Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité

Le chapitre « Suites réelles » a montré ce que devient une limite quand on la démontre au lieu de la deviner. Celui-ci reprend le même travail sur les fonctions, et il change de statut en cours de route : à partir du théorème de la limite monotone, ce ne sont plus des définitions qu'on quantifie, ce sont les grands théorèmes de l'analyse qu'on démontre.

C'est le point à comprendre avant de commencer. Le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème des bornes atteintes, la continuité de la fonction réciproque, le théorème de Heine sont des énoncés que vous avez déjà employés, au lycée ou ailleurs, et qui vous ont toujours été donnés tout faits. Ici, chacun d'eux est démontré, dans ce cours ou dans la fiche d'exercices qui l'accompagne, et tous descendent de la même source : l'axiome de la borne supérieure, déjà posé dans le chapitre sur les suites. C'est exactement ce qui sépare une première année de licence d'un catalogue de recettes.

Deux fils traversent le chapitre.

Le premier fil est le voisinage épointé. La limite d'une fonction en un point $a$ ne regarde jamais la valeur $f(a)$ : elle ne regarde que ce qui se passe autour de $a$, $a$ exclu. Presque toutes les difficultés du chapitre, du prolongement par continuité au piège de la composition des limites, viennent de ce seul point, et il est expliqué longuement dans la troisième section.

Le second fil est un fil de rédaction. Ce qui coûte des points dans un partiel de première année n'est presque jamais le calcul : c'est l'ordre des quantificateurs, le $\delta$ qu'on annonce avant le $\epsilon$, l'hypothèse d'un théorème qu'on n'a pas vérifiée avant de s'en servir. Les encadrés Comment on rédige montrent la phrase exacte qu'un correcteur cherche des yeux. Ils sont à lire comme du cours.

Fonctions : le vocabulaire, et ce que l'image ajoute

Fonction, domaine, graphe, restriction

Quand $f$ est donnée par une formule et rien d'autre, son domaine est l'ensemble des réels pour lesquels cette formule a un sens, et le déterminer est le premier geste de toute étude. Trois interdits produisent la quasi-totalité des restrictions : un dénominateur ne s'annule pas, l'argument d'une racine carrée est positif ou nul, l'argument d'un logarithme est strictement positif.

La restriction n'est pas une commodité de notation : c'est un objet différent, et c'est ce qui rend possible tout le travail de la section sur les fonctions réciproques. Une fonction peut n'être injective sur aucun domaine naturel et le devenir sur une restriction bien choisie ; c'est ainsi que naîtront $\mathrm{Arcsin}$ et $\mathrm{Arccos}$. Dans l'autre sens, une propriété de $f_{\mathrm{\mid }J}$ ne remonte jamais automatiquement à $f$.

Le chapitre « Logique, raisonnement, ensembles et applications » a défini l'image directe $f(A)=\{f(x);x\in A\}$ et l'image réciproque $f^{-1}(B)=\{x\in D;f(x)\in B\}$, en avertissant que la seconde notation ne suppose nullement $f$ bijective. Les deux servent constamment ici, et sans être redéfinies.

Parité, périodicité, réduction de l'intervalle d'étude

La condition sur le domaine fait partie de la définition, elle n'est pas un préalable qu'on peut sauter : une fonction définie sur $[0,1]$ n'est ni paire ni impaire, quelle que soit sa formule, faute de pouvoir comparer $f(x)$ et $f(-x)$. Géométriquement, le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, celui d'une fonction impaire par rapport à l'origine.

Si $T$ est une période, $2T$, $3T$ et plus généralement $nT$ pour $n⩾1$ en sont aussi, par récurrence immédiate. Parler de « la » période suppose donc qu'on a identifié la plus petite, ce qui demande une vérification : $\sin$ est $4\pi$-périodique, et sa période est $2\pi$.

L'exercice 01 travaille cette réduction sur cinq fonctions, dont une qui n'est ni paire, ni impaire, ni périodique : la réduction n'est pas automatique, et il faut savoir dire qu'elle n'a pas lieu.

Monotonie, démontrée à la main

Les mots sur $I$ sont une partie de l'énoncé, jamais un ornement. La fonction inverse $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ est strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty },0[$ et strictement décroissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, et elle n'est pas décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ : on a $-1<1$ alors que $f(-1)=-1<1=f(1)$. Écrire « $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ est décroissante » sans préciser l'intervalle est donc une faute, et elle se paie dans les exercices de bijection.

Démonstration. Supposons $f$ strictement croissante, et soient $x$ et $y$ dans $I$ tels que $f(x)=f(y)$. Si l'on avait $x<y$, la stricte croissance donnerait $f(x)<f(y)$, ce qui contredit l'égalité ; si l'on avait $y<x$, elle donnerait $f(y)<f(x)$, même contradiction. Il reste $x=y$, et $f$ est injective. Le cas décroissant est identique. $\mathrm{\square }$

C'est le tout premier maillon du théorème de la bijection, et il ne coûte rien. Notons que la réciproque est fausse pour une fonction quelconque : il existe des fonctions injectives qui ne sont monotones sur aucun intervalle. En revanche, sous hypothèse de continuité, injective et strictement monotone deviendront équivalentes, et c'est le TVI qui le dira.

Les règles de composition se retiennent comme une règle des signes : la composée de deux fonctions de même sens de monotonie est croissante, la composée de deux fonctions de sens contraires est décroissante, à condition bien sûr que les domaines s'emboîtent.

Fonctions bornées

L'ordre des quantificateurs est décisif, exactement comme pour les suites : un seul réel $M$ doit convenir pour tous les $x$. L'énoncé obtenu en les échangeant, $\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R},f(x)⩽M$, est vrai pour n'importe quelle fonction, puisqu'il suffit de prendre $M=f(x)$ à chaque point. Une inversion transforme une propriété intéressante en tautologie.

C'est la traduction habituelle de deux inégalités en une seule, portant sur une quantité positive : si $\mid f\mid ⩽M$ alors $-M⩽f⩽M$, et réciproquement, de $m⩽f⩽M^{\mathrm{\prime }}$ on tire $\mid f\mid ⩽\max (\mid m\mid ,\mid M^{\mathrm{\prime }}\mid )$. Toutes les démonstrations du chapitre emploient cette forme.

Le sup et l'inf d'une fonction

Le chapitre « Suites réelles » a défini $\sup A$ et $\inf A$ pour une partie $A$ de $\mathbb{R}$. Rien de neuf n'est nécessaire pour les fonctions : il suffit d'appliquer ces notions à l'image.

Tout ce qui a été démontré là-bas s'applique donc ici sans un mot de plus, à commencer par la caractérisation par les $\epsilon$, qu'il suffit de traduire.

Il n'y a rien à démontrer : c'est la caractérisation de la borne supérieure du chapitre « Suites réelles », appliquée à la partie $f(I)$, dont les éléments sont exactement les $f(x)$ pour $x\in I$. Le point 2 mérite pourtant d'être relu dans ce vocabulaire : il dit qu'on peut approcher ${\sup }_{I}f$ d'aussi près qu'on veut par des valeurs de $f$, sans promettre de l'atteindre.

La borne supérieure est un maximum qui n'a pas besoin d'être atteint. La question « est-elle atteinte ? » revient à « ${\sup }_{I}f$ appartient-il à $f(I)$ ? », et c'est une question à se poser à chaque fois : tout le théorème des bornes atteintes consiste à répondre oui sous des hypothèses précises.

Trois faits distinguent le sup d'une fonction de celui d'une partie, et ils font l'objet de l'exercice 03 : ${\sup }_{I}f$ dépend de $I$, il peut être atteint en plusieurs points, et l'on a toujours ${\sup }_I(f+g)⩽{\sup }_{I}f+{\sup }_{I}g$, avec une inégalité qui peut être stricte. L'exercice 04 y ajoute le geste qui servira à démontrer le théorème des bornes atteintes : fabriquer explicitement une suite $(x_n)$ de $I$ telle que $f(x_n)\to {\sup }_{I}f$, en appliquant le point 2 de la caractérisation à $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{n}}$.

Le catalogue des fonctions usuelles

Ces fonctions sont construites ailleurs ; on rappelle ici ce qu'on utilisera d'elles, et uniquement cela : domaine, monotonie, limites aux bornes, et trois inégalités.

Puissances, racines, exponentielle, logarithme

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, la fonction $x\mapsto x^n$ est définie sur $\mathbb{R}$. Elle est paire si $n$ est pair, impaire si $n$ est impair. Elle est strictement croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ dans tous les cas, et sur $\mathbb{R}$ tout entier lorsque $n$ est impair : la démonstration menée plus haut pour $n=3$ se transpose, en factorisant $y^n-x^n$ par $y-x$.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, la fonction $x\mapsto x^{-n}={\displaystyle \frac{1}{x^n}}$ est définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, et elle est strictement monotone sur chacun des deux intervalles $]-\mathrm{\infty },0[$ et $]0,+\mathrm{\infty }[$, jamais sur leur réunion.

La fonction racine carrée $x\mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et strictement croissante : pour $0⩽x<y$, l'identité $\sqrt{y}-\sqrt{x}={\displaystyle \frac{y-x}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}}$, valable dès que $y>0$, montre que la différence est strictement positive. Cette identité, dite quantité conjuguée, resservira sans arrêt.

L'exponentielle $\exp :\mathbb{R}\to ]0,+\mathrm{\infty }[$ est strictement croissante, ne s'annule jamais, vérifie $e^{x+y}=e^x{e}^y$, et

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

Le logarithme népérien $\ln :]0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln (e^x)=x$ pour tout réel $x$, et $e^{\ln y}=y$ pour tout $y>0$. Il est strictement croissant, vérifie $\ln (xy)=\ln x+\ln y$, et

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln x=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

Ces deux fonctions permettent enfin de définir, pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $x>0$, la puissance d'exposant réel $x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$. Elle est strictement croissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ si $\alpha >0$, strictement décroissante si $\alpha <0$, comme composée de deux fonctions strictement monotones.

