3ᵉ · Chapitre 04 · Nombres et calculs

Équations et équations produits

Premier degré, équations produits, x² = a en lien avec la racine carrée, mise en équation.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Premier degré
Équations produits
X² = a en lien avec la racine carrée
Mise en équation

Depuis la quatrième, tu sais résoudre des équations simples comme $2 x + 3 = 11$ . Cette année, tu vas consolider cette technique et surtout franchir un cap : résoudre des équations où apparaît $x^{2}$ , grâce à un outil redoutable, la propriété du produit nul. Tu verras que tout le travail du chapitre « Calcul littéral » (développer, factoriser, l'égalité $a^{2} - b^{2}$ ) trouve ici sa récompense : factoriser une expression, c'est ce qui permet de résoudre l'équation. Les équations sont partout au brevet, dans les exercices de calcul comme dans les problèmes concrets : ce chapitre est l'un des plus rentables de l'année.

Équations : inconnue, solution, règles du jeu

Commence par bien fixer le vocabulaire. Une équation, c'est une égalité à trou : un nombre se cache derrière une lettre, et ta mission est de le retrouver.

Définition

Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, désigné par une lettre (le plus souvent $x$ ), appelé l'inconnue. L'expression à gauche du signe $=$ est le membre de gauche, celle à droite est le membre de droite.

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l'équation.

Avant même de savoir résoudre, tu peux toujours tester si un nombre donné est solution : il suffit de le faire jouer le rôle de $x$ et de comparer les deux membres.

Méthode

Tester si un nombre est solution d'une équation.

Remplacer l'inconnue par le nombre dans le membre de gauche, et calculer.
Remplacer l'inconnue par le même nombre dans le membre de droite, et calculer.
Comparer : si les deux résultats sont égaux, le nombre est solution ; sinon, il ne l'est pas.

Exemple

Le nombre $4$ est-il solution de l'équation $3 x - 5 = 2 x - 1$ ?

Membre de gauche pour $x = 4$ : $3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$ .

Membre de droite pour $x = 4$ : $2 \times 4 - 1 = 8 - 1 = 7$ .

Les deux membres valent $7$ : le nombre $4$ est solution de l'équation.

Et le nombre $2$ ? Membre de gauche : $3 \times 2 - 5 = 1$ . Membre de droite : $2 \times 2 - 1 = 3$ . Comme $1 \neq 3$ , le nombre $2$ n'est pas solution.

Pour résoudre une équation sans deviner, imagine une balance en équilibre : le membre de gauche sur un plateau, le membre de droite sur l'autre. L'égalité dit que la balance est équilibrée. Tu as le droit de modifier les plateaux, à une condition absolue : faire exactement la même chose des deux côtés, pour ne jamais rompre l'équilibre.

Propriété

Règles de transformation d'une égalité. Une égalité reste vraie lorsque :

Règle 1. On ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres.
Règle 2. On multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.

Ces deux règles permettent d'isoler peu à peu l'inconnue dans un membre, sans changer les solutions de l'équation.

Exemple

Résoudre $x - 7 = 15$ . Pour isoler $x$ , on ajoute $7$ aux deux membres (règle 1) :

x - 7 + 7 = 15 + 7 donc x = 22.

La solution de l'équation est $22$ .

Résoudre $- 3 x = 21$ . Pour isoler $x$ , on divise les deux membres par $- 3$ (règle 2, autorisée car $- 3 \neq 0$ ) :

\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{21}{- 3} donc x = - 7.

La solution de l'équation est $- 7$ . Attention au signe : on divise bien par $- 3$ , pas par $3$ .

Résoudre une équation du premier degré

Une équation du premier degré est une équation où l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance $1$ : pas de $x^{2}$ , pas de racine de $x$ . Le modèle de base est $a x + b = c$ , et la stratégie est toujours la même : déshabiller $x$ opération par opération, en commençant par ce qui est le plus loin de lui.

Méthode

Résoudre $a x + b = c$ .

Isoler le terme en $x$ : soustraire $b$ aux deux membres (règle 1). On obtient $a x = c - b$ .
Isoler $x$ : diviser les deux membres par $a$ (règle 2, possible car $a \neq 0$ ). On obtient $x = \frac{c - b}{a}$ .
Vérifier en remplaçant $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ.

