3ᵉ · Chapitre 02 · Nombres et calculs

Calcul numérique : rationnels, racines, puissances

Rationnels en résolution de problèmes, racines carrées, puissances d'exposants négatifs, notation scientifique.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Rationnels en résolution de problèmes
Racines carrées
Puissances d'exposants négatifs
Notation scientifique

Combien pèse la Terre ? Quelle est la taille d'un virus ? À quelle hauteur remonte une balle après trois rebonds ? Pour répondre à ces questions, il faut savoir calculer avec tous les types de nombres : les fractions, les racines carrées et les puissances. Ce chapitre rassemble tout le calcul numérique de la 3e : c'est une boîte à outils que tu utiliseras dans tous les autres chapitres, et que le brevet teste chaque année. Objectif : zéro hésitation sur ces techniques.

Calculer avec les fractions

Tu calcules avec des fractions depuis la 5e. En 3e, il n'y a pas de nouvelle règle à apprendre : il y a des méthodes à maîtriser parfaitement, car elles tombent au brevet sous toutes les formes. Et grâce au chapitre précédent, tu sais maintenant rendre n'importe quel résultat irréductible.

Définition

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient d'un nombre entier par un nombre entier non nul, c'est-à-dire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$ (avec $b$ différent de $0$ ), éventuellement précédée d'un signe.

Par exemple $\frac{3}{7}$ , $- \frac{5}{2}$ , mais aussi $4 = \frac{4}{1}$ et $0,31 = \frac{31}{100}$ sont des nombres rationnels.

Pour les fractions de nombres relatifs, retiens d'abord la règle du signe : un signe « moins » peut se placer au numérateur, au dénominateur ou devant la fraction, cela ne change pas le nombre.

Propriété

Pour tous nombres $a$ et $b$ avec $b$ différent de $0$ :

\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

En pratique, on écrit toujours le signe devant la fraction, avec un numérateur et un dénominateur positifs.

Somme et différence

Propriété

Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs, et on garde le dénominateur :

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} et \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

Attention au piège classique : on n'additionne jamais les dénominateurs. La somme $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ne vaut pas $\frac{2}{5}$ (qui est plus petit que $\frac{1}{2}$ , ce qui serait absurde pour une somme de deux nombres positifs).

Méthode

Additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs quelconques.

On cherche un dénominateur commun : un multiple commun aux deux dénominateurs, le plus petit possible.
On met chaque fraction au dénominateur commun (on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre).
On additionne ou on soustrait les numérateurs.
On donne le résultat sous forme irréductible.

Exemple

Calculer $A = \frac{5}{6} + \frac{3}{4}$ .

Les multiples de $6$ sont $6$ , $12$ , $18$ … et ceux de $4$ sont $4$ , $8$ , $12$ … Le plus petit dénominateur commun est $12$ .

A = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}

Calculer $B = \frac{2}{3} - \frac{7}{5}$ .

Le plus petit dénominateur commun à $3$ et $5$ est $15$ .

B = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} - \frac{7 \times 3}{5 \times 3} = \frac{10}{15} - \frac{21}{15} = \frac{10 - 21}{15} = - \frac{11}{15}

Le résultat est négatif : rien d'étonnant, on soustrait à $\frac{2}{3}$ un nombre plus grand que lui.

Produit

Le produit est l'opération la plus simple : pas besoin de dénominateur commun.

Propriété

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

Méthode

Simplifier avant de multiplier.

Avant d'effectuer les produits, on décompose les numérateurs et les dénominateurs en facteurs (au besoin en facteurs premiers, comme au chapitre précédent), et on barre les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Les calculs deviennent plus simples et le résultat sort directement irréductible.

Exemple

Calculer $C = \frac{14}{15} \times \frac{25}{21}$ .

