Devoir surveillé — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité

Les deux questions sont indépendantes.

1. (1,5 pt) Soit $I$ un intervalle et $v:I\to \mathbb{R}$. On considère la proposition suivante, écrite en français (le « ou » est inclusif) :

« $v$ est croissante sur $I$, ou $v$ est décroissante sur $I$. »

a. Écrire cette proposition avec les quantificateurs.

b. Écrire sa négation, en faisant descendre la négation jusqu'aux inégalités : aucun symbole de négation ne doit subsister.

c. Appliquer cette négation à la fonction $v:x\mapsto \sin x$ sur $I=[0,\pi ]$ pour démontrer qu'elle n'y est pas monotone.

2. (1,5 pt) Dire si chacune des quatre affirmations suivantes est vraie ou fausse. On justifiera brièvement chaque réponse : si l'affirmation est vraie, en nommant le théorème invoqué et en vérifiant ses hypothèses ; si elle est fausse, par un contre-exemple explicite dont on justifiera qu'il contredit bien l'affirmation.

a. Toute fonction continue sur $[0,1]$ y est bornée.

b. Toute fonction bornée sur $[0,1]$ y atteint ses bornes.

c. Si $\theta$ est continue sur $[0,1]$, il existe $t_0\in [0,1]$ tel que $\theta (t_0)={\sup }_{[0,1]}\theta$.

d. Si $\theta$ est continue sur $[0,1]$ et ne s'y annule pas, il existe un réel $\alpha >0$ tel que $\mid \theta (x)\mid ⩾\alpha$ pour tout $x\in [0,1]$.

On considère la fonction $h$ définie par

$$h(x)=\frac{4}{x+2}\text{ si }x<1,h(x)=\sqrt{x+3}\text{ si }x⩾1,$$

dont on admet que l'ensemble de définition est $D_h=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.

1. (2,5 pt) Démontrer, en revenant à la définition en $\epsilon$-$\delta$, que

$$\underset{x\to 0}{\lim }h(x)=2.$$

On rédigera la démonstration telle qu'elle doit figurer sur une copie, et l'on fera apparaître clairement l'endroit où l'on vérifie que le point considéré appartient à $D_h$ et que c'est la première expression de $h$ qui s'y applique.

Si la question 1 n'a pas abouti, on admettra ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }h(x)=2}$ pour traiter la question 2.a.

2. (1,5 pt)

a. Soit $(a_n{)}_{n⩾1}$ la suite définie par $a_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}$, et soit $u_n=h(a_n)$. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n}$ à l'aide de la caractérisation séquentielle.

b. Exhiber deux suites qui démontrent que $h$ n'admet aucune limite en $1$, finie ou infinie.

On considère la fonction $g$ définie par

$$g(x)=\ln (1+e^x)\mathrm{.}$$

1. (1 pt) Justifier que $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$, et démontrer qu'elle y est strictement croissante.

2. (1,25 pt) Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)}$. En déduire $g(\mathbb{R})$ et dresser le tableau de variations de $g$.

3. (1,75 pt)

Si la question 2 n'a pas abouti, on admettra $g(\mathbb{R})=]0,+\mathrm{\infty }[$ pour traiter cette question.

a. Vérifier les trois hypothèses du théorème de la bijection, énoncer sa conclusion pour $g$, puis déterminer l'expression explicite de $g^{-1}(y)$. On vérifiera le résultat obtenu en calculant $g(g^{-1}(y))$.

b. Soit $\lambda$ un réel. Discuter, selon $\lambda$, le nombre de solutions de l'équation $g(x)=\lambda$, puis résoudre exactement l'équation $g(x)=\ln 5$.

c. Démontrer que, pour tout réel $x$,

$$g(x)-x=\ln (1+e^{-x})=g(-x),\text{donc}g(x)=x+g(-x)\mathrm{.}$$

En déduire une propriété du graphe de $g$ : que peut-on dire des ordonnées des deux points de la courbe d'abscisses $x$ et $-x$ ?

L'objet de ce problème est le théorème suivant, qui ne suppose aucune continuité.

On rappelle qu'un point fixe d'une fonction est un réel de son domaine qui est égal à sa propre image.