Exemple

Résoudre $5 x + 7 = 22$ .

\begin{aligned} 5 x + 7 & = 22 \\ 5 x & = 22 - 7 \\ 5 x & = 15 \\ x & = \frac{15}{5} = 3. \end{aligned}

Vérification : $5 \times 3 + 7 = 15 + 7 = 22$ . C'est bien le membre de droite : la solution de l'équation est $3$ .

Résoudre $4 - 2 x = 10$ .

\begin{aligned} 4 - 2 x & = 10 \\ - 2 x & = 10 - 4 \\ - 2 x & = 6 \\ x & = \frac{6}{- 2} = - 3. \end{aligned}

Vérification : $4 - 2 \times (- 3) = 4 + 6 = 10$ . La solution de l'équation est $- 3$ .

Quand l'inconnue apparaît dans les deux membres, on commence par regrouper : tous les termes en $x$ d'un côté, toutes les constantes de l'autre. Et si l'équation contient des parenthèses ou des dénominateurs, on fait d'abord le ménage.

Méthode

Résoudre une équation du premier degré : la méthode complète.

Développer les parenthèses s'il y en a (distributivité).
Chasser les dénominateurs s'il y en a : multiplier les deux membres par un multiple commun des dénominateurs (règle 2).
Regrouper les termes en $x$ dans un membre et les constantes dans l'autre (règle 1).
Réduire chaque membre, puis diviser par le coefficient de $x$ (règle 2).
Vérifier dans l'équation de départ et conclure par une phrase.

Exemple

Inconnue des deux côtés : résoudre $7 x - 4 = 2 x + 11$ .

On soustrait $2 x$ aux deux membres, puis on ajoute $4$ :

\begin{aligned} 7 x - 4 & = 2 x + 11 \\ 7 x - 2 x & = 11 + 4 \\ 5 x & = 15 \\ x & = 3. \end{aligned}

Vérification : membre de gauche $7 \times 3 - 4 = 17$ ; membre de droite $2 \times 3 + 11 = 17$ . La solution de l'équation est $3$ .

Coefficients décimaux : résoudre $1,5 x + 2 = 0,5 x + 6$ .

\begin{aligned} 1,5 x + 2 & = 0,5 x + 6 \\ 1,5 x - 0,5 x & = 6 - 2 \\ x & = 4. \end{aligned}

Vérification : $1,5 \times 4 + 2 = 8$ et $0,5 \times 4 + 6 = 8$ . La solution de l'équation est $4$ .

Exemple

Avec des parenthèses : résoudre $3 (x - 2) = 5 x + 8$ .

On développe d'abord le membre de gauche : $3 (x - 2) = 3 x - 6$ . Puis on regroupe :

\begin{aligned} 3 x - 6 & = 5 x + 8 \\ 3 x - 5 x & = 8 + 6 \\ - 2 x & = 14 \\ x & = \frac{14}{- 2} = - 7. \end{aligned}

Vérification : membre de gauche $3 \times (- 7 - 2) = 3 \times (- 9) = - 27$ ; membre de droite $5 \times (- 7) + 8 = - 35 + 8 = - 27$ . La solution de l'équation est $- 7$ .

Exemple

Avec des dénominateurs : résoudre $\frac{x}{3} + 2 = \frac{5 x}{6} - 1$ .

Les dénominateurs sont $3$ et $6$ : on multiplie les deux membres par $6$ (règle 2) pour les faire disparaître :

\begin{aligned} 6 \times (\frac{x}{3} + 2) & = 6 \times (\frac{5 x}{6} - 1) \\ 2 x + 12 & = 5 x - 6 \\ 12 + 6 & = 5 x - 2 x \\ 18 & = 3 x \\ x & = 6. \end{aligned}

Vérification : membre de gauche $\frac{6}{3} + 2 = 2 + 2 = 4$ ; membre de droite $\frac{5 \times 6}{6} - 1 = 5 - 1 = 4$ . La solution de l'équation est $6$ .

Propriété

Une équation du premier degré qui se ramène à $a x + b = c$ avec $a \neq 0$ a toujours exactement une solution :

x = \frac{c - b}{a} .

Pas de suspense sur le nombre de solutions : une, ni plus ni moins. C'est la grande différence avec les équations du second degré que tu vas rencontrer dans la suite du chapitre.

