3ᵉ · Chapitre 05 · Organisation et gestion de données, fonctions

Notion de fonction

Variable, image, antécédent, notations f(x) et x ↦ f(x), passages entre représentations.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Variable
Image
Antécédent
Notations f(x) et x ↦ f(x)
Passages entre représentations

En quatrième, tu as souvent travaillé avec des grandeurs qui dépendent l'une de l'autre : la distance parcourue dépend de la durée de marche, le prix payé dépend du nombre de croissants achetés, le périmètre d'un carré dépend de la longueur de son côté. Tu savais déjà décrire ces situations avec une formule, un tableau de valeurs ou un graphique, mais sans mot pour les unifier. Ce chapitre te donne enfin ce mot, fonction, et une notation puissante, $f (x)$ , qui vont rassembler tout ce que tu connais déjà en un seul outil. C'est l'un des concepts les plus importants de toutes les mathématiques : tu le retrouveras chaque année jusqu'au bac et bien au-delà.

La notion de fonction

Imagine une machine à nombres, une sorte de distributeur automatique : tu glisses un nombre dans la fente d'entrée, la machine effectue son travail à l'intérieur, et elle te rend un nombre à la sortie. Toujours un seul. Si tu glisses deux fois le même nombre, elle te rend deux fois le même résultat : la machine ne change pas d'avis.

Cette machine, en mathématiques, s'appelle une fonction.

Définition

Une fonction est un procédé qui, à un nombre de départ, associe un unique nombre d'arrivée.

On désigne une fonction par une lettre, le plus souvent $f$ , $g$ ou $h$ . Le nombre de départ est appelé la variable, et on le note en général $x$ : c'est le nombre qui peut varier, celui que l'on choisit librement à l'entrée de la machine.

Tu utilises des fonctions depuis longtemps sans le savoir. Quelques exemples :

À la boulangerie : si un croissant coûte $1,20$ €, alors au nombre de croissants achetés correspond un prix. Pour $x$ croissants, on paie $1,20 \times x$ euros. C'est une fonction : à chaque nombre de croissants, un prix et un seul.
En géométrie : à la longueur du côté d'un carré correspond son périmètre. Pour un côté de longueur $c$ , le périmètre vaut $4 c$ . Encore une fonction.
Les programmes de calcul que tu pratiques depuis la cinquième sont eux aussi des fonctions : ils prennent un nombre, lui font subir des étapes de calcul, et rendent un résultat.

D'ailleurs, le mot existe déjà dans la langue courante : on dit que « le prix est fonction du nombre de croissants », ou que « le périmètre est fonction de la longueur du côté ». Le vocabulaire mathématique ne fait que reprendre cette idée de dépendance, en la rendant précise.

Exemple

Un programme de calcul vu comme une machine. Considère le programme suivant :

Choisir un nombre ;
le multiplier par $3$ ;
soustraire $5$ au résultat.

Fais-le fonctionner sur quelques nombres d'entrée :

avec $4$ : on calcule $4 \times 3 = 12$ , puis $12 - 5 = 7$ . La machine rend $7$ .
avec $0$ : on calcule $0 \times 3 = 0$ , puis $0 - 5 = - 5$ . La machine rend $- 5$ .
avec $- 2$ : on calcule $- 2 \times 3 = - 6$ , puis $- 6 - 5 = - 11$ . La machine rend $- 11$ .

Si on note $x$ le nombre choisi au départ, le résultat s'écrit $3 x - 5$ . Ce programme définit donc une fonction, que l'on peut appeler $f$ : à chaque nombre $x$ , elle associe le nombre $3 x - 5$ .

Retiens bien le point essentiel de la définition : le résultat est unique. Une fonction ne rend jamais deux réponses différentes pour un même nombre d'entrée. En revanche, rien n'interdit que deux nombres d'entrée différents donnent le même résultat de sortie : tu en verras un exemple très bientôt avec les carrés.

Image, antécédent et notations

Maintenant que la machine est installée, donnons des noms à ce qui entre et à ce qui sort. C'est le vocabulaire central du chapitre, celui que tu dois connaître sur le bout des doigts.

Définition

Soit $f$ une fonction et $x$ un nombre.

