Suites réelles

Ce chapitre est le premier où les mathématiques du supérieur se séparent vraiment de celles du lycée. Au lycée, une suite converge « parce qu'elle se rapproche de sa limite ». Ici, cette phrase ne vaut rien : il faudra écrire une inégalité, exhiber un rang, et démontrer. Le vocabulaire change peu, la nature du travail change complètement.

Deux fils traversent tout le chapitre, et il vaut mieux les connaître avant de commencer.

Le premier fil est mathématique : tout descend d'une seule propriété de $\mathbb{R}$. Cette propriété, l'axiome de la borne supérieure, tient en une ligne et sépare $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$. Le théorème de la limite monotone en découle, puis le théorème des suites adjacentes, puis celui des segments emboîtés, puis le théorème de Bolzano-Weierstrass, puis enfin le fait que toute suite de Cauchy de réels converge. Cinq théorèmes d'existence, une seule source. Un cours de première année qui les présente comme cinq recettes indépendantes rate l'essentiel.

Le second fil est un fil de rédaction. La difficulté d'un partiel de première année n'est presque jamais technique : les calculs y sont plus faciles qu'en terminale. Ce qui coûte des points, c'est l'ordre des quantificateurs, la phrase « il suffit de prendre $n$ assez grand », le contre-exemple qu'on ne pense pas à donner. Chaque grand théorème du chapitre est donc suivi d'un encadré Comment on rédige, qui montre la phrase exacte qu'un correcteur attend. Ils sont à lire comme du cours, pas comme des conseils.

L'ensemble des nombres réels

Ordre, valeur absolue, distance

On suppose connues les règles de calcul sur les inégalités. Trois seulement seront utilisées sans arrêt, et une erreur sur l'une d'elles fait dérailler une copie entière.

On ne soustrait pas deux inégalités de même sens, et on ne multiplie deux inégalités entre elles que si tous les membres sont positifs. Ces deux fautes sont les plus fréquentes des premières semaines.

Le point 2 est la traduction qui servira le plus : une valeur absolue majorée, c'est un intervalle. Toute la définition de la limite repose dessus. Le point 4 sert dans l'autre sens, pour minorer une distance.

Démonstration de l'inégalité triangulaire. On part de $-\mid x\mid ⩽x⩽\mid x\mid$ et de la même double inégalité pour $y$. En additionnant ces deux encadrements, il vient

$$-(\mid x\mid +\mid y\mid )⩽x+y⩽\mid x\mid +\mid y\mid ,$$

ce qui est exactement, d'après le point 1, l'inégalité $\mid x+y\mid ⩽\mid x\mid +\mid y\mid$. $\mathrm{\square }$

Pour la seconde, on écrit $\mid x\mid =\mid (x-y)+y\mid ⩽\mid x-y\mid +\mid y\mid$, d'où $\mid x\mid -\mid y\mid ⩽\mid x-y\mid$ ; en échangeant les rôles de $x$ et $y$ on obtient $\mid y\mid -\mid x\mid ⩽\mid x-y\mid$, et les deux réunies donnent le résultat.

Majorants, minorants, maximum

Deux remarques qui décident de beaucoup d'exercices.

D'abord, un majorant n'est jamais unique : si $M$ majore $A$, tout réel plus grand que $M$ aussi. Parler « du » majorant d'une partie n'a donc aucun sens. Le maximum, lui, est unique quand il existe : si $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ sont deux maximums, chacun majore $A$ et appartient à $A$, donc $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$ et $M^{\mathrm{\prime }}⩽M$.

Ensuite, une partie majorée n'a pas forcément de maximum, et c'est là que tout le chapitre commence.

Borne supérieure et borne inférieure

Autrement dit, $\sup A$ est caractérisée par deux propriétés : c'est un majorant de $A$, et aucun réel strictement plus petit n'en est un. La borne supérieure est unique quand elle existe, pour la même raison que le maximum : deux plus petits majorants se majorent mutuellement.

La formulation à retenir est celle-ci : la borne supérieure est un maximum qui n'a pas besoin d'être atteint. La question « est-elle atteinte ? » revient exactement à « appartient-elle à $A$ ? », et c'est une question à se poser à chaque fois.

Reste la question décisive : cette borne supérieure existe-t-elle toujours ? La réponse est non dans $\mathbb{Q}$, oui dans $\mathbb{R}$, et c'est précisément ce qui définit $\mathbb{R}$.

Le second énoncé se déduit du premier : si $A$ est non vide et minorée, la partie $-A=\{-x\mid x\in A\}$ est non vide et majorée, et l'on vérifie que $\inf A=-\sup (-A)$.

La caractérisation qui sert vraiment

Telle qu'elle est écrite, la définition de $\sup A$ est difficile à manipuler : « le plus petit des majorants » demande de comparer $\sup A$ à tous les majorants. La caractérisation suivante la remplace partout.

Démonstration. Supposons $M=\sup A$. Le point 1 est vrai puisque $\sup A$ est un majorant. Pour le point 2, soit $\epsilon >0$. Le réel $M-\epsilon$ est strictement plus petit que $M$, donc ce n'est pas un majorant de $A$ (sinon $M$ ne serait pas le plus petit) : il existe donc $x\in A$ tel que $x>M-\epsilon$.

Réciproquement, supposons les points 1 et 2 vérifiés. Le point 1 dit que $M$ majore $A$. Soit $M^{\mathrm{\prime }}$ un autre majorant de $A$ et supposons $M^{\mathrm{\prime }}<M$. En appliquant le point 2 à $\epsilon =M-M^{\mathrm{\prime }}>0$, on obtient un $x\in A$ vérifiant $x>M-(M-M^{\mathrm{\prime }})=M^{\mathrm{\prime }}$, ce qui contredit le fait que $M^{\mathrm{\prime }}$ majore $A$. Donc tout majorant $M^{\mathrm{\prime }}$ vérifie $M^{\mathrm{\prime }}⩾M$ : le réel $M$ est bien le plus petit des majorants. $\mathrm{\square }$

L'énoncé symétrique pour la borne inférieure s'écrit : $m=\inf A$ si et seulement si $m$ minore $A$ et $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }x\in A,x<m+\epsilon$.

Propriété d'Archimède et partie entière

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons $\mathbb{N}$ majoré dans $\mathbb{R}$. Comme $\mathbb{N}$ est non vide, l'axiome de la borne supérieure lui associe un réel $M=\sup \mathbb{N}$.

Appliquons la caractérisation par les $\epsilon$ avec $\epsilon =1$ : il existe un entier $p\in \mathbb{N}$ tel que $p>M-1$. Alors $p+1$ est encore un entier naturel, et $p+1>M$. C'est absurde, puisque $M$ majore $\mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Cette démonstration est un modèle : elle montre comment un énoncé qui semble évident se déduit de l'axiome, et elle réutilise la caractérisation par les $\epsilon$ avec une valeur de $\epsilon$ choisie, ici $1$. Rien n'oblige $\epsilon$ à être petit.

Le premier point s'obtient en appliquant la propriété d'Archimède à ${\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}$, le second à ${\displaystyle \frac{y}{x}}$.

L'existence repose sur la propriété d'Archimède : l'ensemble des entiers relatifs inférieurs ou égaux à $x$ est non vide et majoré par $x$, donc il admet un plus grand élément, et c'est $\lfloor x\rfloor$. L'unicité vient de ce que deux entiers distincts diffèrent d'au moins $1$.

C'est la double inégalité de la définition, réécrite. Sous cette forme, elle dit que $\lfloor x\rfloor$ vaut $x$ à moins de $1$ près, et c'est ce qui la rend utilisable dans un théorème d'encadrement : divisée par $n$, l'erreur ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ devient négligeable.

Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$

Démonstration pour $\mathbb{Q}$. Soient $a<b$ deux réels. Comme $b-a>0$, la propriété d'Archimède fournit un entier $n⩾1$ tel que ${\displaystyle \frac{1}{n}}<b-a$, c'est-à-dire $nb-na>1$.

Posons $p=\lfloor na\rfloor +1$, et considérons le rationnel $r={\displaystyle \frac{p}{n}}$. L'encadrement fondamental donne $na<p⩽na+1$, donc, en divisant par $n>0$,

$$a<r⩽a+{\displaystyle \frac{1}{n}}<a+(b-a)=b\mathrm{.}$$

Le rationnel $r$ vérifie donc $a<r<b$. $\mathrm{\square }$

Pour les irrationnels, on applique ce qui précède à l'intervalle $]a-\sqrt{2},b-\sqrt{2}[$ : il contient un rationnel $r$, et $r+\sqrt{2}$ est alors un irrationnel de $]a,b[$. Il est irrationnel car, s'il était rationnel, $\sqrt{2}$ serait différence de deux rationnels, donc rationnel.

Suites : vocabulaire et premières propriétés

Ce qu'est une suite

Les parenthèses ne sont pas décoratives : $(u_n)$ est la suite, un objet unique, quand $u_n$ est un réel. On écrit donc « la suite $(u_n)$ est croissante », jamais « la suite $u_n$ ». Un troisième objet interviendra souvent, l'ensemble des valeurs $\{u_n\mid n\in \mathbb{N}\}$, partie de $\mathbb{R}$ à laquelle s'applique le vocabulaire de la section précédente, et qui oublie l'ordre comme les répétitions : la suite de terme général $(-1{)}^n$ n'a que $\{-1,1\}$ pour ensemble de valeurs.

Trois modes de définition. Une suite est définie de façon explicite quand $u_n$ est donné par une formule en $n$, comme $u_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$, ce qui permet de calculer $u_{100}$ sans connaître les autres termes. Elle est définie par récurrence quand on donne son premier terme et une relation qui fabrique chaque terme à partir du précédent, comme $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n-1$. Elle est définie de façon implicite quand $u_n$ est l'unique solution d'une équation dépendant de $n$, par exemple l'unique réel positif vérifiant $x^n+x=1$ ; ce dernier mode réclame les outils du chapitre sur les fonctions et ne sera pas employé ici.

Majorée, minorée, bornée, monotone

Ces définitions sont à savoir écrire en symboles, dans cet ordre exact, car l'ordre des quantificateurs y est déjà décisif. Dans « majorée », un seul réel $M$ doit convenir pour tous les rangs ; l'énoncé obtenu en inversant les deux quantificateurs, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R},u_n⩽M$, est vrai pour n'importe quelle suite, puisqu'il suffit de prendre $M=u_n$ à chaque rang. Une inversion transforme une propriété intéressante en tautologie.