Prends l'habitude de toujours vérifier ta solution dans l'équation de départ : c'est rapide, ça détecte immédiatement une erreur de signe ou de calcul, et au brevet c'est un réflexe qui rapporte des points.

La propriété du produit nul

Comment résoudre une équation comme $(3 x - 6) (x + 4) = 0$ ? Elle n'est pas du premier degré : si tu développais, tu verrais apparaître un terme en $x^{2}$ , et les techniques précédentes ne suffiraient plus. La clé est ailleurs, dans une propriété très particulière du nombre $0$ : c'est le seul nombre qui, dans une multiplication, force le résultat.

Propriété

Propriété du produit nul.

Si l'un des facteurs d'un produit est nul, alors le produit est nul.
Réciproquement, si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.

Autrement dit : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Pour tous nombres $A$ et $B$ :

A \times B = 0 \overset{ˊ}{e} quivaut \overset{ˋ}{a} A = 0 ou B = 0.

Ce « ou » est une aubaine : il transforme une équation compliquée en deux petites équations du premier degré, que tu sais déjà résoudre.

Méthode

Résoudre une équation produit $(a x + b) (c x + d) = 0$ .

Citer la propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Écrire les deux équations : $a x + b = 0$ ou $c x + d = 0$ .
Résoudre chacune des deux équations du premier degré.
Conclure en donnant toutes les solutions trouvées.

Exemple

Résoudre $(3 x - 6) (x + 4) = 0$ .

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Donc :

3 x - 6 = 0 ou x + 4 = 0.

On résout chaque équation :

\begin{aligned} 3 x - 6 = 0 & donne 3 x = 6 puis x = 2; \\ x + 4 = 0 & donne x = - 4. \end{aligned}

Les solutions de l'équation sont $2$ et $- 4$ .

Vérification : pour $x = 2$ , le produit vaut $(3 \times 2 - 6) (2 + 4) = 0 \times 6 = 0$ ; pour $x = - 4$ , il vaut $(3 \times (- 4) - 6) (- 4 + 4) = (- 18) \times 0 = 0$ . Les deux valeurs conviennent.

Exemple

Le piège : un produit égal à $6$ . Considère l'équation $(x - 1) (x - 2) = 6$ . Tu pourrais être tenté d'écrire « $x - 1 = 6$ ou $x - 2 = 6$ »... et ce serait faux. Teste : si $x = 7$ , le produit vaut $(7 - 1) (7 - 2) = 6 \times 5 = 30$ , et non $6$ .

Pourquoi ça ne marche pas ? Parce qu'un produit peut valoir $6$ d'une infinité de façons : $2 \times 3$ , $1 \times 6$ , $12 \times 0,5$ , $(- 2) \times (- 3)$ ... Connaître le produit ne dit rien sur chaque facteur. Le nombre $0$ est le seul à imposer qu'un facteur soit nul : la propriété du produit nul ne s'applique que lorsque le second membre est $0$ .

Factoriser pour se ramener à un produit

Dans la vraie vie (et au brevet), l'équation n'arrive presque jamais toute prête sous forme de produit égal à zéro. C'est à toi de la mettre sous cette forme, et c'est là que la factorisation du chapitre « Calcul littéral » entre en scène.

Méthode

Résoudre une équation en se ramenant à un produit nul.

Tout ramener au premier membre : soustraire le membre de droite aux deux membres, pour obtenir une équation de la forme $\dots = 0$ .
Factoriser le premier membre : chercher un facteur commun, ou reconnaître une différence de deux carrés $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ .
Appliquer la propriété du produit nul : autant de petites équations que de facteurs.
Conclure en donnant toutes les solutions.

Exemple

Résoudre $x^{2} = 7 x$ (et déjouer le piège).

Le mauvais réflexe : diviser les deux membres par $x$ pour obtenir $x = 7$ . Problème : si $x = 0$ , on divise par zéro, ce qui est interdit... et on perd une solution ! Vérifie : $0^{2} = 0$ et $7 \times 0 = 0$ , donc $0$ est bel et bien solution.

La bonne méthode : tout ramener à gauche, puis factoriser par le facteur commun $x$ :

\begin{aligned} x^{2} & = 7 x \\ x^{2} - 7 x & = 0 \\ x (x - 7) & = 0. \end{aligned}

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul, donc $x = 0$ ou $x - 7 = 0$ , c'est-à-dire $x = 0$ ou $x = 7$ .