Le nombre que $f$ associe à $x$ s'appelle l'image de $x$ par la fonction $f$ . Cette image se note $f (x)$ , ce qui se lit « $f$ de $x$ ».
Réciproquement, si $f (x) = b$ , on dit que $x$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$ .

Pour mémoriser : l'antécédent, c'est « ce qui vient avant » (comme dans « antérieur ») : le nombre qui entre dans la machine. L'image, c'est ce qui sort. Sur l'exemple du programme de calcul : comme $f$ transforme $4$ en $7$ , on écrit $f (4) = 7$ , et on dit que $7$ est l'image de $4$ , et que $4$ est un antécédent de $7$ .

Il existe deux façons d'écrire une fonction, que tu dois savoir lire et utiliser toutes les deux :

avec une égalité : $f (x) = 3 x - 5$ , qui se lit « $f$ de $x$ égale $3 x - 5$ » ;
avec une flèche : $f : x ⟼ 3 x - 5$ , qui se lit « $f$ est la fonction qui, à $x$ , associe $3 x - 5$ ».

Ces deux écritures disent exactement la même chose. Attention à un piège de lecture : dans $f (x)$ , les parenthèses ne signifient pas une multiplication ! Ce n'est pas « $f$ fois $x$ », c'est une notation qui désigne le nombre obtenu en appliquant la fonction $f$ au nombre $x$ .

Pour t'entraîner à jongler entre les phrases et les notations, voici un petit tableau de traduction. Remarque que les deux premières lignes se traduisent par la même égalité : une seule écriture, $f (4) = 7$ , contient à la fois une information d'image et une information d'antécédent. Savoir la lire dans les deux sens est indispensable.

On dit...	On écrit...
l'image de $4$ par $f$ est $7$	$f (4) = 7$
$4$ est un antécédent de $7$ par $f$	$f (4) = 7$
$f$ est la fonction qui à $x$ associe $3 x - 5$	$f (x) = 3 x - 5$ ou $f : x ⟼ 3 x - 5$

Propriété

Un nombre possède toujours une seule image par une fonction. C'est pourquoi on dit « **l'**image de $x$ ».
En revanche, un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents par une fonction. C'est pourquoi on dit « un antécédent de $b$ », et qu'on cherche « les antécédents de $b$ ».

Cette dissymétrie entre image et antécédent est le point le plus subtil du chapitre. L'exemple des carrés le montre parfaitement.

Exemple

Soit $g$ la fonction qui, à chaque nombre, associe son carré : $g : x ⟼ x^{2}$ .

Le nombre $9$ a deux antécédents par $g$ . En effet, $g (3) = 3^{2} = 9$ et $g (- 3) = (- 3)^{2} = 9$ : les nombres $3$ et $- 3$ ont tous les deux pour image $9$ . Les antécédents de $9$ par $g$ sont donc $3$ et $- 3$ .
Le nombre $- 4$ n'a aucun antécédent par $g$ . Un carré n'est jamais négatif : aucun nombre ne peut avoir pour image $- 4$ .
Le nombre $0$ a un seul antécédent par $g$ : c'est $0$ lui-même, car $0^{2} = 0$ et aucun autre nombre n'a un carré nul.

Une même fonction peut donc donner des nombres avec deux antécédents, un seul, ou aucun. Mais chaque nombre d'entrée, lui, a bien une image et une seule : $g (3)$ vaut $9$ , et rien d'autre.

Calculer une image

Première compétence pratique du chapitre : calculer l'image d'un nombre quand la fonction est donnée par une formule. Le principe est simple, c'est une substitution : on remplace la variable $x$ par le nombre, partout où elle apparaît, puis on calcule. Tu connais déjà ce geste depuis le calcul littéral.

Méthode

Calculer l'image d'un nombre par une fonction donnée par une formule.

Remplacer chaque $x$ de la formule par le nombre. Si le nombre est négatif, l'écrire entre parenthèses.
Calculer en respectant les priorités opératoires (puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions).
Conclure par une phrase ou une égalité : $f (nombre) = r \overset{ˊ}{e} sultat$ .

Le point 1 mérite toute ton attention. Oublier les parenthèses autour d'un nombre négatif est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, surtout en présence d'un carré : $(- 3)^{2} = 9$ , alors qu'écrire $- 3^{2}$ sans parenthèses signifie « l'opposé de $3^{2}$ », c'est-à-dire $- 9$ . Les parenthèses changent tout.

