3ᵉ · Chapitre 03 · Nombres et calculs

Exercices — Calcul littéral : double distributivité

16 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

16 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Réduire des expressions

Réduire une expression littérale

Réduire chaque expression :

a. $3 x + 5 x$
b. $7 x - 2 x + 4$
c. $4 x^{2} + 3 x^{2}$
d. $5 + 2 x + 3$
e. $9 x - x$
f. $6 x + 4 - 2 x$
g. $x + x + x$
h. $10 x^{2} - 4 x^{2}$
Réduire chaque expression :

a. $3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x$
b. $4 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} + 8 x$
c. $x^{2} + 6 x - 4 + 2 x^{2} - x + 9$
d. $5 x^{2} - 2 x + 7 - 3 x^{2} - 8 + 6 x$

Exercice 2 ★★★★ — Sommes, produits et pièges de réduction

Réduire une expression littérale

Pour chacune des expressions suivantes, dire s'il s'agit d'une somme ou d'un produit, en précisant quelle est la dernière opération effectuée :
$A = 3 (x + 5) B = 3 x + 5 C = (x + 2) (x - 7) D = x^{2} + 4 x$
Pour chacune des égalités suivantes, dire si elle est vraie pour tout nombre $x$ ou fausse, puis justifier : par une règle de calcul si elle est vraie, par un contre-exemple numérique si elle est fausse.

a. « Pour tout nombre $x$ , $2 x + 3 = 5 x$ . »

b. « Pour tout nombre $x$ , $3 x \times 2 x = 6 x^{2}$ . »

c. « Pour tout nombre $x$ , $x^{2} + x^{2} = x^{4}$ . »

d. « Pour tout nombre $x$ , $5 x - x = 5$ . »

Exercice 3 ★★★★ — Distributivité simple

Développer avec la distributivité simple k(a+b)

Développer chaque expression :

a. $3 (x + 5)$
b. $5 (2 x - 3)$
c. $x (x + 4)$
d. $2 x (3 x - 1)$
e. $7 (4 x + 2)$
f. $4 x (x + 6)$
Développer et réduire chaque expression :

a. $A = 4 (x + 2) + 3 (2 x - 1)$

b. $B = 6 (2 x + 5) + x (x - 3)$

Exercice 4 ★★★★ — Développer avec un facteur négatif

Développer avec la distributivité simple k(a+b)Réduire une expression littérale

Développer chaque expression :

a. $- 3 (2 x - 5)$
b. $- x (4 - x)$
c. $- 2 (x + 7)$
d. $- 5 x (3 x - 2)$
Développer et réduire chaque expression :

a. $A = 5 x - 2 (x - 3)$

b. $B = 7 - 3 (2 x + 1)$

c. $C = x (x + 2) - 4 (x - 5)$

Exercice 5 ★★★★ — Double distributivité : premiers pas

Développer avec la double distributivité

Recopier et compléter le développement de $(x + 2) (x + 5)$ :
$(x + 2) (x + 5) = x \times \dots + x \times \dots + 2 \times \dots + 2 \times \dots$ $(x + 2) (x + 5) = x^{2} + \dots x + \dots x + \dots$ $(x + 2) (x + 5) = x^{2} + \dots x + \dots$
Développer et réduire chaque expression :

a. $(x + 3) (x + 7)$
b. $(2 x + 1) (x + 4)$
c. $(x + 5) (x + 6)$
d. $(3 x + 2) (2 x + 5)$

Exercice 6 ★★★★ — Double distributivité avec des relatifs

Développer avec la double distributivitéRéduire une expression littérale

Développer et réduire chaque expression :

a. $(x - 3) (x + 8)$

b. $(x - 6) (x - 2)$

c. $(2 x - 5) (3 x - 4)$

d. $(4 x + 3) (2 x - 7)$

e. $(3 x - 1) (x + 9)$

f. $(5 - x) (2 x + 3)$

Exercice 7 ★★★★ — Développer des carrés

Développer avec la double distributivité

Écrire $(x + 3)^{2}$ sous la forme d'un produit de deux facteurs, puis développer et réduire.
De la même façon, développer et réduire :

a. $(2 x - 5)^{2}$

b. $(3 x + 1)^{2}$
Vrai ou faux ? Justifier : « Pour tout nombre $x$ , $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ . »

Exercice 8 ★★★★ — Développements enchaînés

Développer avec la double distributivitéDévelopper avec la distributivité simple k(a+b)Réduire une expression littérale

Développer et réduire chaque expression. Attention au signe $-$ devant certaines parenthèses : il se distribue à tous les termes du développement qui suit.

a. $A = (x + 2) (x + 7) - 3 (x + 4)$

b. $B = (2 x - 1) (x + 5) + x (3 - x)$

c. $C = (x + 4) (x - 4) - (x - 2) (x + 8)$

Exercice 9 ★★★★ — Factoriser : trouver le facteur commun

Factoriser avec un facteur commun

Recopier chaque expression en soulignant le facteur commun, puis factoriser :

a. $5 x + 5 \times 3$
b. $7 x + 7 y$
c. $x^{2} + 3 x$
d. $8 x - 12$
Factoriser les expressions suivantes :

a. $15 x + 10$
b. $x^{2} + 9 x$
c. $6 x - 6$
d. $14 x + 21$

Exercice 10 ★★★★ — Factoriser des expressions plus riches

Factoriser avec un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes. Le facteur commun est un produit d'un nombre et d'une lettre :

a. $6 x^{2} + 4 x$
b. $15 x^{2} - 10 x$
c. $9 x^{2} + 3 x$
d. $12 x^{2} - 18 x$
Factoriser les expressions suivantes. Le facteur commun est cette fois une parenthèse. Réduire ensuite l'intérieur de la parenthèse obtenue.

a. $(x + 3) (2 x + 1) + (x + 3) (x - 4)$

b. $(2 x - 5) (x + 2) - (2 x - 5) (3 x - 1)$

Exercice 11 ★★★★ — Factoriser une différence de deux carrés

Factoriser avec l'égalité a² − b² = (a+b)(a−b)

Écrire chaque expression comme une différence de deux carrés, puis la factoriser grâce à l'égalité $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ :

a. $x^{2} - 49$
b. $x^{2} - 100$
c. $25 x^{2} - 16$
d. $81 x^{2} - 1$
Développer rapidement grâce à la même égalité, utilisée dans l'autre sens :

a. $(x + 9) (x - 9)$
b. $(3 x + 7) (3 x - 7)$

Exercice 12 ★★★★ — Calcul mental astucieux

Factoriser avec l'égalité a² − b² = (a+b)(a−b)Démontrer avec le calcul littéral (programmes de calcul)

L'égalité $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ permet de calculer certains produits de tête.

Calculer astucieusement, sans calculatrice, les produits suivants. Indication : écrire chaque facteur comme une somme ou une différence de deux nombres bien choisis.

a. $101 \times 99$

b. $102 \times 98$

c. $1005 \times 995$
Calculer astucieusement, sans calculatrice, en commençant par factoriser :

a. $53^{2} - 47^{2}$

b. $78^{2} - 22^{2}$
Expliquer pourquoi cette méthode fonctionne pour tout produit de la forme $(n + 1) (n - 1)$ .

Exercice 13 ★★★★ — Programmes de calcul

Démontrer avec le calcul littéral (programmes de calcul)Développer avec la double distributivité

On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A

Choisir un nombre.
Lui ajouter $2$ .
Multiplier le résultat par le nombre de départ augmenté de $6$ .

Programme B

Choisir un nombre.
Le multiplier par lui-même.
Ajouter $8$ fois le nombre de départ.
Ajouter $12$ .

Tester les deux programmes avec le nombre $5$ , puis avec le nombre $- 1$ .
Que peut-on conjecturer ?
Démontrer cette conjecture. On appellera $x$ le nombre choisi au départ.