Fonctions trigonométriques

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont définies sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[-1,1]$, et $2\pi$-périodiques ; $\sin$ est impaire, $\cos$ est paire. Elles ne sont monotones sur aucun intervalle de longueur strictement supérieure à $\pi$, et n'ont aucune limite en $+\mathrm{\infty }$ ni en $-\mathrm{\infty }$. La borne est atteinte : $\sin$ est strictement croissante sur $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, dont la longueur vaut exactement $\pi$, et c'est cet intervalle qui servira à construire $\mathrm{Arcsin}$.

La fonction $\tan ={\displaystyle \frac{\sin }{}}$ est définie là où $\cos$ ne s'annule pas, c'est-à-dire sur

$$\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\}\mathrm{.}$$

Elle est impaire, $\pi$-périodique, et strictement croissante sur chacun des intervalles $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi [$, avec pour limites $-\mathrm{\infty }$ à gauche de chacun et $+\mathrm{\infty }$ à droite. C'est cette restriction qui donnera $\mathrm{Arctan}$.

Les valeurs remarquables sont supposées connues ; les voici rassemblées, parce qu'elles servent dans presque tous les exercices de cette page.

Les valeurs en dehors de $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ s'obtiennent par les symétries habituelles, et jamais par une table plus longue : $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\sin (-x)=-\sin x$, $\cos (-x)=\cos x$. Ces quatre relations, avec la périodicité, suffisent à tout reconstituer.

Valeur absolue, partie entière, partie fractionnaire

La valeur absolue $x\mapsto \mid x\mid$ est définie sur $\mathbb{R}$, paire, strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty },0]$ et strictement croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Elle vérifie l'inégalité triangulaire, rappelée au début du chapitre « Suites réelles ».

L'encadrement fondamental $x-1<\lfloor x\rfloor ⩽x$ est démontré dans le chapitre « Suites réelles » ; on l'emploie ici tel quel. Il en découle immédiatement que $0⩽\{x\}<1$ pour tout réel $x$, et que $\{\cdot \}$ est $1$-périodique, puisque $\lfloor x+1\rfloor =\lfloor x\rfloor +1$.

La partie entière est croissante au sens large sur $\mathbb{R}$, constante sur chaque intervalle $[k,k+1[$ avec $k\in \mathbb{Z}$, et elle « saute » de $1$ en chaque entier. C'est le premier exemple naturel de fonction discontinue en une infinité de points, et l'exercice 02 l'étudie comme un objet à part entière, ce qui prépare la classification des discontinuités.

La table de référence

Trois inégalités qui servent partout

La première et la troisième s'établissent au moment où l'on construit l'exponentielle et les fonctions trigonométriques ; nous les admettons ici et les utilisons comme des acquis. La deuxième s'en déduit en une ligne : pour $x>0$, posons $y=\ln x$ ; l'inégalité 1 appliquée à $y$ donne $e^y⩾1+y$, c'est-à-dire $x⩾1+\ln x$, ce qui est exactement l'inégalité voulue.

Ces trois inégalités ne sont pas décoratives : ce sont elles qui permettent de majorer ou de minorer sans rien connaître d'autre, et donc d'appliquer les théorèmes de comparaison. Deux conséquences seront employées telles quelles.

Démonstration. La formule de factorisation $\sin p-\sin q=2\sin {\displaystyle \frac{p-q}{2}}\cos {\displaystyle \frac{p+q}{2}}$ donne, en majorant le cosinus par $1$ en valeur absolue puis en appliquant l'inégalité 3,

$$\mid \sin y-\sin x\mid ⩽2\mid \sin \frac{y-x}{2}\mid ⩽2\times \frac{\mid y-x\mid }{2}=\mid y-x\mid \mathrm{.}$$

Le calcul est le même pour le cosinus, avec la factorisation correspondante. $\mathrm{\square }$

Ces deux majorations disent que $\sin$ et $\cos$ sont lipschitziennes de rapport $1$, notion définie dans la dernière section, et elles donneront leur continuité en trois lignes.

Elle s'établit par l'encadrement géométrique $\sin t⩽t⩽\tan t$ sur $]0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, qui relève de la construction des fonctions trigonométriques, au même titre que l'inégalité 3 ci-dessus. On l'admet donc ici et on l'emploie comme un acquis : la voie habituelle par la dérivée du sinus en $0$ est hors de ce chapitre, qui ne dérive rien. L'exercice 16 s'en sert pour prolonger ${\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}}$ par continuité en $0$.

La limite : définition quantifiée

Voisinages, voisinage épointé

Avant toute définition de limite, il faut dire où l'on regarde. Ce lieu porte un nom.

Dans toute cette section, $f$ est une fonction définie sur une partie $D$ de $\mathbb{R}$, et $a$ un réel tel que $D$ contienne un voisinage épointé de $a$. Cette hypothèse dit deux choses : d'une part il y a des points de $D$ aussi proches de $a$ qu'on veut, donc parler de la limite en $a$ a un sens ; d'autre part on ne demande rien sur $a$ lui-même, qui peut appartenir à $D$ ou non.

Cette hypothèse n'est pas une formalité. Elle est exactement ce qui rend la limite unique : c'est parce qu'un voisinage épointé de $a$ contient toujours des points de $D$ qu'on ne peut pas raconter n'importe quoi sur $f$ près de $a$. La démonstration de l'unicité, deux paragraphes plus bas, s'appuiera dessus explicitement.

La limite en $a$ ne regarde jamais $f(a)$

C'est le point le plus important de la section, et celui qui n'est presque jamais dit.

Quand on écrit $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }$, on affirme quelque chose sur le comportement de $f$ autour de $a$, en excluant $a$. Trois situations sont possibles, elles coexistent sans se contredire, et il faut savoir les distinguer.

1. $f$ n'est pas définie en $a$. C'est le cas le plus fréquent, et le seul que le lycée traite vraiment : $a$ est une valeur interdite de la formule, et l'on cherche vers quoi $f$ tend en s'en approchant. La limite peut parfaitement exister.
2. $f$ est définie en $a$ et $f(a)=\mathrm{\ell }$. La valeur au point coïncide avec la limite : c'est la définition même de la continuité, objet de la huitième section.
3. $f$ est définie en $a$ et $f(a)\mathrm{\ne }\mathrm{\ell }$. Situation parfaitement licite : la limite existe, vaut $\mathrm{\ell }$, et la fonction fait « autre chose » exactement au point $a$. Il n'y a aucune contradiction, parce que la définition de la limite ne consulte jamais $f(a)$.

Sur la figure, le cercle vide marque la valeur $\mathrm{\ell }$ vers laquelle la fonction tend, et le point plein marque la valeur $f(a)$ effectivement prise : les deux sont à des hauteurs différentes, et les deux affirmations « ${\lim }_{x\to a}f=\mathrm{\ell }$ » et « $f(a)\mathrm{\ne }\mathrm{\ell }$ » sont vraies en même temps. La bande verticale est le voisinage épointé : le point $a$ y est retiré, et c'est tout le contenu de la condition $0<\mid x-a\mid$ qui va apparaître dans la définition.

Trois conséquences, à garder en tête pour la suite du chapitre.

• Deux fonctions qui coïncident sur un voisinage épointé de $a$, et qui diffèrent en $a$, ont la même limite en $a$. Modifier la valeur d'une fonction en un point ne change aucune limite.
• Le prolongement par continuité, huitième section, consiste précisément à choisir $f(a)$ pour se ramener au cas 2 ; il n'est possible que si la limite existe et est finie, et la valeur choisie est alors imposée.
• Le piège de la composition des limites, cinquième section, vient du cas 3 : si la fonction intérieure prend la valeur $b$ au voisinage de $a$, la fonction extérieure est évaluée en $b$, donc là où la limite ne regardait pas.

La définition

Cette ligne se lit de gauche à droite, bloc par bloc, et chaque objet introduit peut dépendre de ceux qui le précèdent, jamais de ceux qui le suivent.

1. $\mathrm{\forall }\epsilon >0$. Une tolérance sur les valeurs de $f$, imposée, aussi petite qu'on veut.
2. $\mathrm{\exists }\delta >0$. Un rayon autour de $a$, sur les abscisses cette fois. Il arrive après $\epsilon$ : il a le droit d'en dépendre, et il en dépend toujours. C'est le seul objet qu'on construit.
3. $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$. Le point $x$ est dans le voisinage épointé de rayon $\delta$. L'inégalité de gauche, stricte, est celle qui exclut $x=a$ : c'est là, et nulle part ailleurs, que « la limite ignore $f(a)$ » est inscrit dans les symboles.
4. $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. La valeur $f(x)$ est dans la fenêtre $[\mathrm{\ell }-\epsilon ,\mathrm{\ell }+\epsilon ]$.

Mis bout à bout : quelle que soit la fenêtre horizontale tracée autour de $\mathrm{\ell }$, aussi étroite soit-elle, il existe une bande verticale autour de $a$, privée de $a$, dont toute l'image tient dans la fenêtre. Le lycée disait « $f(x)$ se rapproche de $\mathrm{\ell }$ quand $x$ se rapproche de $a$ » sans fixer ni la fenêtre, ni la bande, ni le fait que toute la bande convienne.

L'unicité de la limite

C'est ce théorème qui autorise l'article défini et la notation $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ : sans lui, écrire « la limite de $f$ en $a$ » n'aurait aucun sens.

Démonstration. Raisonnons par l'absurde en supposant $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, et posons

$$\epsilon =\frac{\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{3}>0.$$

Ce choix est licite : la définition s'applique à tout réel strictement positif, y compris à un réel fabriqué à partir de $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$.

La première hypothèse fournit ${\delta }_1>0$ tel que $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ dès que $x\in D$ et $0<\mid x-a\mid ⩽{\delta }_1$ ; la seconde fournit de même ${\delta }_2>0$ pour ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. Ces deux rayons n'ont aucune raison d'être égaux : on pose $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)>0$, de sorte que les deux majorations soient disponibles en même temps.

