $a$.

• La discontinuité est de première espèce lorsque $f(a^{-})$ et $f(a^{+})$ existent toutes deux et sont finies. Elle est alors de l'un des deux types suivants.
  • C'est un saut lorsque $f(a^{-})\mathrm{\ne }f(a^{+})$. Le réel $f(a^{+})-f(a^{-})$ s'appelle l'amplitude du saut.
  • C'est une discontinuité effaçable lorsque $f(a^{-})=f(a^{+})$, cette valeur commune étant alors différente de $f(a)$, ou bien $f$ n'étant pas définie en $a$.
• La discontinuité est de seconde espèce dans tous les autres cas, c'est-à-dire lorsqu'au moins une des deux limites latérales n'existe pas, ou est infinie.

1. Pour chacune des six fonctions ci-dessous, déterminer les points de discontinuité indiqués, calculer $f(a^{-})$, $f(a^{+})$ et $f(a)$, puis classer la discontinuité selon le vocabulaire ci-dessus. Lorsqu'il s'agit d'un saut, on en donnera l'amplitude et l'on dira si la fonction est continue à gauche ou à droite.

2. Parmi ces six fonctions, lesquelles peut-on rendre continues au point étudié en modifiant leur valeur en ce seul point ? Quel type de discontinuité est concerné, et pourquoi les autres types résistent-ils ?

3. L'une de ces fonctions est croissante sur un intervalle contenant le point étudié. Laquelle, et quel type de discontinuité y observe-t-on ? Cette coïncidence sera expliquée à l'exercice 18.

Cet exercice est court : l'essentiel du travail a été fait à l'exercice 14, dont on utilise ici le corollaire — une fonction monotone sur un intervalle $I$ admet, en tout point $c$ intérieur à $I$, une limite à gauche et une limite à droite, toutes deux finies, avec $f(c^{-})⩽f(c)⩽f(c^{+})$ dans le cas croissant. Le vocabulaire des discontinuités est celui de l'exercice 17.

1. Soit $f$ croissante sur un intervalle $I$ et $c$ un point intérieur à $I$. Démontrer que si $f$ est discontinue en $c$, alors cette discontinuité est un saut, d'amplitude

$$f(c^{+})-f(c^{-})>0.$$

En particulier, une fonction monotone n'a jamais de discontinuité effaçable, ni de discontinuité de seconde espèce.

2. Construire une fonction croissante sur $\mathbb{R}$, discontinue exactement aux points $-1$, $0$ et $3$, dont les sauts en ces points valent respectivement $1$, ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $2$. On justifiera la croissance, les trois amplitudes, et la continuité partout ailleurs.

3. Construire une fonction croissante sur $[0,1]$ discontinue en tout point de l'ensemble

$$A=\{\frac{1}{n};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$$

et continue partout ailleurs sur $[0,1]$. On donnera l'amplitude du saut en ${\displaystyle \frac{1}{n}}$.

4. Pour la fonction de la question 3, calculer la somme de toutes les amplitudes des sauts et la comparer à $g(1)-g(0)$. Que peut-on en conjecturer ?

Une fonction croissante peut être discontinue en une infinité de points : l'exercice 18 en a construit une, discontinue en tout point de $\{\frac{1}{n};n⩾1\}$. La question est donc : jusqu'où cette infinité peut-elle aller ? La réponse est le plus beau résultat du chapitre : elle est toujours au plus dénombrable, donc jamais aussi grosse que $\mathbb{R}$, ni même qu'un intervalle.

Attention au geste attendu. Le chapitre L1 « Logique, raisonnement, ensembles et applications » démontre par l'argument diagonal que l'ensemble des suites à valeurs dans $\{0,1\}$, et donc $\mathbb{R}$, n'est pas dénombrable. Ce n'est pas l'outil d'ici, et il ne pourrait pas l'être : l'argument diagonal sert à montrer qu'un ensemble est trop gros, alors qu'on veut ici montrer qu'un ensemble est assez petit. Le geste est tout autre : on injecte l'ensemble des discontinuités dans $\mathbb{Q}$, et l'on conclut par la dénombrabilité de $\mathbb{Q}$, acquise dans ce même chapitre. Il n'y a donc aucune diagonale à écrire, et aucun résultat de « Logique » à redémontrer : on les cite.

