3ᵉ · Chapitre 06 · Organisation et gestion de données, fonctions

Fonctions linéaires et affines

Expressions et représentations graphiques, coefficient directeur, ordonnée à l'origine, lien avec la proportionnalité.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Expressions et représentations graphiques
Coefficient directeur
Ordonnée à l'origine
Lien avec la proportionnalité

Un maraîcher affiche ses pommes à $2,50$ € le kilogramme. La salle d'escalade propose un abonnement annuel à $20$ €, puis $5$ € la séance. Le magasin de sport annonce une remise de $30 %$ sur tout le rayon. Trois situations de la vie courante, et derrière elles, une même idée mathématique : deux familles de fonctions, les fonctions linéaires et les fonctions affines, qui vont t'accompagner jusqu'au bac et au-delà. Au chapitre précédent, tu as appris ce qu'est une fonction, à calculer une image, à chercher un antécédent, à lire un graphique. Ce chapitre applique tout cet attirail aux deux familles les plus simples et les plus utiles qui soient : celles dont la représentation graphique est une droite.

La fonction linéaire

Commençons au marché. Les pommes coûtent $2,50$ € le kilogramme : pour $2$ kg, tu paies $5$ € ; pour $4$ kg, tu paies $10$ €. Le calcul est toujours le même : multiplier la masse par $2,5$ . La fonction qui décrit cette situation associe donc, à chaque masse $x$ (en kg), le prix $2,5 x$ (en €) : c'est la fonction $f (x) = 2,5 x$ . Multiplier par un nombre fixe, rien de plus : voilà la première famille du chapitre.

Définition

Soit $a$ un nombre fixé. La fonction qui, à chaque nombre $x$ , associe le nombre $a \times x$ est appelée fonction linéaire de coefficient $a$ . On la note :

f : x \mapsto a x ou f (x) = a x

Le coefficient $a$ peut être entier, décimal, négatif ou en écriture fractionnaire : $f (x) = 2,5 x$ , $g (x) = - 3 x$ et $h (x) = \frac{2}{3} x$ sont trois fonctions linéaires. Même $k (x) = x$ en est une, de coefficient $1$ .

Exemple

Le prix au kilogramme. Les pommes à $2,50$ € le kg : le prix de $x$ kg est donné par la fonction linéaire $f (x) = 2,5 x$ .

La vitesse constante. Un randonneur marche à $5$ km/h : la distance parcourue en $t$ heures est donnée par la fonction linéaire $d (t) = 5 t$ .

Contre-exemples. La fonction $p (x) = 2 x + 30$ n'est pas linéaire : on ne se contente pas de multiplier, on ajoute $30$ ensuite (patience, elle arrive dans la section suivante). La fonction $q (x) = x^{2}$ non plus : multiplier $x$ par lui-même, ce n'est pas le multiplier par un nombre fixe.

Une fonction linéaire se manipule avec les outils du chapitre précédent : substitution pour les images, équation pour les antécédents. La forme très simple de $f (x) = a x$ rend les deux calculs expéditifs.

Méthode

Calculer une image et un antécédent par une fonction linéaire $f (x) = a x$ .

Image de $x$ : remplacer $x$ par sa valeur dans $a x$ et calculer (mettre les nombres négatifs entre parenthèses).
Antécédent de $k$ : résoudre l'équation $a x = k$ , c'est-à-dire diviser : $x = \frac{k}{a}$ .

Exemple

Avec la fonction $f (x) = 2,5 x$ des pommes :

Image de $4$ . $f (4) = 2,5 \times 4 = 10$ : l'image de $4$ est $10$ . En contexte : $4$ kg de pommes coûtent $10$ €.

Image de $- 2$ . $f (- 2) = 2,5 \times (- 2) = - 5$ : l'image de $- 2$ est $- 5$ . Une masse négative n'a pas de sens au marché, mais la fonction, elle, accepte tous les nombres.