Reste à disposer d'un point où les appliquer, et c'est ici que sert l'hypothèse posée sur $D$. Le voisinage épointé de $a$ de rayon $\delta$ rencontre $D$ : il existe donc au moins un $x_0\in D$ vérifiant $0<\mid x_0-a\mid ⩽\delta$. Pour ce point, l'inégalité triangulaire appliquée à $\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=(\mathrm{\ell }-f(x_0))+(f(x_0)-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})$ donne

$$\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽\mid f(x_0)-\mathrm{\ell }\mid +\mid f(x_0)-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽2\epsilon =\frac{2}{3}\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid \mathrm{.}$$

En retranchant ${\displaystyle \frac{2}{3}}\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid$ aux deux membres, il vient ${\displaystyle \frac{1}{3}}\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽0$, donc $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ : contradiction. $\mathrm{\square }$

Sans point où évaluer, pas d'unicité. Si $D$ ne rencontrait pas les voisinages épointés de $a$, l'implication de la définition serait vraie faute d'antécédent, et tout réel serait limite de $f$ en $a$. C'est la raison d'être de l'hypothèse posée en tête de section, et c'est un bon exemple d'une hypothèse qui semble technique jusqu'au moment où l'on voit ce qu'elle empêche.

Limites à gauche et à droite

Ce sont les limites des restrictions de $f$ à $D\cap ]a,+\mathrm{\infty }[$ et à $D\cap ]-\mathrm{\infty },a[$ : on ne regarde qu'une moitié du voisinage épointé. Les notations $f(a^{-})$ et $f(a^{+})$ sont commodes et dangereuses, car elles ressemblent à des valeurs de $f$ : ce sont des limites, et il n'est pas exclu qu'elles diffèrent toutes deux de $f(a)$.

Démonstration. Supposons ${\lim }_{x\to a}f=\mathrm{\ell }$ et soit $\epsilon >0$ ; le $\delta$ donné par la définition convient pour les deux limites latérales, puisque la condition $a<x⩽a+\delta$ entraîne $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$, et de même à gauche.

Réciproquement, supposons $f(a^{-})=f(a^{+})=\mathrm{\ell }$ et soit $\epsilon >0$. La limite à droite fournit ${\delta }_1>0$, la limite à gauche fournit ${\delta }_2>0$ ; posons $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$. Soit $x\in D$ tel que $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$. De deux choses l'une : ou bien $x>a$, et alors $a<x⩽a+{\delta }_1$, ou bien $x<a$, et alors $a-{\delta }_2⩽x<a$. Dans les deux cas $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. $\mathrm{\square }$

La disjonction des deux cas est la démonstration entière. C'est aussi ce qui explique le rôle de la condition $0<\mid x-a\mid$ : elle garantit qu'un troisième cas, $x=a$, ne se présente jamais, et donc que $f(a)$ n'est pas consulté.

Limites infinies, limites en l'infini

Les définitions qui suivent ont l'air d'être six définitions nouvelles. Ce n'en est qu'une, déclinée : pour toute fenêtre autour de la valeur visée, il existe une bande autour du point visé dont l'image tient dans la fenêtre. Seule change la forme des fenêtres et des bandes.

Avec ce vocabulaire, une seule phrase couvre tous les cas : $\underset{x\to \alpha }{\lim }f(x)=\beta$ signifie que pour tout voisinage $W$ de $\beta$, il existe un voisinage épointé $V$ de $\alpha$ tel que $f(V\cap D)\subset W$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels ou des symboles infinis. Les formes quantifiées explicites s'en déduisent en remplaçant chaque voisinage par sa description ; les voici, ce sont celles qu'on écrit sur une copie.

Les autres cas s'obtiennent en changeant les sens des inégalités, et jamais l'ordre des quantificateurs. Deux remarques d'usage.

Le nom des lettres n'est pas neutre. On écrit $\epsilon$ pour une tolérance qu'on veut petite, $A$ ou $B$ pour un seuil qu'on veut grand ; personne ne vous en empêche de faire autrement, mais un correcteur lit d'abord la structure, et une lettre mal choisie lui donne l'impression que la structure est mal comprise.

Les limites latérales infinies existent aussi, et se notent $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ : il suffit de remplacer la condition $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$ par $a<x⩽a+\delta$. C'est le cas le plus fréquent en pratique, car les deux côtés donnent souvent des infinis de signes contraires, la fonction inverse en $0$ en étant l'exemple type. Discuter du signe du dénominateur avant de conclure est exactement le travail de l'exercice 06.

L'unicité de la limite reste vraie dans ce cadre élargi : une fonction admet au plus une limite en $\alpha$, dans $\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$. La démonstration se transpose sans idée nouvelle.

Asymptotes

Les limites qu'on vient d'écrire ont une traduction géométrique, et le vocabulaire en est demandé constamment.

Une asymptote verticale ne demande qu'un seul côté : la courbe peut très bien filer vers $+\mathrm{\infty }$ à droite de $a$ et avoir une limite finie à gauche. En revanche, la recherche d'une asymptote oblique se fait toujours dans cet ordre : on calcule d'abord $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$, qui donne $p$ s'il est fini et non nul, puis $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-px)$, qui donne $q$ s'il est fini. Si l'une des deux limites manque ou est infinie, il n'y a pas d'asymptote oblique, et l'on parle alors de branche parabolique. L'exercice 06 fait chercher les trois types.

Comment on rédige une preuve de limite

Ce que le passage aux fonctions change

Le cours de « Suites réelles » donne, dans son encadré Comment on rédige une démonstration de limite, le squelette en six points d'une preuve par la définition : la phrase d'ouverture « Soit $\epsilon >0$ », le brouillon qui ne figure pas sur la copie, la construction explicite du seuil, la majoration à sens unique, la phrase de conclusion. Ce squelette vaut ici mot pour mot, à un remplacement près : le rang $N\in \mathbb{N}$ devient un réel $\delta >0$. On ne le réécrit donc pas, on l'applique.

Trois choses seulement changent, et ce sont elles qui font la difficulté propre aux fonctions.

Premièrement, $\delta$ dépend de $\epsilon$ et du point $a$. Pour une suite, le rang $N$ ne dépendait que de $\epsilon$ : il n'y avait qu'un seul « endroit », l'infini. Ici, la même fonction demande des $\delta$ très différents selon le point où l'on travaille. Reprenons $f(x)=x^3$ : au voisinage de $a$, l'identité $f(x)-f(a)=(x-a)(x^2+ax+a^2)$ montre que l'écart $\mid f(x)-f(a)\mid$ est de l'ordre de $3a^2\mid x-a\mid$. Pour obtenir la même tolérance $\epsilon$, il faudra donc un $\delta$ d'autant plus petit que $\mid a\mid$ est grand. Écrire « $\delta$ » sans se demander de quoi il dépend, c'est passer à côté de tout le chapitre, et notamment de sa dernière section : la continuité uniforme est exactement l'exigence, beaucoup plus forte, d'un $\delta$ qui ne dépend plus de $a$.

Deuxièmement, $\delta$ est presque toujours un minimum. Dans une preuve pour une suite, on majorait directement. Ici, la quantité $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid$ se factorise en général sous la forme

$$\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid =\mid x-a\mid \times \left(\text{un facteur parasite}\right),$$

et ce facteur parasite dépend de $x$ : il faut donc d'abord le contrôler, en s'autorisant à ne regarder que les $x$ proches de $a$, puis seulement majorer. D'où un $\delta$ en deux morceaux.

Troisièmement, la négation fait apparaître un point du voisinage épointé. Nier une limite ne produit plus « un rang », mais un point $x$ vérifiant $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$, qu'il faut exhiber explicitement à partir du $\delta$ imposé.

Le $\delta$ pris comme un minimum

Un modèle entièrement rédigé

Nier une limite

La règle de négation est celle du chapitre « Logique » : on parcourt l'énoncé de gauche à droite, chaque $\mathrm{\forall }$ devient $\mathrm{\exists }$, chaque $\mathrm{\exists }$ devient $\mathrm{\forall }$, l'ordre est conservé, l'implication devient une conjonction, et l'inégalité finale est niée en une inégalité stricte.

Les rôles se sont inversés. Dans la définition, $\epsilon$ était imposé et $\delta$ à construire. Dans la négation, c'est $\epsilon$ qu'on choisit — une seule valeur bien choisie suffit — et $\delta$ qui est imposé, arbitrairement petit. Une démonstration de non-existence commence donc par « Posons $\epsilon =\dots$ », puis « Soit $\delta >0$ », et elle doit ensuite exhiber un point $x$ construit à partir de $\delta$, en vérifiant à voix haute les deux conditions : $x$ est dans le domaine, et $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$.

Opérations, composition, comparaison

Le théorème des opérations

Les démonstrations sont exactement celles du chapitre « Suites réelles », où elles sont écrites en entier : on y remplace « il existe un rang $N$ » par « il existe $\delta >0$ », « pour tout $n⩾N$ » par « pour tout $x$ tel que $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$ », et $\max (N_1,N_2)$ par $\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$. C'est le seul dictionnaire à connaître, et il vaut pour tout le chapitre : une propriété des suites qui ne repose que sur la distance se transporte aux fonctions en échangeant les rangs contre des rayons, et le maximum contre le minimum.

Le point 4 mérite qu'on s'y arrête, car il affirme deux choses et l'on n'en retient souvent qu'une. Avant de parler du quotient, il faut savoir que le dénominateur ne s'annule pas : c'est ce que garantit la première moitié, en appliquant la définition à $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{2}}>0$. On obtient alors $\delta >0$ tel que, pour $x$ dans le voisinage épointé correspondant, la seconde inégalité triangulaire donne

$$\mid g(x)\mid ⩾\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid -\mid g(x)-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩾\frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{2}>0.$$

C'est la phrase à écrire chaque fois qu'un dénominateur pourrait s'annuler, et c'est déjà, sous une autre forme, la conservation locale du signe démontrée plus bas.

Le dernier point explique pourquoi une limite en un point fini se discute côté par côté : c'est le signe de $f$ au voisinage, et lui seul, qui décide entre $+\mathrm{\infty }$ et $-\mathrm{\infty }$. Écrire « le dénominateur tend vers $0$ donc le quotient tend vers l'infini » sans dire de quel côté, c'est ne rien conclure du tout. L'exercice 06 est bâti sur cette discussion.