Dans les questions 1 à 4, $f$ est croissante sur un segment $[a,b]$, et l'on note $D$ l'ensemble de ses points de discontinuité situés dans $]a,b[$. On rappelle qu'en tout $c\in ]a,b[$, les limites $f(c^{-})$ et $f(c^{+})$ existent et sont finies (exercice 14), et que $f(c^{-})<f(c^{+})$ si et seulement si $f$ est discontinue en $c$ (exercice 18).

1. Soit $c\in D$. Justifier que l'intervalle $]f(c^{-}),f(c^{+})[$ est un intervalle ouvert non vide, puis qu'il contient un rationnel. On note $r_c$ un tel rationnel, choisi une fois pour toutes pour chaque $c\in D$.

2. Soient $c$ et $c^{\mathrm{\prime }}$ deux éléments de $D$ avec $c<c^{\mathrm{\prime }}$. Démontrer que

$$f(c^{+})⩽f(c^{\mathrm{\prime }-}),$$

puis en déduire que l'application $c⟼r_c$ est strictement croissante, donc injective, de $D$ dans $\mathbb{Q}$.

3. Conclure que $D$ est au plus dénombrable. Étendre ensuite le résultat : d'abord à l'ensemble de toutes les discontinuités de $f$ sur $[a,b]$, puis à une fonction monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier, puis à une fonction décroissante.

4. Deuxième chemin, quantitatif. Pour $c\in D$, notons $s_c=f(c^{+})-f(c^{-})>0$ l'amplitude du saut en $c$.

a. Soient $c_1<c_2<\cdots <c_p$ des éléments de $D$, en nombre fini. Démontrer que

$$s_{c_1}+s_{c_2}+\cdots +s_{c_p}⩽f(b)-f(a)\mathrm{.}$$

On intercalera des points $t_k$ entre les $c_k$ et l'on majorera chaque saut par un accroissement de $f$.

b. En déduire que, pour tout $n⩾1$, l'ensemble $D_n=\{c\in D;s_c>\frac{1}{n}\}$ est fini, et majorer son cardinal.

c. En déduire une seconde démonstration du résultat de la question 3.

5. Deux questions de recul. La majoration « au plus dénombrable » peut-elle être remplacée par « fini » ? Et quel énoncé aurait-on démontré si l'on avait réussi à écrire un argument diagonal dans cet exercice ?

Le théorème des valeurs intermédiaires est admis dans les quatre chapitres de classe préparatoire du site : on y lit, noir sur blanc, « admis dans le cours ». Le démontrer est l'un des gestes qui distinguent un premier semestre de licence. On en donne ici deux démonstrations, appuyées l'une et l'autre sur des résultats déjà acquis, qu'il n'est pas question de refaire : le théorème des segments emboîtés (chapitre « Suites réelles »), la caractérisation séquentielle (exercice 15), le passage à la limite dans une inégalité et la conservation locale du signe (exercice 13).

Théorème des valeurs intermédiaires. Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$, avec $a<b$, et soit $y$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=y$.

1. Réduction. Montrer qu'il suffit de démontrer le théorème dans le cas particulier où $y=0$ et $f(a)⩽0⩽f(b)$. Dans toute la suite, on se place dans ce cas.

2. La dichotomie. Construire par récurrence deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que, pour tout $n$ :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a_n⩽b_n\text{et}[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n],}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle f(a_n)⩽0⩽f(b_n),}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\mathrm{.}}\end{array}$$

On énoncera clairement la règle qui décide de la moitié conservée.

3. Justifier l'existence d'un réel $c$ tel que $a_n\to c$ et $b_n\to c$, et vérifier que $c\in [a,b]$.

4. Conclure que $f(c)=0$. On dira à quel endroit exact sert la continuité de $f$.

5. Seconde démonstration. On pose maintenant

$$A=\{x\in [a,b];f(x)⩽0\}\text{et}c=\sup A\mathrm{.}$$

a. Justifier que $c$ existe et que $c\in [a,b]$.

b. Démontrer que $f(c)⩽0$, puis que $f(c)⩾0$, en raisonnant par l'absurde et en utilisant la conservation locale du signe.

6. Comparer les deux démonstrations : que produit chacune, et laquelle permettrait d'écrire un algorithme ? Trouvent-elles nécessairement la même solution ?

7. Donner une fonction non continue sur $[-1,1]$ pour laquelle la conclusion du théorème est fausse, et dire quelle étape des démonstrations précédentes s'effondre.

Le théorème des valeurs intermédiaires, démontré à l'exercice 20, admet une formulation qui ne parle plus de valeur intermédiaire du tout, et qui est celle qu'on utilise réellement : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Cet exercice l'établit, puis met en garde contre la fausse méthode qu'elle inspire.