Antécédent de $20$ . On résout $2,5 x = 20$ , donc $x = \frac{20}{2,5} = 8$ : l'antécédent de $20$ est $8$ . En contexte : avec $20$ €, tu repars avec $8$ kg de pommes.

Dresse maintenant un tableau de valeurs de $f (x) = 2,5 x$ :

$x$	$1$	$2$	$4$	$10$
$f (x)$	$2,5$	$5$	$10$	$25$

Regarde-le bien : pour passer de la première ligne à la seconde, on multiplie toujours par $2,5$ . C'est un tableau de proportionnalité, de coefficient $2,5$ ! Ce n'est pas un hasard, c'est le cœur de la notion.

Propriété

Fonction linéaire et proportionnalité.

Si $f$ est une fonction linéaire de coefficient $a$ , alors les valeurs de $f (x)$ sont proportionnelles aux valeurs de $x$ , et le coefficient de proportionnalité est $a$ .
Réciproquement, toute situation de proportionnalité de coefficient $a$ se modélise par la fonction linéaire $f (x) = a x$ .

La fonction linéaire, c'est donc la proportionnalité que tu pratiques depuis la cinquième, habillée avec le vocabulaire des fonctions. Note au passage une conséquence immédiate : $f (0) = a \times 0 = 0$ . Une fonction linéaire transforme toujours $0$ en $0$ ( $0$ kg de pommes coûtent $0$ €), et ce petit détail aura une jolie traduction graphique dans la troisième section.

Mais toutes les situations de la vie ne sont pas proportionnelles, et tu le sais déjà : dès qu'un abonnement, un forfait ou des frais fixes entrent en jeu, la proportionnalité vole en éclats. Il nous faut une famille un peu plus large.

La fonction affine

Direction la salle d'escalade : l'abonnement annuel coûte $20$ €, puis chaque séance coûte $5$ €. Pour $x$ séances dans l'année, tu paies $5 x + 20$ euros. La fonction $p (x) = 5 x + 20$ n'est pas linéaire, et le prix n'est pas proportionnel au nombre de séances : $1$ séance coûte $25$ €, mais $2$ séances coûtent $30$ €, pas $50$ € ! Multiplier par un nombre fixe, puis ajouter un nombre fixe : voici la deuxième famille.

Définition

Soient $a$ et $b$ deux nombres fixés. La fonction qui, à chaque nombre $x$ , associe le nombre $a x + b$ est appelée fonction affine. On la note :

f : x \mapsto a x + b ou f (x) = a x + b

Propriété

Deux cas particuliers importants.

Si $b = 0$ , la fonction s'écrit $f (x) = a x$ : c'est une fonction linéaire. Toute fonction linéaire est donc une fonction affine particulière.
Si $a = 0$ , la fonction s'écrit $f (x) = b$ : elle associe le même nombre $b$ à tous les nombres $x$ . On dit qu'elle est constante.

Entraîne-toi à reconnaître la famille et à identifier $a$ et $b$ (réponses données après les deux-points) :

a. $f (x) = 3 x - 7$ : affine, avec $a = 3$ et $b = - 7$

b. $g (x) = - 2 x$ : linéaire (et donc affine), avec $a = - 2$ et $b = 0$

c. $h (x) = 4$ : constante, avec $a = 0$ et $b = 4$

d. $k (x) = 5 - x$ : affine ! Réécris-la $k (x) = - x + 5$ pour voir $a = - 1$ et $b = 5$

e. $m (x) = \frac{x}{3}$ : linéaire, car $\frac{x}{3} = \frac{1}{3} x$ , donc $a = \frac{1}{3}$ et $b = 0$

f. $n (x) = x^{2} + 1$ : ni linéaire ni affine, à cause du carré

Pour calculer une image, rien de neuf : on substitue, en respectant les priorités opératoires et les règles de calcul sur les relatifs.