Les solutions de l'équation sont $0$ et $7$ . Retiens la règle d'or : on ne divise jamais par une expression qui contient l'inconnue, on factorise.

Exemple

Résoudre $x^{2} - 49 = 0$ .

Le premier membre est une différence de deux carrés, car $49 = 7^{2}$ . Avec l'égalité $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ :

x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7) .

L'équation devient $(x + 7) (x - 7) = 0$ . Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul, donc $x + 7 = 0$ ou $x - 7 = 0$ .

Les solutions de l'équation sont $- 7$ et $7$ .

Exemple

Résoudre $(x + 2) (3 x - 1) = (x + 2) (x + 5)$ .

Surtout, ne « simplifie » pas par $(x + 2)$ des deux côtés : c'est une division par une expression contenant $x$ , et tu perdrais une solution (exactement comme dans le piège de $x^{2} = 7 x$ ). On ramène tout à gauche, puis on factorise par le facteur commun $(x + 2)$ :

\begin{aligned} (x + 2) (3 x - 1) - (x + 2) (x + 5) & = 0 \\ (x + 2) [(3 x - 1) - (x + 5)] & = 0 \\ (x + 2) (3 x - 1 - x - 5) & = 0 \\ (x + 2) (2 x - 6) & = 0. \end{aligned}

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul, donc $x + 2 = 0$ ou $2 x - 6 = 0$ , c'est-à-dire $x = - 2$ ou $x = 3$ .

Les solutions de l'équation sont $- 2$ et $3$ .

Vérification pour $x = 3$ : membre de gauche $(3 + 2) (3 \times 3 - 1) = 5 \times 8 = 40$ ; membre de droite $(3 + 2) (3 + 5) = 5 \times 8 = 40$ . Et pour $x = - 2$ , les deux membres valent $0$ car le facteur $(x + 2)$ s'annule.

Les équations $x^{2} = a$

Dernière famille d'équations du chapitre : celles de la forme $x^{2} = a$ , où $a$ est un nombre donné. Elles sont directement liées à la racine carrée que tu as vue au chapitre « Calcul numérique ». Le point crucial : le nombre de solutions dépend du signe de $a$ .

Propriété

Solutions de l'équation $x^{2} = a$ . Trois cas, selon le signe de $a$ :

Si $a > 0$ : l'équation a deux solutions, $\sqrt{a}$ et $- \sqrt{a}$ .
Si $a = 0$ : l'équation a une seule solution, le nombre $0$ .
Si $a < 0$ : l'équation n'a aucune solution, car le carré d'un nombre n'est jamais négatif.

Le troisième cas se comprend bien : que $x$ soit positif ou négatif, $x^{2} = x \times x$ est toujours positif ou nul (le produit de deux nombres de même signe est positif). Aucun nombre ne peut donc avoir un carré égal à $- 9$ .

Le premier cas se relie à la factorisation. Pour $a > 0$ , on sait que $a = {(\sqrt{a})}^{2}$ , donc :

\begin{aligned} x^{2} = a \overset{ˊ}{e} quivaut \overset{ˋ}{a} x^{2} - {(\sqrt{a})}^{2} & = 0 \\ (x + \sqrt{a}) (x - \sqrt{a}) & = 0, \end{aligned}

et la propriété du produit nul redonne les deux solutions $- \sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ . Les deux méthodes du chapitre racontent la même histoire.

Exemple

Résoudre $x^{2} = 49$ . Comme $49 > 0$ , l'équation a deux solutions : $\sqrt{49} = 7$ et $- \sqrt{49} = - 7$ . Les solutions de l'équation sont $7$ et $- 7$ . C'est un carré parfait : les solutions sont des entiers.

Résoudre $x^{2} = 5$ . Comme $5 > 0$ , l'équation a deux solutions : $\sqrt{5}$ et $- \sqrt{5}$ . Ce sont les valeurs exactes, à laisser telles quelles ; si l'énoncé demande une valeur approchée, $\sqrt{5} \approx 2,24$ . Les solutions de l'équation sont $\sqrt{5}$ et $- \sqrt{5}$ .

Résoudre $x^{2} = 0$ . Une seule solution : $0$ .

