3ᵉ · Chapitre 04 · Nombres et calculs

Exercices — Équations et équations produits

15 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

15 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Solution ou pas ?

Résoudre une équation du premier degré

Pour chaque équation, tester si les nombres proposés sont des solutions. On calculera séparément la valeur de chaque membre.

$3 x + 5 = 20$ ; nombres à tester : $5$ puis $4$ .
$7 x - 4 = 2 x + 11$ ; nombres à tester : $3$ puis $2$ .
$5 (x - 2) = 3 x + 1$ ; nombres à tester : $4$ puis $5,5$ .
$x^{2} = 49$ ; nombres à tester : $7$ puis $- 7$ . Que remarque-t-on ?

Exercice 2 ★★★★ — Équations du premier degré : la gamme

Résoudre une équation du premier degré

Résoudre les équations suivantes.

a. $x + 7 = 12$

b. $x - 6 = - 10$

c. $5 x = 35$

d. $- 3 x = 21$

e. $2 x + 9 = 25$

f. $7 x - 3 = - 24$

g. $x + 3,5 = 8$

h. $4 x + 5 = 8$

Exercice 3 ★★★★ — L'inconnue des deux côtés

Résoudre une équation du premier degré

Résoudre les équations suivantes.

a. $5 x - 7 = 2 x + 8$

b. $8 x + 3 = 6 x - 7$

c. $4 x - 1 = x + 8$

d. $2 x + 5 = 7 x - 5$

e. $9 x - 4 = 3 x + 5$

f. $3 - 4 x = 2 x + 15$

Exercice 4 ★★★★ — Parenthèses et dénominateurs

Résoudre une équation du premier degré

Résoudre les équations suivantes, après avoir développé les parenthèses.

a. $3 (x - 2) = 5 x + 4$
b. $2 (3 x + 1) = 4 x + 10$
c. $5 (x + 3) = 2 (x - 3)$
d. $4 (2 x - 1) - 3 (x + 2) = 5$
Résoudre les équations suivantes.

a. $\frac{x}{3} + 2 = 5$
b. $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 4}{2}$
c. $\frac{3 x}{4} - 1 = \frac{x}{2}$

Exercice 5 ★★★★ — Produit nul : premiers pas

Résoudre une équation produit

Recopier et compléter la propriété : « Si un produit de facteurs est nul, alors … »
Résoudre les équations suivantes.

a. $(x - 3) (x + 7) = 0$
b. $x (2 x - 5) = 0$
c. $(x + 4) (x - 1) = 0$
d. $(2 x + 3) (x - 8) = 0$
e. $(5 x - 2) (x + 6) = 0$
f. $(4 x + 1) (4 x - 1) = 0$
Jules affirme que l'équation $(x + 2) (x - 5) = 3$ a pour solutions $1$ et $8$ , car « $x + 2 = 3$ ou $x - 5 = 3$ ». Expliquer pourquoi son raisonnement est faux.

Exercice 6 ★★★★ — Équations produits : la gamme

Résoudre une équation produit

Résoudre les équations suivantes.

a. $(2 x + 1) (3 x - 9) = 0$

b. $(5 - x) (2 x + 7) = 0$

c. $x (4 x - 3) = 0$

d. $(x + 4) (x - 6) = 0$

e. $(3 x - 2) (5 x + 1) = 0$

f. $(7 x + 14) (x - 1) = 0$

g. $(4 - 3 x) (x + 8) = 0$

h. $2 x (x - 1) (x + 5) = 0$

Exercice 7 ★★★★ — Le carré vaut un nombre : les trois cas

Résoudre une équation du type x² = a

Résoudre les équations suivantes. Lorsque les solutions ne sont pas des nombres entiers ou fractionnaires, on donnera les valeurs exactes.

a. $x^{2} = 25$

b. $x^{2} = 100$

c. $x^{2} = 13$

d. $x^{2} = 0$

e. $x^{2} = - 9$

f. $x^{2} = \frac{49}{4}$

g. $t^{2} = 81$

h. $x^{2} = 64$

i. $x^{2} = - 1$

Exercice 8 ★★★★ — Aires de carrés et valeurs exactes

Résoudre une équation du type x² = aMettre un problème en équation et le résoudre

Un terrain carré a une aire de $121 m^{2}$ . Mettre le problème en équation, puis déterminer la longueur du côté de ce terrain. On justifiera soigneusement le choix de la solution retenue.
Un carreau de faïence carré a une aire de $20 {cm}^{2}$ . Déterminer la longueur exacte de son côté, puis en donner un arrondi au millimètre.
Résoudre l'équation $3 x^{2} = 48$ .