Le lien avec la partie précédente est immédiat : $(u_n)$ est majorée si et seulement si son ensemble de valeurs est une partie majorée de $\mathbb{R}$, auquel cas l'axiome de la borne supérieure fournit $\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }{u}_n$.

Démonstration. Si $\mid u_n\mid ⩽M$ pour tout $n$, la caractérisation des valeurs absolues rappelée au début du chapitre donne $-M⩽u_n⩽M$ : la suite est majorée par $M$ et minorée par $-M$. Réciproquement, si $m⩽u_n⩽M^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $n$, posons $M=\max (\mid m\mid ,\mid M^{\mathrm{\prime }}\mid )$ : alors $-M⩽m⩽u_n⩽M^{\mathrm{\prime }}⩽M$, donc $\mid u_n\mid ⩽M$. $\mathrm{\square }$

Cette propriété remplace deux inégalités par une seule, portant sur une quantité positive. Toutes les démonstrations du chapitre l'utilisent.

« À partir d'un certain rang »

Cette locution est partout dans le chapitre, et elle n'a pas le même effet sur toutes les notions.

Elle ne change rien à la convergence. La définition de la limite, écrite dans la section suivante, ne parle elle-même que de ce qui se passe à partir d'un certain rang : modifier, supprimer ou ajouter un nombre fini de termes ne change ni le fait qu'une suite converge, ni sa limite. On peut donc travailler indifféremment avec $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ou $(u_n{)}_{n⩾3}$, et il en va de même du caractère borné.

Elle change tout à la monotonie. Une suite croissante à partir du rang $N$ n'est pas croissante, et écrire le contraire est une faute. Prenons $u_0=10$ et $u_n=n$ pour $n⩾1$ : la suite est strictement croissante à partir du rang $1$, mais $u_0>u_1$. La bonne rédaction énonce donc la propriété avec son rang. Les théorèmes qui utilisent la monotonie, comme celui de la limite monotone, s'accommodent de cette version affaiblie, à condition qu'elle soit écrite telle quelle.

Étudier la monotonie

La limite d'une suite

Nous arrivons au point central du chapitre, et à la seule définition qu'il faut savoir écrire sans hésiter, dans l'ordre, au caractère près.

La définition quantifiée

Cette ligne se lit de gauche à droite, bloc par bloc, et chaque objet introduit peut dépendre de ceux qui le précèdent, jamais de ceux qui le suivent.

1. $\mathrm{\forall }\epsilon >0$. On se donne une tolérance, aussi petite qu'on veut. Elle est imposée, pas choisie : dans une démonstration, la première phrase sera « Soit $\epsilon >0$ », et rien de ce qui suit n'aura le droit de supposer $\epsilon$ petit, ni de lui donner une valeur.
2. $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$. Il existe un rang. Il arrive après $\epsilon$ dans la lecture : il a donc le droit d'en dépendre, et en pratique il en dépend toujours. Pour rendre cette dépendance visible, on peut écrire $N_{\epsilon }$. Plus $\epsilon$ est petit, plus $N_{\epsilon }$ est grand : exiger une meilleure précision oblige à attendre plus longtemps.
3. $\mathrm{\forall }n⩾N$. À partir de ce rang, tous les termes vérifient ce qui suit. Ce n'est pas « un terme », ni « une infinité de termes » : c'est tous, à partir d'un certain moment.
4. $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. La distance de $u_n$ à $\mathrm{\ell }$ ne dépasse pas $\epsilon$, ce qui s'écrit aussi $u_n\in [\mathrm{\ell }-\epsilon ,\mathrm{\ell }+\epsilon ]$ : le terme est dans une fenêtre centrée en $\mathrm{\ell }$, de demi-hauteur $\epsilon$, donc de hauteur totale $2\epsilon$.

Mis bout à bout : quelle que soit la fenêtre tracée autour de $\mathrm{\ell }$, aussi étroite soit-elle, la suite finit par y entrer et n'en ressort plus. La formule du lycée, « elle se rapproche de $\mathrm{\ell }$ », ne fixait ni la fenêtre, ni le rang d'entrée, ni le fait qu'on n'en ressort jamais.

Sur la figure, la bande grisée est une fenêtre horizontale centrée sur la limite : à gauche du rang $N$ les termes font ce qu'ils veulent, à droite ils y sont tous, et c'est exactement le contenu de la définition. La double flèche mesure la hauteur de cette fenêtre ; la fenêtre $[\mathrm{\ell }-\epsilon ,\mathrm{\ell }+\epsilon ]$ de la définition est celle dont la hauteur vaut $2\epsilon$.

L'unicité de la limite

C'est ce théorème qui autorise l'article défini et la notation $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n$ : sans lui, écrire « la limite de $(u_n)$ » n'aurait pas de sens.

Démonstration. Raisonnons par l'absurde en supposant $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. La quantité $\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid$ est alors strictement positive, ce qui autorise à poser

$$\epsilon =\frac{\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{3}>0.$$

Ce choix est licite : la définition s'applique à tout réel strictement positif, y compris à un réel fabriqué à partir de $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$.

Comme $u_n\to \mathrm{\ell }$, il existe un rang $N_1$ tel que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour $n⩾N_1$ ; comme $u_n\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, il existe un rang $N_2$ tel que $\mid u_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽\epsilon$ pour $n⩾N_2$. Ces deux rangs n'ont aucune raison d'être égaux : on pose $N=\max (N_1,N_2)$, de sorte que les deux inégalités soient vraies en même temps dès que $n⩾N$.

Fixons un tel $n$. L'inégalité triangulaire, appliquée à $\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=(\mathrm{\ell }-u_n)+(u_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})$, donne

$$\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽\mid \mathrm{\ell }-u_n\mid +\mid u_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽2\epsilon =\frac{2}{3}\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid \mathrm{.}$$

En retranchant ${\displaystyle \frac{2}{3}}\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid$ aux deux membres, il vient ${\displaystyle \frac{1}{3}}\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽0$, donc $\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽0$, donc $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ : c'est la contradiction cherchée. $\mathrm{\square }$

Deux gestes reviennent partout : choisir soi-même un $\epsilon$ adapté, ici le tiers de l'écart entre les deux limites supposées, et prendre le maximum de deux rangs.

Comment on rédige une démonstration de limite

Le même travail, mené sur $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$, donne le résultat de référence ${\displaystyle \frac{1}{n}}\to 0$, avec le rang $N=\lfloor 1\mathrm{/}\epsilon \rfloor +1$. Nous l'emploierons désormais sans le redémontrer, de même que la convergence d'une suite constante vers sa valeur.

Divergence, limites infinies

Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente, et ce seul mot recouvre deux comportements sans rapport : une suite peut diverger en tendant vers l'infini, comme $u_n=n$, ou diverger sans avoir de limite du tout, comme $u_n=(-1{)}^n$, qui reste bornée mais oscille indéfiniment. « La suite diverge » n'est donc jamais synonyme de « la suite tend vers $+\mathrm{\infty }$ ». Réciproquement, le mot convergent est réservé aux limites finies : d'une suite tendant vers $+\mathrm{\infty }$, on dit qu'elle « diverge vers $+\mathrm{\infty }$ ».

La structure est rigoureusement celle de la convergence : un défi, un rang qui en dépend, puis tous les termes à partir de ce rang. Seul le défi a changé de nature — au lieu d'une tolérance $\epsilon$ qu'on veut petite, un seuil $A$ qu'on veut grand. L'unicité s'étend à ces limites : on parle là encore de la limite, dans $\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$.

Toute suite convergente est bornée

Démonstration. Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $\mathrm{\ell }$. La définition vaut pour tout $\epsilon >0$, donc en particulier pour $\epsilon =1$ : il existe un rang $N$ tel que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽1$ pour tout $n⩾N$. Pour un tel $n$, l'inégalité triangulaire appliquée à $u_n=(u_n-\mathrm{\ell })+\mathrm{\ell }$ donne

$$\mid u_n\mid ⩽\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid +\mid \mathrm{\ell }\mid ⩽1+\mid \mathrm{\ell }\mid \mathrm{.}$$

Les termes de rang strictement inférieur à $N$ sont en nombre fini : l'ensemble $\{\mid u_0\mid ,\dots ,\mid u_{N-1}\mid \}$ est une partie finie de $\mathbb{R}$, non vide quitte à remplacer $N$ par $\max (N,1)$, donc il admet un plus grand élément. Posons

$$M=\max (\mid u_0\mid ,\dots ,\mid u_{N-1}\mid ,1+\mid \mathrm{\ell }\mid )\mathrm{.}$$

Alors $\mid u_n\mid ⩽M$ pour tout entier $n$, que $n$ soit inférieur ou supérieur à $N$ : d'après la propriété établie plus haut, la suite est bornée. $\mathrm{\square }$

Cette démonstration est le prototype d'un raisonnement en deux zones : la queue de la suite est contrôlée par la limite, le début par un maximum sur un ensemble fini. Retenons surtout qu'on a le droit de fixer $\epsilon$ quand on utilise la définition, alors qu'on doit le recevoir quand on la démontre.

En effet, si $u_n=c$ pour tout $n⩾N_0$, alors pour tout $\epsilon >0$ le rang $N=N_0$ convient, puisque $\mid u_n-c\mid =0⩽\epsilon$ dès que $n⩾N_0$. La réciproque est fausse : ${\displaystyle \frac{1}{n}}\to 0$ sans qu'aucun terme ne vaille $0$.

Négation, contre-exemple : la rédaction qui coûte des points

Savoir écrire une définition est une chose, savoir écrire sa négation en est une autre, et c'est là que se joue une part considérable des points d'un partiel de première année. Montrer qu'une suite converge et montrer qu'elle ne converge pas sont deux exercices de rédaction différents.

Nier la définition de la convergence

La règle est mécanique : on parcourt l'énoncé de gauche à droite, chaque $\mathrm{\forall }$ devient $\mathrm{\exists }$, chaque $\mathrm{\exists }$ devient $\mathrm{\forall }$, l'ordre est conservé, et l'inégalité finale est niée.

En français. Il existe une tolérance $\epsilon$, strictement positive et fixée une fois pour toutes, telle que, aussi loin qu'on aille dans la suite, on trouve encore un terme dont la distance à $\mathrm{\ell }$ dépasse $\epsilon$. Le second énoncé ajoute que cela vaut pour tout réel $\mathrm{\ell }$, la tolérance ayant le droit de changer avec lui puisqu'elle est introduite après.

