Devoir surveillé — Probabilités conditionnelles

Pour un concert, une salle de spectacle propose deux types de places : debout dans la fosse, ou assis en gradins. L'organisateur interroge les $250$ spectateurs présents ce soir-là. Une partie des résultats est regroupée dans le tableau ci-dessous.

On choisit au hasard un spectateur parmi les $250$ interrogés, chacun ayant la même probabilité d'être choisi. On note :

• $A$ l'événement « le spectateur a moins de $26$ ans » ;
• $B$ l'événement « le spectateur a une place dans la fosse ».

1. Recopier et compléter le tableau.
2. Calculer $P(A)$ et $P(A\cap B)$.
3. Calculer $P_A(B)$.
4. Calculer $P_B(A)$, puis interpréter ce résultat par une phrase.

Le service après-vente d'un magasin d'électroménager enregistre chaque appareil rapporté par un client. Une étude statistique portant sur l'ensemble des appareils rapportés montre que :

• $70\mathrm{\%}$ des appareils rapportés sont encore sous garantie ;
• lorsqu'un appareil est encore sous garantie, la réparation est gratuite dans $90\mathrm{\%}$ des cas ;
• lorsqu'un appareil n'est plus sous garantie, la réparation est gratuite (geste commercial) dans seulement $20\mathrm{\%}$ des cas.

On choisit au hasard un appareil rapporté au service après-vente. On note :

• $G$ l'événement « l'appareil est encore sous garantie » ;
• $R$ l'événement « la réparation est gratuite ».

1. Donner, à l'aide des notations de l'énoncé, les valeurs de $P(G)$, $P_G(R)$ et $P_{\bar{G}}(R)$, puis construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer $P(G\cap R)$ et interpréter ce résultat par une phrase.
3. Calculer $P(\bar{G}\cap R)$.
4. En déduire, à l'aide de la formule des probabilités totales, que $P(R)=\mathrm{0,69}$.
5. La réparation d'un appareil rapporté est gratuite. Quelle est la probabilité que cet appareil soit encore sous garantie ? On arrondira le résultat au centième, puis on l'interprétera par une phrase.

Une savonnerie artisanale fabrique ses savons dans trois ateliers. L'atelier de Nantes assure $45\mathrm{\%}$ de la production, celui d'Angers $35\mathrm{\%}$ et celui de Tours $20\mathrm{\%}$. Un contrôle de qualité révèle que :

• $2\mathrm{\%}$ des savons fabriqués à Nantes présentent un défaut d'emballage ;
• $4\mathrm{\%}$ des savons fabriqués à Angers présentent un défaut d'emballage ;
• $5\mathrm{\%}$ des savons fabriqués à Tours présentent un défaut d'emballage.

On prélève au hasard un savon dans la production totale de la savonnerie. On note $N$, $A$ et $T$ les événements « le savon provient de l'atelier de Nantes » (respectivement d'Angers, de Tours), et $D$ l'événement « le savon présente un défaut d'emballage ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer $P(N\cap D)$, $P(A\cap D)$ et $P(T\cap D)$, puis en déduire $P(D)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
3. Le savon prélevé présente un défaut d'emballage. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'atelier de Tours ? On arrondira le résultat au centième.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les quatre situations sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P(A)=\mathrm{0,5}$, $P(B)=\mathrm{0,4}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,2}$. Affirmation : « Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. »
2. On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P(A)=\mathrm{0,3}$, $P(B)=\mathrm{0,6}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,12}$. Affirmation : « $P_B(A)=\mathrm{0,4}$. »
3. On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P_A(B)=\mathrm{0,35}$. Affirmation : « $P_A(\bar{B})=\mathrm{0,65}$. »
4. On considère deux événements incompatibles $A$ et $B$ tels que $P(A)=\mathrm{0,3}$ et $P(B)=\mathrm{0,5}$. Affirmation : « Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. »