Les quatre formes indéterminées

Hors des cas couverts par ces énoncés, quatre situations échappent à tout théorème général.

Une forme indéterminée n'est pas une absence de limite, c'est une absence de conclusion immédiate. Le théorème des opérations ne s'applique pas, voilà tout ce qui est dit. En $0^{+}$, les trois produits $x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$, $x\times {\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ et $x^2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$ relèvent tous de la forme $0\times \mathrm{\infty }$, et leurs limites valent respectivement $1$, $+\mathrm{\infty }$ et $0$ : la forme ne présume de rien. Écrire « c'est une forme indéterminée » n'est donc jamais une conclusion, mais l'annonce d'un travail : transformer l'expression jusqu'à retomber sur un cas connu.

La composition des limites, et son hypothèse

Le théorème suivant est employé à chaque changement de variable, et presque jamais énoncé. Son hypothèse est précisément ce qui manque dans la version orale qu'on s'en fait.

Démonstration, sous l'hypothèse 1. Soit $\epsilon >0$. Puisque $f(y)\to \mathrm{\ell }$ quand $y\to b$, il existe $\eta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }y,0<\mid y-b\mid ⩽\eta ⟹\mid f(y)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Ce $\eta$ joue maintenant le rôle d'une tolérance pour $u$ : puisque $u(x)\to b$ quand $x\to a$, il existe ${\delta }_1>0$ tel que $0<\mid x-a\mid ⩽{\delta }_1$ entraîne $\mid u(x)-b\mid ⩽\eta$. Enfin, l'hypothèse 1 fournit ${\delta }_2>0$ tel que $u(x)\mathrm{\ne }b$ sur le voisinage épointé de rayon ${\delta }_2$.

Posons $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ et soit $x$ tel que $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$. Alors $\mid u(x)-b\mid ⩽\eta$ et $u(x)\mathrm{\ne }b$, c'est-à-dire $0<\mid u(x)-b\mid ⩽\eta$ : le réel $y=u(x)$ est bien dans le voisinage épointé de $b$ où la première majoration s'applique, donc $\mid f(u(x))-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. $\mathrm{\square }$

Sous l'hypothèse 2, la démonstration est plus courte encore : la condition $0<\mid y-b\mid$ devient inutile, puisque le cas $y=b$ donne $f(b)=\mathrm{\ell }$, donc $\mid f(b)-\mathrm{\ell }\mid =0⩽\epsilon$. On peut donc se passer de savoir si $u$ prend la valeur $b$.

Tout est dans le mot « épointé ». La limite de $f$ en $b$ ne dit rien de $f(b)$. Si $u$ prend la valeur $b$ sur son chemin, la composée est évaluée exactement là où l'hypothèse ne dit rien, et l'on n'a aucun droit de conclure. Voici ce que cela donne concrètement.

Encadrement et comparaison

Attention. Ce théorème affirme deux choses, et c'est la première qui compte : l'existence de la limite de $g$, qui n'est pas supposée, puis sa valeur. Ne commencez donc jamais par « soit $L$ la limite de $g$ » : c'est ce qu'on cherche à établir.

Démonstration. Notons ${\delta }_0>0$ un rayon sur lequel l'encadrement est vérifié, et soit $\epsilon >0$. La limite de $f$ fournit ${\delta }_1>0$ tel que $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ sur le voisinage épointé correspondant, dont on ne retient que la moitié gauche, $f(x)⩾\mathrm{\ell }-\epsilon$ ; la limite de $h$ fournit de même ${\delta }_2>0$ avec $h(x)⩽\mathrm{\ell }+\epsilon$. Posons $\delta =\min ({\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2)$. Pour tout $x$ vérifiant $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$, les trois informations sont disponibles ensemble :

$$\mathrm{\ell }-\epsilon ⩽f(x)⩽g(x)⩽h(x)⩽\mathrm{\ell }+\epsilon ,$$

donc $\mid g(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. $\mathrm{\square }$

Chacune des deux hypothèses n'a servi qu'à moitié : de $f$ on n'a gardé que la minoration, de $h$ que la majoration. Une seule mâchoire ne conclut jamais.

Le sens des inégalités est la seule chose qu'on puisse confondre : pour pousser une fonction vers $+\mathrm{\infty }$ on la minore, pour la pousser vers $-\mathrm{\infty }$ on la majore.

C'est le théorème d'encadrement appliqué à $\mathrm{\ell }-\phi ⩽f⩽\mathrm{\ell }+\phi$, et c'est de loin la forme la plus utilisée : on n'encadre pas $f$, on majore sa distance à $\mathrm{\ell }$, et cette majoration n'a pas besoin d'être fine. Le cas particulier se démontre en une ligne, à partir de $\mid f(x)g(x)\mid ⩽M\mid g(x)\mid$.

Croissances comparées

En une phrase : le logarithme est battu par toute puissance, et toute puissance est battue par toute exponentielle, quels que soient les exposants, si petit soit celui de la puissance et si grand soit celui du logarithme. Le rang à partir duquel cela se voit peut être repoussé très loin, ce qui rend toute vérification numérique trompeuse.

Démonstration de la première. Traitons d'abord $\alpha =1$. Pour $x>1$, l'inégalité $\ln t⩽t-1$ appliquée à $t=\sqrt{x}$ donne $\ln \sqrt{x}⩽\sqrt{x}-1⩽\sqrt{x}$, et comme $\ln x=2\ln \sqrt{x}$, il vient

$$0⩽\frac{\ln x}{x}⩽\frac{2\sqrt{x}}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}\mathrm{.}$$

Le majorant tend vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$, donc le théorème d'encadrement conclut. Pour $\alpha$ quelconque, on écrit

$$\frac{\ln x}{x^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha }\times \frac{\ln (x^{\alpha })}{x^{\alpha }}$$

et l'on applique le cas précédent à la variable $u=x^{\alpha }$, qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ : la composition est licite puisque $u$ ne prend jamais la valeur $+\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Les trois autres s'en déduisent. La troisième s'obtient en posant $u={\displaystyle \frac{1}{x}}$, qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x\to 0^{+}$ et ne s'annule pas, ce qui ramène à la première. La deuxième vient de la première par le changement de variable $u=e^{\beta x}$, et la quatrième de la deuxième en changeant $x$ en $-x$. Aucune de ces quatre limites n'est jamais rédigée ici avec un symbole de comparaison : ce sont des limites, et on les emploie comme telles. L'exercice 07 les fait manipuler avec des exposants quelconques.

Conservation locale du signe, passage à la limite dans une inégalité

Démonstration. Appliquons la définition de la limite à la tolérance $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2}}$, qui est strictement positive puisque $\mathrm{\ell }>0$. Elle fournit $\delta >0$ tel que $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2}}$ sur le voisinage épointé correspondant, donc en particulier $f(x)⩾\mathrm{\ell }-{\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2}}$. $\mathrm{\square }$

Trois lignes, un $\epsilon$ choisi, et l'on obtient un résultat qui sert dans la moitié des démonstrations du chapitre : une fonction dont la limite est strictement positive est strictement positive tout autour du point. C'est ce qui a justifié plus haut que le dénominateur ne s'annule pas ; c'est ce qui permettra, dans la démonstration du TVI, d'affirmer qu'une fonction continue qui prend une valeur strictement négative la garde sur tout un intervalle.

C'est le même énoncé, avec $\mathrm{\ell }=f(a)$, et le voisinage n'a plus besoin d'être épointé puisque $f(a)>0$ par hypothèse. L'exercice 13 le démontre et en tire les conséquences.

Démonstration. Supposons par l'absurde $\mathrm{\ell }>{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. La fonction $g-f$ admet en $a$ la limite ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{\ell }<0$, donc, par conservation locale du signe, il existe $\delta >0$ tel que $g(x)-f(x)⩽{\displaystyle \frac{{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{\ell }}{2}}<0$ sur le voisinage épointé de rayon $\delta$. Quitte à réduire $\delta$, ce voisinage est inclus dans celui où $f⩽g$, c'est-à-dire où $g-f⩾0$. Il existe au moins un point dans ce voisinage épointé, et en ce point une même quantité serait à la fois positive et strictement négative. $\mathrm{\square }$

Le théorème de la limite monotone

Jusqu'ici, démontrer qu'une limite existe supposait d'en connaître la valeur : la définition porte sur $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid$, et l'on ne peut pas écrire cette quantité sans candidat $\mathrm{\ell }$. Le théorème qui suit casse ce cercle. Il affirme l'existence d'une limite à partir de deux propriétés qui, elles, se lisent directement sur la fonction : la monotonie et une majoration. Comme son homologue pour les suites, il n'est rien d'autre que l'axiome de la borne supérieure, transporté.

Il est admis dans beaucoup de cours. Il est démontré ici.

L'énoncé

En une phrase, à connaître sous cette forme : une fonction monotone admet une limite à chaque extrémité de son intervalle, finie du côté où elle est bornée, infinie de l'autre. Une fonction monotone ne peut donc pas osciller au bord.

La démonstration

Démonstration du cas 1, avec $b$ fini. Supposons $f$ croissante et majorée sur $]a,b[$.

Premier temps : l'objet $\sup f$ existe. L'image $f\left(]a,b[\right)$ est une partie non vide de $\mathbb{R}$, puisque l'intervalle l'est, et elle est majorée, puisque $f$ l'est. L'axiome de la borne supérieure s'applique : le réel

$$\mathrm{\ell }=\underset{]a,b[}{\sup }f$$

existe. À ce stade nous n'avons rien démontré sur la limite, nous avons seulement fabriqué le candidat, et c'est l'axiome qui nous l'a donné.