Exemple

À l'escalade, avec $p (x) = 5 x + 20$ . Pour $8$ séances : $p (8) = 5 \times 8 + 20 = 60$ €. Et pour $0$ séance : $p (0) = 5 \times 0 + 20 = 20$ € : même sans grimper une seule fois, l'abonnement est payé. La formule raconte bien la réalité.

Avec des relatifs, pour $g (x) = - 2 x + 7$ . L'image de $- 3$ : $g (- 3) = - 2 \times (- 3) + 7 = 6 + 7 = 13$ . Les parenthèses autour de $- 3$ ne sont pas décoratives : elles t'évitent l'erreur de signe classique.

Pour trouver un antécédent, la situation est plus intéressante : il faut remonter la machine, et cela revient à résoudre une équation du premier degré, exactement celles du chapitre d'équations.

Méthode

Calculer un antécédent par une fonction affine $f (x) = a x + b$ .

Chercher un antécédent de $k$ , c'est résoudre l'équation $a x + b = k$ :

Écrire l'équation $a x + b = k$ .
Isoler le terme en $x$ en soustrayant $b$ aux deux membres.
Diviser les deux membres par $a$ .
Vérifier en calculant l'image du nombre trouvé : on doit retomber sur $k$ .

Exemple

Quel nombre de séances pour un budget de $45$ € ? On cherche l'antécédent de $45$ par $p (x) = 5 x + 20$ :

5 x + 20 = 45 donc 5 x = 25 donc x = 5

Vérification : $p (5) = 5 \times 5 + 20 = 45$ , c'est bien ça. Avec $45$ €, tu peux faire $5$ séances dans l'année.

Antécédent de $0$ par $g (x) = - 2 x + 7$ . On résout $- 2 x + 7 = 0$ , donc $- 2 x = - 7$ , donc $x = \frac{- 7}{- 2} = 3,5$ . Vérification : $g (3,5) = - 2 \times 3,5 + 7 = 0$ , tout est cohérent.

Formules, images, antécédents : tu sais désormais tout calculer. Il est temps de voir ces fonctions, et c'est là que la magie opère.

Représentation graphique

Au chapitre précédent, tu as appris à représenter une fonction : on place tous les points dont l'abscisse est $x$ et l'ordonnée est $f (x)$ . Pour la plupart des fonctions, on obtient une courbe quelconque. Pour les fonctions affines, on obtient à chaque fois la figure la plus simple de toute la géométrie.

Propriété

La représentation graphique d'une fonction affine $f (x) = a x + b$ est une droite.
La représentation graphique d'une fonction linéaire $f (x) = a x$ est une droite qui passe par l'origine du repère.
La représentation graphique d'une fonction constante $f (x) = b$ est une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).

Le deuxième point n'a rien de mystérieux : une fonction linéaire vérifie $f (0) = 0$ , donc le point de coordonnées $(0; 0)$ , c'est-à-dire l'origine, appartient toujours à sa droite. Tu reconnais d'ailleurs une vieille connaissance de quatrième : le graphique d'une situation de proportionnalité est constitué de points alignés avec l'origine. La boucle est bouclée.

Cette propriété change tout pour le tracé. Une courbe quelconque demande beaucoup de points ; une droite est entièrement déterminée par deux points. Deux calculs d'images, et le tracé est plié.

Méthode

Tracer la droite représentant une fonction affine.

Choisir deux valeurs de $x$ , assez éloignées l'une de l'autre pour un tracé précis. Le choix $x = 0$ est malin : l'image se calcule de tête, $f (0) = b$ .
Calculer les deux images.
Placer les deux points de coordonnées $(x; f (x))$ dans le repère.
Tracer la droite passant par ces deux points, en la prolongeant de part et d'autre.

Pour une fonction linéaire, un seul calcul suffit : la droite passe déjà par l'origine, il ne reste qu'un point à trouver.

Exemple

Traçons les droites de $f (x) = 2 x + 1$ et de $g (x) = - x$ .