Les rôles se sont inversés. Dans la définition, $\epsilon$ était imposé et $N$ à construire ; dans la négation, c'est $\epsilon$ qu'on choisit, une seule valeur bien choisie suffisant, et $N$ qui est imposé. Une démonstration de non-convergence commence donc par « Posons $\epsilon =\dots$ », là où une démonstration de convergence commence par « Soit $\epsilon >0$ ». Notons aussi que la négation de $⩽\epsilon$ est $>\epsilon$, avec une inégalité stricte.

« $\mathrm{\forall }N,\mathrm{\exists }n⩾N$ » veut dire « il y a une infinité de rangs ». C'est la traduction la plus utile de ce paragraphe. Si les rangs $n$ vérifiant $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid >\epsilon$ étaient en nombre fini, il suffirait de prendre $N$ strictement supérieur au plus grand d'entre eux pour qu'aucun $n⩾N$ ne convienne. Nier « à partir d'un certain rang, tous les termes sont dans la fenêtre », ce n'est donc pas « un terme sort de la fenêtre » : c'est des termes en sortent à des rangs arbitrairement grands.

Opérations sur les limites

Les démonstrations par la définition sont formatrices, mais on ne les refait pas à chaque calcul : le théorème suivant permet de traiter la plupart des limites par assemblage, à partir de quelques limites de référence.

Le théorème des opérations

Le point 4 contient un résultat souvent passé sous silence : une suite de limite non nulle ne s'annule pas à partir d'un certain rang. En appliquant la définition à $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{2}}>0$, on obtient un rang à partir duquel la seconde inégalité triangulaire donne $\mid v_n\mid ⩾\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid -\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩾{\displaystyle \frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{2}}>0$ : c'est la justification à écrire chaque fois qu'un dénominateur pourrait s'annuler. Quant au point 5, il n'admet de réciproque que pour $\mathrm{\ell }=0$ ; ailleurs elle est fausse, puisque $\mid (-1{)}^n\mid \to 1$ alors que la suite ne converge pas.

Démonstration du point 1, la somme. Soit $\epsilon >0$. La quantité ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ est un réel strictement positif : la définition de la limite s'y applique donc, exactement comme à $\epsilon$.

Puisque $u_n\to \mathrm{\ell }$, il existe $N_1$ tel que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $n⩾N_1$ ; puisque $v_n\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, il existe $N_2$ tel que $\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $n⩾N_2$. Posons $N=\max (N_1,N_2)$ et soit $n⩾N$ : les deux inégalités sont alors vraies simultanément. En écrivant $(u_n+v_n)-(\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})=(u_n-\mathrm{\ell })+(v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})$, l'inégalité triangulaire donne

$$\mid (u_n+v_n)-(\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\mid ⩽\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid +\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \mathrm{.}$$

Ainsi, pour tout $\epsilon >0$, il existe un rang à partir duquel l'écart est inférieur à $\epsilon$ : la suite $(u_n+v_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Le fameux « $\epsilon$ sur deux » n'a rien de magique : deux erreurs sont à contrôler, on demande à chacune la moitié du budget, et la somme tient dans le budget. Les autres points suivent le même schéma, en écrivant la quantité à majorer sous une forme qui fait apparaître $u_n-\mathrm{\ell }$ et $v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. La seule difficulté supplémentaire est le produit, où l'on part de $u_n{v}_n-\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=u_n(v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}(u_n-\mathrm{\ell })$ : le facteur $u_n$ doit y être majoré, ce qui est possible parce qu'une suite convergente est bornée.

Les quatre formes indéterminées

Hors des cas couverts par ces énoncés, quatre situations échappent à tout théorème général.

Une forme indéterminée n'est pas une absence de limite, c'est une absence de conclusion immédiate. Le théorème des opérations ne s'applique pas, voilà tout ce qui est dit. Les trois suites $(n+1)-n$, $n^2-n$ et $(n+(-1{)}^n)-n$ relèvent toutes de la forme $(+\mathrm{\infty })-(+\mathrm{\infty })$, et leurs comportements sont respectivement limite $1$, limite $+\mathrm{\infty }$, aucune limite. Écrire « c'est une forme indéterminée » n'est donc jamais une conclusion, mais l'annonce d'un travail : transformer l'expression jusqu'à retomber sur un cas connu.

Limites et inégalités

Démonstration. Raisonnons par l'absurde en supposant $\mathrm{\ell }>{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, et posons $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}>0$. Comme $u_n\to \mathrm{\ell }$, il existe $N_1$ tel que $u_n⩾\mathrm{\ell }-\epsilon$ pour $n⩾N_1$ ; comme $v_n\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, il existe $N_2$ tel que $v_n⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}+\epsilon$ pour $n⩾N_2$. Notons enfin $N_0$ un rang à partir duquel $u_n⩽v_n$, et posons $N=\max (N_0,N_1,N_2)$.

Soit $n⩾N$ : les trois informations sont disponibles en même temps, et comme $\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=3\epsilon$, il vient

$$v_n⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}+\epsilon =\mathrm{\ell }-2\epsilon <\mathrm{\ell }-\epsilon ⩽u_n,$$

c'est-à-dire $v_n<u_n$, en contradiction avec $u_n⩽v_n$. L'hypothèse $\mathrm{\ell }>{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ est donc absurde. $\mathrm{\square }$

Comparaison, encadrement, croissances comparées

Les théorèmes précédents supposaient la convergence connue. Ceux de cette section font mieux : ils la démontrent, à partir d'inégalités. C'est ce qui en fait les outils les plus employés du chapitre.

Le théorème d'encadrement

Attention. Ce théorème affirme deux choses, et c'est la première qui compte : l'existence de la limite de $(v_n)$, qui n'est pas supposée, puis sa valeur. Il ne faut donc jamais commencer une rédaction par « soit $L$ la limite de $(v_n)$ » : c'est ce qu'on cherche à établir.

Démonstration. Notons $N_0$ un rang à partir duquel l'encadrement est vérifié, et soit $\epsilon >0$. Comme $u_n\to \mathrm{\ell }$, il existe $N_1$ tel que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour $n⩾N_1$, et l'on ne retient de cette inégalité que sa moitié gauche, $u_n⩾\mathrm{\ell }-\epsilon$. Comme $w_n\to \mathrm{\ell }$, il existe de même $N_2$ tel que $w_n⩽\mathrm{\ell }+\epsilon$ pour $n⩾N_2$.

Posons $N=\max (N_0,N_1,N_2)$ et soit $n⩾N$. En enchaînant les trois informations,

$$\mathrm{\ell }-\epsilon ⩽u_n⩽v_n⩽w_n⩽\mathrm{\ell }+\epsilon ,$$

donc $\mid v_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ d'après la caractérisation des valeurs absolues. Ceci valant pour tout $\epsilon >0$, la suite $(v_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Chacune des deux hypothèses n'a servi qu'à moitié : de $(u_n)$ on n'a gardé que la minoration, de $(w_n)$ que la majoration. Une seule mâchoire ne conclut jamais : de $v_n⩽w_n$ avec $w_n\to \mathrm{\ell }$, on ne peut rien déduire sur $(v_n)$, qui peut très bien tendre vers $-\mathrm{\infty }$.

La démonstration reprend celle de l'encadrement, avec un seuil $A$ à la place de $\epsilon$ et une seule mâchoire au lieu de deux. Retenons le sens des inégalités, seule chose qu'on puisse confondre : pour pousser une suite vers $+\mathrm{\infty }$ on la minore, pour la pousser vers $-\mathrm{\infty }$ on la majore.

L'outil numéro un

Démonstration. L'hypothèse fournit l'encadrement $\mathrm{\ell }-v_n⩽u_n⩽\mathrm{\ell }+v_n$ à partir d'un certain rang ; les deux suites encadrantes convergent vers $\mathrm{\ell }$ d'après le théorème des opérations, donc $u_n\to \mathrm{\ell }$ par encadrement. $\mathrm{\square }$

C'est l'outil le plus employé du chapitre, et de loin. Il faut en comprendre l'économie : on n'encadre pas $u_n$, on majore sa distance à $\mathrm{\ell }$ par une suite dont on sait qu'elle tend vers $0$, et cette majoration n'a même pas besoin d'être fine. Deux cas particuliers reviennent sans cesse : si $\mid u_n\mid ⩽v_n$ avec $v_n\to 0$, alors $u_n\to 0$ ; et si $(a_n)$ est bornée et si $b_n\to 0$, alors $a_n{b}_n\to 0$, puisque $\mid a_n\mid ⩽M$ entraîne $\mid a_n{b}_n\mid ⩽M\mid b_n\mid$. Ce dernier point conclut instantanément pour ${\displaystyle \frac{\sin (n)}{n}}$, où le théorème des opérations est inapplicable puisque $(\sin (n))$ n'a pas de limite.

Croissances comparées

Un premier résultat sert de mètre étalon, et la partie consacrée aux suites géométriques y reviendra.

Pour $q>1$, on écrit $q=1+h$ avec $h>0$ : l'inégalité de Bernoulli, $(1+h{)}^n⩾1+nh$ pour $h⩾-1$, démontrée par récurrence plus loin dans ce chapitre, au paragraphe sur les suites géométriques, donne $q^n⩾1+nh$, et le théorème de comparaison conclut. Pour $0<\mid q\mid <1$, on applique ce résultat à ${\displaystyle \frac{1}{\mid q\mid }}>1$, d'où $\mid q{\mid }^n\to 0$ par passage à l'inverse, puis $q^n\to 0$.

En une phrase : le logarithme est battu par toute puissance, toute puissance est battue par toute exponentielle de raison strictement supérieure à $1$, l'exponentielle est battue par la factorielle, et la factorielle est battue par $n^n$. Chaque comparaison vaut quels que soient les exposants — $(\ln n{)}^{100}$ finit par être négligeable devant $n^{\mathrm{0,01}}$ — mais le rang à partir duquel cela se voit est repoussé très loin, ce qui rend toute vérification numérique trompeuse. La première limite relève des outils du chapitre sur les fonctions, où le logarithme est construit, et on l'admet ici ; les trois autres reposent sur le lemme suivant.