Deuxième temps : ce candidat est la limite. Soit $\epsilon >0$. Par la caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$, il existe un élément de l'image strictement supérieur à $\mathrm{\ell }-\epsilon$ ; cet élément est une valeur de $f$, donc il existe $x_0\in ]a,b[$ tel que

$$f(x_0)>\mathrm{\ell }-\epsilon \mathrm{.}$$

Posons $\delta =b-x_0$, qui est strictement positif puisque $x_0<b$. C'est ici que la monotonie entre en jeu. Soit $x$ tel que $b-\delta ⩽x<b$, c'est-à-dire $x_0⩽x<b$. La croissance donne $f(x)⩾f(x_0)>\mathrm{\ell }-\epsilon$, et le fait que $\mathrm{\ell }$ majore l'image donne $f(x)⩽\mathrm{\ell }$. En réunissant les deux :

$$\mathrm{\ell }-\epsilon <f(x_0)⩽f(x)⩽\mathrm{\ell },$$

d'où $-\epsilon <f(x)-\mathrm{\ell }⩽0$, c'est-à-dire $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$.

Conclusion. Pour tout $\epsilon >0$, il existe $\delta >0$ tel que $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour tout $x$ vérifiant $b-\delta ⩽x<b$. C'est mot pour mot la définition de la limite à gauche : $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }=\sup f$. $\mathrm{\square }$

Quand $b=+\mathrm{\infty }$, la démonstration est identique à un mot près : le rayon $\delta$ est remplacé par le seuil $B=x_0$, et la croissance donne $f(x)⩾f(x_0)>\mathrm{\ell }-\epsilon$ pour tout $x⩾B$. Rien d'autre ne change.

Démonstration du cas 2. Supposons $f$ croissante et non majorée, et soit $A$ un réel quelconque. Puisque $A$ ne majore pas $f$, il existe $x_0\in ]a,b[$ tel que $f(x_0)>A$. Posons $\delta =b-x_0$ ; par croissance, tout $x$ vérifiant $b-\delta ⩽x<b$ satisfait $f(x)⩾f(x_0)>A$. C'est la définition de $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Les cas 3 se traitent en appliquant ce qui précède à $x\mapsto -f(-x)$, ou directement avec l'inf : rien de neuf n'y apparaît. L'exercice 14 reprend cette démonstration pas à pas, traite le cas non majoré en détail, et compare le geste à celui du théorème analogue pour les suites — là-bas le rang $N$, ici le rayon $\delta$, et surtout le fait que $x$ balaye ici un continuum au lieu d'avancer d'entier en entier.

Le corollaire qui servira deux fois

Démonstration, $f$ croissante. Comme $c$ est intérieur à $I$, il existe $\alpha <c<\beta$ avec $]\alpha ,\beta [\subset I$. Sur $]\alpha ,c[$, la fonction $f$ est croissante et majorée par $f(c)$, puisque $x<c$ entraîne $f(x)⩽f(c)$. Le théorème précédent s'applique : $f(c^{-})$ existe, est finie, et vaut ${\sup }_{]\alpha ,c[}f$. Comme $f(c)$ majore cet ensemble et que la borne supérieure est le plus petit des majorants, $f(c^{-})⩽f(c)$. Le raisonnement sur $]c,\beta [$, où $f$ est croissante et minorée par $f(c)$, donne $f(c^{+})={\inf }_{]c,\beta [}f⩾f(c)$. $\mathrm{\square }$

Ce corollaire est capital, et il resservira deux fois : il dit qu'une fonction monotone ne peut avoir que des discontinuités très simples, puisque ses deux limites latérales existent toujours. C'est l'ingrédient de la classification des discontinuités (huitième section, exercice 18), et celui de la démonstration de la continuité de la fonction réciproque (onzième section, exercice 26).

La caractérisation séquentielle

L'énoncé, dans les deux sens

Ce théorème est le pont entre ce chapitre et le chapitre « Suites réelles ». Il permet de faire circuler l'information dans les deux sens : tout ce qui est acquis sur les suites, à commencer par le théorème de Bolzano-Weierstrass, devient utilisable sur les fonctions, et réciproquement. C'est grâce à lui que le théorème des bornes atteintes et le théorème de Heine se démontreront sans un seul $\epsilon$ nouveau.

Deux détails d'énoncé sont à respecter. La condition $x_n\mathrm{\ne }a$ est le voisinage épointé, encore lui : sans elle, une suite constante égale à $a$ imposerait $f(a)=\mathrm{\ell }$, ce que la limite ne dit pas. Et le mot toute est l'essentiel du point 2 : exhiber une suite pour laquelle $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$ ne démontre rigoureusement rien.

L'énoncé et sa démonstration valent à l'identique lorsque $a$ ou $\mathrm{\ell }$ sont infinis, en remplaçant chaque voisinage par celui qui convient : un voisinage de $+\mathrm{\infty }$ est un intervalle $[A,+\mathrm{\infty }[$, et « $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$ » se lit dans $\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$. C'est cette extension qui permet de réfuter d'un seul coup l'existence d'une limite finie ou infinie, en s'appuyant sur l'unicité de la limite d'une suite, qui vaut elle aussi dans $\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$.

Démonstration du sens direct

Démonstration de 1 implique 2. Supposons $f(x)\to \mathrm{\ell }$ quand $x\to a$, et soit $(x_n)$ une suite du domaine telle que $x_n\mathrm{\ne }a$ pour tout $n$ et $x_n\to a$. Soit $\epsilon >0$.

L'hypothèse sur $f$ fournit $\delta >0$ tel que tout $x$ vérifiant $0<\mid x-a\mid ⩽\delta$ satisfasse $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. Ce $\delta$ est un réel strictement positif : il peut donc servir de tolérance dans la définition de la limite de la suite $(x_n)$. Celle-ci fournit un rang $N$ tel que $\mid x_n-a\mid ⩽\delta$ pour tout $n⩾N$.

Soit $n⩾N$. On a $\mid x_n-a\mid ⩽\delta$, et $\mid x_n-a\mid >0$ puisque $x_n\mathrm{\ne }a$ : le point $x_n$ est donc dans le voisinage épointé où la majoration s'applique, d'où $\mid f(x_n)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. Ainsi $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Le ressort de la démonstration tient en une phrase : le $\delta$ produit par la limite de $f$ est recyclé comme $\epsilon$ dans la limite de la suite. C'est un enchaînement de deux définitions, et c'est le prototype de tout ce que fait ce théorème.

Le sens réciproque est démontré à l'exercice 15, par contraposition : on suppose que $f$ ne tend pas vers $\mathrm{\ell }$, on écrit la négation quantifiée de la quatrième section, et l'on applique cette négation à $\delta ={\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour chaque entier $n⩾1$, ce qui fabrique la suite cherchée. L'existence d'un tel entier repose sur la propriété d'Archimède, acquise dans le chapitre « Suites réelles ». Ce sens-là est celui qu'on admet presque partout ; il est court, et il vaut la peine d'être fait une fois.

Réfuter une limite

C'est la contraposée du sens direct, et c'est de loin l'usage le plus fréquent du théorème : il transforme une négation quantifiée, avec ses trois blocs de quantificateurs, en un calcul de deux limites de suites. La rédaction attendue tient en trois lignes : on donne les deux suites explicitement, on vérifie qu'elles tendent vers $a$ sans jamais valoir $a$, on calcule les deux limites images, on conclut. L'exercice 15 en fait l'application principale.

Le pont avec le chapitre « Suites réelles »

Cette version est celle qui solde la dette la plus visible du chapitre précédent. Dans l'étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$, le cours de « Suites réelles » écrit noir sur blanc : « la continuité de $f$, dont l'étude relève du chapitre sur les fonctions, est admise ici ». Voici l'argument complet, qui n'a plus rien d'admis.

Continuité

Continuité en un point

La condition $0<\mid x-a\mid$ a disparu, et ce n'est pas un oubli. Elle est devenue inutile : dans le cas $x=a$, la conclusion s'écrit $\mid f(a)-f(a)\mid =0⩽\epsilon$, qui est vraie sans hypothèse. Autoriser $x=a$ ne change donc rien, et l'énoncé y gagne en lisibilité. C'est la seule définition du chapitre où l'on écrit un voisinage plein.

Trois conditions sont nécessaires, et il faut les vérifier dans cet ordre : $f$ doit être définie en $a$, elle doit admettre une limite en $a$, et cette limite doit valoir $f(a)$. Une seule qui manque, et $f$ est discontinue en $a$ ; savoir laquelle manque, c'est déjà classer la discontinuité.

Continuité à gauche, à droite, sur un intervalle

C'est le théorème des limites latérales, écrit avec $\mathrm{\ell }=f(a)$. Cette décomposition est le premier geste devant une fonction définie par morceaux : on calcule les deux limites latérales, on les compare à la valeur, et l'on conclut séparément. L'exercice 16 en fait la matière de cinq diagnostics.

Opérations et composition

Tout vient du théorème des opérations et du théorème de composition. Ce dernier mérite un mot : la composée de deux fonctions continues ne pose jamais le problème d'hypothèse rencontré à la cinquième section, parce que la condition 2 du théorème de composition, « $f$ est continue en $b$ », est exactement celle qu'on suppose ici. Le piège du changement de variable ne se referme que sur des fonctions extérieures non continues au point visé.

Pour $\sin$ et $\cos$, la démonstration est déjà écrite : les majorations $\mid \sin y-\sin x\mid ⩽\mid y-x\mid$ de la deuxième section donnent immédiatement $\delta =\epsilon$ dans la définition. Pour $\exp$, $\ln$ et les puissances réelles, la continuité s'obtient au moment de leur construction, et le théorème de la bijection de la onzième section en redonne une partie gratuitement. Les fonctions polynomiales et rationnelles se traitent par les opérations, à partir de la continuité de $x\mapsto x$ et des constantes, qui est immédiate. Enfin $x\mapsto \mid x\mid$ est continue puisque $\mid \mid x\mid -\mid a\mid \mid ⩽\mid x-a\mid$, seconde inégalité triangulaire.

La phrase attendue par un correcteur ne cite jamais un $\epsilon$ : elle cite la structure et le domaine. « La fonction $f$ est continue sur $D$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas sur $D$. » Six justifications de ce type sont à rédiger dans l'exercice 11 ; c'est le geste préalable à tout usage du TVI, et le premier qu'un correcteur cherche.