On appelle partie convexe de $\mathbb{R}$ toute partie $J$ telle que

$$\mathrm{\forall }u\in J,\mathrm{\forall }v\in J,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},u⩽t⩽v⟹t\in J\mathrm{.}$$

Autrement dit : dès que $J$ contient deux nombres, il contient tous ceux qui sont entre eux.

1. Caractérisation des intervalles. Soit $J$ une partie convexe et non vide de $\mathbb{R}$. On note $\alpha$ sa borne inférieure et $\beta$ sa borne supérieure lorsqu'elles existent, en convenant que $\alpha =-\mathrm{\infty }$ si $J$ n'est pas minorée et $\beta =+\mathrm{\infty }$ si $J$ n'est pas majorée. Démontrer que

$$]\alpha ,\beta [\subset J\subset [\alpha ,\beta ],$$

et en déduire que $J$ est un intervalle d'extrémités $\alpha$ et $\beta$. Vérifier que la réciproque est immédiate : tout intervalle est convexe.

2. Le théorème. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Démontrer que $f(I)$ est un intervalle. On utilisera la question 1 et le théorème des valeurs intermédiaires.

3. Déterminer et justifier les images suivantes. Aucune ne s'obtient en substituant les bornes.

4. À la lecture de ce tableau, répondre : l'image d'un intervalle ouvert est-elle ouverte ? celle d'un intervalle borné est-elle bornée ? celle d'un intervalle non borné peut-elle être bornée ? celle d'un intervalle qui n'est pas un segment peut-elle être un segment ?

5. Énoncer la règle correcte : sous quelle hypothèse a-t-on le droit de lire l'image d'un intervalle « sur les bornes » sans étude supplémentaire ? Dire ensuite si cette hypothèse est nécessaire, c'est-à-dire si l'égalité peut se produire sans elle.

6. La réciproque du théorème est fausse. Donner une fonction $f$ définie sur $[0,2]$, non continue, telle que $f([0,2])$ soit pourtant un intervalle.

Le théorème des valeurs intermédiaires, démontré à l'exercice 20, donne l'existence d'une solution ; il ne dit rien de leur nombre. Pour compter exactement, il faut lui adjoindre la stricte monotonie, qui donne l'unicité sur chaque morceau : une fonction strictement monotone est injective, donc elle ne prend jamais deux fois la même valeur. On utilisera aussi, pour lire les images des morceaux, le fait que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle (exercice 21).

Deux consignes valent pour tout l'exercice.

• Aucun intervalle n'est donné. C'est à vous de déterminer où chercher, et de choisir les points en lesquels vous évaluez la fonction.
• Les variations se démontrent à la main, en comparant $\phi (x)$ et $\phi (y)$ pour $x<y$. Toute autre méthode relève d'un autre chapitre.

1. Combien l'équation

$$x{2}^x=5$$

admet-elle de solutions réelles ? Les localiser entre deux entiers consécutifs.

2. On pose $P(x)=x^3-6x$.

a. Démontrer que pour tous réels $x$ et $y$,

$$P(y)-P(x)=(y-x)(x^2+xy+y^2-6)\mathrm{.}$$

b. En déduire, sans aucun calcul de dérivée, que $P$ est strictement croissante sur $]-\mathrm{\infty },-\sqrt{2}]$, strictement décroissante sur $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, et strictement croissante sur $[\sqrt{2},+\mathrm{\infty }[$. Dresser le tableau de variations en y faisant figurer $P(-\sqrt{2})$ et $P(\sqrt{2})$.

c. Déterminer le nombre exact de solutions de l'équation $P(x)=3$ et localiser chacune d'elles entre deux entiers consécutifs.

3. Soit $m$ un réel. Discuter, selon $m$, le nombre de solutions de l'équation

$$x^3-6x=m\mathrm{.}$$

On pourra remarquer que $P$ est impaire, ce qui divise la discussion par deux.

Théorème des bornes atteintes. Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ y est bornée et y atteint ses bornes : il existe $x_m$ et $x_M$ dans $[a,b]$ tels que, pour tout $x\in [a,b]$,

$$f(x_m)⩽f(x)⩽f(x_M)\mathrm{.}$$

Ce théorème est admis dans les quatre chapitres de classe préparatoire du site. On le démontre ici en deux temps, avec des outils tous acquis : le théorème de Bolzano-Weierstrass, démontré dans « Suites réelles » et qu'il n'est pas question de refaire, la caractérisation séquentielle de l'exercice 15, et la suite construite à l'exercice 04.