Pour $f$ : avec $x = 0$ , $f (0) = 2 \times 0 + 1 = 1$ , d'où le point $(0; 1)$ ; avec $x = 2$ , $f (2) = 2 \times 2 + 1 = 5$ , d'où le point $(2; 5)$ . On place les deux points, on trace la droite.

Pour $g$ : elle est linéaire, sa droite passe par l'origine. Un seul point à calculer : $g (2) = - 2$ , d'où le point $(2; - 2)$ . On trace la droite passant par l'origine et ce point.

Droites représentant la fonction affine f(x) = 2x + 1, tracée grâce aux points (0 ; 1) et (2 ; 5), et la fonction linéaire g(x) = -x, qui passe par l'origine et par le point (2 ; -2)

Observe les deux droites de la figure, en les lisant de gauche à droite comme un texte : celle de $f$ monte, celle de $g$ descend. Ce comportement n'est pas un hasard, il est entièrement dicté par les nombres $a$ et $b$ , et c'est l'objet de la section suivante.

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Les deux nombres $a$ et $b$ d'une fonction affine se lisent directement sur sa droite, et ils portent des noms officiels que tu retrouveras jusqu'en terminale.

Définition

Soit $f (x) = a x + b$ une fonction affine et $d$ la droite qui la représente.

Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur de la droite $d$ : c'est lui qui dirige son inclinaison.
Le nombre $b$ est appelé l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point d'intersection de $d$ avec l'axe des ordonnées.

Le nom « ordonnée à l'origine » s'explique en un calcul : $f (0) = a \times 0 + b = b$ , donc la droite passe par le point de coordonnées $(0; b)$ , situé sur l'axe des ordonnées. Pour le coefficient directeur, faisons une expérience : que se passe-t-il quand $x$ augmente de $1$ ? Calculons avec la distributivité :

f (x + 1) = a (x + 1) + b = a x + a + b = f (x) + a

Le résultat est remarquable : chaque fois que $x$ augmente de $1$ , l'image augmente de $a$ , quel que soit l'endroit où l'on se trouve sur la droite.

Propriété

Sur la droite représentant $f (x) = a x + b$ : quand on se déplace de $1$ vers la droite (l'abscisse augmente de $1$ ), l'ordonnée varie de $a$ . On monte de $a$ si $a$ est positif, on descend si $a$ est négatif.

C'est la fameuse lecture « en escalier », illustrée ci-dessous sur la droite de $f (x) = 2 x + 1$ : en partant du point $(0; 1)$ , un pas de $1$ vers la droite oblige à monter de $2$ pour retrouver la droite, ce qui mène au point $(1; 3)$ ; un nouveau pas de $1$ , une nouvelle montée de $2$ , et voici le point $(2; 5)$ . La marche de l'escalier a toujours la même hauteur : $a = 2$ .

Lecture en escalier du coefficient directeur sur la droite de f(x) = 2x + 1 : l'ordonnée à l'origine b = 1 est marquée sur l'axe des ordonnées, puis chaque déplacement de +1 en abscisse fait monter de +2 en ordonnée, du point (0 ; 1) au point (1 ; 3) puis au point (2 ; 5)

Cette lecture fonctionne aussi dans l'autre sens : face à une droite déjà tracée, elle permet de retrouver l'expression de la fonction.

Méthode

Lire graphiquement l'expression d'une fonction affine sur sa droite.

Lire $b$ : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Lire $a$ : partir d'un point bien placé de la droite (sur des graduations), avancer de $1$ vers la droite, puis compter de combien il faut monter ou descendre pour retrouver la droite. Ce déplacement vertical est $a$ , compté négativement si l'on descend.
Écrire l'expression $f (x) = a x + b$ .

Exemple

Sur la figure ci-dessus. La droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0; 1)$ , donc $b = 1$ . Depuis ce point, on avance de $1$ vers la droite : il faut monter de $2$ pour retrouver la droite, donc $a = 2$ . Conclusion : la droite représente la fonction $f (x) = 2 x + 1$ , ce qui est bien cohérent.