L'exercice 16 traite cinq diagnostics de ce type, dont un cas où aucun paramètre ne convient, et une fonction continue en $0$ et en aucun autre point.

Prolongement par continuité

L'article défini se justifie, et c'est le seul point de cette définition qui demande une démonstration.

Démonstration. Sur $D$, les deux fonctions valent $f$, donc elles coïncident : tout se joue en $a$. Comme $D$ contient un voisinage épointé de $a$, il existe des points de $D$ arbitrairement proches de $a$, et l'on peut donc construire une suite $(x_n)$ d'éléments de $D$ telle que $x_n\to a$ et $x_n\mathrm{\ne }a$ pour tout $n$ : il suffit, pour chaque entier $n⩾1$, de choisir $x_n\in D$ vérifiant $0<\mid x_n-a\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$, ce qui est possible par définition d'un voisinage épointé et par la propriété d'Archimède.

La fonction $g$ étant continue en $a$, la caractérisation séquentielle donne $g(x_n)\to g(a)$ ; de même $h(x_n)\to h(a)$. Or $g(x_n)=f(x_n)=h(x_n)$ pour tout $n$ : les deux suites sont égales, donc leurs limites le sont, et $g(a)=h(a)$ par unicité de la limite d'une suite. $\mathrm{\square }$

Ce qu'il faut retenir de cette démonstration, au-delà du résultat : la valeur $\mathrm{\ell }$ n'est pas un choix, c'est une conséquence. On ne « décide » pas de poser $\tilde{f}(a)=\mathrm{\ell }$ pour que ça marche ; c'est la seule valeur qui puisse marcher, et c'est la limite qui l'impose. Le prolongement par continuité est donc exactement le passage du cas 1 au cas 2 de la troisième section.

Un mot de vocabulaire, parce que la confusion est constante : prolonger une fonction, c'est agrandir son ensemble de définition ; simplifier une expression, c'est la réécrire là où elle est déjà définie. La simplification ci-dessus n'a pas prolongé $f$, elle a seulement permis de calculer la limite. Le prolongement est l'acte de poser une valeur en un point qui n'était pas dans le domaine.

Classification des discontinuités

Quand $f$ n'est pas continue en $a$, tous les échecs ne se ressemblent pas. Le vocabulaire qui suit les distingue, et il sert à décrire un comportement en un mot.

La figure montre les trois situations côte à côte. À gauche, un saut : les deux limites latérales existent, sont finies et différentes, et il n'y a aucun moyen de recoller. Au centre, une discontinuité effaçable : les deux limites latérales sont égales, la courbe présente un « trou », et il suffit de changer la valeur en un seul point pour rendre la fonction continue ; c'est exactement le prolongement par continuité, d'où le nom. À droite, une discontinuité de seconde espèce : une des limites latérales manque, et aucune modification ponctuelle n'y changera rien.

Le mot effaçable est à prendre au pied de la lettre : la discontinuité disparaît si l'on redéfinit $f$ en $a$, et en $a$ seulement. Pour un saut, redéfinir $f(a)$ ne sert à rien, quelle que soit la valeur choisie : la fonction sera au mieux continue d'un seul côté. Pour une discontinuité de seconde espèce, la question ne se pose même pas.

L'exercice 17 fait classer six fonctions avec ce vocabulaire ; c'est de l'application directe une fois les limites latérales calculées, et c'est le seul moment du chapitre où la difficulté est purement lexicale.

Les discontinuités d'une fonction monotone

La démonstration tient en deux phrases, une fois acquis le corollaire de la sixième section. Ce corollaire garantit que $f(c^{-})$ et $f(c^{+})$ existent et sont finies en tout point intérieur : la discontinuité est donc de première espèce, quel qu'il soit. Et elle ne peut pas être effaçable : si l'on avait $f(c^{-})=f(c^{+})$, l'encadrement $f(c^{-})⩽f(c)⩽f(c^{+})$ forcerait $f(c)$ à valoir cette valeur commune, donc $f$ serait continue en $c$. Il reste $f(c^{-})<f(c^{+})$, c'est-à-dire un saut. L'exercice 18 rédige cette démonstration en entier et construit des fonctions croissantes à discontinuités imposées.

Le théorème des valeurs intermédiaires

L'énoncé

C'est le cas $y=0$. On notera que le théorème donne l'existence de $c$, et rien d'autre : ni sa valeur, ni son unicité, ni un moyen de le calculer. Un énoncé d'existence pure est une nouveauté pour beaucoup d'étudiants, et c'est précisément ce qui fait sa force : il s'applique à des équations qu'on ne sait pas résoudre.

Les deux hypothèses sont à écrire avant de conclure, sans exception : $f$ est continue, et elle l'est sur un segment, c'est-à-dire un intervalle fermé et borné. Un corrigé qui applique le TVI sans avoir écrit « $f$ est continue sur $[a,b]$ comme … » enseigne le contraire de ce que le théorème demande.

L'idée de la démonstration

Le TVI est admis dans la plupart des cours qui le précèdent. Il se démontre, et de deux manières.

Par dichotomie. Supposons pour fixer les idées $f(a)⩽y⩽f(b)$, et posons $a_0=a$, $b_0=b$. On construit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ en coupant à chaque étape le segment en deux : si $f$ prend au milieu $m_n={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}$ une valeur inférieure ou égale à $y$, on garde la moitié droite, sinon la moitié gauche. Par construction, l'encadrement $f(a_n)⩽y⩽f(b_n)$ est conservé à chaque étape, et la longueur du segment est divisée par deux : $b_n-a_n={\displaystyle \frac{b-a}{2^n}}$.

Les deux suites sont alors adjacentes, et le théorème des segments emboîtés, acquis dans le chapitre « Suites réelles », fournit un réel $c$ vers lequel elles convergent toutes deux. La continuité de $f$ en $c$, via la caractérisation séquentielle, donne $f(a_n)\to f(c)$ et $f(b_n)\to f(c)$. En passant à la limite dans les inégalités larges $f(a_n)⩽y$ et $y⩽f(b_n)$, on obtient $f(c)⩽y$ et $y⩽f(c)$, donc $f(c)=y$.

Par la borne supérieure. On pose $c=\sup \{x\in [a,b];f(x)⩽y\}$, ensemble non vide puisqu'il contient $a$, et majoré par $b$. On montre alors, en utilisant deux fois la conservation locale du signe, que ni $f(c)<y$ ni $f(c)>y$ ne peuvent tenir.

L'exercice 20 rédige ces deux démonstrations en entier et les compare : la première est constructive, elle fabrique le point à la précision qu'on veut, la seconde ne l'est pas, mais elle est plus courte. C'est une opposition à connaître, car elle traverse toute l'analyse.

L'image d'un intervalle est un intervalle

C'est le même théorème, reformulé, et c'est sous cette forme qu'il se retient le mieux : une fonction continue ne peut pas sauter de valeur. La démonstration, faite à l'exercice 21, repose sur la caractérisation d'un intervalle par sa convexité — une partie $J$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si, pour tous $u,v\in J$ et tout $w$ compris entre $u$ et $v$, on a $w\in J$. Le TVI dit exactement que $f(I)$ possède cette propriété.

L'intervalle $I$ n'a pas besoin d'être un segment dans cette version : il peut être ouvert, semi-ouvert, non borné. Ce qui n'est pas dit, en revanche, c'est de quelle nature est l'intervalle image, et c'est là que se logent la plupart des erreurs.

Le cas strictement monotone

L'existence est le TVI ; l'unicité vient de l'injectivité d'une fonction strictement monotone, démontrée dès la première section. La rédaction attendue le dit dans cet ordre, en deux phrases séparées : « d'après le TVI, il existe $c$ … ; comme $f$ est strictement croissante, elle est injective, donc ce $c$ est unique ». Fusionner les deux fait perdre l'une des deux justifications.

C'est cet énoncé qui permet de compter les solutions d'une équation, et non seulement d'en trouver une : on découpe l'intervalle en morceaux sur lesquels $f$ est strictement monotone, ce qui se démontre à la main, puis on applique le théorème sur chaque morceau. L'exercice 22 est entièrement bâti là-dessus, y compris pour une équation à paramètre.

On ne calcule pas $f(I)$ en substituant les bornes

Fonctions continues sur un segment

Le TVI dit que l'image d'un intervalle est un intervalle. Sur un segment, on peut dire beaucoup plus, et c'est le théorème le plus utile de tout le chapitre.

Le théorème des bornes atteintes

Ce théorème est admis presque partout. Il se démontre, et sa démonstration est l'aboutissement de tout ce que le chapitre a construit ; elle fait l'objet de l'exercice 23. En voici le plan, en trois phrases, parce qu'il faut savoir le raconter même sans le rédiger.

Bornée. Par l'absurde : si $f$ n'était pas majorée, on pourrait choisir pour chaque entier $n$ un point $x_n\in [a,b]$ tel que $f(x_n)⩾n$. La suite $(x_n)$ est bornée, puisqu'elle vit dans $[a,b]$ ; le théorème de Bolzano-Weierstrass, acquis dans le chapitre « Suites réelles », en extrait une sous-suite convergente, dont la limite $c$ appartient encore à $[a,b]$ par passage à la limite dans des inégalités larges. La caractérisation séquentielle de la continuité donne alors une suite $(f(x_{\phi (n)}))$ qui converge vers $f(c)$, donc bornée, alors qu'elle est minorée par $\phi (n)⩾n$ : contradiction.

Atteintes. On applique le geste de l'exercice 04 : puisque $f$ est majorée, $M={\sup }_{[a,b]}f$ existe, et la caractérisation par les $\epsilon$ appliquée à $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{n}}$ fournit une suite $(x_n)$ de $[a,b]$ telle que $f(x_n)>M-{\displaystyle \frac{1}{n}}$, donc $f(x_n)\to M$. Une extraction convergente et la continuité donnent $f(x_M)=M$ pour un point $x_M$ de $[a,b]$.

Le fermé et le borné servent chacun une fois, et il vaut la peine de voir où : le caractère borné de $[a,b]$ permet d'appliquer Bolzano-Weierstrass, et le caractère fermé garantit que la limite de la sous-suite reste dans $[a,b]$, donc que $f$ y est encore définie et continue.