Surtout, on ne calcule pas $14 \times 25$ ! On décompose d'abord :

C = \frac{14 \times 25}{15 \times 21} = \frac{2 \times 7 \times 5 \times 5}{3 \times 5 \times 3 \times 7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 3} = \frac{10}{9}

Les facteurs $7$ et $5$ , présents en haut et en bas, ont été barrés : le résultat est irréductible sans aucun gros calcul.

Avec des nombres relatifs, on applique la règle des signes habituelle : le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. Par exemple $- \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = - \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = - \frac{6}{20} = - \frac{3}{10}$ .

Quotient : diviser, c'est multiplier par l'inverse

Définition

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit vaut $1$ .

L'inverse d'un nombre $a$ non nul est $\frac{1}{a}$ . L'inverse de la fraction $\frac{a}{b}$ (avec $a$ et $b$ non nuls) est la fraction retournée $\frac{b}{a}$ .

Exemple

L'inverse de $\frac{3}{4}$ est $\frac{4}{3}$ , car $\frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{12}{12} = 1$ .

L'inverse de $5$ est $\frac{1}{5}$ , et l'inverse de $\frac{1}{8}$ est $8$ .

Propriété

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Méthode

Diviser deux fractions.

On garde la première fraction.
On remplace la division par une multiplication, et la deuxième fraction par son inverse.
On termine comme un produit : on simplifie avant de multiplier.

Exemple

Calculer $D = \frac{3}{4} \div \frac{5}{7}$ .

D = \frac{3}{4} \times \frac{7}{5} = \frac{3 \times 7}{4 \times 5} = \frac{21}{20}

Calculer $E = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}$ .

La grande barre de fraction est une division : $E = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}$ .

E = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2 \times 2 \times 3}{3 \times 5} = \frac{4}{5}

Enchaînements de calculs : les priorités

Au brevet, les fractions arrivent rarement seules : elles s'enchaînent dans des expressions à plusieurs opérations. Les priorités opératoires que tu connais restent les mêmes.

Propriété

Dans un calcul, on effectue dans l'ordre :

les calculs entre parenthèses ;
les puissances ;
les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
les additions et soustractions, de gauche à droite.

Une barre de fraction agit comme des parenthèses : on calcule complètement le numérateur et le dénominateur avant de s'occuper du quotient.

Exemple

Calculer $F = \frac{2}{3} + \frac{5}{3} \times \frac{1}{10}$ .

La multiplication est prioritaire sur l'addition :

F = \frac{2}{3} + \frac{5 \times 1}{3 \times 10} = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Calculer $G = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \div \frac{7}{6}$ .

On commence par la parenthèse : $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$ . Puis on divise en multipliant par l'inverse :

G = \frac{1}{6} \times \frac{6}{7} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}

Résoudre des problèmes avec des nombres rationnels

Les fractions ne servent pas qu'à faire des exercices de calcul : elles décrivent des situations concrètes, et le brevet adore les mettre en scène. Toute la difficulté tient dans une seule traduction à connaître.

Propriété

Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier la fraction par cette quantité.

Prendre une fraction d'une fraction (« les trois quarts des deux tiers de… »), c'est multiplier les fractions entre elles : le mot « de » se traduit par le signe $\times$ .

Exemple

Les deux tiers des $27$ élèves d'une classe ont eu la moyenne au dernier contrôle. Combien d'élèves cela représente-t-il ?

\frac{2}{3} \times 27 = \frac{2 \times 27}{3} = 2 \times 9 = 18

Cela représente $18$ élèves.

Dans un collège, les deux tiers des élèves sont demi-pensionnaires, et les trois quarts des demi-pensionnaires prennent le bus. Quelle fraction des élèves du collège prend le bus après avoir mangé à la cantine ?

Il s'agit des trois quarts des deux tiers du total :

\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

La moitié des élèves du collège est concernée.

Méthode

Rédiger un problème avec des rationnels, façon brevet.

On identifie la quantité de départ (une hauteur, un prix, un effectif…).
On traduit chaque étape de l'énoncé par une multiplication par une fraction.
On effectue le calcul en simplifiant au maximum avant de multiplier.
On conclut par une phrase qui répond à la question, avec l'unité.

