3ᵉ · Chapitre 03 · Nombres et calculs

Calcul littéral : double distributivité

Développement (double distributivité), factorisation dont a² − b², réduction.

Ce qu'il faut savoir faire

Développement (double distributivité)
Factorisation dont a² − b²
Réduction

En quatrième, tu as appris à réduire une expression et à développer un produit comme $3 (2 x + 5)$ grâce à la distributivité. Cette année, on franchit un cap : multiplier deux parenthèses entre elles, comme $(x + 2) (x + 5)$ , grâce à la double distributivité. Tu apprendras aussi à faire le chemin inverse, factoriser, avec une nouvelle égalité très efficace : $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ . Et surtout, tu découvriras à quoi tout cela sert vraiment : démontrer qu'un résultat est vrai pour tous les nombres à la fois. Développer, factoriser, démontrer : ce trio est un grand classique du brevet, et il te suivra jusqu'au lycée.

Réduire une expression : les réflexes de 4e

Avant de manipuler des expressions plus longues, on remet en place les réflexes de quatrième. Premier réflexe : lire la structure de l'expression. Quelle serait la dernière opération si on remplaçait la lettre par un nombre ? Si c'est une addition ou une soustraction, l'expression est une somme et ses morceaux sont des termes ; si c'est une multiplication, c'est un produit et ses morceaux sont des facteurs. Ainsi $3 x + 5$ est une somme, mais $3 (x + 5)$ est un produit.

Propriété

Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible. On ne peut regrouper que des termes de même nature : les termes en $x$ entre eux, les termes en $x^{2}$ entre eux, les constantes entre elles. Pour regrouper, on additionne les coefficients :

4 x + 7 x = 11 x et 2 x^{2} - 5 x^{2} = - 3 x^{2} .

Exemple

Réduire $A = 5 x^{2} + 3 x - 7 - 2 x^{2} + 4 x + 1$ . On regroupe par nature : $5 x^{2} - 2 x^{2} = 3 x^{2}$ , puis $3 x + 4 x = 7 x$ , enfin $- 7 + 1 = - 6$ . Donc $A = 3 x^{2} + 7 x - 6$ .

Attention aux faux amis. $3 x + 5 x^{2}$ ne se réduit pas : un terme en $x$ et un terme en $x^{2}$ ne sont pas de même nature. De même, $2 x + 3 \neq 5 x$ : teste avec $x = 10$ , l'un vaut $23$ et l'autre $50$ . Quand deux termes ne sont pas de même nature, on les laisse tranquilles.

Développer : la distributivité simple

Développer, c'est transformer un produit en somme. L'outil de quatrième, c'est la distributivité : le facteur devant la parenthèse est distribué à chacun des termes de la parenthèse.

Propriété

Distributivité simple. Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

k (a + b) = k a + k b et k (a - b) = k a - k b .

Méthode

Développer puis réduire avec la distributivité simple.

Distribuer le facteur à chaque terme de la parenthèse, en appliquant la règle des signes.
Surveiller particulièrement un facteur négatif : il change le signe de chaque terme de la parenthèse.
Réduire l'expression obtenue en regroupant les termes de même nature.

Exemple

Développer $B = - 3 (2 x - 5)$ . Le facteur est $- 3$ : chaque terme change de signe. $B = (- 3) \times 2 x - (- 3) \times 5 = - 6 x + 15$ .

Développer et réduire $C = 5 x - 2 (x - 3)$ . Le piège classique : le signe $-$ fait partie du facteur, on distribue $- 2$ et non $2$ . Donc $C = 5 x - 2 x + 6 = 3 x + 6$ . Écrire $5 x - 2 x - 6$ est l'erreur la plus fréquente du chapitre : $- 2 \times (- 3) = + 6$ .

La double distributivité

Voici la nouveauté de troisième. Comment développer $(a + b) (c + d)$ , un produit de deux sommes ? L'astuce : considérer $(a + b)$ comme un seul nombre, et le distribuer sur $c$ puis sur $d$ . On obtient $(a + b) \times c + (a + b) \times d$ , et on distribue une seconde fois : $a c + b c + a d + b d$ . Deux distributions successives, d'où le nom de double distributivité. Tu peux aussi le voir géométriquement : un rectangle de côtés $a + b$ et $c + d$ se découpe en quatre petits rectangles d'aires $a c$ , $a d$ , $b c$ et $b d$ .