Exemple

Avec la fonction $f : x ⟼ 3 x - 5$ .

Image de $10$ : $f (10) = 3 \times 10 - 5 = 30 - 5 = 25$ . L'image de $10$ par $f$ est $25$ .

Image de $- 2$ : on remplace $x$ par $(- 2)$ , entre parenthèses.

f (- 2) = 3 \times (- 2) - 5 = - 6 - 5 = - 11

L'image de $- 2$ par $f$ est $- 11$ .

Avec la fonction $g$ définie par $g (x) = 2 x^{2} - 5 x$ . Calculons l'image de $- 3$ :

g (- 3) = 2 \times (- 3)^{2} - 5 \times (- 3) = 2 \times 9 + 15 = 18 + 15 = 33

L'image de $- 3$ par $g$ est $33$ . Remarque le rôle des parenthèses : $(- 3)^{2} = 9$ (et non $- 9$ ), et $- 5 \times (- 3) = + 15$ (le produit de deux négatifs est positif).

Déterminer des antécédents par le calcul

Voici maintenant la question dans l'autre sens : au lieu de « quel nombre sort de la machine ? », on demande « quel nombre faut-il faire entrer pour obtenir telle sortie ? ». Chercher les antécédents d'un nombre $b$ par une fonction $f$ , c'est chercher tous les nombres $x$ tels que $f (x) = b$ . Et cette phrase, tu la reconnais : c'est exactement résoudre une équation. Tout le travail du chapitre précédent va servir ici.

Méthode

Déterminer les antécédents d'un nombre $b$ par une fonction $f$ .

Poser l'équation $f (x) = b$ , en remplaçant $f (x)$ par sa formule.
Résoudre cette équation avec les techniques du chapitre sur les équations.
Conclure : les solutions de l'équation sont les antécédents de $b$ par $f$ . Il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs, et il faut tous les donner.

Exemple

Premier cas : une équation du premier degré. Soit $f : x ⟼ 3 x - 5$ . Déterminons le ou les antécédents de $16$ par $f$ .

On cherche les nombres $x$ tels que $f (x) = 16$ , c'est-à-dire on résout :

\begin{aligned} 3 x - 5 & = 16 \\ 3 x & = 16 + 5 \\ 3 x & = 21 \\ x & = \frac{21}{3} = 7 \end{aligned}

L'équation a une unique solution : $7$ . Donc $16$ a un unique antécédent par $f$ , qui est $7$ .

Vérification : $f (7) = 3 \times 7 - 5 = 21 - 5 = 16$ , ce qui confirme le résultat.

Deuxième cas : une équation avec un carré. Soit $g : x ⟼ x^{2}$ . Déterminons les antécédents de $25$ par $g$ .

On résout l'équation $x^{2} = 25$ . Deux nombres ont pour carré $25$ : ce sont $\sqrt{25} = 5$ et son opposé $- 5$ . Le nombre $25$ a donc deux antécédents par $g$ : $5$ et $- 5$ .

Tu peux retrouver ce résultat avec une équation produit, comme au chapitre précédent : $x^{2} = 25$ s'écrit aussi $x^{2} - 25 = 0$ , c'est-à-dire $(x - 5) (x + 5) = 0$ . Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul, donc $x = 5$ ou $x = - 5$ : on retrouve bien les deux antécédents.

Et les antécédents de $- 9$ par $g$ ? On résout $x^{2} = - 9$ . Un carré n'est jamais négatif : cette équation n'a aucune solution, donc $- 9$ n'a aucun antécédent par $g$ .

Enfin, si le nombre n'est pas un carré parfait, la racine carrée reste la clé : les antécédents de $7$ par $g$ sont les solutions de $x^{2} = 7$ , c'est-à-dire $\sqrt{7}$ et $- \sqrt{7}$ .

Tu vois la cohérence avec la propriété de la section précédente : selon le nombre $b$ choisi, l'équation $f (x) = b$ peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions, ce qui correspond exactement à zéro, un ou plusieurs antécédents.

Tableau de valeurs

Quand on veut se faire une idée du comportement d'une fonction, calculer les images une par une devient vite fastidieux. On les rassemble alors dans un tableau de valeurs : la première ligne contient des valeurs choisies de $x$ , la seconde contient leurs images. C'est la carte d'identité chiffrée de la fonction.