Exercice 9 ★★★★ — Factoriser avec un facteur commun puis résoudre

Factoriser pour se ramener à une équation produitRésoudre une équation produit

Pour résoudre l'équation $x^{2} = 7 x$ , Léa a divisé les deux membres par $x$ et a trouvé une seule solution.

a. Quelle solution Léa a-t-elle trouvée ? Quelle solution a-t-elle perdue en route ?

b. Expliquer pourquoi on ne doit pas diviser les deux membres d'une équation par une expression qui peut être nulle.

c. Résoudre correctement l'équation $x^{2} = 7 x$ en se ramenant à une équation produit.
Résoudre l'équation $5 x^{2} + 3 x = 0$ .
Résoudre l'équation $(3 x - 1) (x + 2) - (3 x - 1) (2 x - 7) = 0$ .

Exercice 10 ★★★★ — Factoriser avec une différence de deux carrés puis résoudre

Factoriser pour se ramener à une équation produitRésoudre une équation produit

Factoriser chaque membre de gauche à l'aide de l'identité $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , puis résoudre l'équation.

a. $x^{2} - 36 = 0$
b. $x^{2} - 49 = 0$
c. $9 x^{2} - 25 = 0$
d. $16 - x^{2} = 0$
Résoudre l'équation $4 x^{2} - 81 = 0$ en détaillant soigneusement l'étape de factorisation.

Exercice 11 ★★★★ — Vrai ou faux ? Justifier

Résoudre une équation produitRésoudre une équation du type x² = aRésoudre une équation du premier degré

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement la réponse.

a. $- 5$ est solution de l'équation $x^{2} = 25$ .

b. L'équation $x^{2} = - 4$ admet une unique solution.

c. Si un produit est nul, alors tous ses facteurs sont nuls.

d. Les solutions de l'équation $(x - 2) (x + 3) = 6$ sont $2$ et $- 3$ .

e. Les équations $2 x + 6 = 0$ et $x + 3 = 0$ ont les mêmes solutions.

Exercice 12 ★★★★ — Se ramener à une équation produit

Factoriser pour se ramener à une équation produitRésoudre une équation produitRésoudre une équation du type x² = a

Résoudre chacune des équations suivantes en se ramenant à une équation produit.

1. $x^{2} = 5 x$

2. $(x + 1)^{2} - 9 = 0$

3. $(2 x - 3) (x + 4) = (2 x - 3) (3 x - 1)$

Exercice 13 ★★★★ — Je pense à un nombre

Mettre un problème en équation et le résoudreRésoudre une équation du premier degréRésoudre une équation du type x² = a

1. Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$ , puis j'ajoute $7$ : je trouve $25$ . Quel est ce nombre ?

2. On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A : choisir un nombre ; le multiplier par $5$ ; soustraire $4$ au résultat.

Programme B : choisir un nombre ; le multiplier par $2$ ; ajouter $11$ au résultat.

Pour quel nombre de départ les deux programmes donnent-ils le même résultat ?

3. Je pense à un nombre : son carré vaut $64$ . Trouver tous les nombres auxquels j'ai pu penser.

Exercice 14 ★★★★ — Le jardin de Mathilde

Mettre un problème en équation et le résoudreRésoudre une équation du type x² = a

Le jardin de Mathilde est rectangulaire : sa longueur est égale au double de sa largeur, et son aire vaut $50 m^{2}$ .

Jardin rectangulaire de largeur x et de longueur 2x

1. On note $x$ la largeur du jardin, en mètres. Exprimer l'aire du jardin en fonction de $x$ .

2. Mettre le problème en équation, puis déterminer la largeur du jardin.

3. Donner les dimensions du jardin, puis calculer son périmètre.

Exercice 15 ★★★★ — Défi : le programme qui s'annule

Mettre un problème en équation et le résoudreFactoriser pour se ramener à une équation produitRésoudre une équation produit

On considère le programme de calcul suivant.

Programme : choisir un nombre ; calculer son carré ; soustraire $16$ au résultat.

1. Vérifier qu'en choisissant $3$ au départ, le programme donne $- 7$ . Exprimer ensuite le résultat du programme en fonction du nombre choisi $x$ .

2. Factoriser l'expression obtenue à la question 1.

3. Déterminer tous les nombres de départ pour lesquels le programme donne $0$ .

4. Déterminer tous les nombres de départ pour lesquels le programme donne $20$ .

Les exercices(PDF, 48 Ko)Les corrigés(PDF, 87 Ko)

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15 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

Exercice 1 ★★★★ — Solution ou pas ?