Le signe de $a$ résume à lui seul l'allure de la droite, et cette lecture qualitative rend d'immenses services pour vérifier un tracé ou anticiper un comportement.

Propriété

En lisant la droite de gauche à droite :

si $a > 0$ , la droite monte ;
si $a < 0$ , la droite descend ;
si $a = 0$ , la droite est horizontale.

Plus $a$ est éloigné de $0$ , plus la droite est inclinée.

Entraîne-toi : sans rien tracer, dis si la droite monte, descend ou reste horizontale (réponses après les deux-points).

a. $f (x) = 3 x - 2$ : elle monte ( $a = 3$ )

b. $g (x) = - 0,5 x + 4$ : elle descend ( $a = - 0,5$ )

c. $h (x) = x$ : elle monte ( $a = 1$ )

d. $k (x) = 7$ : horizontale ( $a = 0$ )

e. $m (x) = 1 - x$ : elle descend ( $a = - 1$ )

f. $n (x) = \frac{2}{3} x$ : elle monte ( $a = \frac{2}{3}$ )

Déterminer l'expression d'une fonction

Jusqu'ici, on te donnait l'expression de la fonction et tu calculais des valeurs. Renversons le problème, comme le font les scientifiques : on a mesuré quelques valeurs, et on cherche la formule qui se cache derrière. C'est l'un des exercices favoris du brevet.

Commençons par le cas linéaire, le plus rapide : puisque $f (x) = a x$ , un seul renseignement suffit pour trouver la seule inconnue, le coefficient $a$ .

Méthode

Déterminer une fonction linéaire à partir d'une seule valeur.

On sait que $f$ est linéaire et que $f (x_{1}) = y_{1}$ (avec $x_{1}$ non nul).

Écrire la forme générale : $f (x) = a x$ .
Traduire l'information en équation : $a \times x_{1} = y_{1}$ .
Diviser pour trouver le coefficient : $a = \frac{y_{1}}{x_{1}}$ .

Exemple

Une fonction linéaire $g$ vérifie $g (4) = 10$ . Quelle est son expression ? Comme $g$ est linéaire, $g (x) = a x$ . L'information donne $a \times 4 = 10$ , donc $a = \frac{10}{4} = 2,5$ . Conclusion : $g (x) = 2,5 x$ . Tu reconnais la fonction des pommes : « $4$ kg coûtent $10$ € » suffisait à retrouver le prix au kilogramme, ce que tu fais en réalité depuis la cinquième avec le retour à l'unité.

Pour une fonction affine, un seul renseignement ne suffit plus : il y a deux inconnues, $a$ et $b$ . Il en faut deux, et c'est logique : deux points déterminent une droite ! L'outil clé pour démarrer est une propriété qui généralise la lecture en escalier : quand $x$ augmente de $1$ , l'image augmente de $a$ ; quand $x$ augmente de $3$ , l'image augmente de $3$ fois $a$ ; et ainsi de suite. Les variations de l'image suivent proportionnellement celles de $x$ .

Propriété

Proportionnalité des accroissements. Soit $f (x) = a x + b$ une fonction affine. Lorsque $x$ passe d'une valeur $x_{1}$ à une valeur $x_{2}$ , l'accroissement de $f (x)$ est proportionnel à l'accroissement de $x$ , et le coefficient de proportionnalité est $a$ :

a = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}

Cette formule impressionne au premier regard, mais lis-la avec des mots : au numérateur, de combien l'image a augmenté ; au dénominateur, de combien $x$ a augmenté ; le quotient donne l'augmentation de l'image par unité de $x$ , c'est-à-dire exactement le coefficient directeur.

Méthode

Déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs.

On sait que $f$ est affine, avec $f (x_{1}) = y_{1}$ et $f (x_{2}) = y_{2}$ .