Démonstration, en trois lignes assumées comme telles — l'exercice qui lui est consacré détaille chacune d'elles. On choisit un réel $k$ tel que $\mathrm{\ell }<k<1$, puis on applique la définition de la limite du rapport avec $\epsilon =k-\mathrm{\ell }>0$ : il existe un rang $N$ tel que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}⩽k$, donc $u_{n+1}⩽k{u}_n$, pour tout $n⩾N$. Une récurrence immédiate donne $0<u_n⩽u_N{k}^{n-N}$ pour $n⩾N$. Comme $0<k<1$, ce majorant tend vers $0$, et le théorème d'encadrement conclut. $\mathrm{\square }$

Ces trois lignes contiennent le ressort de toute la section : un rapport qui reste sous un seuil $k<1$ à partir d'un certain rang impose à la suite une décroissance au moins géométrique. La condition $\mathrm{\ell }<1$ est essentielle, puisque $k$ doit pouvoir se glisser strictement entre $\mathrm{\ell }$ et $1$ ; lorsque le rapport tend vers $1$, le critère ne dit rien.

Démonstration de ${\displaystyle \frac{n^a}{q^n}}\to 0$. Posons $u_n={\displaystyle \frac{n^a}{q^n}}$ pour $n⩾1$ : tous les termes sont strictement positifs. Le rapport de deux termes consécutifs vaut

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1{)}^a}{q^{n+1}}\times \frac{q^n}{n^a}=\frac{1}{q}{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^a=\frac{1}{q}{(1+\frac{1}{n})}^a\mathrm{.}$$

La suite de terme général $1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$ converge vers $1$, et l'élévation à la puissance $a$ conserve cette limite : c'est immédiat par le théorème des opérations lorsque $a$ est entier, et l'on admet ici la continuité de $x\mapsto x^a$ pour $a$ réel quelconque, question qui relève du chapitre sur les fonctions. Le rapport converge donc vers ${\displaystyle \frac{1}{q}}$.

Comme $q>1$, on a $0<{\displaystyle \frac{1}{q}}<1$ : les hypothèses du critère du rapport sont vérifiées avec $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{1}{q}}$. Concrètement, le lemme fournit un réel $k$ tel que ${\displaystyle \frac{1}{q}}<k<1$ et un rang $N$ à partir duquel $u_n⩽u_N{k}^{n-N}$ : la suite est écrasée par une géométrique de raison $k<1$, qui tend vers $0$, et le théorème d'encadrement donne $u_n\to 0$. $\mathrm{\square }$

La même méthode donne les deux dernières limites du théorème, et c'est un bon entraînement que de la refaire : le rapport de deux termes consécutifs de ${\displaystyle \frac{q^n}{n!}}$ vaut ${\displaystyle \frac{q}{n+1}}$, qui tend vers $0$.

Factoriser le terme dominant

Le théorème de la limite monotone

Jusqu'ici, démontrer qu'une suite converge supposait de connaître sa limite : la définition quantifiée porte sur $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid$, et l'on ne peut pas écrire cette quantité sans candidat $\mathrm{\ell }$. Le théorème qui suit casse ce cercle. Il affirme l'existence d'une limite à partir de deux propriétés qui, elles, se lisent directement sur la suite : la monotonie et une majoration. Et il ne sort pas de nulle part : c'est l'axiome de la borne supérieure, transporté des parties de $\mathbb{R}$ aux suites.

Les quatre cas se résument en une phrase, à connaître sous cette forme : toute suite monotone admet une limite, finie si elle est bornée du bon côté, infinie sinon. Une suite monotone ne peut donc pas osciller.

Démonstration du cas 1. Supposons $(u_n)$ croissante et majorée.

Premier temps : l'objet $\sup A$ existe. L'ensemble $A$ est non vide, puisqu'il contient $u_0$. Il est majoré : dire que la suite est majorée, c'est dire qu'il existe un réel $M$ tel que $u_n⩽M$ pour tout $n$, et c'est exactement dire que $M$ majore $A$. L'axiome de la borne supérieure s'applique donc : le réel $\mathrm{\ell }=\sup A$ existe. À ce stade nous n'avons rien démontré sur la suite, nous avons seulement fabriqué le candidat limite, et c'est l'axiome qui nous l'a donné.

Deuxième temps : ce candidat est bien la limite. Soit $\epsilon >0$.

Par la caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$, il existe un élément $x$ de $A$ tel que $x>\mathrm{\ell }-\epsilon$. Or les éléments de $A$ sont les valeurs de la suite : cet $x$ s'écrit $x=u_N$ pour un certain entier $N$. Nous disposons donc d'un rang $N$ tel que $u_N>\mathrm{\ell }-\epsilon$.

C'est ici que la monotonie entre en jeu. Soit $n⩾N$. La suite étant croissante, une récurrence immédiate donne $u_N⩽u_n$. Par ailleurs $\mathrm{\ell }$ majore $A$, donc $u_n⩽\mathrm{\ell }$. En réunissant les deux :

$$\mathrm{\ell }-\epsilon <u_N⩽u_n⩽\mathrm{\ell }\mathrm{.}$$

Cet encadrement donne $-\epsilon <u_n-\mathrm{\ell }⩽0$, donc $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$.

Conclusion. Pour tout $\epsilon >0$, il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n⩾N$, $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. C'est mot pour mot la définition de la convergence : $u_n\to \mathrm{\ell }=\sup A$. $\mathrm{\square }$

Cette démonstration est le modèle de tout le chapitre, et il faut en retenir l'ordre des choix : on se donne $\epsilon$ d'abord, le rang $N$ est fabriqué ensuite à partir de $\epsilon$, et l'on prend $n⩾N$ en dernier. Une copie qui annonce son $N$ avant son $\epsilon$ démontre autre chose, souvent quelque chose de faux.

Démonstration du cas 2. Supposons $(u_n)$ croissante et non majorée, et soit $M$ un réel quelconque. Puisque la suite n'est pas majorée, $M$ n'est pas un majorant de $A$ : il existe donc un rang $N$ tel que $u_N>M$. Par croissance, pour tout $n⩾N$, on a $u_n⩾u_N>M$. Ainsi, pour tout réel $M$, il existe un rang à partir duquel tous les termes dépassent $M$ : c'est la définition de $u_n\to +\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Les cas 3 et 4 se déduisent des deux premiers sans calcul nouveau. Si $(u_n)$ est décroissante et minorée, la suite $(-u_n)$ est croissante et majorée, donc elle converge vers $\sup (-A)$ ; en repassant aux opposés, et en utilisant $\inf A=-\sup (-A)$ vu au début du chapitre, on obtient que $(u_n)$ converge vers $\inf A$. Le cas 4 se traite de même. $\mathrm{\square }$

Suites adjacentes

Le théorème de la limite monotone fournit une limite, mais aucune information sur sa position : on sait seulement qu'elle est sous le majorant. Les suites adjacentes réparent ce défaut : elles donnent l'existence d'un réel et un encadrement de ce réel, aussi fin qu'on veut.

Démonstration.

Premier temps : on montre que $u_n⩽v_n$ pour tout $n$. C'est l'étape que les copies sautent, en la croyant contenue dans les hypothèses. Elle n'y est pas : rien dans la définition ne dit dans quel ordre sont les deux suites, il faut le démontrer.

Posons $w_n=v_n-u_n$. Alors

$$w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)⩽0,$$

puisque le premier terme est négatif ou nul ($(v_n)$ décroît) et le second positif ou nul ($(u_n)$ croît). La suite $(w_n)$ est donc décroissante, et par hypothèse $w_n\to 0$. Supposons par l'absurde qu'il existe un rang $n_0$ tel que $w_{n_0}<0$. Par décroissance, $w_n⩽w_{n_0}$ pour tout $n⩾n_0$ ; en passant à la limite dans cette inégalité large, on obtient $0⩽w_{n_0}$, ce qui contredit $w_{n_0}<0$. Donc $w_n⩾0$ pour tout $n$, c'est-à-dire $u_n⩽v_n$.

Deuxième temps : les deux suites convergent. Pour tout $n$, la décroissance de $(v_n)$ donne $u_n⩽v_n⩽v_0$ : la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$, donc elle converge vers un réel $\mathrm{\ell }$ par le théorème de la limite monotone. Symétriquement, $v_n⩾u_n⩾u_0$, donc $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$ : elle converge vers un réel ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$.

Troisième temps : les deux limites sont égales. Par les opérations sur les limites, $v_n-u_n\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{\ell }$. Or $v_n-u_n\to 0$, et la limite d'une suite est unique : donc ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\ell }$.

Quatrième temps : l'encadrement. Fixons $n$. Pour tout $p⩾n$, la croissance donne $u_n⩽u_p$ ; en passant à la limite quand $p\to +\mathrm{\infty }$ dans cette inégalité large, à $n$ fixé, on obtient $u_n⩽\mathrm{\ell }$. Le même raisonnement sur $(v_p)$ donne $\mathrm{\ell }⩽v_n$. $\mathrm{\square }$

La rédaction attendue annonce les trois vérifications dans l'ordre — « $(u_n)$ est croissante », « $(v_n)$ est décroissante », « $v_n-u_n\to 0$ » — avant de conclure par le nom du théorème. Attention à la troisième : c'est bien $v_n-u_n\to 0$, et pas « les deux suites convergent », qui est une conclusion du théorème et non une hypothèse. Sans elle, deux suites monotones bornées convergent, mais vers des limites différentes : $u_n=-1\mathrm{/}n$ et $v_n=1+1\mathrm{/}n$.

Le théorème des segments emboîtés

C'est la traduction géométrique du théorème précédent. On l'utilisera tel quel dans la démonstration de Bolzano-Weierstrass.

Démonstration. Traduisons d'abord l'emboîtement : dire que $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$, c'est dire exactement que $a_n⩽a_{n+1}$ et $b_{n+1}⩽b_n$. La suite des extrémités gauches est donc croissante, celle des extrémités droites décroissante ; avec l'hypothèse $b_n-a_n\to 0$, les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes.

D'après le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une même limite $\mathrm{\ell }$, et $a_n⩽\mathrm{\ell }⩽b_n$ pour tout $n$. Cette dernière inégalité dit précisément que $\mathrm{\ell }\in I_n$ pour tout $n$ : l'intersection contient $\mathrm{\ell }$, elle est non vide.

Il reste à montrer qu'elle ne contient rien d'autre. Soient $x$ et $y$ deux éléments de l'intersection, avec $x⩽y$. Pour tout $n$, ils appartiennent tous deux à $I_n$, donc

$$a_n⩽x⩽y⩽b_n,\text{d’où}0⩽y-x⩽b_n-a_n\mathrm{.}$$

Le réel $y-x$ est une constante, coincée entre $0$ et une quantité qui tend vers $0$ : le passage à la limite donne $0⩽y-x⩽0$, donc $x=y$. L'intersection est bien réduite à un point. $\mathrm{\square }$

Suites extraites

On a souvent besoin de ne regarder qu'une partie des termes d'une suite : les rangs pairs, les rangs impairs, ou une sélection construite pour les besoins d'une démonstration. La bonne définition de « une partie des termes » passe par une application des rangs vers les rangs.