Exemple

Problème type brevet. Une balle est lâchée d'une hauteur de $3,20$ m. À chaque rebond, elle remonte aux trois quarts de la hauteur atteinte précédemment.

1. À quelle hauteur remonte-t-elle après le premier rebond ?

Prendre les trois quarts de $3,20$ m, c'est multiplier :

\frac{3}{4} \times 3,20 = \frac{3 \times 3,20}{4} = \frac{9,60}{4} = 2,40

Après le premier rebond, la balle remonte à $2,40$ m.

2. À quelle hauteur remonte-t-elle après le troisième rebond ?

À chaque rebond, la hauteur est multipliée par $\frac{3}{4}$ . Après trois rebonds, la hauteur de départ a donc été multipliée trois fois de suite par $\frac{3}{4}$ :

\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{64}

La hauteur atteinte est $\frac{27}{64} \times 3,20 = \frac{86,4}{64} = 1,35$ . Après le troisième rebond, la balle remonte à $1,35$ m.

Remarque la puissance de la méthode : plutôt que de calculer rebond après rebond, on a résumé les trois rebonds en une seule fraction, $\frac{27}{64}$ . C'est exactement le genre de raisonnement que le brevet valorise.

La racine carrée d'un nombre positif

Changeons d'outil. Tu sais depuis longtemps calculer le carré d'un nombre : $7^{2} = 49$ . La question inverse est tout aussi naturelle : quel nombre positif a pour carré $49$ ? C'est la question à laquelle répond la racine carrée.

Définition

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Les carrés des entiers de $1$ à $12$ sont à connaître par cœur :

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$n^{2}$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$

$n$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$n^{2}$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

Définition

La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ . On la note $\sqrt{a}$ .

Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : aucun carré n'est négatif.

Ainsi $\sqrt{49} = 7$ , car $7^{2} = 49$ et $7$ est positif. La définition se traduit directement par deux égalités à connaître.

Propriété

Pour tout nombre positif $a$ :

{(\sqrt{a})}^{2} = a et \sqrt{a^{2}} = a

Exemple

Grâce au tableau des carrés parfaits et à la propriété ci-dessus, on lit directement :

a. $\sqrt{81} = 9$

b. $\sqrt{121} = 11$

c. $\sqrt{144} = 12$

d. ${(\sqrt{5})}^{2} = 5$

e. $\sqrt{13^{2}} = 13$

f. $\sqrt{2,25} = 1,5$ car ${1,5}^{2} = 2,25$

Mais que vaut $\sqrt{17}$ ? Ce n'est pas un entier : $4^{2} = 16$ est trop petit et $5^{2} = 25$ est trop grand, donc $\sqrt{17}$ est compris entre $4$ et $5$ . La calculatrice affiche $\sqrt{17} \approx 4,1231056 \dots$ et les décimales ne s'arrêtent jamais : ce nombre n'a pas d'écriture décimale exacte. La calculatrice n'en donne qu'une valeur approchée.

Méthode

Valeur exacte ou valeur approchée ?

Si le nombre sous la racine est un carré parfait, la racine carrée est un entier : on écrit le résultat avec le signe $=$ . Exemple : $\sqrt{64} = 8$ .
Sinon, l'écriture $\sqrt{a}$ est elle-même la valeur exacte : quand l'énoncé demande une valeur exacte, on la laisse telle quelle.
Quand l'énoncé demande un arrondi, on utilise la calculatrice et on écrit le résultat avec le symbole $\approx$ , jamais avec $=$ .

Exemple

Donner la valeur exacte de $\sqrt{17}$ , puis son arrondi au centième.

$17$ n'est pas un carré parfait : la valeur exacte est $\sqrt{17}$ , tout simplement. À la calculatrice, $\sqrt{17} \approx 4,12$ au centième près.

Écrire $\sqrt{17} = 4,12$ serait faux : ${4,12}^{2} = 16,9744$ , et non $17$ .