Résoudre une équation du premier degré

Pour chaque équation, tester si les nombres proposés sont des solutions. On calculera séparément la valeur de chaque membre.

$3 x + 5 = 20$ ; nombres à tester : $5$ puis $4$ .
$7 x - 4 = 2 x + 11$ ; nombres à tester : $3$ puis $2$ .
$5 (x - 2) = 3 x + 1$ ; nombres à tester : $4$ puis $5,5$ .
$x^{2} = 49$ ; nombres à tester : $7$ puis $- 7$ . Que remarque-t-on ?

Exercice 2 ★★★★ — Équations du premier degré : la gamme

Résoudre une équation du premier degré

Résoudre les équations suivantes.

a. $x + 7 = 12$

b. $x - 6 = - 10$

c. $5 x = 35$

d. $- 3 x = 21$

e. $2 x + 9 = 25$

f. $7 x - 3 = - 24$

g. $x + 3,5 = 8$

h. $4 x + 5 = 8$

Exercice 3 ★★★★ — L'inconnue des deux côtés

Résoudre une équation du premier degré

Résoudre les équations suivantes.

a. $5 x - 7 = 2 x + 8$

b. $8 x + 3 = 6 x - 7$

c. $4 x - 1 = x + 8$

d. $2 x + 5 = 7 x - 5$

e. $9 x - 4 = 3 x + 5$

f. $3 - 4 x = 2 x + 15$

Exercice 4 ★★★★ — Parenthèses et dénominateurs

Résoudre une équation du premier degré

Résoudre les équations suivantes, après avoir développé les parenthèses.

a. $3 (x - 2) = 5 x + 4$
b. $2 (3 x + 1) = 4 x + 10$
c. $5 (x + 3) = 2 (x - 3)$
d. $4 (2 x - 1) - 3 (x + 2) = 5$
Résoudre les équations suivantes.

a. $\frac{x}{3} + 2 = 5$
b. $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 4}{2}$
c. $\frac{3 x}{4} - 1 = \frac{x}{2}$

Exercice 5 ★★★★ — Produit nul : premiers pas

Résoudre une équation produit

Recopier et compléter la propriété : « Si un produit de facteurs est nul, alors … »
Résoudre les équations suivantes.

a. $(x - 3) (x + 7) = 0$
b. $x (2 x - 5) = 0$
c. $(x + 4) (x - 1) = 0$
d. $(2 x + 3) (x - 8) = 0$
e. $(5 x - 2) (x + 6) = 0$
f. $(4 x + 1) (4 x - 1) = 0$
Jules affirme que l'équation $(x + 2) (x - 5) = 3$ a pour solutions $1$ et $8$ , car « $x + 2 = 3$ ou $x - 5 = 3$ ». Expliquer pourquoi son raisonnement est faux.

Exercice 6 ★★★★ — Équations produits : la gamme

Résoudre une équation produit

Résoudre les équations suivantes.

a. $(2 x + 1) (3 x - 9) = 0$

b. $(5 - x) (2 x + 7) = 0$

c. $x (4 x - 3) = 0$

d. $(x + 4) (x - 6) = 0$

e. $(3 x - 2) (5 x + 1) = 0$

f. $(7 x + 14) (x - 1) = 0$

g. $(4 - 3 x) (x + 8) = 0$

h. $2 x (x - 1) (x + 5) = 0$

Exercice 7 ★★★★ — Le carré vaut un nombre : les trois cas

Résoudre une équation du type x² = a

Résoudre les équations suivantes. Lorsque les solutions ne sont pas des nombres entiers ou fractionnaires, on donnera les valeurs exactes.

a. $x^{2} = 25$

b. $x^{2} = 100$

c. $x^{2} = 13$

d. $x^{2} = 0$

e. $x^{2} = - 9$

f. $x^{2} = \frac{49}{4}$

g. $t^{2} = 81$

h. $x^{2} = 64$

i. $x^{2} = - 1$

Exercice 8 ★★★★ — Aires de carrés et valeurs exactes

Résoudre une équation du type x² = aMettre un problème en équation et le résoudre

Un terrain carré a une aire de $121 m^{2}$ . Mettre le problème en équation, puis déterminer la longueur du côté de ce terrain. On justifiera soigneusement le choix de la solution retenue.
Un carreau de faïence carré a une aire de $20 {cm}^{2}$ . Déterminer la longueur exacte de son côté, puis en donner un arrondi au millimètre.
Résoudre l'équation $3 x^{2} = 48$ .