Les notations sont piégeuses. La suite extraite est indexée par $n$ : son terme de rang $n$ est le terme de rang $\phi (n)$ de la suite de départ. Le rôle de $\phi$ est de choisir des rangs, dans l'ordre et sans revenir en arrière, ce qu'exprime la stricte croissance.

Avec $\phi (n)=2n$ on obtient $(u_{2n})$, la suite des termes de rang pair ; avec $\phi (n)=2n+1$, celle des rangs impairs ; avec $\phi (n)=n^2$, la suite $u_0,u_1,u_4,u_9,\dots$ En revanche $(2u_n)$ n'a rien à voir avec $(u_{2n})$ : l'une multiplie les termes, l'autre les sélectionne. Et $n\mapsto \lfloor n\mathrm{/}2\rfloor$ n'est pas une extractrice : croissante, mais pas strictement, elle sélectionnerait deux fois le même rang.

Démonstration, par récurrence sur $n$. Initialisation : $\phi (0)$ est un entier naturel, donc $\phi (0)⩾0$. Hérédité : supposons $\phi (n)⩾n$. Comme $\phi$ est strictement croissante, $\phi (n+1)>\phi (n)⩾n$, donc $\phi (n+1)>n$. Or $\phi (n+1)$ est un entier strictement supérieur à l'entier $n$ : il est donc supérieur ou égal à $n+1$. Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n$. $\mathrm{\square }$

Le passage de $\phi (n+1)>n$ à $\phi (n+1)⩾n+1$ est le seul point délicat : il repose sur le fait que les valeurs sont entières, et sur des réels l'argument serait faux. Ce lemme dit une chose simple, qu'on utilisera sans arrêt : une extraite avance au moins aussi vite que la suite.

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Comme $u_n\to \mathrm{\ell }$, il existe un rang $N$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾N,\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Soit maintenant $n⩾N$. D'après le lemme fondamental, $\phi (n)⩾n$, donc $\phi (n)⩾N$ : le rang $\phi (n)$ est l'un de ceux auxquels s'applique l'inégalité ci-dessus, et par conséquent $\mid u_{\phi (n)}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$.

Nous avons donc exhibé, pour $\epsilon$ donné, un rang $N$ tel que tous les termes de l'extraite de rang supérieur ou égal à $N$ soient à distance au plus $\epsilon$ de $\mathrm{\ell }$ : c'est la définition de $u_{\phi (n)}\to \mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Cette démonstration est courte, et c'est ce qui la rend exemplaire : tout le travail est fait par le lemme $\phi (n)⩾n$, et le rang $N$ n'est même pas modifié. Une rédaction qui oublie de le citer saute la seule étape qui demandait une justification.

Le théorème précédent se lit dans un seul sens, de la suite vers ses extraites. La réciproque est fausse en général, puisqu'une extraite peut ignorer une partie entière de la suite : $(u_{2n})$ converge pour $u_n=(-1{)}^n$, sans que $(u_n)$ converge. Mais il existe un cas très utilisé où deux extraites suffisent : celui où elles se partagent tous les rangs.

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Comme $u_{2n}\to \mathrm{\ell }$, il existe $N_1$ tel que $\mid u_{2k}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour tout $k⩾N_1$ ; comme $u_{2n+1}\to \mathrm{\ell }$, il existe $N_2$ tel que $\mid u_{2k+1}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour tout $k⩾N_2$.

Posons $N=\max (2N_1,2N_2+1)$ et soit $n⩾N$. Deux cas, et deux seulement.

Si $n$ est pair, écrivons $n=2k$ avec $k=n\mathrm{/}2$. De $n⩾2N_1$ on tire $k⩾N_1$, donc $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$.

Si $n$ est impair, écrivons $n=2k+1$ avec $k=(n-1)\mathrm{/}2$. De $n⩾2N_2+1$ on tire $k⩾N_2$, donc $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. $\mathrm{\square }$

Deux points sont à retenir. Le premier est technique : on prend le maximum des deux rangs, geste qui reviendra chaque fois que deux hypothèses de convergence servent ensemble. Le second est de fond : l'énoncé ne fonctionne que parce que les rangs pairs et impairs recouvrent tout $\mathbb{N}$ ; avec $(u_{2n})$ et $(u_{3n})$, on ne conclurait rien. L'hypothèse « même limite » est tout aussi indispensable : pour $u_n=(-1{)}^n$, les deux extraites convergent, vers $1$ et $-1$, et la suite diverge.

Valeurs d'adhérence

Une suite qui ne converge pas n'est pas pour autant sans structure : $((-1{)}^n)$ ne converge pas, mais elle s'accumule autour de deux valeurs, $1$ et $-1$. Ces valeurs d'accumulation sont exactement les limites de ses suites extraites.

Telle quelle, cette définition demande d'exhiber une extractrice, ce qui n'est pas toujours commode. La caractérisation suivante la remplace : elle ne parle plus que de la suite elle-même.

En français : aussi loin qu'on regarde dans la suite, on retrouve des termes à distance au plus $\epsilon$ de $a$. La suite repasse infiniment souvent près de $a$. C'est la différence exacte avec la convergence : converger vers $a$, c'est y rester à partir d'un certain rang ; avoir $a$ pour valeur d'adhérence, c'est seulement y revenir sans cesse.

Démonstration du sens direct. Soit $\phi$ une extractrice telle que $u_{\phi (k)}\to a$, et soient $\epsilon >0$ et $N\in \mathbb{N}$. Il existe un rang $K$ tel que $\mid u_{\phi (k)}-a\mid ⩽\epsilon$ pour tout $k⩾K$. Choisissons $k=\max (K,N)$ et posons $n=\phi (k)$ : alors $\mid u_n-a\mid ⩽\epsilon$ puisque $k⩾K$, et $n⩾k⩾N$ par le lemme fondamental.

Démonstration de la réciproque. C'est elle qui contient le geste à retenir : on construit l'extractrice par récurrence, en la forçant à croître strictement. Supposons la propriété quantifiée vérifiée, et construisons $\phi$ telle que $\mid u_{\phi (k)}-a\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$ pour tout $k$.

Le premier terme. Appliquons la propriété avec $\epsilon =1$ et $N=0$ : il existe un rang $n$ tel que $\mid u_n-a\mid ⩽1$. Posons $\phi (0)=n$.

Le passage de $k$ à $k+1$. Supposons $\phi (0)<\phi (1)<\cdots <\phi (k)$ construits avec la propriété voulue. Appliquons l'hypothèse avec

$$\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{k+2}}\text{et}N=\phi (k)+1.$$

Elle fournit un rang $n⩾\phi (k)+1$ tel que $\mid u_n-a\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{k+2}}$. Posons $\phi (k+1)=n$ : alors $\phi (k+1)>\phi (k)$, et la propriété est vérifiée au rang $k+1$.

Conclusion. L'application $\phi$ ainsi construite est strictement croissante, c'est donc une extractrice, et $\mid u_{\phi (k)}-a\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$ pour tout $k$. Le membre de droite tend vers $0$, donc par encadrement $u_{\phi (k)}\to a$ : le réel $a$ est bien une valeur d'adhérence. $\mathrm{\square }$

Le choix $N=\phi (k)+1$ est le cœur de la construction. Avec un $N$ quelconque, rien n'empêcherait de retomber sur un rang déjà choisi, voire sur le même indéfiniment : $\phi$ ne serait pas strictement croissante, et $(u_{\phi (k)})$ ne serait pas une suite extraite. Ce geste se retrouvera à l'identique dans la démonstration de Bolzano-Weierstrass.

Ce dernier exemple montre où est la difficulté : rien ne garantit a priori qu'une suite possède ne serait-ce qu'une valeur d'adhérence. C'est Bolzano-Weierstrass qui donnera cette garantie. Auparavant, énonçons le résultat qui fait le lien entre adhérence et convergence.

Sa démonstration a besoin de Bolzano-Weierstrass : elle est donnée à la fin de la section suivante, avec le contre-exemple qui montre que l'hypothèse « bornée » n'est pas décorative.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass

C'est le théorème d'existence le plus puissant du chapitre, et le seul dont la démonstration construise réellement un objet. Il n'exige ni monotonie, ni convergence, ni régularité d'aucune sorte : une suite bornée, si erratique soit-elle, contient toujours une partie qui converge.

Démonstration, par dichotomie. Soit $(u_n)$ bornée : il existe deux réels $m⩽M$ tels que $u_n\in [m,M]$ pour tout $n$.

Première partie : la construction des segments. Nous construisons par récurrence une suite de segments $I_k=[{\alpha }_k,{\beta }_k]$ vérifiant les trois propriétés suivantes :

1. $I_{k+1}\subset I_k$ ;
2. la longueur de $I_k$ vaut ${\displaystyle \frac{M-m}{2^k}}$ ;
3. l'ensemble $E_k=\{n\in \mathbb{N}\mid u_n\in I_k\}$ des rangs dont le terme tombe dans $I_k$ est infini.

Posons $I_0=[m,M]$ : les points 1 et 2 sont vrais par construction, et le point 3 aussi puisque $E_0=\mathbb{N}$.

Supposons $I_k$ construit avec ces propriétés. Notons $m_k={\displaystyle \frac{{\alpha }_k+{\beta }_k}{2}}$ son milieu et coupons $I_k$ en deux moitiés, $G_k=[{\alpha }_k,m_k]$ et $D_k=[m_k,{\beta }_k]$. Comme $I_k=G_k\cup D_k$, tout rang de $E_k$ est un rang dont le terme tombe dans $G_k$ ou dans $D_k$. Or $E_k$ est infini, et une réunion de deux ensembles finis est finie : les deux ensembles de rangs ne peuvent pas être finis tous les deux. Au moins l'une des deux moitiés contient donc les termes d'une infinité de rangs. On pose $I_{k+1}=G_k$ si c'est le cas de la moitié gauche, et $I_{k+1}=D_k$ sinon ; cette convention sert seulement à rendre le choix déterminé. Les trois propriétés sont vérifiées au rang $k+1$.