Propriété

Double distributivité. Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ :

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d .

Chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde : cela fait quatre produits.

Méthode

Développer avec la double distributivité.

Repérer les deux termes de chaque parenthèse, avec leur signe : dans $(2 x - 3)$ , les termes sont $2 x$ et $- 3$ .
Effectuer les quatre produits, dans l'ordre : premier $\times$ premier, premier $\times$ second, second $\times$ premier, second $\times$ second. Imagine des flèches qui relient chaque terme de gauche à chaque terme de droite.
Réduire : les deux termes du milieu sont souvent de même nature et se regroupent.

Exemple

Développer $(x + 2) (x + 5)$ . Les quatre produits : $x \times x = x^{2}$ , puis $x \times 5 = 5 x$ , puis $2 \times x = 2 x$ , enfin $2 \times 5 = 10$ . Donc $(x + 2) (x + 5) = x^{2} + 5 x + 2 x + 10 = x^{2} + 7 x + 10$ .

Développer $(2 x - 3) (x + 4)$ . Les termes sont $2 x$ et $- 3$ d'un côté, $x$ et $4$ de l'autre : $2 x \times x = 2 x^{2}$ , puis $2 x \times 4 = 8 x$ , puis $(- 3) \times x = - 3 x$ , enfin $(- 3) \times 4 = - 12$ . Donc $(2 x - 3) (x + 4) = 2 x^{2} + 8 x - 3 x - 12 = 2 x^{2} + 5 x - 12$ .

Développer $(x + 3)^{2}$ . Un carré, c'est un nombre multiplié par lui-même : $(x + 3)^{2} = (x + 3) (x + 3)$ . On applique la double distributivité : $x^{2} + 3 x + 3 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9$ . Retiens bien : le carré d'une somme se développe ainsi, en écrivant le produit des deux parenthèses. Surtout, $(x + 3)^{2} \neq x^{2} + 9$ : pour $x = 1$ , le premier vaut $4^{2} = 16$ et le second $1 + 9 = 10$ . Le terme du milieu, $6 x$ , ne doit jamais disparaître.

Factoriser avec un facteur commun

Factoriser, c'est le chemin inverse du développement.

Définition

Factoriser une expression, c'est la transformer en un produit : l'écriture finale doit être une multiplication de facteurs, et non plus une somme de termes.

Méthode

Factoriser avec un facteur commun.

Repérer le facteur présent dans tous les termes : un nombre, une lettre, ou les deux à la fois.
Écrire chaque terme sous la forme facteur commun $\times$ reste.
Mettre en facteur : le facteur commun devant, et entre parenthèses ce qui reste de chaque terme.
Vérifier en redéveloppant : on doit retomber sur l'expression de départ.

Exemple

Facteur commun numérique : factoriser $8 x + 12$ . On a $8 x = 4 \times 2 x$ et $12 = 4 \times 3$ , donc $8 x + 12 = 4 (2 x + 3)$ .

Facteur commun littéral : factoriser $x^{2} - 5 x$ . On a $x^{2} = x \times x$ et $5 x = x \times 5$ , donc $x^{2} - 5 x = x (x - 5)$ .

Les deux à la fois : factoriser $6 x^{2} + 4 x$ . Le facteur commun est $2 x$ , car $6 x^{2} = 2 x \times 3 x$ et $4 x = 2 x \times 2$ . Donc $6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)$ . Vérification : $2 x (3 x + 2) = 6 x^{2} + 4 x$ , c'est bon.

La différence de deux carrés

Que faire quand aucun facteur commun ne saute aux yeux, comme dans $x^{2} - 49$ ? La double distributivité nous offre une nouvelle égalité. Développons $(a + b) (a - b)$ :

\begin{aligned} (a + b) (a - b) & = a^{2} - a b + a b - b^{2} \\ = a^{2} - b^{2} . \end{aligned}

Les deux termes du milieu, $- a b$ et $+ a b$ , s'annulent : il ne reste que la différence des deux carrés.

Propriété

Différence de deux carrés. Pour tous nombres $a$ et $b$ :

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .

Cette égalité s'utilise dans les deux sens : de droite à gauche pour développer très vite, de gauche à droite pour factoriser une différence de deux carrés.

Exemple

Sens « développer » : $(x + 6) (x - 6)$ . Pas besoin des quatre produits : c'est $x^{2} - 6^{2} = x^{2} - 36$ , directement.