Partie A — Une fonction croissante et discontinue (2 points)

On considère la fonction $f_0$ définie sur $[0,1]$ par

$$f_0(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{8}\text{ si }0⩽x<\frac{1}{2},f_0(x)=\frac{x}{2}+\frac{3}{8}\text{ si }\frac{1}{2}⩽x⩽1.$$

A.1. (0,5 pt) Vérifier que $f_0$ est bien à valeurs dans $[0,1]$, puis démontrer qu'elle est croissante sur $[0,1]$. On n'oubliera pas le cas où les deux points sont de part et d'autre de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

A.2. (0,5 pt) Calculer $f_0\left({\frac{1}{2}}^{-}\right)$, $f_0\left({\frac{1}{2}}^{+}\right)$ et $f_0\left(\frac{1}{2}\right)$. On rappelle le vocabulaire de la classification des discontinuités : la discontinuité en un point est de première espèce lorsque les deux limites latérales existent et sont finies ; c'est alors un saut si elles sont différentes, et une discontinuité effaçable si elles sont égales. Justifier, à partir des trois valeurs calculées, que la discontinuité de $f_0$ en ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ est un saut, et préciser de quel côté $f_0$ est continue. Justifier enfin, en une phrase, que $f_0$ est continue en tout autre point de $[0,1]$.

A.3. (0,5 pt) Déterminer tous les points fixes de $f_0$.

A.4. (0,5 pt) On pose $s=f_0-\mathrm{i}\mathrm{d}$, c'est-à-dire $s(x)=f_0(x)-x$. Calculer $s(0)$ et $s(1)$. Le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à $s$ sur le segment $[0,1]$, permet-il d'en déduire l'existence d'un point fixe ? On dira précisément quelle hypothèse est en défaut, et l'on calculera $s\left({\frac{1}{2}}^{-}\right)$ et $s\left(\frac{1}{2}\right)$ pour l'établir.

Partie B — La démonstration (4,75 points)

Dans toute cette partie, $f:[0,1]\to [0,1]$ est croissante, sans autre hypothèse. On pose

$$E=\{x\in [0,1];x⩽f(x)\}\mathrm{.}$$

B.1. (0,5 pt) Démontrer que $E$ est non vide et majoré. En déduire que $c=\sup E$ existe, et justifier que $c\in [0,1]$.

B.2. (0,5 pt) Dans cette question seulement, on prend pour $f$ la fonction $f_0$ de la partie A, qui vérifie bien les hypothèses. Déterminer $E$ et $c$, puis comparer ce $c$ à l'ensemble des points fixes trouvé en A.3.

B.3. (1,5 pt) Démontrer que $c⩽f(c)$. On suivra le squelette suivant : soit $\epsilon >0$ ; en appliquant la caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$, acquise dans le chapitre « Suites réelles », montrer que $f(c)>c-\epsilon$ ; puis conclure en faisant varier $\epsilon$. On indiquera à quel endroit exact sert la croissance de $f$.

Si la question B.3 n'a pas abouti, on admettra $c⩽f(c)$ pour traiter les questions B.4 et B.5.

B.4. (1,5 pt) Démontrer que $f(c)\in E$, puis en déduire que $f(c)⩽c$.

B.5. (0,75 pt) Conclure la démonstration du théorème. Démontrer de plus que $c$ est le plus grand point fixe de $f$.

Partie C — L'hypothèse de croissance, et l'unicité (2,25 points)

C.1. (1,5 pt) On considère la fonction $\psi$ définie sur $[0,1]$ par

$$\psi (x)=1\text{ si }0⩽x<\frac{1}{2},\psi (x)=0\text{ si }\frac{1}{2}⩽x⩽1.$$

Vérifier que $\psi$ est à valeurs dans $[0,1]$ et décroissante, puis qu'elle n'admet aucun point fixe : l'hypothèse « croissante » du théorème ne peut donc pas être remplacée par « décroissante ». Reprendre alors la démonstration de la partie B avec $\psi$ : déterminer

$$F=\{x\in [0,1];x⩽\psi (x)\}\text{et}d=\sup F,$$

calculer $\psi (d)$, et dire à quelle question précise de la partie B l'argument s'effondre, en citant la ligne exacte de cette question qui cesse d'être valable.

C.2. (0,75 pt) Le point fixe est-il unique en général ? Donner une fonction croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$ ayant une infinité de points fixes. L'ensemble des points fixes est-il nécessairement un intervalle ?