Exercice 14 ★★★★ — Démontrer avec les lettres

Démontrer avec le calcul littéral (programmes de calcul)

Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$ . On appellera $n$ le premier de ces trois entiers.
Démontrer que la somme de deux nombres impairs est toujours un nombre pair. Rappel : un nombre impair peut s'écrire $2 k + 1$ , où $k$ est un entier. Attention : les deux nombres impairs n'ont aucune raison d'être égaux, il faut donc les écrire avec deux lettres différentes, par exemple $2 k + 1$ et $2 p + 1$ .
Démontrer que le carré d'un nombre impair est toujours un nombre impair. On pourra écrire $(2 k + 1)^{2} = (2 k + 1) (2 k + 1)$ et développer ce produit.

Exercice 15 ★★★★ — Aire d'une figure composée

Développer avec la distributivité simple k(a+b)Développer avec la double distributivitéRéduire une expression littérale

La figure ci-dessous représente une figure en L, où $x$ désigne un nombre strictement positif. Elle est obtenue à partir d'un rectangle de longueur $4 x + 3$ et de largeur $2 x$ , dans lequel on a découpé un carré de côté $x$ dans le coin supérieur droit.

Figure en L : rectangle de longueur 4x+3 et de largeur 2x, amputé d'un carré de côté x dans le coin supérieur droit

Exprimer l'aire de la figure en fonction de $x$ , sous forme développée et réduite.
Les longueurs sont exprimées en centimètres. Calculer cette aire pour $x = 5$ .
Exprimer le périmètre de la figure en fonction de $x$ , puis montrer qu'il est égal au périmètre du rectangle entier (avant découpage).

Exercice 16 ★★★★ — Défi : le nombre deviné

Démontrer avec le calcul littéral (programmes de calcul)Développer avec la double distributivité

Un magicien propose le tour suivant :

« Pense à un nombre. Ajoute-lui $3$ . Multiplie le résultat par lui-même. Soustrais le carré du nombre de départ. Soustrais $9$ . Divise par $6$ : je devine que tu retrouves ton nombre de départ ! »

Tester le tour avec le nombre $4$ , puis avec le nombre $- 2$ .
Démontrer que le tour fonctionne pour tout nombre $x$ choisi au départ.
Question ouverte. Modifier le tour pour que le magicien retrouve cette fois le double du nombre de départ. Proposer une modification possible et vérifier qu'elle fonctionne.

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16 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

Exercice 1 ★★★★ — Réduire des expressions

Réduire une expression littérale

Réduire chaque expression :

a. $3 x + 5 x$
b. $7 x - 2 x + 4$
c. $4 x^{2} + 3 x^{2}$
d. $5 + 2 x + 3$
e. $9 x - x$
f. $6 x + 4 - 2 x$
g. $x + x + x$
h. $10 x^{2} - 4 x^{2}$
Réduire chaque expression :

a. $3 x^{2} + 5 x - x^{2} + 2 x$
b. $4 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} + 8 x$
c. $x^{2} + 6 x - 4 + 2 x^{2} - x + 9$
d. $5 x^{2} - 2 x + 7 - 3 x^{2} - 8 + 6 x$

Exercice 2 ★★★★ — Sommes, produits et pièges de réduction

Réduire une expression littérale

Pour chacune des expressions suivantes, dire s'il s'agit d'une somme ou d'un produit, en précisant quelle est la dernière opération effectuée :
$A = 3 (x + 5) B = 3 x + 5 C = (x + 2) (x - 7) D = x^{2} + 4 x$
Pour chacune des égalités suivantes, dire si elle est vraie pour tout nombre $x$ ou fausse, puis justifier : par une règle de calcul si elle est vraie, par un contre-exemple numérique si elle est fausse.

a. « Pour tout nombre $x$ , $2 x + 3 = 5 x$ . »

b. « Pour tout nombre $x$ , $3 x \times 2 x = 6 x^{2}$ . »

c. « Pour tout nombre $x$ , $x^{2} + x^{2} = x^{4}$ . »

d. « Pour tout nombre $x$ , $5 x - x = 5$ . »

Exercice 3 ★★★★ — Distributivité simple

Développer avec la distributivité simple k(a+b)