Sens « factoriser » : $x^{2} - 49$ . On reconnaît une différence de deux carrés, car $49 = 7^{2}$ . Donc $x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7)$ .

Un cas plus musclé : $25 x^{2} - 16$ . Ici $25 x^{2} = (5 x)^{2}$ et $16 = 4^{2}$ , donc $25 x^{2} - 16 = (5 x + 4) (5 x - 4)$ .

Calcul mental astucieux. Pour calculer $101 \times 99$ sans poser l'opération : $101 \times 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 100^{2} - 1^{2} = 10 000 - 1 = 9 999$ .

Démontrer avec le calcul littéral

Voici la vraie puissance du chapitre. Un exemple, ou même mille, ne prouvent jamais qu'un résultat est vrai pour tous les nombres : il en reste toujours une infinité à tester. Avec une lettre, un seul calcul remplace l'infinité de vérifications.

Définition

Pour désigner un nombre entier quelconque, on utilise une lettre, souvent $n$ ou $k$ . Trois écritures reviennent sans cesse dans les démonstrations : un nombre pair s'écrit $2 k$ (le double d'un entier), un nombre impair s'écrit $2 k + 1$ , et deux entiers consécutifs s'écrivent $n$ et $n + 1$ .

Méthode

Démontrer un résultat général avec le calcul littéral.

Choisir une lettre pour désigner le nombre quelconque (et préciser ce qu'elle représente).
Traduire l'énoncé en une expression littérale.
Transformer l'expression avec les outils du chapitre : développer, réduire, factoriser.
Conclure en une phrase : le résultat vaut pour toutes les valeurs possibles de la lettre.

Exemple

Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$ . Appelons $n$ le premier entier : les trois entiers consécutifs sont $n$ , $n + 1$ et $n + 2$ . Leur somme vaut

n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1) .

Cette somme s'écrit $3 \times$ un entier : c'est donc un multiple de $3$ , quel que soit l'entier $n$ de départ. Démontré, pour l'infinité des cas possibles, en une ligne.

Deuxième situation classique du brevet : montrer que deux programmes de calcul donnent toujours le même résultat. Compare le programme A « choisis un nombre, ajoute $3$ , multiplie le résultat par lui-même, soustrais $9$ » et le programme B « choisis un nombre, ajoute $6$ , multiplie le résultat par le nombre de départ ». Teste avec $2$ : le programme A donne $5 \times 5 - 9 = 16$ , le programme B donne $2 \times 8 = 16$ . Coïncidence ? Appelons $x$ le nombre de départ. Le programme A calcule $(x + 3)^{2} - 9$ , que l'on développe avec la double distributivité :

\begin{aligned} (x + 3)^{2} - 9 & = (x + 3) (x + 3) - 9 \\ = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 9 \\ = x^{2} + 6 x . \end{aligned}

Le programme B calcule $x (x + 6) = x^{2} + 6 x$ par distributivité simple. Les deux expressions sont égales : les deux programmes donnent le même résultat pour tout nombre de départ. Retiens la morale du chapitre : les exemples font naître une conjecture, mais seul le calcul littéral la transforme en certitude.

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3ᵉ · Chapitre 03 · Nombres et calculs

Calcul littéral : double distributivité

Développement (double distributivité), factorisation dont a² − b², réduction.

Ce qu'il faut savoir faire

Développement (double distributivité)
Factorisation dont a² − b²
Réduction

Réduire une expression : les réflexes de 4e

Propriété

4 x + 7 x = 11 x et 2 x^{2} - 5 x^{2} = - 3 x^{2} .

Exemple

Réduire $A = 5 x^{2} + 3 x - 7 - 2 x^{2} + 4 x + 1$ . On regroupe par nature : $5 x^{2} - 2 x^{2} = 3 x^{2}$ , puis $3 x + 4 x = 7 x$ , enfin $- 7 + 1 = - 6$ . Donc $A = 3 x^{2} + 7 x - 6$ .

Développer : la distributivité simple

Développer, c'est transformer un produit en somme. L'outil de quatrième, c'est la distributivité : le facteur devant la parenthèse est distribué à chacun des termes de la parenthèse.

Propriété

Distributivité simple. Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

k (a + b) = k a + k b et k (a - b) = k a - k b .

Méthode

Développer puis réduire avec la distributivité simple.