Voici par exemple un tableau de valeurs de la fonction $h : x ⟼ x^{2} - 4$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$h (x)$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Un tableau de valeurs se lit dans les deux sens : de haut en bas pour les images, de bas en haut pour les antécédents.

Méthode

Lire dans un tableau de valeurs.

Lire une image : repérer le nombre dans la ligne des $x$ , puis descendre : l'image est juste en dessous, dans la ligne des $h (x)$ .
Lire des antécédents : repérer le nombre dans la ligne des $h (x)$ , puis remonter : chaque colonne où il apparaît donne un antécédent. Attention, il faut parcourir toute la ligne, car le nombre peut apparaître dans plusieurs colonnes.
Compléter un tableau : pour chaque nouvelle valeur de $x$ , calculer son image avec la formule (méthode de substitution).

Exemple

Lectures dans le tableau de $h$ ci-dessus.

L'image de $3$ par $h$ est $5$ : on lit la colonne de $3$ , et en dessous on trouve $5$ . Autrement dit, $h (3) = 5$ .
Les antécédents de $- 3$ visibles dans le tableau sont $- 1$ et $1$ : le nombre $- 3$ apparaît deux fois dans la ligne du bas, sous les colonnes de $- 1$ et de $1$ .
Les antécédents de $0$ visibles dans le tableau sont $- 2$ et $2$ .
Complétons le tableau avec $x = 4$ : on calcule $h (4) = 4^{2} - 4 = 16 - 4 = 12$ . On peut donc ajouter une colonne : pour $x = 4$ , l'image est $12$ .

Un avertissement important pour finir : un tableau de valeurs ne dit pas tout. Il ne montre que les valeurs qu'on a choisies d'y mettre, et rien entre elles ni au-delà. Par exemple, le tableau ci-dessus pourrait laisser croire que $5$ n'a qu'un seul antécédent, $3$ . C'est faux : on vérifie que $h (- 3) = (- 3)^{2} - 4 = 9 - 4 = 5$ , donc $- 3$ est aussi un antécédent de $5$ , mais il n'apparaît pas dans le tableau. Le tableau est un extrait de la fonction, pas la fonction tout entière. Pour une réponse complète et sûre, c'est le calcul (l'équation) qui fait foi.

Courbe représentative et lectures graphiques

Le tableau de valeurs donne des nombres ; le graphique, lui, donne une vue d'ensemble. L'idée est de transformer chaque calcul d'image en un point d'un repère : le nombre de départ en abscisse, son image en ordonnée. En traçant tous ces points, on obtient la courbe de la fonction.

Définition

Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x; f (x))$ : pour chaque nombre $x$ , on place le point d'abscisse $x$ et d'ordonnée $f (x)$ .

Autrement dit, dire qu'un point de coordonnées $(x; y)$ appartient à la courbe de $f$ , c'est dire que $y = f (x)$ .

Chaque point de la courbe raconte donc un calcul : si le point $(1; 2)$ est sur la courbe de $f$ , c'est que $f (1) = 2$ . Toute la lecture graphique découle de cette idée.

Méthode

Lire graphiquement une image et des antécédents.

Lire l'image d'un nombre $a$ : repérer $a$ sur l'axe des abscisses, se déplacer verticalement jusqu'à la courbe, puis horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées. Le nombre lu sur l'axe des ordonnées est l'image $f (a)$ .
Lire les antécédents d'un nombre $b$ : repérer $b$ sur l'axe des ordonnées, tracer la droite horizontale passant par ce point, repérer tous les points d'intersection de cette droite avec la courbe, puis lire leurs abscisses. Ces abscisses sont les antécédents de $b$ .

Observe ces deux lectures sur la figure ci-dessous, où est tracée la courbe d'une fonction $f$ pour $x$ compris entre $- 3$ et $4$ .

Lecture d'image et d'antécédents sur une courbe

Exemple

Lectures sur la figure.