Dans tout l'exercice, $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a<b$.

Partie A. La fonction est bornée

1. Écrire la négation de « $f$ est bornée sur $[a,b]$ », puis construire, en supposant cette négation vraie, une suite $(x_n{)}_{n⩾1}$ d'éléments de $[a,b]$ telle que $\mid f(x_n)\mid >n$ pour tout $n$.

2. Appliquer Bolzano-Weierstrass à cette suite. Justifier que la limite de la suite extraite appartient à $[a,b]$, puis aboutir à une contradiction. Conclure.

Partie B. Les bornes sont atteintes

3. Justifier l'existence de $M={\sup }_{[a,b]}f$. Rappeler la construction de l'exercice 04, qui fournit une suite $(x_n)$ d'éléments de $[a,b]$ telle que $f(x_n)\to M$.

4. Démontrer que $M$ est atteint : il existe $x_M\in [a,b]$ tel que $f(x_M)=M$. On extraira de $(x_n)$ une suite convergente et l'on utilisera l'unicité de la limite.

5. En déduire le résultat correspondant pour $m={\inf }_{[a,b]}f$, sans refaire la démonstration.

Partie C. Conséquence

6. Démontrer que $f([a,b])=[m,M]$ : l'image d'un segment par une fonction continue est un segment. On utilisera l'exercice 21.

7. Dire, en une phrase pour chacune, où servent exactement les trois hypothèses : la continuité, le fait que $[a,b]$ soit borné, le fait qu'il soit fermé. Donner enfin une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}$ dont l'une des deux bornes n'est pas atteinte.

Le théorème des bornes atteintes, démontré à l'exercice 23, se lit sur un segment. On ne fait pas varier ici la fonction, comme on en a l'habitude, mais l'ensemble de départ : on en propose six, et l'on demande à chaque fois si le théorème y survit.

Une convention est nécessaire, car certains de ces ensembles ne contiennent pas de voisinage de leurs points. On emploie la continuité relative à $A$ : la fonction $f:A\to \mathbb{R}$ est continue en $a\in A$ lorsque

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in A,\mid x-a\mid ⩽\delta ⟹\mid f(x)-f(a)\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Cette définition coïncide avec celle du cours dès que $A$ contient un voisinage de $a$, et elle garde un sens en une extrémité ou en un point isolé.

Pour une partie non vide $A$ de $\mathbb{R}$, on considère la propriété suivante.

Elle contient les deux conclusions du théorème à la fois : $f$ est bornée, et ses deux bornes sont des valeurs de $f$.

1. Pour chacun des six ensembles ci-dessous, dire si $({\mathcal{P}}_A)$ est vraie. Une réponse positive se démontre ; une réponse négative s'appuie sur un contre-exemple explicite, dont on justifiera la continuité.

2. L'un de ces six ensembles n'est pas un intervalle et vérifie pourtant $({\mathcal{P}}_A)$. Lequel ? Le théorème des valeurs intermédiaires y tient-il aussi ?

3. Démontrer que $({\mathcal{P}}_A)$ entraîne que $A$ est bornée. On regardera une fonction très simple. En déduire une réponse à la question 1.c obtenue sans le moindre calcul.

4. Relire la démonstration de l'exercice 23 et dire quelles propriétés de $[a,b]$ y ont réellement servi. En déduire un énoncé qui couvre d'un coup a, d et e.

5. Une hypothèse qui remplace le segment. Soit $f$ continue sur $\mathbb{R}$ et périodique, de période $T>0$. Démontrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et qu'elle y atteint ses bornes. On remarquera que $\mathbb{R}$ n'est ni borné ni un segment : c'est donc la périodicité qui fait tout le travail.

6. Application : justifier, sans calculer quoi que ce soit, que la fonction

$$g:x⟼\frac{2+\cos x}{3+\sin x}$$

admet un maximum et un minimum sur $\mathbb{R}$.

Le chapitre L1 « Logique, raisonnement, ensembles et applications » construit des bijections entre intervalles à la main, en résolvant des équations. Il y rencontre la fonction

$$w:x⟼x^3-x$$

et admet qu'elle est surjective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, en annonçant que ce point serait démontré une fois les fonctions continues étudiées. Cet exercice solde cette dette, puis met en place l'outil qui remplace ces calculs.

On rappelle l'énoncé qu'il s'agit d'employer.