La racine carrée a une interprétation géométrique très concrète : c'est le côté d'un carré dont on connaît l'aire. En effet, un carré de côté $c$ a pour aire $c^{2}$ ; retrouver le côté à partir de l'aire, c'est exactement chercher le nombre positif dont le carré vaut l'aire.

Exemple

Un carré a une aire de $17 {cm}^{2}$ . Quelle est la longueur de son côté ?

Le côté est le nombre positif dont le carré vaut $17$ : par définition de la racine carrée, il mesure exactement $\sqrt{17}$ cm, soit environ $4,1$ cm.

Autre terrain de jeu naturel de la racine carrée : le théorème de Pythagore, que tu utilises depuis la 4e. Il fournit le carré d'une longueur ; la racine carrée permet d'en déduire la longueur elle-même.

Exemple

Le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , avec $A B = 5$ cm et $A C = 7$ cm. Calculer $B C$ , en valeur exacte puis arrondie au millimètre.

D'après le théorème de Pythagore :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 5^{2} + 7^{2} = 25 + 49 = 74

La longueur $B C$ est donc un nombre positif dont le carré vaut $74$ : par définition, $B C = \sqrt{74}$ cm. C'est la valeur exacte. À la calculatrice, $B C \approx 8,6$ cm au millimètre près.

Puissances d'un nombre : exposants positifs et négatifs

Tu as déjà croisé les puissances en 4e, et le chapitre précédent les utilisait dans les décompositions en facteurs premiers. Il est temps de poser proprement les définitions, et de les étendre aux exposants négatifs.

Définition

Soit $a$ un nombre et $n$ un nombre entier supérieur ou égal à $2$ . La puissance $a^{n}$ (lire « $a$ exposant $n$ ») est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ :

a^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}}

On complète cette définition par deux conventions : $a^{1} = a$ et, pour $a$ non nul, $a^{0} = 1$ .

Les cas $n = 2$ et $n = 3$ portent des noms que tu connais : $a^{2}$ se lit « $a$ au carré » et $a^{3}$ « $a$ au cube ».

Exemple

a. $2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

b. $(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$

c. $- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9$

d. ${0,2}^{3} = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,008$

e. ${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

f. $7^{1} = 7$ et $7^{0} = 1$

Compare bien les items b. et c. : dans $(- 3)^{2}$ , la parenthèse indique que c'est le nombre $- 3$ tout entier qui est élevé au carré ; dans $- 3^{2}$ , la puissance est prioritaire, on calcule $3^{2}$ puis on prend l'opposé. Plus généralement, une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair : $(- 2)^{4} = 16$ mais $(- 2)^{3} = - 8$ .

Définition

Soit $a$ un nombre non nul et $n$ un nombre entier positif. On définit la puissance d'exposant négatif $a^{- n}$ comme l'inverse de $a^{n}$ :

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

En particulier, $a^{- 1} = \frac{1}{a}$ : c'est l'inverse de $a$ , déjà rencontré avec les fractions.

Exemple

a. $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$

b. $5^{- 1} = \frac{1}{5}$

c. $10^{- 2} = \frac{1}{100} = 0,01$

d. $4^{- 2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}$

e. $(- 3)^{- 2} = \frac{1}{(- 3)^{2}} = \frac{1}{9}$

f. ${(\frac{2}{3})}^{- 1} = \frac{3}{2}$

Un point important : contrairement à ce que le signe « moins » pourrait laisser croire, $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ est un nombre positif. L'exposant négatif signale un inverse, pas un nombre négatif.

Comment calculer un produit ou un quotient de puissances ? En 3e, pas de formule à apprendre par cœur : on revient à la définition, et tout se retrouve en comptant les facteurs.

Méthode

Calculer un produit ou un quotient de puissances en revenant à la définition.

On écrit chaque puissance comme un produit de facteurs.
Pour un produit, on compte le nombre total de facteurs ; pour un quotient, on barre les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, comme pour une fraction.
On réécrit le résultat sous forme d'une puissance.

