Statistiques à deux variables : ajustements

En première, vous avez appris à représenter une série statistique à deux variables par un nuage de points, à calculer son point moyen, puis à ajuster ce nuage par une droite : au jugé, par la droite de Mayer, ou en demandant à la calculatrice la droite des moindres carrés. Vous savez aussi utiliser cette droite pour estimer des valeurs inconnues. Ce chapitre de terminale consolide ces acquis, précise ce que signifie vraiment « la meilleure droite » (la somme des carrés des écarts), et introduit la vraie nouveauté de l'année : que faire quand le nuage n'est pas rectiligne ? La réponse du programme est élégante : on ne change pas de méthode, on change de variable.

Tout au long du chapitre, nous suivrons un fil rouge. Une salle d'escalade suit le nombre de ses abonnés depuis son ouverture. On note $x$ le rang de l'année et $y$ le nombre d'abonnés, en centaines :

Nuage de points et point moyen : ce qu'il faut savoir refaire

Commençons par remettre en place le vocabulaire de première, car tout le chapitre repose dessus.

Un nuage de points se regarde avant de se calculer : sa forme (allongée, courbée, dispersée) décide de la suite du travail. Attention à un piège classique : on ne relie jamais les points d'un nuage entre eux. Les segments qui joindraient les points n'ont aucun sens statistique ; c'est la droite d'ajustement, construite plus loin, qui résumera la tendance.

Remarquez que $G$ n'est en général pas un point du nuage : aucune année ne compte exactement $14$ centaines d'abonnés. $G$ est un point de référence, le « centre de gravité » du nuage, et il jouera un rôle clé dans la section suivante.

La méthode des moindres carrés

Le nuage de la salle d'escalade a une allure nettement rectiligne : les points semblent s'aligner le long d'une droite qui monte. Il est donc raisonnable de le résumer par une droite d'équation $y=ax+b$. Mais parmi toutes les droites possibles, laquelle choisir ? En première, vous répondiez « au jugé » ou avec la droite de Mayer. La méthode des moindres carrés donne une réponse précise à la question : quelle droite passe « au plus près » de tous les points à la fois ?

Pour mesurer si une droite passe près d'un point $M_i(x_i;y_i)$, on regarde l'écart vertical entre le point et la droite : la droite prédit la valeur $a{x}_i+b$, alors que la valeur observée est $y_i$. L'écart est donc $y_i-(a{x}_i+b)$. Certains écarts sont positifs (le point est au-dessus de la droite), d'autres négatifs (le point est en dessous) : si on les additionnait tels quels, ils pourraient se compenser et une très mauvaise droite pourrait afficher un total proche de zéro. Pour éviter cette compensation, on élève chaque écart au carré avant d'additionner : un carré est toujours positif, et il pénalise fortement les gros écarts.

Cette propriété fournit une vérification rapide et gratuite : après avoir recopié $a$ et $b$ depuis l'écran de la calculatrice, contrôlez que $a\bar{x}+b$ redonne bien $\bar{y}$. Si ce n'est pas le cas, c'est le signe d'une erreur de saisie ou de recopie.

Un mot sur les arrondis : gardez les valeurs de $a$ et $b$ affichées par la calculatrice pour effectuer les calculs, et n'arrondissez qu'au moment d'écrire le résultat final. Arrondir trop tôt, puis enchaîner les calculs avec les valeurs arrondies, dégrade la précision des estimations.

Interpoler, extrapoler, et garder l'esprit critique

Une fois la droite d'ajustement obtenue, on peut s'en servir pour estimer des valeurs que la série ne contient pas. Le vocabulaire distingue deux situations très différentes.

Une extrapolation doit toujours être accueillie avec prudence. Le modèle affine affirme que les abonnés augmentent d'environ $\mathrm{2,46}$ centaines chaque année, indéfiniment. Or rien ne garantit que la tendance observée sur six ans se poursuive : la salle a une capacité maximale, le marché local finit par saturer, un concurrent peut ouvrir. Plus on s'éloigne des données, moins la prévision est fiable : estimer l'année $8$ est plausible, estimer l'année $30$ n'aurait aucun sens (la droite prédirait plus de $79$ centaines d'abonnés, sans doute davantage que la ville ne compte d'habitants sportifs). Une prévision chiffrée ne vaut que confrontée au contexte réel.

Changement de variable : redresser un nuage qui n'est pas rectiligne

Beaucoup de phénomènes réels ne sont pas linéaires. La distance de freinage d'une voiture croît comme le carré de la vitesse ; le temps pour se partager un gâteau décroît comme l'inverse du nombre de convives ; une population de bactéries ou un capital placé à intérêts composés suivent une croissance exponentielle. Dans tous ces cas, le nuage $(x;y)$ est courbé, et y ajuster une droite serait un contresens : le modèle contredirait la forme même des données.

L'idée du programme de terminale est de ne pas abandonner la méthode, mais de changer de point de vue : si le nuage $(x;y)$ est courbé, peut-être qu'en remplaçant $x$ ou $y$ par une nouvelle variable bien choisie ($u=x^2$, $t={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $z=\log y$…), le nouveau nuage devient rectiligne. On « redresse » le nuage. On fait alors un ajustement affine sur les nouvelles variables, puis on revient aux variables d'origine.

Voici un second exemple, avec cette fois le changement de variable $z=\log y$, qui mobilise le logarithme décimal et les puissances vus dans les chapitres précédents.

Comment savoir quel changement de variable utiliser ? C'est le contexte qui guide : un phénomène lié à une aire suggère $u=x^2$, un phénomène de partage ou de dilution suggère $t={\displaystyle \frac{1}{x}}$, une évolution en pourcentage constant (doublement, croissance de $5\mathrm{\%}$ par an…) suggère $z=\log y$. Rassurez-vous : dans les exercices, le changement de variable sera toujours donné ou clairement suggéré par l'énoncé. Votre travail consiste à compléter le tableau, à vérifier la linéarité du nouveau nuage, à ajuster, puis à revenir soigneusement à la variable d'origine.

Automatiser : la somme des carrés des écarts en Python

La calculatrice trouve la droite des moindres carrés en une seconde, mais le programme demande de savoir automatiser soi-même le calcul de la somme des carrés des écarts $S$ pour une droite $y=ax+b$ donnée. Voici le script pour les données de la salle d'escalade :

xs = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
ys = [8, 11, 12, 15, 17, 21]

def S(a, b):
    s = 0
    for i in range(6):
        e = ys[i] - (a * xs[i] + b)
        s = s + e ** 2
    return s

Les listes xs et ys contiennent les données de la série. Pour chaque indice i de $0$ à $5$, la variable e calcule l'écart vertical entre le point et la droite, c'est-à-dire $y_i-(a{x}_i+b)$. La ligne s = s + e ** 2 élève cet écart au carré et l'ajoute à l'accumulateur s, qui vaut $0$ au départ. À la sortie de la boucle, s contient la somme des six carrés des écarts, que la fonction renvoie : ainsi S(2.5, 5) renvoie $\mathrm{2,75}$, la valeur calculée à la main dans la section précédente.

Ce script ouvre la voie à la recherche de la meilleure droite par balayage : on fait calculer $S(a;b)$ pour un grand nombre de couples candidats (par exemple tous les $a$ entre $0$ et $5$ par pas de $\mathrm{0,01}$ et tous les $b$ entre $0$ et $10$ par pas de $\mathrm{0,1}$) et on garde le couple qui donne la plus petite valeur de $S$. C'est exactement ce que fait la calculatrice pour trouver la droite des moindres carrés, avec des algorithmes beaucoup plus efficaces qu'un simple balayage.