Les trois hypothèses se vérifient et s'écrivent séparément, dans cet ordre : intervalle, continuité, stricte monotonie. Toutes les monotonies demandées ci-dessous se démontrent à la main, en comparant $f(x)$ et $f(y)$ pour $x<y$.

1. La dette. Démontrer que $w$ est surjective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, en trois lignes et sans résoudre aucune équation. On utilisera la forme globale du théorème des valeurs intermédiaires (exercice 21) et les limites de $w$ en $\pm \mathrm{\infty }$.

2. Le théorème de la bijection s'applique-t-il à $w$ sur $\mathbb{R}$ ? On calculera $w(-1)$, $w(0)$ et $w(1)$ avant de répondre. Que reste-t-il alors de la conclusion, et qu'est-ce qui tombe ?

3. Une bijection à réciproque explicite. Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x\mid x\mid$.

a. Justifier que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$, puis démontrer qu'elle est strictement croissante. On traitera séparément les couples de même signe et les couples de signes contraires.

b. Déterminer $g(\mathbb{R})$, appliquer le théorème, et donner une expression explicite de $g^{-1}$.

4. Une bijection dont la réciproque ne s'écrit pas. Soit $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=5x+2\sin x$.

a. Démontrer que $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On utilisera l'inégalité $\mid \sin y-\sin x\mid ⩽\mid y-x\mid$ du cours, et l'on dira pourquoi le coefficient $5$ doit être strictement supérieur à $2$.

b. Déterminer $h(\mathbb{R})$ et conclure. En déduire que l'équation $5x+2\sin x=1$ admet une solution et une seule, puis la localiser entre deux multiples de ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

5. Ce que la stricte monotonie empêche. Soit $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }x⩽0,\\ 0& \text{si }0<x<1,\\ x-1& \text{si }x⩾1.\end{array}$$

Montrer que $p$ est continue et croissante sur $\mathbb{R}$, que $p(\mathbb{R})=\mathbb{R}$, et qu'elle n'est pourtant pas bijective. Quelle hypothèse du théorème est en défaut, et sous quelle forme se voit-elle sur le graphe ?

6. Et si l'on retire « intervalle » ? L'exercice 24 a montré que $[0,1]\cup [4,5]$ n'est pas un intervalle, tout en vérifiant le théorème des bornes atteintes. Donner une fonction continue et strictement croissante sur cet ensemble dont l'image n'est pas un intervalle, et dire quelle conclusion du théorème s'effondre.

Le troisième point du théorème de la bijection affirme que la réciproque $f^{-1}$ est continue. Ce point est admis dans les deux chapitres ECG du site, et il n'y est démontré nulle part. On le démontre ici, et la démonstration ne coûte presque rien : tout le travail a été fait à l'exercice 14, dont on utilise le corollaire, et à l'exercice 18.

Le chemin passe par un énoncé qui vaut d'être retenu pour lui-même : une fonction monotone dont l'image est un intervalle est continue. C'est l'objet des trois premières questions.

Dans toute la suite, $f$ est continue et strictement croissante sur un intervalle $I$ non réduit à un point, et $J=f(I)$.

Partie A. Une fonction monotone dont l'image est un intervalle est continue

Soit $g$ une fonction croissante sur un intervalle $J$.

1. Soit $y_0$ un point intérieur à $J$. Justifier que $g(y_0^{-})$ et $g(y_0^{+})$ existent, sont finies, et que

$$g(y_0^{-})⩽g(y_0)⩽g(y_0^{+})\mathrm{.}$$

Démontrer ensuite les deux majorations

$$\mathrm{\forall }y\in J,y<y_0⟹g(y)⩽g(y_0^{-})\text{et}\mathrm{\forall }y\in J,y>y_0⟹g(y)⩾g(y_0^{+})\mathrm{.}$$

2. On suppose $g$ discontinue en $y_0$. Démontrer que $g(J)$ n'est pas un intervalle. On exhibera deux éléments de $g(J)$ et un réel compris entre eux qui n'appartient pas à $g(J)$.

3. En déduire l'énoncé annoncé : si $g$ est monotone sur l'intervalle $J$ et si $g(J)$ est un intervalle, alors $g$ est continue sur $J$. On traitera à part le cas d'une extrémité de $J$ appartenant à $J$.

Partie B. La continuité de la réciproque

4. Démontrer que $f^{-1}$ est continue sur $J$. On rappellera d'abord, sans le redémontrer, ce que le cours a établi sur la monotonie de $f^{-1}$, et l'on dira quelle est l'image de $f^{-1}$.