Exercice 9 ★★★★ — Factoriser avec un facteur commun puis résoudre

Factoriser pour se ramener à une équation produitRésoudre une équation produit

Pour résoudre l'équation $x^{2} = 7 x$ , Léa a divisé les deux membres par $x$ et a trouvé une seule solution.

a. Quelle solution Léa a-t-elle trouvée ? Quelle solution a-t-elle perdue en route ?

b. Expliquer pourquoi on ne doit pas diviser les deux membres d'une équation par une expression qui peut être nulle.

c. Résoudre correctement l'équation $x^{2} = 7 x$ en se ramenant à une équation produit.
Résoudre l'équation $5 x^{2} + 3 x = 0$ .
Résoudre l'équation $(3 x - 1) (x + 2) - (3 x - 1) (2 x - 7) = 0$ .

Exercice 10 ★★★★ — Factoriser avec une différence de deux carrés puis résoudre

Factoriser pour se ramener à une équation produitRésoudre une équation produit

Factoriser chaque membre de gauche à l'aide de l'identité $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , puis résoudre l'équation.

a. $x^{2} - 36 = 0$
b. $x^{2} - 49 = 0$
c. $9 x^{2} - 25 = 0$
d. $16 - x^{2} = 0$
Résoudre l'équation $4 x^{2} - 81 = 0$ en détaillant soigneusement l'étape de factorisation.

Exercice 11 ★★★★ — Vrai ou faux ? Justifier

Résoudre une équation produitRésoudre une équation du type x² = aRésoudre une équation du premier degré

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement la réponse.

a. $- 5$ est solution de l'équation $x^{2} = 25$ .

b. L'équation $x^{2} = - 4$ admet une unique solution.

c. Si un produit est nul, alors tous ses facteurs sont nuls.

d. Les solutions de l'équation $(x - 2) (x + 3) = 6$ sont $2$ et $- 3$ .

e. Les équations $2 x + 6 = 0$ et $x + 3 = 0$ ont les mêmes solutions.

Exercice 12 ★★★★ — Se ramener à une équation produit

Factoriser pour se ramener à une équation produitRésoudre une équation produitRésoudre une équation du type x² = a

Résoudre chacune des équations suivantes en se ramenant à une équation produit.

1. $x^{2} = 5 x$

2. $(x + 1)^{2} - 9 = 0$

3. $(2 x - 3) (x + 4) = (2 x - 3) (3 x - 1)$

Exercice 13 ★★★★ — Je pense à un nombre

Mettre un problème en équation et le résoudreRésoudre une équation du premier degréRésoudre une équation du type x² = a

1. Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$ , puis j'ajoute $7$ : je trouve $25$ . Quel est ce nombre ?

2. On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A : choisir un nombre ; le multiplier par $5$ ; soustraire $4$ au résultat.

Programme B : choisir un nombre ; le multiplier par $2$ ; ajouter $11$ au résultat.

Pour quel nombre de départ les deux programmes donnent-ils le même résultat ?

3. Je pense à un nombre : son carré vaut $64$ . Trouver tous les nombres auxquels j'ai pu penser.

Exercice 14 ★★★★ — Le jardin de Mathilde

Mettre un problème en équation et le résoudreRésoudre une équation du type x² = a

Le jardin de Mathilde est rectangulaire : sa longueur est égale au double de sa largeur, et son aire vaut $50 m^{2}$ .

Jardin rectangulaire de largeur x et de longueur 2x

1. On note $x$ la largeur du jardin, en mètres. Exprimer l'aire du jardin en fonction de $x$ .

2. Mettre le problème en équation, puis déterminer la largeur du jardin.

3. Donner les dimensions du jardin, puis calculer son périmètre.

Exercice 15 ★★★★ — Défi : le programme qui s'annule

Mettre un problème en équation et le résoudreFactoriser pour se ramener à une équation produitRésoudre une équation produit

On considère le programme de calcul suivant.

Programme : choisir un nombre ; calculer son carré ; soustraire $16$ au résultat.

1. Vérifier qu'en choisissant $3$ au départ, le programme donne $- 7$ . Exprimer ensuite le résultat du programme en fonction du nombre choisi $x$ .

2. Factoriser l'expression obtenue à la question 1.

3. Déterminer tous les nombres de départ pour lesquels le programme donne $0$ .

4. Déterminer tous les nombres de départ pour lesquels le programme donne $20$ .

Les exercices(PDF, 48 Ko)Les corrigés(PDF, 87 Ko)

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