Exemple

Écrire $2^{5} \times 2^{3}$ sous la forme d'une seule puissance.

2^{5} \times 2^{3} = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2)

On compte $5 + 3 = 8$ facteurs égaux à $2$ : donc $2^{5} \times 2^{3} = 2^{8}$ .

Écrire $\frac{7^{6}}{7^{2}}$ sous la forme d'une seule puissance.

\frac{7^{6}}{7^{2}} = \frac{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7}{7 \times 7} = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^{4}

On a barré deux facteurs $7$ en haut et en bas : il en reste $6 - 2 = 4$ .

Ce retour à la définition évite les confusions. Par exemple, $2^{3} + 2^{4}$ ne se simplifie pas en une puissance de $2$ : c'est $8 + 16 = 24$ , qui n'est pas une puissance de $2$ . Et $3^{2} \times 5^{3}$ ne se regroupe pas non plus : les bases sont différentes, on calcule chaque puissance, $9 \times 125 = 1 125$ .

Les puissances de 10

Les puissances de $10$ sont les plus utiles de toutes : elles portent l'écriture décimale et préparent la notation scientifique.

Propriété

Pour tout entier positif $n$ :

$10^{n}$ s'écrit $1$ suivi de $n$ zéros : $10^{3} = 1 000$ , $10^{6} = 1 000 000$ ;
$10^{- n} = \frac{1}{10^{n}}$ s'écrit avec $n$ chiffres après la virgule, le dernier étant un $1$ : $10^{- 3} = \frac{1}{1 000} = 0,001$ .

Pour les puissances de $10$ , les calculs de produits et de quotients reviennent si souvent qu'on retient les résultats usuels suivants.

Propriété

Pour tous nombres entiers relatifs $n$ et $p$ :

10^{n} \times 10^{p} = 10^{n + p} \frac{10^{n}}{10^{p}} = 10^{n - p} {(10^{n})}^{p} = 10^{n \times p}

Ces résultats ne tombent pas du ciel : ils se retrouvent avec la définition, exactement comme ci-dessus. Par exemple, $10^{2} \times 10^{3}$ , c'est $2$ zéros suivis de $3$ zéros, soit $100 \times 1 000 = 100 000 = 10^{5}$ : on retrouve bien $10^{2 + 3}$ .

Exemple

Écrire $10^{4} \times 10^{- 6}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$ .

Avec le résultat usuel : $10^{4} \times 10^{- 6} = 10^{4 + (- 6)} = 10^{- 2}$ .

On peut le vérifier en revenant à la définition :

10^{4} \times 10^{- 6} = 10^{4} \times \frac{1}{10^{6}} = \frac{10 \times 10 \times 10 \times 10}{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10} = \frac{1}{10^{2}} = 10^{- 2}

La notation scientifique

La masse de la Terre vaut environ $5 970 000 000 000 000 000 000 000$ kg. Le diamètre d'un atome d'hydrogène vaut environ $0,000 000 000 1$ m. Ces écritures sont illisibles : impossible de les comparer ou même de les recopier sans erreur. Les puissances de $10$ offrent une écriture compacte et normalisée : la notation scientifique.

Définition

Un nombre décimal positif est écrit en notation scientifique lorsqu'il est sous la forme :

A \times 10^{n}

où $A$ est un nombre décimal vérifiant $1 \leq A < 10$ (un seul chiffre, non nul, avant la virgule) et $n$ est un nombre entier relatif.

Exemple

La masse de la Terre s'écrit $5,97 \times 10^{24}$ kg, et le diamètre de l'atome d'hydrogène $1 \times 10^{- 10}$ m.

En revanche, $34 \times 10^{5}$ et $0,8 \times 10^{- 3}$ ne sont pas des notations scientifiques : $34$ n'est pas strictement inférieur à $10$ , et $0,8$ n'est pas supérieur ou égal à $1$ .