Développer chaque expression :

a. $3 (x + 5)$
b. $5 (2 x - 3)$
c. $x (x + 4)$
d. $2 x (3 x - 1)$
e. $7 (4 x + 2)$
f. $4 x (x + 6)$
Développer et réduire chaque expression :

a. $A = 4 (x + 2) + 3 (2 x - 1)$

b. $B = 6 (2 x + 5) + x (x - 3)$

Exercice 4 ★★★★ — Développer avec un facteur négatif

Développer avec la distributivité simple k(a+b)Réduire une expression littérale

Développer chaque expression :

a. $- 3 (2 x - 5)$
b. $- x (4 - x)$
c. $- 2 (x + 7)$
d. $- 5 x (3 x - 2)$
Développer et réduire chaque expression :

a. $A = 5 x - 2 (x - 3)$

b. $B = 7 - 3 (2 x + 1)$

c. $C = x (x + 2) - 4 (x - 5)$

Exercice 5 ★★★★ — Double distributivité : premiers pas

Développer avec la double distributivité

Recopier et compléter le développement de $(x + 2) (x + 5)$ :
$(x + 2) (x + 5) = x \times \dots + x \times \dots + 2 \times \dots + 2 \times \dots$ $(x + 2) (x + 5) = x^{2} + \dots x + \dots x + \dots$ $(x + 2) (x + 5) = x^{2} + \dots x + \dots$
Développer et réduire chaque expression :

a. $(x + 3) (x + 7)$
b. $(2 x + 1) (x + 4)$
c. $(x + 5) (x + 6)$
d. $(3 x + 2) (2 x + 5)$

Exercice 6 ★★★★ — Double distributivité avec des relatifs

Développer avec la double distributivitéRéduire une expression littérale

Développer et réduire chaque expression :

a. $(x - 3) (x + 8)$

b. $(x - 6) (x - 2)$

c. $(2 x - 5) (3 x - 4)$

d. $(4 x + 3) (2 x - 7)$

e. $(3 x - 1) (x + 9)$

f. $(5 - x) (2 x + 3)$

Exercice 7 ★★★★ — Développer des carrés

Développer avec la double distributivité

Écrire $(x + 3)^{2}$ sous la forme d'un produit de deux facteurs, puis développer et réduire.
De la même façon, développer et réduire :

a. $(2 x - 5)^{2}$

b. $(3 x + 1)^{2}$
Vrai ou faux ? Justifier : « Pour tout nombre $x$ , $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ . »

Exercice 8 ★★★★ — Développements enchaînés

Développer avec la double distributivitéDévelopper avec la distributivité simple k(a+b)Réduire une expression littérale

Développer et réduire chaque expression. Attention au signe $-$ devant certaines parenthèses : il se distribue à tous les termes du développement qui suit.

a. $A = (x + 2) (x + 7) - 3 (x + 4)$

b. $B = (2 x - 1) (x + 5) + x (3 - x)$

c. $C = (x + 4) (x - 4) - (x - 2) (x + 8)$

Exercice 9 ★★★★ — Factoriser : trouver le facteur commun

Factoriser avec un facteur commun

Recopier chaque expression en soulignant le facteur commun, puis factoriser :

a. $5 x + 5 \times 3$
b. $7 x + 7 y$
c. $x^{2} + 3 x$
d. $8 x - 12$
Factoriser les expressions suivantes :

a. $15 x + 10$
b. $x^{2} + 9 x$
c. $6 x - 6$
d. $14 x + 21$

Exercice 10 ★★★★ — Factoriser des expressions plus riches

Factoriser avec un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes. Le facteur commun est un produit d'un nombre et d'une lettre :

a. $6 x^{2} + 4 x$
b. $15 x^{2} - 10 x$
c. $9 x^{2} + 3 x$
d. $12 x^{2} - 18 x$
Factoriser les expressions suivantes. Le facteur commun est cette fois une parenthèse. Réduire ensuite l'intérieur de la parenthèse obtenue.

a. $(x + 3) (2 x + 1) + (x + 3) (x - 4)$

b. $(2 x - 5) (x + 2) - (2 x - 5) (3 x - 1)$

Exercice 11 ★★★★ — Factoriser une différence de deux carrés

Factoriser avec l'égalité a² − b² = (a+b)(a−b)