Résoudre $x^{2} = - 9$ . Comme $- 9 < 0$ et qu'un carré n'est jamais négatif, l'équation n'a aucune solution.

L'erreur la plus fréquente au brevet : répondre « la solution de $x^{2} = 49$ est $7$ » en oubliant $- 7$ . Pourtant $(- 7)^{2} = 49$ aussi ! Quand $a > 0$ , il y a toujours deux solutions, sauf si le contexte du problème en élimine une (on y revient dans la section suivante).

Mettre un problème en équation

Toute la puissance des équations se révèle dans les problèmes concrets : on ne te donne plus l'équation, c'est à toi de la construire à partir de l'énoncé. C'est l'exercice roi du brevet, et il se traite toujours avec la même méthode.

Méthode

Résoudre un problème par une mise en équation, en 5 étapes.

Choisir l'inconnue et l'écrire noir sur blanc : « Soit $x$ le/la... (avec l'unité) ». Choisis la grandeur que l'énoncé demande, ou celle qui exprime le plus simplement toutes les autres.
Traduire l'énoncé en équation : relire phrase par phrase et exprimer chaque information à l'aide de $x$ .
Résoudre l'équation avec les méthodes du chapitre.
Vérifier que la ou les valeurs trouvées sont cohérentes avec l'énoncé (une longueur est positive, un nombre de personnes est entier...).
Conclure par une phrase en français qui répond à la question posée, avec l'unité.

Exemple

Problème du premier degré. Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $7$ cm, et son périmètre mesure $54$ cm. Quelles sont ses dimensions ?

Étape 1 : choix de l'inconnue. Soit $x$ la largeur du rectangle, en cm. La longueur vaut alors $x + 7$ .

Étape 2 : mise en équation. Le périmètre d'un rectangle est la somme des quatre côtés, soit $2 \times (largeur + longueur)$ :

2 (x + (x + 7)) = 54.

Étape 3 : résolution.

\begin{aligned} 2 (2 x + 7) & = 54 \\ 4 x + 14 & = 54 \\ 4 x & = 40 \\ x & = 10. \end{aligned}

Étape 4 : vérification. Largeur $10$ cm, longueur $10 + 7 = 17$ cm, périmètre $2 \times (10 + 17) = 2 \times 27 = 54$ cm. Tout est cohérent avec l'énoncé.

Étape 5 : conclusion. Le rectangle mesure $10$ cm de largeur et $17$ cm de longueur.

Exemple

Problème menant à $x^{2} = a$ . Un terrain carré a une aire de $225 m^{2}$ . Quelle est la longueur de son côté ?

Étape 1 : choix de l'inconnue. Soit $x$ la longueur du côté du terrain, en mètres.

Étape 2 : mise en équation. L'aire d'un carré de côté $x$ vaut $x^{2}$ , donc :

x^{2} = 225.

Étape 3 : résolution. Comme $225 > 0$ , l'équation a deux solutions : $\sqrt{225} = 15$ et $- \sqrt{225} = - 15$ .

Étape 4 : vérification et tri des solutions. Ici $x$ est une longueur, donc $x$ est forcément positif : la valeur $- 15$ ne convient pas au problème, on ne garde que $15$ . Et on contrôle : $15^{2} = 225$ , l'aire est bien la bonne.

Étape 5 : conclusion. Le côté du terrain mesure $15$ m.

Retiens la nuance : l'équation $x^{2} = 225$ a deux solutions, mais le problème n'en accepte qu'une. C'est l'étape de vérification qui fait le tri, et c'est une ligne de rédaction attendue au brevet.

Tu as maintenant toute la panoplie : tester une égalité, résoudre du premier degré en isolant l'inconnue, ramener une équation à un produit nul par factorisation, traiter les équations $x^{2} = a$ , et mettre un problème en équation de bout en bout. Un dernier conseil qui vaut pour tout le chapitre : à la fin, remplace toujours ta solution dans l'énoncé de départ. Deux secondes de vérification, et la certitude d'avoir juste.

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Ce qu'il faut savoir faire

Équations : inconnue, solution, règles du jeu

Résoudre une équation du premier degré

La propriété du produit nul

Factoriser pour se ramener à un produit

Les équations x2=a

Mettre un problème en équation

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Les équations $x^{2} = a$