Lecture d'image (pointillés dorés) : en partant de $1$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on va horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées, où on lit $2$ . Donc $f (1) = 2$ : l'image de $1$ par $f$ est $2$ .
Lecture d'antécédents (pointillés bleus) : la droite horizontale à la hauteur $1$ coupe la courbe en deux points, d'abscisses $- 2$ et $3$ . Les antécédents de $1$ par $f$ sont donc $- 2$ et $3$ .
On peut aussi lire directement quelques valeurs : la courbe part du point $(- 3; - 1)$ , donc $f (- 3) = - 1$ ; elle monte jusqu'à son point le plus haut $(0; 2,5)$ , donc $f (0) = 2,5$ ; puis elle descend jusqu'au point $(4; 0)$ , donc $f (4) = 0$ .

Deux réflexes à garder pour les lectures graphiques. D'abord, pour les antécédents, pense à chercher tous les points d'intersection : ici la courbe monte puis descend, donc une même hauteur peut être atteinte deux fois. Ensuite, garde en tête qu'une lecture graphique est souvent approchée : on lit ce que la précision du quadrillage permet de lire. Quand on connaît la formule de la fonction, le calcul donne, lui, des valeurs exactes.

D'une représentation à l'autre

Faisons le bilan. Dans ce chapitre, tu as croisé une même fonction sous cinq visages différents : une situation concrète, un programme de calcul, une formule, un tableau de valeurs, une courbe. Aucune de ces représentations n'est « la meilleure » dans l'absolu : chacune a ses forces et ses limites, et l'un des grands savoir-faire attendus au brevet est de savoir passer de l'une à l'autre.

Représentation	Ce qu'elle donne	Sa limite
Situation concrète	le sens (grandeurs en jeu)	à traduire pour calculer
Programme de calcul	les étapes qui fabriquent l'image	lourd pour beaucoup de valeurs
Formule $f (x) = \dots$	valeurs exactes, équations	demande du calcul littéral
Tableau de valeurs	plusieurs images d'un coup d'œil	muet hors des valeurs choisies
Courbe représentative	vue d'ensemble, lectures rapides	valeurs souvent approchées

Méthode

S'orienter entre les représentations.

Identifier ce que l'énoncé te donne (formule ? tableau ? courbe ? programme de calcul ?) et ce qu'il te demande.
Choisir l'outil adapté : pour une valeur exacte (image ou antécédent), utiliser la formule, avec une substitution ou une équation ; pour une tendance ou une lecture rapide, utiliser la courbe ou le tableau.
Traduire quand c'est nécessaire : un programme de calcul se traduit en formule en appliquant ses étapes à $x$ ; une formule se traduit en tableau en calculant des images ; un tableau se traduit en courbe en plaçant les points $(x; f (x))$ .

Exemple

Une même fonction, quatre visages. Reprends le programme de calcul : « Choisir un nombre ; l'élever au carré ; soustraire $4$ ».

Du programme à la formule : en appliquant les étapes au nombre $x$ , on obtient $x^{2}$ , puis $x^{2} - 4$ . Le programme définit donc la fonction $h : x ⟼ x^{2} - 4$ .
De la formule au tableau : en calculant les images de $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ et $3$ , on retrouve exactement le tableau de valeurs de la section « Tableau de valeurs ».
Du tableau à la courbe : en plaçant dans un repère les points $(- 2; 0)$ , $(- 1; - 3)$ , $(0; - 4)$ , $(1; - 3)$ , $(2; 0)$ et $(3; 5)$ , on devine l'allure de la courbe de $h$ , que l'on trace en reliant les points régulièrement.
Et en sens inverse : sur cette courbe, chercher les abscisses des points à la hauteur $0$ redonne les antécédents de $0$ , c'est-à-dire $- 2$ et $2$ , ce que le calcul confirme : $x^{2} - 4 = 0$ s'écrit $(x - 2) (x + 2) = 0$ , donc $x = 2$ ou $x = - 2$ .

Quatre représentations, une seule fonction : c'est exactement ça, avoir compris la notion.

Tu disposes maintenant de tout le vocabulaire et de toutes les techniques de base sur les fonctions : image, antécédent, notations $f (x)$ et $x ⟼ f (x)$ , calculs et lectures dans les deux sens. Au prochain chapitre, tu étudieras de plus près deux familles de fonctions très particulières, dont les courbes sont des droites, et qui servent partout : proportionnalité, tarifs, conversions. Le socle que tu viens de construire ici te servira à chaque ligne.

Le cours en PDF(PDF, 68 Ko)

Bloqué sur « Notion de fonction » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver ma 1ʳᵉ heure offerte