L'image d'un segment est un segment

C'est la combinaison des deux théorèmes précédents, et elle se dit en une phrase : le TVI donne que $f([a,b])$ est un intervalle, le théorème des bornes atteintes donne que ses deux extrémités sont des valeurs de $f$, donc lui appartiennent ; un intervalle qui contient ses deux extrémités est un segment. L'exercice 23 en fait sa question finale.

Attention à la lecture. L'énoncé ne dit pas $f([a,b])=[f(a),f(b)]$, qui est faux dès que $f$ n'est pas monotone ; il dit que l'image est le segment délimité par le minimum et le maximum de $f$, qui peuvent être atteints n'importe où.

Ce que les hypothèses font

Les deux hypothèses portent sur $f$ et sur l'ensemble de départ, et elles ne sont pas décoratives : sur $[0,2[$, qui est borné mais non fermé, la fonction continue $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2-x}}$ n'est pas majorée, et le théorème tombe. L'exercice 24 fait le tour de la question autrement, en donnant six ensembles de départ et en demandant, pour chacun, si toute fonction continue y est bornée et y atteint ses bornes ; le cas d'une réunion de deux segments disjoints y réserve une surprise.

Théorème de la bijection et fonctions réciproques

L'énoncé

Les trois hypothèses sont à vérifier et à écrire séparément, dans cet ordre : intervalle, continuité, stricte monotonie. Chacune sert à quelque chose de précis, et l'on peut dire quoi. L'intervalle et la continuité servent à la surjectivité, via le TVI ; la stricte monotonie sert à l'injectivité. Retirer la stricte monotonie fait apparaître un palier, sur lequel $f$ prend la même valeur en une infinité de points : la fonction reste surjective sur son image, mais elle n'est plus injective, donc plus bijective.

La démonstration

Point 2, la bijectivité. L'injectivité est acquise depuis la première section : une fonction strictement monotone est injective. La surjectivité de $I$ sur $J=f(I)$ est vraie par construction, puisque $J$ est précisément l'ensemble des valeurs prises. La seule chose à démontrer est donc que $J$ est un intervalle, et c'est la forme globale du TVI. $\mathrm{\square }$

Point 3, la monotonie de $f^{-1}$. Supposons $f$ strictement croissante, et soient $y_1<y_2$ dans $J$. Posons $x_1=f^{-1}(y_1)$ et $x_2=f^{-1}(y_2)$. Si l'on avait $x_1⩾x_2$, la croissance de $f$ donnerait $f(x_1)⩾f(x_2)$, c'est-à-dire $y_1⩾y_2$, ce qui contredit $y_1<y_2$. Donc $x_1<x_2$ : la fonction $f^{-1}$ est strictement croissante. $\mathrm{\square }$

Notons la forme de l'argument : on ne calcule rien, on remonte l'inégalité par l'absurde à travers $f$. C'est le geste standard pour toute propriété de $f^{-1}$.

La continuité de la réciproque

C'est le point admis dans presque tous les cours qui précèdent, et il est démontré à l'exercice 26. Le chemin, en une phrase, est joli et mérite d'être connu : $f^{-1}$ est monotone sur l'intervalle $J$, donc, d'après le corollaire du théorème de la limite monotone, ses seules discontinuités possibles sont des sauts ; or un saut de $f^{-1}$ en un point intérieur $y_0$ signifierait que tout point de l'intervalle $](f^{-1})(y_0^{-}),(f^{-1})(y_0^{+})[$, à l'exception au plus de $f^{-1}(y_0)$ lui-même, échappe à l'image de $f^{-1}$, c'est-à-dire à $I$ — alors que cette image est l'intervalle $I$ tout entier, et qu'un intervalle ouvert non vide privé d'un point contient encore des réels. Contradiction : une fonction monotone dont l'image est un intervalle est continue.

C'est un exemple parfait de la manière dont les théorèmes de ce chapitre s'emboîtent : la sixième section sert la huitième, qui sert la onzième.

La symétrie des graphes

Démonstration, en une ligne. Le point $(x,y)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si $y=f(x)$, c'est-à-dire si et seulement si $x=f^{-1}(y)$, c'est-à-dire si et seulement si le point $(y,x)$ appartient à la courbe de $f^{-1}$. Or $(x,y)\mapsto (y,x)$ est exactement la symétrie par rapport à la première bissectrice. $\mathrm{\square }$

La figure montre une fonction strictement croissante et sa réciproque. Trois lectures sont à faire dessus, et elles servent constamment : les points d'intersection éventuels des deux courbes sont sur la bissectrice, ce sont les points fixes ; un intervalle de l'axe des abscisses pour $f$ devient un intervalle de l'axe des ordonnées pour $f^{-1}$ ; et une asymptote horizontale de $f$ devient une asymptote verticale de $f^{-1}$. L'exercice 26 exploite cette symétrie.

Selon les facs : Arcsin, Arccos, Arctan

Aucune des trois fonctions $\sin$, $\cos$, $\tan$ n'est injective sur son domaine : elles sont périodiques, donc elles prennent chaque valeur une infinité de fois. Le théorème de la bijection ne s'applique donc pas à elles. Il s'applique en revanche à une restriction bien choisie, et le choix de cette restriction est un choix, qu'on justifie.

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$\operatorname{Arctan} x$

$-\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

Le choix des restrictions n'est pas arbitraire, mais il n'est pas unique non plus. On choisit toujours l'intervalle le plus proche de $0$ sur lequel la fonction est strictement monotone et prend toutes ses valeurs : $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ pour le sinus, $[0,\pi ]$ pour le cosinus, faute de pouvoir centrer en $0$ un intervalle de monotonie du cosinus. C'est une convention universelle, mais c'est une convention : d'autres restrictions donneraient d'autres réciproques, tout aussi légitimes et incompatibles avec les tables.

C'est la faute la plus fréquente sur ces fonctions, et elle vient d'une confusion sur le sens du mot « réciproque » : $f^{-1}\circ f=\mathrm{i}\mathrm{d}$ vaut sur l'ensemble de départ de la restriction, pas sur $\mathbb{R}$. Pour $x$ en dehors, il faut ramener $x$ dans le bon intervalle par la périodicité et les symétries, puis conclure. L'exercice 28 y consacre une question entière.

Pour l'arctangente, les valeurs à connaître sont $\mathrm{Arctan}0=0$, $\mathrm{Arctan}1={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, $\mathrm{Arctan}\sqrt{3}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et $\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, les valeurs négatives s'en déduisant par imparité.

Cette identité se démontre sans le moindre calcul de limite : on pose $\theta =\mathrm{Arcsin}x$, on vérifie que ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$ appartient à $[0,\pi ]$, puis que son cosinus vaut $x$, et l'injectivité de la restriction du cosinus conclut. La démonstration est demandée à l'exercice 27, en même temps que la construction complète des trois fonctions ; l'exercice 28 poursuit avec les identités et les équations, notamment $\mathrm{Arctan}x+\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{1}{x}}$, dont la valeur dépend du signe de $x$ et dont le cas négatif est un piège classique.

Selon les facs : les fonctions hyperboliques

La fonction $\mathrm{ch}$ est paire, $\mathrm{sh}$ et $\mathrm{th}$ sont impaires, ce qui se lit sur les définitions en changeant $x$ en $-x$. Toutes trois sont continues sur $\mathbb{R}$ comme sommes et quotients de fonctions continues, le dénominateur $\mathrm{ch}$ ne s'annulant jamais puisque $e^x+e^{-x}>0$.

Démonstration. En développant les carrés,

$${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=\frac{(e^x+e^{-x}{)}^2-(e^x-e^{-x}{)}^2}{4}=\frac{4e^x{e}^{-x}}{4}=1,$$

puisque $e^x{e}^{-x}=e^0=1$. $\mathrm{\square }$

En particulier $\mathrm{ch}x⩾1$ pour tout réel $x$, avec égalité si et seulement si $\mathrm{sh}x=0$, c'est-à-dire $x=0$.

Monotonie, démontrée à la main. Soient $x<y$. Alors

$$\mathrm{sh}y-\mathrm{sh}x=\frac{(e^y-e^x)+(e^{-x}-e^{-y})}{2}\mathrm{.}$$

La croissance stricte de l'exponentielle donne $e^y>e^x$, donc le premier terme est strictement positif ; elle donne aussi $e^{-y}<e^{-x}$, donc le second l'est aussi. Ainsi $\mathrm{sh}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Le même calcul, mené sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ pour $\mathrm{ch}$, montre que $e^y-e^x>0$ l'emporte sur $e^{-y}-e^{-x}<0$ dès que $0⩽x<y$, car $e^y-e^x>e^{-x}-e^{-y}$ équivaut, après multiplication par $e^{x+y}>0$, à $(e^{x+y}-1)(e^y-e^x)>0$, vrai puisque $x+y>0$. Donc $\mathrm{ch}$ est strictement croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty },0]$ par parité.

Les limites se lisent sur les définitions : $\mathrm{sh}x\to \pm \mathrm{\infty }$ et $\mathrm{ch}x\to +\mathrm{\infty }$ quand $x\to \pm \mathrm{\infty }$, et pour la tangente hyperbolique, en écrivant $\mathrm{th}x={\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$ puis en posant $u=e^{2x}$,

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{th}x=-1,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{th}x=1.$$

La fonction $\mathrm{th}$ est de plus strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et cela se démontre à la main, sans invoquer aucune règle sur les quotients : il n'existe pas de théorème disant qu'un quotient de fonctions croissantes positives est croissant, comme le montre ${\displaystyle \frac{x}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. On écrit

$$\mathrm{th}x=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=1-\frac{2}{e^{2x}+1},$$

et l'on prend $x<y$ : la stricte croissance de l'exponentielle donne $0<e^{2x}+1<e^{2y}+1$, donc, par passage à l'inverse entre réels strictement positifs, ${\displaystyle \frac{2}{e^{2x}+1}}>{\displaystyle \frac{2}{e^{2y}+1}}$, d'où $\mathrm{th}x<\mathrm{th}y$. Cette même écriture donne les valeurs : $e^{2x}+1$ parcourt $]1,+\mathrm{\infty }[$, donc ${\displaystyle \frac{2}{e^{2x}+1}}$ parcourt $]0,2[$, et $\mathrm{th}$ est à valeurs dans $]-1,1[$. L'exercice 29 reprend ce calcul.