Deuxième partie : la limite. Les segments $I_k$ sont emboîtés et leur longueur tend vers $0$. Le théorème des segments emboîtés s'applique : il existe un réel $\mathrm{\ell }$ tel que

$$\bigcap _{k\in \mathbb{N}}{I}_k=\{\mathrm{\ell }\},\text{et}{\alpha }_k\to \mathrm{\ell },{\beta }_k\to \mathrm{\ell }\mathrm{.}$$

Troisième partie : la construction de l'extractrice. C'est le point que les copies ratent, et le seul endroit du chapitre où l'on fabrique une extractrice à la main. On construit $\phi (k)$ par récurrence en imposant deux conditions à chaque étape : $u_{\phi (k)}\in I_k$ (le terme choisi est dans le bon segment) et $\phi (k+1)>\phi (k)$ (les rangs choisis croissent strictement).

Pour $k=0$, on pose $\phi (0)=0$, ce qui convient puisque $u_0\in I_0$.

Supposons $\phi (0)<\phi (1)<\cdots <\phi (k)$ construits, avec $u_{\phi (j)}\in I_j$ pour tout $j⩽k$. L'ensemble $E_{k+1}$ est infini par construction. Or une partie infinie de $\mathbb{N}$ n'est pas majorée : elle contient donc des entiers strictement supérieurs à $\phi (k)$. Choisissons pour $\phi (k+1)$ le plus petit entier de $E_{k+1}$ strictement supérieur à $\phi (k)$ : les deux conditions sont satisfaites.

Pourquoi exiger $\phi (k+1)>\phi (k)$ ? Parce que sans stricte croissance, $\phi$ n'est pas une extractrice et $(u_{\phi (k)})$ n'est pas une suite extraite : on pourrait choisir indéfiniment le même rang, obtenir une suite constante, et n'avoir rien démontré sur $(u_n)$.

Pourquoi est-ce possible ? Parce que $I_{k+1}$ ne contient pas seulement un terme de la suite, mais les termes d'une infinité de rangs. Si l'on savait seulement que « $I_{k+1}$ contient un terme de la suite », les rangs disponibles pourraient être en nombre fini et tous inférieurs à $\phi (k)$ : la construction s'arrêterait. C'est pour cela, et uniquement pour cela, qu'on a pris soin à chaque dichotomie de garder la moitié contenant une infinité de rangs, et non simplement une moitié non vide.

Quatrième partie : la conclusion. Pour tout $k$, $u_{\phi (k)}\in I_k$, c'est-à-dire ${\alpha }_k⩽u_{\phi (k)}⩽{\beta }_k$. Les deux suites encadrantes tendent vers $\mathrm{\ell }$ : d'après le théorème d'encadrement, $u_{\phi (k)}\to \mathrm{\ell }$. La suite extraite converge. $\mathrm{\square }$

La figure donne les deux idées en même temps : à chaque étape on ne garde que la moitié contenant encore une infinité de points de la suite, et l'on y prélève un terme dont le rang dépasse tous les précédents. Les segments se resserrent autour d'un unique réel, et les termes prélevés, prisonniers de ces segments, convergent vers lui.

Retour sur la valeur d'adhérence unique

Démontrons maintenant le théorème énoncé à la fin de la section précédente : une suite bornée qui n'a qu'une seule valeur d'adhérence converge.

Démonstration. Soit $(u_n)$ bornée, d'unique valeur d'adhérence $a$. Raisonnons par l'absurde en supposant que $(u_n)$ ne converge pas vers $a$.

Ce que dit la négation. Nier « $u_n\to a$ » donne : il existe ${\epsilon }_0>0$ tel que, pour tout $N$, il existe un rang $n⩾N$ vérifiant $\mid u_n-a\mid >{\epsilon }_0$.

On en tire une extraite qui reste loin de $a$. Cette propriété a exactement la forme de la caractérisation des valeurs d'adhérence, avec l'inégalité renversée : le même geste de construction s'applique. On choisit $\psi (0)$ tel que $\mid u_{\psi (0)}-a\mid >{\epsilon }_0$, puis, $\psi (k)$ étant choisi, on applique la propriété avec $N=\psi (k)+1$ pour obtenir un rang $\psi (k+1)>\psi (k)$ vérifiant la même inégalité. L'application $\psi$ est strictement croissante, et $\mid u_{\psi (k)}-a\mid >{\epsilon }_0$ pour tout $k$.

On applique Bolzano-Weierstrass à cette extraite. La suite $(u_{\psi (k)})$ est extraite d'une suite bornée, donc bornée : il existe une extractrice $\phi$ et un réel $b$ tels que $u_{\psi (\phi (k))}\to b$. Posons $\theta =\psi \circ \phi$ ; comme la composée de deux applications strictement croissantes est strictement croissante, $\theta$ est une extractrice et $u_{\theta (k)}\to b$. Le réel $b$ est donc une valeur d'adhérence de $(u_n)$, et par unicité $b=a$.

La contradiction. Pour tout $k$, la seconde inégalité triangulaire donne

$$\mid \mid u_{\theta (k)}-a\mid -\mid b-a\mid \mid ⩽\mid u_{\theta (k)}-b\mid ,$$

et le membre de droite tend vers $0$ : donc $\mid u_{\theta (k)}-a\mid \to \mid b-a\mid =0$. Mais le passage à la limite dans l'inégalité large $\mid u_{\theta (k)}-a\mid ⩾{\epsilon }_0$ donne $0⩾{\epsilon }_0$, ce qui est absurde. L'hypothèse de départ est donc fausse : $(u_n)$ converge vers $a$. $\mathrm{\square }$

Suites de Cauchy et complétude de R

Reprenons le problème initial du chapitre : pour démontrer qu'une suite converge avec la définition, il faut un candidat limite. Le théorème de la limite monotone a fourni une première échappatoire, mais au prix d'une hypothèse forte. Le critère qui suit n'en demande aucune.

Lisons cette définition mot à mot, en la comparant à celle de la limite. « Pour tout $\epsilon >0$ » : on se donne d'abord un seuil de précision, comme toujours. « Il existe un rang $N$ » : ce rang dépend de $\epsilon$, comme toujours. « Pour tous $p$ et $q$ supérieurs à $N$ » : et c'est ici que tout change. La définition de la limite comparait $u_n$ à $\mathrm{\ell }$ ; celle-ci compare $u_p$ à $u_q$, c'est-à-dire deux termes de la suite entre eux. La limite n'apparaît nulle part.

C'est tout l'intérêt du critère : une suite de Cauchy est une suite dont les termes finissent par se regrouper, sans qu'on ait à dire autour de quoi. On ne parle que d'écarts internes, calculables à partir de la formule qui définit la suite.

C'est la même image que pour la définition de la limite, lue autrement. Là-bas, on regardait la bande centrée sur $\mathrm{\ell }$, et l'on constatait que les termes y entraient à partir du rang $N$. Attention au facteur $2$ en passant de l'une à l'autre : d'une bande de demi-largeur $\epsilon$, l'inégalité triangulaire ne tire que $\mid u_p-u_q\mid ⩽2\epsilon$, et c'est précisément pour cela que la démonstration ci-dessous part de ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$. Ici, on oublie la droite horizontale et l'on ne retient que la fenêtre : à partir du rang $N$, tous les termes tiennent dans une fenêtre de hauteur $\epsilon$, donc deux termes quelconques de rangs supérieurs à $N$ sont distants de moins de $\epsilon$. Même dessin, sans le repère central.

Démonstration. Supposons $u_n\to \mathrm{\ell }$ et soit $\epsilon >0$. La définition de la limite vaut pour tout réel strictement positif, donc en particulier pour ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ : il existe un rang $N$ tel que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour tout $n⩾N$.

Soient alors $p⩾N$ et $q⩾N$. Faisons apparaître $\mathrm{\ell }$ dans la différence, puis appliquons l'inégalité triangulaire :

$$\mid u_p-u_q\mid =\mid (u_p-\mathrm{\ell })+(\mathrm{\ell }-u_q)\mid ⩽\mid u_p-\mathrm{\ell }\mid +\mid u_q-\mathrm{\ell }\mid \mathrm{.}$$

Les deux termes de droite sont majorés par ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$, donc $\mid u_p-u_q\mid ⩽\epsilon$. Le rang $N$ convient dans la définition du critère : la suite est de Cauchy. $\mathrm{\square }$

Le procédé servira encore deux fois dans cette section : on applique l'hypothèse à ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ parce qu'on sait d'avance qu'on va additionner deux majorations. Rien ne l'interdit, puisque la définition vaut pour tout $\epsilon >0$, et cela permet de conclure sur $\epsilon$ exactement.

Démonstration. Soit $(u_n)$ de Cauchy. Appliquons le critère avec la valeur particulière $\epsilon =1$ : il existe un rang $N$ tel que $\mid u_p-u_q\mid ⩽1$ pour tous $p,q⩾N$.

Prenons en particulier $q=N$. Pour tout $n⩾N$ on a $\mid u_n-u_N\mid ⩽1$, d'où, par l'inégalité triangulaire,

$$\mid u_n\mid =\mid (u_n-u_N)+u_N\mid ⩽1+\mid u_N\mid \mathrm{.}$$

Tous les termes de rang supérieur ou égal à $N$ sont donc bornés par $1+\mid u_N\mid$. Restent $u_0,u_1,\dots ,u_{N-1}$ : ils sont en nombre fini, donc l'ensemble de leurs valeurs absolues admet un plus grand élément. En posant

$$M=\max (\mid u_0\mid ,\dots ,\mid u_{N-1}\mid ,1+\mid u_N\mid ),$$

on obtient $\mid u_n\mid ⩽M$ pour tout $n$. $\mathrm{\square }$

On retrouve le découpage utilisé pour démontrer qu'une suite convergente est bornée : un nombre fini de termes ne peut jamais empêcher une suite d'être bornée. Toute la difficulté porte sur la queue de la suite, et c'est elle que l'hypothèse contrôle.

Démonstration. Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy. Le chemin comporte trois étapes, et c'est la dernière qui compte.

Étape 1 : la suite est bornée. C'est le théorème qu'on vient de démontrer.

Étape 2 : une extraite converge. La suite étant bornée, Bolzano-Weierstrass fournit une extractrice $\phi$ et un réel $\mathrm{\ell }$ tels que $u_{\phi (k)}\to \mathrm{\ell }$. Attention à ce qui est acquis ici : on sait qu'une partie de la suite converge vers $\mathrm{\ell }$, et rien du tout sur le reste. C'est le critère de Cauchy qui va propager cette information à la suite entière.

Étape 3 : la limite se propage. Soit $\epsilon >0$.