Calculer $a$ avec la proportionnalité des accroissements : $a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .
Écrire $f (x) = a x + b$ avec la valeur de $a$ trouvée : il ne reste que $b$ à déterminer.
Substituer l'une des deux valeurs connues pour obtenir une équation d'inconnue $b$ , et la résoudre.
Vérifier avec l'autre valeur : elle doit être retrouvée exactement.

Exemple

Une fonction affine $f$ vérifie $f (1) = 5$ et $f (4) = 11$ . Quelle est son expression ?

Étape 1 : le coefficient directeur.

a = \frac{f (4) - f (1)}{4 - 1} = \frac{11 - 5}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

Étape 2 : la forme de la fonction. On sait désormais que $f (x) = 2 x + b$ .

Étape 3 : l'ordonnée à l'origine. Avec $f (1) = 5$ : $2 \times 1 + b = 5$ , donc $b = 3$ .

Étape 4 : vérification. L'expression trouvée est $f (x) = 2 x + 3$ . On contrôle avec l'autre valeur : $f (4) = 2 \times 4 + 3 = 11$ , c'est gagné.

Exemple

Un raccourci à connaître : quand $f (0)$ est donné. Une fonction affine $h$ vérifie $h (0) = 4$ et $h (2) = 0$ . Pas besoin d'attendre l'étape 3 pour $b$ : $h (0) = b$ , donc $b = 4$ immédiatement ! Il reste $a = \frac{h (2) - h (0)}{2 - 0} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = - 2$ . Conclusion : $h (x) = - 2 x + 4$ , une fonction dont la droite descend, ce qui est cohérent puisque ses valeurs passent de $4$ à $0$ .

Modéliser avec les fonctions linéaires et affines

Tu disposes maintenant de la panoplie complète. Reste à s'en servir sur les deux terrains où ces fonctions brillent dans la vraie vie (et au brevet) : les pourcentages d'évolution et les comparaisons de tarifs.

Commençons par les soldes. Un article à $40$ € est remisé de $30 %$ . Le calcul que tu connais : la réduction vaut $\frac{30}{100} \times 40 = 12$ €, donc l'article coûte $40 - 12 = 28$ €. Mais observe ce même calcul mené en littéral, pour un prix de départ $x$ quelconque :

x - \frac{30}{100} x = 1 x - 0,30 x = 0,70 x

Diminuer de $30 %$ , c'est donc multiplier par $0,7$ , en un seul coup. Et le même raisonnement fonctionne pour une augmentation : augmenter de $30 %$ , c'est calculer $x + 0,30 x = 1,30 x$ , donc multiplier par $1,3$ .

Propriété

Pourcentages d'évolution. Soit $t$ un nombre positif.

Augmenter une quantité de $t %$ , c'est la multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ .
Diminuer une quantité de $t %$ , c'est la multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ .

Appliquer une augmentation ou une diminution en pourcentage, c'est donc appliquer une fonction linéaire, de coefficient $1 + \frac{t}{100}$ ou $1 - \frac{t}{100}$ .

Exemple

Augmenter de $20 %$ . Le coefficient est $1 + \frac{20}{100} = 1,2$ : c'est la fonction linéaire $f (x) = 1,2 x$ . Un loyer de $500$ € augmenté de $20 %$ passe à $1,2 \times 500 = 600$ €.

Diminuer de $30 %$ . Le coefficient est $1 - \frac{30}{100} = 0,7$ : c'est la fonction linéaire $g (x) = 0,7 x$ . L'article à $40$ € soldé coûte $0,7 \times 40 = 28$ €, comme prévu.

Attention au piège classique. Augmenter de $5 %$ , c'est multiplier par $1 + \frac{5}{100} = 1,05$ , et surtout pas par $1,5$ (qui serait une augmentation de $50 %$ !).