Ces expressions logarithmiques ne sont pas des formules à retenir mais des résultats à savoir retrouver, et le chemin est toujours le même : on résout l'équation $\mathrm{sh}t=x$ d'inconnue $t$ en posant $u=e^t$, ce qui donne une équation du second degré en $u$, dont une seule racine est strictement positive. L'exercice 29 fait ce calcul en entier pour $\mathrm{Argsh}$ et $\mathrm{Argth}$. C'est le seul endroit du chapitre où une fonction réciproque s'écrit explicitement, et cela mérite d'être remarqué : $\mathrm{Arcsin}$ et $\mathrm{Arctan}$ n'ont, elles, aucune expression de ce genre.

Selon les facs : la continuité uniforme

La définition, et les deux quantifications côte à côte

Tout se joue dans la place de $\mathrm{\exists }\delta$, et il faut lire les deux énoncés l'un sous l'autre pour le voir.

Les deux formules ont les mêmes symboles ; seul l'ordre change, et il change tout. Dans la première, $\delta$ est introduit après $x_0$ : il a le droit d'en dépendre, et il en dépend presque toujours. Dans la seconde, $\delta$ est introduit avant $x$ et $y$ : un seul $\delta$ doit convenir pour toute la partie $A$, uniformément, d'où le nom. C'est exactement l'écart entre « pour chaque point il existe une réponse » et « il existe une réponse valable pour tous les points », c'est-à-dire l'écart que le chapitre « Logique » décrit à propos de l'ordre des quantificateurs.

Il en résulte immédiatement que l'uniforme continuité entraîne la continuité : si un $\delta$ convient pour tous les points, il convient en particulier en chacun d'eux. La réciproque est fausse, et c'est tout l'intérêt de la notion.

La négation fait apparaître deux points, et c'est sa signature. Là où nier une limite produisait un point, nier l'uniforme continuité produit un couple de points, aussi proches qu'on veut, dont les images restent écartées d'au moins $\epsilon$. En prenant $\delta ={\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour chaque entier $n⩾1$, on en tire deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ de $A$ telles que $x_n-y_n\to 0$ et $\mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\epsilon$ pour tout $n$. Ce critère séquentiel est la forme sous laquelle on réfute en pratique, et il est démontré à l'exercice 30.

Fonctions lipschitziennes

La démonstration tient en une ligne, et le $\delta$ est explicite : pour $k>0$ et $\epsilon >0$ donnés, le choix $\delta ={\displaystyle \frac{\epsilon }{k}}$ convient, puisque $\mid x-y\mid ⩽\delta$ entraîne alors $\mid f(x)-f(y)\mid ⩽k\delta =\epsilon$ ; le cas $k=0$ est celui d'une fonction constante. Ce $\delta$ ne dépend pas du point, seulement de $\epsilon$ et de $k$ : c'est précisément l'uniformité, et c'est pour cela que les fonctions lipschitziennes sont le premier exemple qu'on donne.

Les majorations de la deuxième section disent donc que $\sin$ et $\cos$ sont $1$-lipschitziennes sur $\mathbb{R}$, donc uniformément continues sur $\mathbb{R}$ ; la valeur absolue aussi, par la seconde inégalité triangulaire.

La hiérarchie, et ses inclusions strictes

Les deux implications sont démontrées ci-dessus, chacune en une ligne. Ce qui demande du travail, ce sont les deux contre-exemples qui rendent les inclusions strictes.

• Pour la seconde flèche, l'exponentielle sur $\mathbb{R}$, traitée plus haut, suffit : continue partout, uniformément continue nulle part sur $\mathbb{R}$.
• Pour la première, il faut une fonction uniformément continue et non lipschitzienne. Le témoin retenu à l'exercice 31 est $x\mapsto x^{1\mathrm{/}3}$ sur $[0,1]$ : elle est continue sur un segment, donc uniformément continue par le théorème de Heine ci-dessous, et l'on montre qu'aucun rapport $k$ ne convient en approchant $0$.

L'exercice 31 ajoute un troisième étage, celui de la stabilité : la somme et la composée de deux fonctions uniformément continues le sont encore, mais le produit non, ce qui surprend et se démontre par un contre-exemple. Toutes ces questions s'y traitent à partir de la définition, jamais par un argument de calcul différentiel.

Le théorème de Heine

C'est le dernier des grands théorèmes du chapitre, et le plus surprenant : une propriété locale, la continuité en chaque point, devient globale dès que l'ensemble de départ est fermé et borné. Il est utilisé un peu partout en analyse, souvent sans être nommé, et il est démontré à l'exercice 32.

Le plan de la démonstration, en trois phrases : on raisonne par l'absurde à partir du critère séquentiel de la négation, ce qui fournit deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ de $[a,b]$ telles que $\mid x_n-y_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$ et $\mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\epsilon$ ; le théorème de Bolzano-Weierstrass, acquis dans le chapitre « Suites réelles », extrait de $(x_n)$ une sous-suite convergente vers un point $c$ de $[a,b]$ ; et le point délicat est que la sous-suite correspondante de $(y_n)$ converge vers le même $c$, puisque $\mid x_n-y_n\mid \to 0$. La continuité de $f$ en $c$ donne alors deux suites images convergeant toutes deux vers $f(c)$, ce qui contredit l'écart persistant de $\epsilon$.

L'hypothèse « segment » est indispensable, et l'exponentielle sur $\mathbb{R}$ le montre déjà : sur $[0,1]$ elle est uniformément continue par Heine, sur $\mathbb{R}$ elle ne l'est pas. Le résultat le plus fin dans cette direction est celui de l'exercice 33 : une fonction uniformément continue sur un intervalle ouvert borné $]a,b[$ se prolonge par continuité aux deux bornes, et la réciproque est vraie, ce qui donne une caractérisation complète. C'est la rencontre des deux dernières sections du chapitre, la continuité uniforme et le prolongement par continuité.

Ce que ce chapitre doit aux précédents, et ce qu'il leur rend

Ce chapitre n'a presque rien inventé. Tout ce qu'il démontre repose sur des acquis, et il faut savoir lesquels : c'est ce qui permet, devant une démonstration à refaire, de savoir quel outil aller chercher.

Ce qu'il doit au chapitre « Suites réelles ». L'axiome de la borne supérieure, d'abord, qui est la source unique : c'est lui qui donne le théorème de la limite monotone de la sixième section, et par là le corollaire sur les limites latérales, la classification des discontinuités, et la continuité de la fonction réciproque. La caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$ donne le sup et l'inf d'une fonction, et la suite maximisante qui atteint le sup. Le théorème de Bolzano-Weierstrass donne le théorème des bornes atteintes et le théorème de Heine. Le théorème des segments emboîtés donne la démonstration du TVI par dichotomie. La propriété d'Archimède fournit les suites de pas ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ qui apparaissent dans presque toutes les constructions. La densité de $\mathbb{Q}$ sert à démontrer que deux fonctions continues coïncidant sur $\mathbb{Q}$ sont égales.

Ce qu'il doit au chapitre « Logique, raisonnement, ensembles et applications ». L'ordre des quantificateurs et la négation d'un énoncé quantifié, sans lesquels la quatrième section et la douzième n'auraient pas de contenu. L'injectivité et la surjectivité, avec leurs phrases d'ouverture, qui sont la charpente du théorème de la bijection. L'image directe et l'image réciproque. La dénombrabilité de $\mathbb{Q}$, qui donne le résultat sur les discontinuités d'une fonction monotone.

Ce qu'il leur rend. Trois dettes explicites sont soldées ici, et elles méritent d'être pointées, parce qu'un cours qui promet une démonstration pour plus tard doit tenir sa promesse.

1. Le cours de « Suites réelles » écrit, à propos des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ : « la continuité de $f$, dont l'étude relève du chapitre sur les fonctions, est admise ici ». Le passage à la limite $\mathrm{\ell }=f(\mathrm{\ell })$ est démontré à la septième section, par la caractérisation séquentielle de la continuité, et l'hypothèse exacte apparaît alors clairement : il suffit que $f$ soit continue au point $\mathrm{\ell }$.
2. Le même cours admet la croissance comparée ${\displaystyle \frac{(\ln n{)}^b}{n^a}}\to 0$, faute d'avoir construit le logarithme, ainsi que la continuité de $x\mapsto x^{\alpha }$ pour $\alpha$ réel. Les limites de référence de la cinquième section et la continuité des fonctions usuelles de la huitième règlent les deux.
3. Le cours de « Logique, raisonnement, ensembles et applications » établit des bijections entre intervalles par le calcul, et admet la surjectivité de $w:x\mapsto x^3-x$ sur $\mathbb{R}$, en annonçant qu'elle serait démontrée plus tard. Elle l'est ici, et en trois lignes : $w$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynomiale, et ses limites en $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$ valent $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$ ; l'image de l'intervalle $\mathbb{R}$ est donc un intervalle non majoré et non minoré, c'est-à-dire $\mathbb{R}$ tout entier. L'exercice 25 rédige cette solde et la compare au calcul que « Logique » avait dû faire faute de ce théorème.

Reste le fil rouge, et c'est peut-être la seule chose à ne pas oublier. Le chapitre « Suites réelles » descendait tout entier de l'axiome de la borne supérieure. Celui-ci descend, lui, de deux sources : cet axiome, transmis par le théorème de la limite monotone et par Bolzano-Weierstrass, et une définition, celle de la limite sur un voisinage épointé. La première fait exister les objets, la seconde dit ce qu'on a le droit de regarder. Tous les pièges du chapitre — le prolongement par continuité, l'hypothèse du théorème de composition, la différence entre limite et valeur — sortent de la seconde ; tous les grands théorèmes sortent de la première.