La suite étant de Cauchy, appliquons le critère à ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ : il existe un rang $N_1$ tel que

$$\mathrm{\forall }p⩾N_1,\mathrm{\forall }q⩾N_1,\mid u_p-u_q\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}\mathrm{.}$$

L'extraite convergeant vers $\mathrm{\ell }$, appliquons aussi sa définition à ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ : il existe un rang $N_2$ tel que $\mid u_{\phi (k)}-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour tout $k⩾N_2$.

Posons $N=\max (N_1,N_2)$ et soit $n⩾N$. Nous allons comparer $u_n$ à $\mathrm{\ell }$ en passant par un terme relais, à savoir $u_{\phi (N)}$ : c'est un terme de la suite, et c'est aussi un terme de l'extraite, donc les deux majorations s'y appliquent.

D'une part, $\phi (N)⩾N⩾N_1$ par le lemme fondamental sur les extractrices, et $n⩾N⩾N_1$ : les deux rangs $n$ et $\phi (N)$ sont au-delà de $N_1$, donc le critère de Cauchy donne $\mid u_n-u_{\phi (N)}\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$. D'autre part, $N⩾N_2$, donc la convergence de l'extraite donne $\mid u_{\phi (N)}-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$. Il ne reste qu'à recoller par l'inégalité triangulaire :

$$\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\mid u_n-u_{\phi (N)}\mid +\mid u_{\phi (N)}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Nous avons donc trouvé, pour $\epsilon$ donné, un rang $N$ au-delà duquel tous les termes sont à distance au plus $\epsilon$ de $\mathrm{\ell }$ : la suite converge vers $\mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Trois détails de cette dernière étape méritent d'être soulignés, parce que ce sont les trois endroits où une copie perd ses points.

D'abord, le relais $u_{\phi (N)}$ est fixé : on choisit un rang extrait, un seul, qu'on ne fait pas varier avec $n$. Ensuite, l'inégalité $\phi (N)⩾N$ n'est pas un détail de confort : sans elle, rien ne dit que le rang $\phi (N)$ est au-delà de $N_1$, et le critère de Cauchy ne s'applique pas.

Enfin, la limite $\mathrm{\ell }$ n'a pas été devinée : elle a été fabriquée par Bolzano-Weierstrass, donc par les segments emboîtés, donc par les suites adjacentes, donc par la limite monotone, donc par l'axiome de la borne supérieure. Le fil rouge du chapitre se referme exactement ici : le théorème de complétude est le cinquième et dernier descendant de l'axiome.

Un modèle de rédaction : le théorème de Cesàro

Le résultat qui suit n'est pas un exercice de ce chapitre, et il ne sera pas réutilisé plus loin. Il figure ici pour une autre raison : sa démonstration est le prototype d'un raisonnement qu'on retrouve partout en analyse, le découpage d'une somme en deux paquets. Il faut savoir la refaire, moins pour l'énoncé lui-même que pour le schéma qu'elle installe.

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. L'idée est de mesurer l'écart $v_n-\mathrm{\ell }$ en séparant les premiers termes, sur lesquels on ne sait rien, des termes de rang élevé, qui sont tous proches de $\mathrm{\ell }$.

Le point de départ. Comme $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{n\mathrm{\ell }}{n}}$, on peut écrire $v_n-\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{k=1}^n(u_k-\mathrm{\ell })$, puis, par l'inégalité triangulaire appliquée à cette somme,

$$\mid v_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n\mid u_k-\mathrm{\ell }\mid \mathrm{.}$$

Le choix du rang de coupure. Puisque $u_n\to \mathrm{\ell }$, il existe un rang $N_1$ tel que $\mid u_k-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour tout $k⩾N_1$. Ce rang est désormais fixé : il dépend de $\epsilon$, mais plus de rien d'autre, et surtout pas de $n$. Coupons la somme en ce rang : pour $n>N_1$,

$$\mid v_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^{N_1}\mid u_k-\mathrm{\ell }\mid +{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=N_1+1}^n\mid u_k-\mathrm{\ell }\mid$$

Le premier paquet contient un nombre fini de termes, indépendant de $n$ ; le second ne contient que des termes de rang élevé, ceux que l'hypothèse contrôle.

Le premier paquet. Posons $C={\sum }_{k=1}^{N_1}\mid u_k-\mathrm{\ell }\mid$. C'est une constante : une somme d'un nombre fixé de réels fixés. Le premier paquet vaut donc ${\displaystyle \frac{C}{n}}$, qui tend vers $0$ ; d'après la propriété d'Archimède, il existe un rang $N_2$ tel que ${\displaystyle \frac{C}{n}}⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour tout $n⩾N_2$.

Le second paquet. Tous ses termes sont d'indice $k>N_1$, donc chacun est majoré par ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$. Comme il y en a $n-N_1$,

$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=N_1+1}^n\mid u_k-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{n-N_1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}},$$

puisque ${\displaystyle \frac{n-N_1}{n}}⩽1$.

Conclusion. Posons $N=\max (N_1+1,N_2)$. Pour tout $n⩾N$, les deux paquets sont chacun majorés par ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$, donc $\mid v_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ : la suite $(v_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Suites arithmétiques et géométriques

Ces deux familles sont les seules dont on sache tout écrire par des formules fermées, et presque toutes les méthodes de la fin de ce chapitre consistent à ramener une suite inconnue à l'une d'elles.

Suites arithmétiques

Démonstration. On écrit $u_n-u_0$ comme la somme des écarts successifs :

$$u_n-u_0=\sum _{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)=\sum _{k=0}^{n-1}r=nr\mathrm{.}$$

La première égalité est un télescopage : dans la somme développée, chaque terme apparaît une fois avec le signe $+$ et une fois avec le signe $-$, sauf $u_n$ et $u_0$ aux extrémités. $\mathrm{\square }$

La forme à retenir : le nombre de termes, multiplié par la demi-somme du premier et du dernier. Elle vaut sur toute tranche, à condition de compter juste : de $p$ à $n$ inclus il y a $n-p+1$ termes.

Démonstration. Tout repose sur la somme des premiers entiers, obtenue elle aussi par télescopage : de $(k+1{)}^2-k^2=2k+1$, sommée pour $k$ de $0$ à $n$, on tire $(n+1{)}^2=2{\sum }_{k=0}^{n}k+(n+1)$, donc

$$\sum _{k=0}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\mathrm{.}$$

Comme $u_k=u_0+kr$, la somme vaut $(n+1)u_0+r{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}={\displaystyle \frac{n+1}{2}}(2u_0+nr)$, et $2u_0+nr$ n'est autre que $u_0+u_n$. $\mathrm{\square }$

La limite ne demande aucun outil : la suite tend vers $+\mathrm{\infty }$ si $r>0$, vers $-\mathrm{\infty }$ si $r<0$, et ne converge que si $r=0$.

Suites géométriques

Démonstration. Posons $S=1+q+q^2+\cdots +q^n$. L'astuce consiste à calculer $(1-q)S$ plutôt que $S$ :

$$(1-q)S=(1+q+\cdots +q^n)-(q+q^2+\cdots +q^{n+1}),$$

et tout se détruit deux à deux sauf $1$ et $q^{n+1}$. Il reste $(1-q)S=1-q^{n+1}$, et comme $q\mathrm{\ne }1$ on peut diviser par $1-q$. $\mathrm{\square }$

La limite d'une suite géométrique

Tout tient dans le comportement de $q^n$, via une inégalité qui resservira souvent.

Démonstration par récurrence sur $n$. Pour $n=0$, les deux membres valent $1$. Si l'inégalité est vraie au rang $n$, on la multiplie par $1+x$, ce qui est licite sans changement de sens puisque $1+x⩾0$ (c'est là que sert l'hypothèse $x⩾-1$) :

$$(1+x{)}^{n+1}⩾(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+n{x}^2⩾1+(n+1)x,$$

la dernière inégalité venant de $n{x}^2⩾0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du cas $\mid q\mid <1$. Si $q=0$, la suite est nulle dès le rang $1$. Sinon ${\displaystyle \frac{1}{\mid q\mid }}>1$, ce qui permet de poser $x={\displaystyle \frac{1}{\mid q\mid }}-1>0$, de sorte que ${\displaystyle \frac{1}{\mid q\mid }}=1+x$. Bernoulli donne ${\left({\displaystyle \frac{1}{\mid q\mid }}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}⩾1+nx$, c'est-à-dire, en passant aux inverses de deux quantités strictement positives,

$$0⩽\mid q^n\mid =\mid q{\mid }^n⩽{\displaystyle \frac{1}{1+nx}}\mathrm{.}$$

Comme $x>0$, ce majorant tend vers $0$ : le théorème d'encadrement donne $\mid q^n\mid \to 0$, donc $q^n\to 0$. $\mathrm{\square }$

Les trois autres cas tiennent en une phrase. Pour $q>1$, on écrit $q=1+x$ avec $x>0$, et Bernoulli donne $q^n⩾1+nx$, minorant qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ : le théorème de comparaison conclut. Pour $q⩽-1$, $q^{2n}=(q^2{)}^n$ tend vers $1$ si $q=-1$ et vers $+\mathrm{\infty }$ si $q<-1$, tandis que $q^{2n+1}=q\times (q^2{)}^n$ tend vers $-1$ ou vers $-\mathrm{\infty }$ : deux extraites de limites différentes interdisent toute limite.

Suites arithmético-géométriques

Ni la différence $u_{n+1}-u_n$ ni le quotient ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ n'est constant : aucune formule précédente ne s'applique. La méthode consiste à faire disparaître le $b$, et il faut comprendre pourquoi elle marche.

Si un réel $r$ vérifie $r=ar+b$, soustrayons cette égalité de la relation de récurrence, membre à membre :

$$u_{n+1}-r=a{u}_n+b-(ar+b)=a(u_n-r)\mathrm{.}$$

Le terme constant $b$ s'est éliminé de lui-même, et il ne reste qu'une proportionnalité : mesurée depuis $r$, la suite est géométrique. Le point fixe n'est donc pas une astuce, c'est la seule valeur depuis laquelle la suite se voit géométrique, et la seule limite possible si elle converge.

Et si $a=1$ ? La relation devient $u_{n+1}=u_n+b$ : la suite est arithmétique de raison $b$, de terme général $u_n=u_0+nb$. La méthode ne s'applique pas, et il faut savoir dire pourquoi : l'équation $r=r+b$ se réduit à $b=0$ et n'a donc aucune solution quand $b\mathrm{\ne }0$. Il n'existe pas de valeur depuis laquelle la suite serait géométrique.