Distribuer le facteur à chaque terme de la parenthèse, en appliquant la règle des signes.
Surveiller particulièrement un facteur négatif : il change le signe de chaque terme de la parenthèse.
Réduire l'expression obtenue en regroupant les termes de même nature.

Exemple

Développer $B = - 3 (2 x - 5)$ . Le facteur est $- 3$ : chaque terme change de signe. $B = (- 3) \times 2 x - (- 3) \times 5 = - 6 x + 15$ .

La double distributivité

Propriété

Double distributivité. Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ :

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d .

Chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde : cela fait quatre produits.

Méthode

Développer avec la double distributivité.

Repérer les deux termes de chaque parenthèse, avec leur signe : dans $(2 x - 3)$ , les termes sont $2 x$ et $- 3$ .
Effectuer les quatre produits, dans l'ordre : premier $\times$ premier, premier $\times$ second, second $\times$ premier, second $\times$ second. Imagine des flèches qui relient chaque terme de gauche à chaque terme de droite.
Réduire : les deux termes du milieu sont souvent de même nature et se regroupent.

Exemple

Factoriser avec un facteur commun

Factoriser, c'est le chemin inverse du développement.

Définition

Factoriser une expression, c'est la transformer en un produit : l'écriture finale doit être une multiplication de facteurs, et non plus une somme de termes.

Méthode

Factoriser avec un facteur commun.

Repérer le facteur présent dans tous les termes : un nombre, une lettre, ou les deux à la fois.
Écrire chaque terme sous la forme facteur commun $\times$ reste.
Mettre en facteur : le facteur commun devant, et entre parenthèses ce qui reste de chaque terme.
Vérifier en redéveloppant : on doit retomber sur l'expression de départ.

Exemple

Facteur commun numérique : factoriser $8 x + 12$ . On a $8 x = 4 \times 2 x$ et $12 = 4 \times 3$ , donc $8 x + 12 = 4 (2 x + 3)$ .

Facteur commun littéral : factoriser $x^{2} - 5 x$ . On a $x^{2} = x \times x$ et $5 x = x \times 5$ , donc $x^{2} - 5 x = x (x - 5)$ .

La différence de deux carrés

Que faire quand aucun facteur commun ne saute aux yeux, comme dans $x^{2} - 49$ ? La double distributivité nous offre une nouvelle égalité. Développons $(a + b) (a - b)$ :

\begin{aligned} (a + b) (a - b) & = a^{2} - a b + a b - b^{2} \\ = a^{2} - b^{2} . \end{aligned}

Les deux termes du milieu, $- a b$ et $+ a b$ , s'annulent : il ne reste que la différence des deux carrés.

Propriété

Différence de deux carrés. Pour tous nombres $a$ et $b$ :

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .

Cette égalité s'utilise dans les deux sens : de droite à gauche pour développer très vite, de gauche à droite pour factoriser une différence de deux carrés.

Exemple

Sens « développer » : $(x + 6) (x - 6)$ . Pas besoin des quatre produits : c'est $x^{2} - 6^{2} = x^{2} - 36$ , directement.

Sens « factoriser » : $x^{2} - 49$ . On reconnaît une différence de deux carrés, car $49 = 7^{2}$ . Donc $x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7)$ .

Un cas plus musclé : $25 x^{2} - 16$ . Ici $25 x^{2} = (5 x)^{2}$ et $16 = 4^{2}$ , donc $25 x^{2} - 16 = (5 x + 4) (5 x - 4)$ .

Calcul mental astucieux. Pour calculer $101 \times 99$ sans poser l'opération : $101 \times 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 100^{2} - 1^{2} = 10 000 - 1 = 9 999$ .

Démontrer avec le calcul littéral

Définition

Méthode

Démontrer un résultat général avec le calcul littéral.

Choisir une lettre pour désigner le nombre quelconque (et préciser ce qu'elle représente).
Traduire l'énoncé en une expression littérale.
Transformer l'expression avec les outils du chapitre : développer, réduire, factoriser.
Conclure en une phrase : le résultat vaut pour toutes les valeurs possibles de la lettre.

Exemple

n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1) .

Cette somme s'écrit $3 \times$ un entier : c'est donc un multiple de $3$ , quel que soit l'entier $n$ de départ. Démontré, pour l'infinité des cas possibles, en une ligne.

\begin{aligned} (x + 3)^{2} - 9 & = (x + 3) (x + 3) - 9 \\ = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 9 \\ = x^{2} + 6 x . \end{aligned}

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