Méthode

Écrire un nombre en notation scientifique.

On place la virgule juste après le premier chiffre non nul du nombre : cela donne $A$ .
On compte de combien de rangs la virgule a été déplacée : cela donne l'exposant $n$ , au signe près.
Pour un nombre supérieur ou égal à $10$ , l'exposant est positif ; pour un nombre strictement inférieur à $1$ , il est négatif.
On vérifie que $1 \leq A < 10$ et que le compte est bon en « dépliant » mentalement l'écriture obtenue.

Exemple

a. $7 300 000 = 7,3 \times 10^{6}$

b. $602 000 = 6,02 \times 10^{5}$

c. $0,000 45 = 4,5 \times 10^{- 4}$

d. $0,03 = 3 \times 10^{- 2}$

La notation scientifique rend les comparaisons immédiates : plus besoin de compter des zéros.

Méthode

Comparer deux nombres écrits en notation scientifique.

On compare d'abord les exposants : le nombre dont l'exposant est le plus grand est le plus grand.
Si les exposants sont égaux, on compare les nombres $A$ .

Exemple

Un cheveu a un diamètre d'environ $8 \times 10^{- 5}$ m, un globule rouge d'environ $7 \times 10^{- 6}$ m. Lequel est le plus gros ?

On compare les exposants : $- 5 > - 6$ , donc $8 \times 10^{- 5} > 7 \times 10^{- 6}$ . Le cheveu est plus épais que le globule rouge (environ $11$ fois, car $\frac{8 \times 10^{- 5}}{7 \times 10^{- 6}} \approx 11,4$ ).

La notation scientifique donne aussi accès aux ordres de grandeur : une valeur très arrondie, souvent réduite à une puissance de $10$ , qui suffit pour estimer un résultat ou vérifier la vraisemblance d'un calcul. Par exemple, une année compte $31 536 000$ secondes, soit environ $3 \times 10^{7}$ s : c'est l'ordre de grandeur à retenir. Si un calcul de durée annuelle te donne $10^{12}$ secondes, c'est le signal qu'une erreur s'est glissée quelque part.

Enfin, dans la vie courante et en sciences, les puissances de $10$ se cachent derrière les préfixes des unités, du nanomètre au gigaoctet.

Propriété

Préfixes du système international, de nano à giga :

Préfixe	Symbole	Signification	Exemple
giga	G	$10^{9}$	$1$ Go $= 10^{9}$ octets
méga	M	$10^{6}$	$1$ MW $= 10^{6}$ W
kilo	k	$10^{3}$	$1$ km $= 10^{3}$ m
milli	m	$10^{- 3}$	$1$ ms $= 10^{- 3}$ s
micro	$μ$	$10^{- 6}$	$1 μ m = 10^{- 6}$ m
nano	n	$10^{- 9}$	$1$ nm $= 10^{- 9}$ m

Tu connais aussi déjà centi ( $10^{- 2}$ , le centimètre) et déci ( $10^{- 1}$ , le décilitre), intercalés entre milli et l'unité.

Exemple

Un virus mesure $250$ nm. Exprimer sa taille en mètres, en notation scientifique.

250 nm = 250 \times 10^{- 9} m = 2,5 \times 10^{2} \times 10^{- 9} m = 2,5 \times 10^{- 7} m

Remarque le réflexe : $250 = 2,5 \times 10^{2}$ , puis on regroupe les puissances de $10$ avec le résultat usuel $10^{2} \times 10^{- 9} = 10^{- 7}$ .

Te voilà équipé de tout le calcul numérique de la 3e : des fractions maîtrisées jusqu'au résultat irréductible, la racine carrée pour remonter d'un carré ou d'une aire à une longueur, les puissances pour compacter les produits, et la notation scientifique pour dompter les nombres immenses ou minuscules. Ces outils reviendront dans tous les chapitres de l'année et dans presque tous les sujets de brevet : entraîne-toi jusqu'à ce qu'ils deviennent des réflexes.

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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