Entraîne-toi à traduire une évolution en coefficient multiplicateur (réponses après les deux-points) :

a. Augmenter de $10 %$ : multiplier par $1,1$

b. Diminuer de $25 %$ : multiplier par $0,75$

c. Augmenter de $100 %$ : multiplier par $2$ (doubler !)

d. Diminuer de $50 %$ : multiplier par $0,5$

e. Augmenter de $4 %$ : multiplier par $1,04$

f. Diminuer de $8 %$ : multiplier par $0,92$

Second terrain de jeu : les comparaisons de tarifs. C'est la situation reine des problèmes de fonctions affines, car elle mobilise tout le chapitre d'un coup.

Le cinéma de la ville propose deux tarifs. Tarif A : $8$ € la place, sans engagement. Tarif B : une carte de fidélité à $30$ € pour l'année, puis $5$ € la place. Lequel choisir ? La réponse dépend évidemment du nombre de places achetées dans l'année, et les fonctions vont nous dire précisément comment.

Méthode

Comparer deux tarifs.

Modéliser : exprimer chaque tarif comme une fonction du nombre d'unités achetées (places, séances, kilomètres…). On obtient le plus souvent une fonction linéaire (prix à l'unité seul) et une fonction affine (part fixe + prix à l'unité).
Comparer avec l'outil adapté :
- un tableau de valeurs pour repérer la tendance ;
- un graphique : pour chaque nombre d'unités, la droite la plus basse correspond au tarif le moins cher, et le point de croisement des droites correspond à l'égalité des deux tarifs ;
- une équation $f (x) = g (x)$ pour trouver la valeur exacte pour laquelle les deux tarifs coûtent pareil.
Conclure par une phrase en contexte, qui indique quel tarif choisir selon la situation.

Exemple

Le cinéma, de bout en bout.

Modélisation. Pour $x$ places achetées dans l'année : le tarif A coûte $f (x) = 8 x$ (fonction linéaire, prix proportionnel) et le tarif B coûte $g (x) = 5 x + 30$ (fonction affine, à cause de la carte).

Tableau de valeurs.

Nombre de places $x$	$0$	$5$	$10$	$15$
Tarif A : $f (x) = 8 x$ (en €)	$0$	$40$	$80$	$120$
Tarif B : $g (x) = 5 x + 30$ (en €)	$30$	$55$	$80$	$105$

Le tableau raconte déjà l'essentiel : pour $5$ places, le tarif A est plus avantageux ( $40$ € contre $55$ €) ; pour $15$ places, c'est le tarif B ( $105$ € contre $120$ €) ; et pour $10$ places, égalité parfaite à $80$ €.

Lecture graphique. Si tu traces les deux droites dans un même repère, celle de $f$ part de l'origine et monte fort (coefficient directeur $8$ ), celle de $g$ part du point $(0; 30)$ et monte moins vite (coefficient directeur $5$ ). Elles se croisent au point $(10; 80)$ : avant ce point, la droite de $f$ est en dessous (tarif A moins cher) ; après, c'est celle de $g$ (tarif B moins cher).

Par le calcul. Cherchons pour quel nombre de places les deux tarifs sont égaux, en résolvant $f (x) = g (x)$ :

8 x = 5 x + 30 donc 3 x = 30 donc x = 10

Conclusion. Si tu prévois moins de $10$ places dans l'année, choisis le tarif A ; à partir de $11$ places, la carte de fidélité du tarif B devient gagnante ; et pour exactement $10$ places, les deux tarifs coûtent $80$ €.

Te voilà au bout du chapitre, et le bilan est costaud : tu sais reconnaître une fonction linéaire (la proportionnalité en habit de fonction) et une fonction affine, calculer leurs images et leurs antécédents, tracer leurs droites en deux points, lire le coefficient directeur en escalier et l'ordonnée à l'origine sur l'axe, retrouver une expression à partir de valeurs grâce à la proportionnalité des accroissements, et mettre tout cela au service de situations bien réelles, des soldes aux cartes de fidélité. Ces deux familles de fonctions sont le modèle mathématique le plus utilisé au monde : chaque fois qu'un phénomène évolue régulièrement, une droite n'est jamais loin. Place aux exercices !

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