Récurrences linéaires d'ordre 2

Une telle suite est déterminée par deux données initiales. L'hypothèse $b\mathrm{\ne }0$ écarte le cas $u_{n+2}=a{u}_{n+1}$, où la suite est géométrique dès le rang $1$.

D'où vient cette équation ? De la question existe-t-il des suites géométriques solutions ? Si $u_n=r^n$ avec $r\mathrm{\ne }0$, la relation s'écrit $r^{n+2}=a{r}^{n+1}+b{r}^n$, et la division par $r^n$ laisse exactement $r^2=ar+b$. Les racines sont les raisons des suites géométriques solutions, et toutes les autres se fabriquent à partir de celles-là.

Pourquoi ces formules

La justification tient en deux temps, dont aucun ne demande la théorie des espaces vectoriels.

Premier temps : les suites proposées vérifient bien la récurrence. Dans le cas 1, $(r^n)$ la vérifie dès que $r$ est racine, par le calcul fait plus haut ; et comme la relation est linéaire en $u$, toute combinaison de deux solutions est encore solution.

Dans le cas 2, la racine double vaut $r={\displaystyle \frac{a}{2}}$, donc $a=2r$, et $\mathrm{\Delta }=0$ donne $b=-r^2$ (en particulier $r\mathrm{\ne }0$ puisque $b\mathrm{\ne }0$). Le membre de droite de la récurrence vaut alors

$$2r(A+B(n+1))r^{n+1}-r^2(A+Bn)r^n=r^{n+2}(2(A+Bn)+2B-(A+Bn)),$$

soit $r^{n+2}(A+B(n+2))$, qui est exactement $u_{n+2}$.

Dans le cas 3, soit $z=\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ l'une des racines : $(z^n)$ vérifie $z^{n+2}=a{z}^{n+1}+b{z}^n$. Comme $a$ et $b$ sont réels, on prend la partie réelle puis la partie imaginaire des deux membres : les suites ${\rho }^n\cos (n\theta )$ et ${\rho }^n\sin (n\theta )$ vérifient chacune la récurrence, et leurs combinaisons aussi.

Second temps : les constantes existent et sont uniques. Écrire la forme générale aux rangs $0$ et $1$ donne un système linéaire de deux équations aux inconnues $A$ et $B$, de déterminant $r_2-r_1$ dans le cas 1, $r$ dans le cas 2 et $\rho \sin \theta$ dans le cas 3 : il est non nul à chaque fois, donc le système a une solution et une seule. La suite obtenue coïncide alors avec $(u_n)$ aux rangs $0$ et $1$, et la relation propage l'égalité à tous les rangs.

Le cas des racines complexes, traité en entier

C'est le cas qui inquiète, un nombre complexe surgissant là où la question ne parle que de réels. Les complexes ne servent qu'à fabriquer la solution : la formule finale n'en contient aucun.

Les deux autres cas suivent le même protocole : $u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n$ donne $r^2-6r+9=0$, de racine double $3$, donc $u_n=(A+Bn)3^n$. Avec deux racines réelles distinctes, c'est la racine de plus grand module qui impose le comportement à l'infini, à condition que le coefficient qui l'accompagne soit non nul : si ce coefficient est nul, c'est l'autre racine qui décide.

Suites définies par récurrence

Une fonction $f$, une valeur initiale $u_0$, la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ : les trois sections précédentes en étaient les cas $f$ affine. Sinon, il n'y a en général aucune formule pour $u_n$, toute l'information se tire de $f$, et l'étude suit toujours le même ordre.

La suite est-elle bien définie ?

Si $f$ n'est définie que sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que le calcul amène un terme négatif, la suite s'arrête, et tout ce qu'on écrit ensuite ne porte sur rien. La question vient donc en premier.

Démonstration. Par récurrence, avec $P(n)$ : « $u_n$ est défini et $u_n\in I$ ». $P(0)$ est l'hypothèse sur $u_0$. Si $P(n)$ est vraie, alors $u_n\in I$, donc $f(u_n)$ a un sens et $u_{n+1}$ est défini ; et la stabilité donne $u_{n+1}=f(u_n)\in I$. $\mathrm{\square }$

On cherche donc un intervalle stable contenant $u_0$, souvent délimité par des points fixes de $f$. Si $f$ est croissante sur $[\alpha ,\beta ]$, il suffit de vérifier $f(\alpha )⩾\alpha$ et $f(\beta )⩽\beta$ ; sinon, on majore et minore $f(x)$ sur $I$. Service décisif au passage : si $I$ est borné, la suite est bornée.

Monotonie, premier chemin : $f$ croissante

Démonstration. Supposons $u_0⩽u_1$ et montrons par récurrence $P(n)$ : « $u_n⩽u_{n+1}$ ». L'initialisation est l'hypothèse. Si $P(n)$ est vraie, les réels $u_n$ et $u_{n+1}$ appartiennent à $I$, et $f$ étant croissante sur $I$, elle conserve l'inégalité :

$$f(u_n)⩽f(u_{n+1}),\text{c’est-à-dire}{u}_{n+1}⩽u_{n+2}\mathrm{.}$$

Le cas $u_1⩽u_0$ se traite de même. $\mathrm{\square }$

Monotonie, second chemin : le signe de $f(x)-x$

La démonstration tient en une ligne, et c'est ce qui fait la valeur de la méthode : $u_n$ appartient à $I$, donc $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n$ a le signe annoncé. Aucune récurrence, aucune hypothèse sur $f$.

Ce chemin est presque toujours le plus rapide, et comme $x\mapsto f(x)-x$ s'annule aux points fixes de $f$, l'étude de son signe les donne du même coup.

Quand $f$ est décroissante

Une fonction décroissante renverse les inégalités, donc les appliquer deux fois les rétablit. Or $u_{2(n+1)}=f(f(u_{2n}))$ : les rangs pairs forment la suite récurrente associée à $f\circ f$, croissante, et la propriété précédente s'y applique comme aux rangs impairs. Les sens sont opposés parce que $u_{2n+3}-u_{2n+1}=f(u_{2n+2})-f(u_{2n})$ est de signe contraire à $u_{2n+2}-u_{2n}$.

On conclut avec la section sur les suites extraites, dont le critère se cite plutôt qu'il ne se redémontre : si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite, $(u_n)$ converge vers elle ; sinon, $(u_n)$ diverge.

La limite est un point fixe

Démonstration. La suite $(u_{n+1})$ est extraite de $(u_n)$, avec l'extractrice $\phi (n)=n+1$ : elle converge donc vers $\mathrm{\ell }$. Par ailleurs $u_n\to \mathrm{\ell }$ et $f$ est continue en $\mathrm{\ell }$, donc $f(u_n)\to f(\mathrm{\ell })$, ce qui est le point admis. Or $f(u_n)=u_{n+1}$ pour tout $n$ : la même suite converge à la fois vers $\mathrm{\ell }$ et vers $f(\mathrm{\ell })$, et l'unicité de la limite donne $f(\mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Quand $f$ n'est définie que sur $I$, il faut encore savoir que $\mathrm{\ell }\in I$, sans quoi $f(\mathrm{\ell })$ n'a pas de sens. Si $I=[\alpha ,\beta ]$ est un segment stable, c'est automatique : le passage à la limite dans $\alpha ⩽u_n⩽\beta$ donne $\alpha ⩽\mathrm{\ell }⩽\beta$. Avec un intervalle ouvert, la conclusion tombe.

Suites complexes

C'est la définition réelle à un mot près. Module et valeur absolue mesurent une distance et vérifient la même inégalité triangulaire : toutes les démonstrations qui n'utilisaient que la distance se transposent, à commencer par l'unicité de la limite et les opérations sur les limites.

Démonstration. Elle repose sur deux encadrements valables pour tout complexe $w$ : $\mid \mathrm{R}\mathrm{e}(w)\mid ⩽\mid w\mid$ et $\mid \mathrm{I}\mathrm{m}(w)\mid ⩽\mid w\mid$ d'une part, $\mid w\mid ⩽\mid \mathrm{R}\mathrm{e}(w)\mid +\mid \mathrm{I}\mathrm{m}(w)\mid$ d'autre part. Appliqués à $w=z_n-z$, le premier montre que la convergence de $(z_n)$ entraîne celle des deux suites réelles, le second la réciproque. $\mathrm{\square }$

La démonstration se ramène au cas réel, puisque $\mid q^n\mid =\mid q{\mid }^n$ et que $\mid z_n\mid \to 0$ équivaut à $z_n\to 0$. Quand $\mid q\mid =1$ sans que $q$ vaille $1$, la suite parcourt indéfiniment le cercle unité sans se fixer.

Ce qui ne se transpose pas. Le corps $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné, et tout ce qui reposait sur l'ordre disparaît. La monotonie n'existe pas pour une suite complexe : seule la suite réelle de ses modules peut être monotone, ce qui est une tout autre affirmation. Le théorème de la limite monotone tombe avec elle, sans énoncé de remplacement. Les suites adjacentes disparaissent aussi, faute d'une suite croissante et d'une décroissante, ainsi que les segments emboîtés, qui parlent d'intervalles. En revanche Bolzano-Weierstrass survit : de toute suite complexe bornée on extrait une suite convergente, en appliquant le théorème réel aux parties réelles, puis aux parties imaginaires de l'extraite obtenue. Le critère de Cauchy survit aussi, ne parlant que de distances.

Quel théorème pour quelle situation

Ce qu'il faut retenir

Reste le fil rouge, et c'est peut-être la seule chose à ne pas oublier : tout descend de l'axiome de la borne supérieure. De lui vient le théorème de la limite monotone, la limite d'une suite croissante majorée n'étant rien d'autre que la borne supérieure de ses valeurs. De la limite monotone viennent les suites adjacentes, en l'appliquant à chacune puis en comparant les limites. Des suites adjacentes viennent les segments emboîtés, dont les extrémités forment un couple de suites adjacentes. De là vient, par dichotomie, Bolzano-Weierstrass, et de Bolzano-Weierstrass la complétude de $\mathbb{R}$ : une suite de Cauchy est bornée, donc admet une extraite convergente, et le critère propage la limite à la suite entière.

Cinq théorèmes, une seule source : c'est ce qui sépare un cours de première année d'un catalogue de recettes, et c'est la réponse à « pourquoi tout cela est-il faux dans $\mathbb{Q}$ ? ».

Les six phrases qu'un correcteur attend