Écrire chaque expression comme une différence de deux carrés, puis la factoriser grâce à l'égalité $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ :

a. $x^{2} - 49$
b. $x^{2} - 100$
c. $25 x^{2} - 16$
d. $81 x^{2} - 1$
Développer rapidement grâce à la même égalité, utilisée dans l'autre sens :

a. $(x + 9) (x - 9)$
b. $(3 x + 7) (3 x - 7)$

Exercice 12 ★★★★ — Calcul mental astucieux

Factoriser avec l'égalité a² − b² = (a+b)(a−b)Démontrer avec le calcul littéral (programmes de calcul)

L'égalité $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ permet de calculer certains produits de tête.

Calculer astucieusement, sans calculatrice, les produits suivants. Indication : écrire chaque facteur comme une somme ou une différence de deux nombres bien choisis.

a. $101 \times 99$

b. $102 \times 98$

c. $1005 \times 995$
Calculer astucieusement, sans calculatrice, en commençant par factoriser :

a. $53^{2} - 47^{2}$

b. $78^{2} - 22^{2}$
Expliquer pourquoi cette méthode fonctionne pour tout produit de la forme $(n + 1) (n - 1)$ .

Exercice 13 ★★★★ — Programmes de calcul

Démontrer avec le calcul littéral (programmes de calcul)Développer avec la double distributivité

On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A

Choisir un nombre.
Lui ajouter $2$ .
Multiplier le résultat par le nombre de départ augmenté de $6$ .

Programme B

Choisir un nombre.
Le multiplier par lui-même.
Ajouter $8$ fois le nombre de départ.
Ajouter $12$ .

Tester les deux programmes avec le nombre $5$ , puis avec le nombre $- 1$ .
Que peut-on conjecturer ?
Démontrer cette conjecture. On appellera $x$ le nombre choisi au départ.

Exercice 14 ★★★★ — Démontrer avec les lettres

Démontrer avec le calcul littéral (programmes de calcul)

Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$ . On appellera $n$ le premier de ces trois entiers.
Démontrer que la somme de deux nombres impairs est toujours un nombre pair. Rappel : un nombre impair peut s'écrire $2 k + 1$ , où $k$ est un entier. Attention : les deux nombres impairs n'ont aucune raison d'être égaux, il faut donc les écrire avec deux lettres différentes, par exemple $2 k + 1$ et $2 p + 1$ .
Démontrer que le carré d'un nombre impair est toujours un nombre impair. On pourra écrire $(2 k + 1)^{2} = (2 k + 1) (2 k + 1)$ et développer ce produit.

Exercice 15 ★★★★ — Aire d'une figure composée

Développer avec la distributivité simple k(a+b)Développer avec la double distributivitéRéduire une expression littérale

Figure en L : rectangle de longueur 4x+3 et de largeur 2x, amputé d'un carré de côté x dans le coin supérieur droit

Exprimer l'aire de la figure en fonction de $x$ , sous forme développée et réduite.
Les longueurs sont exprimées en centimètres. Calculer cette aire pour $x = 5$ .
Exprimer le périmètre de la figure en fonction de $x$ , puis montrer qu'il est égal au périmètre du rectangle entier (avant découpage).

Exercice 16 ★★★★ — Défi : le nombre deviné

Démontrer avec le calcul littéral (programmes de calcul)Développer avec la double distributivité

Un magicien propose le tour suivant :

« Pense à un nombre. Ajoute-lui $3$ . Multiplie le résultat par lui-même. Soustrais le carré du nombre de départ. Soustrais $9$ . Divise par $6$ : je devine que tu retrouves ton nombre de départ ! »

Tester le tour avec le nombre $4$ , puis avec le nombre $- 2$ .
Démontrer que le tour fonctionne pour tout nombre $x$ choisi au départ.
Question ouverte. Modifier le tour pour que le magicien retrouve cette fois le double du nombre de départ. Proposer une modification possible et vérifier qu'elle fonctionne.

Les exercices(PDF, 54 Ko)Les corrigés(PDF, 93 Ko)

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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