5. L'hypothèse « $I$ est un intervalle » est-elle superflue ? On considérera

$$A=[0,1[\cup [2,3],\phi (x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }x\in [0,1[,\\ x-1& \text{si }x\in [2,3],\end{array}$$

et l'on étudiera la continuité de ${\phi }^{-1}$.

Partie C. La symétrie des graphes

6. Énoncer et démontrer, dans un repère orthonormé, la symétrie de la courbe de $f^{-1}$ par rapport à la droite d'équation $y=x$. La démonstration tient en une ligne.

7. On prend $f(x)=e^x-1$ sur $I=\mathbb{R}$.

a. Vérifier les trois hypothèses du théorème de la bijection, déterminer $J$, puis $f^{-1}$.

b. Déterminer les points communs aux deux courbes.

c. La figure ci-dessus représente les deux courbes. Lire dessus, et justifier par le calcul, ce que devient l'asymptote horizontale de $f$ pour la courbe de $f^{-1}$.

d. Sans calculer $f^{-1}$ ailleurs qu'en un point, donner l'image du segment $[0,e-1]$ par $f^{-1}$.

Aucune des trois fonctions $\sin$, $\cos$, $\tan$ n'est injective sur son domaine : elles sont périodiques, donc chaque valeur y est prise une infinité de fois. Le théorème de la bijection ne leur est donc pas applicable. Il l'est en revanche à une restriction bien choisie, et c'est cette construction que l'on mène ici, de bout en bout.

Deux consignes tiennent tout l'exercice.

• Le choix de la restriction est un choix, et il se justifie. On ne le présente jamais comme une donnée.
• Aucune monotonie n'est obtenue autrement qu'à la main, en comparant les valeurs en deux points. On utilisera librement les formules de factorisation $$\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2},\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2},$$ ainsi que les signes du sinus et du cosinus sur $[0,\pi ]$, acquis au lycée.

Partie A. Les trois restrictions

1. Démontrer que $\sin$ est strictement croissante sur $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, que $\cos$ est strictement décroissante sur $[0,\pi ]$, et que $\tan$ est strictement croissante sur $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$. Pour la tangente, on établira d'abord l'identité

$$\tan y-\tan x=\frac{\sin (y-x)}{\cos x\cos y}\mathrm{.}$$

2. Pour chacune des trois restrictions, écrire les trois hypothèses du théorème de la bijection, puis déterminer l'intervalle image. Pour la tangente, on commencera par calculer $\underset{x\to (\pi \mathrm{/}2{)}^{-}}{\lim }\tan x$ et $\underset{x\to (-\pi \mathrm{/}2{)}^{+}}{\lim }\tan x$, et l'on dira quel théorème donne alors l'image.

3. En déduire la définition des trois fonctions $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arccos}$ et $\mathrm{Arctan}$, avec pour chacune son ensemble de départ, son ensemble d'arrivée, sa continuité et son sens de variation.

4. Expliquer pourquoi $\mathrm{Arcsin}2$ n'a aucun sens, alors que $\mathrm{Arctan}2$ en a un.

Partie B. Variations, parité, valeurs

5. Dresser les tableaux de variations de $\mathrm{Arcsin}$ et de $\mathrm{Arccos}$, et donner les deux limites de $\mathrm{Arctan}$ en $\pm \mathrm{\infty }$.

6. Démontrer que $\mathrm{Arcsin}$ et $\mathrm{Arctan}$ sont impaires. Démontrer que $\mathrm{Arccos}$ n'est ni paire ni impaire, mais qu'elle vérifie

$$\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\mathrm{Arccos}(-x)=\pi -\mathrm{Arccos}x\mathrm{.}$$

7. Calculer, en justifiant chaque fois par l'appartenance à l'intervalle d'arrivée :

$$\mathrm{Arcsin}\frac{\sqrt{3}}{2},\mathrm{Arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2}),\mathrm{Arctan}\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Partie C. L'identité fondamentale, et la figure

8. Démontrer que

$$\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\mathrm{Arcsin}x+\mathrm{Arccos}x=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

On posera $\theta =\mathrm{Arcsin}x$ et l'on vérifiera par écrit que ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$ appartient à $[0,\pi ]$.

9. La figure ci-dessus montre la restriction de la tangente et la courbe de l'arctangente. Dire ce que deviennent, pour la seconde, les deux asymptotes verticales de la première, et le justifier par un calcul de limite.

10. Le choix des restrictions est-il le seul possible ? On examinera la restriction de $\sin$ à $[{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}]$ et l'on dira ce qu'elle produirait.