Tale techno · Chapitre 06 · Statistique et probabilités

Probabilités conditionnelles

Conditionnement, indépendance, arbres pondérés, formule des probabilités totales.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Conditionnement
Indépendance
Arbres pondérés
Formule des probabilités totales

Vous avez découvert les probabilités conditionnelles en première : le conditionnement, les arbres pondérés, la formule des probabilités totales dans les cas simples. En terminale, ce chapitre consolide ces acquis et les pousse plus loin : partitions en trois événements, inversion du conditionnement, résolution de problèmes complets. L'enjeu est de taille, car un exercice de probabilités conditionnelles figure presque systématiquement dans les sujets de mathématiques du baccalauréat technologique, avec un arbre ou un tableau à construire puis à exploiter. Et au-delà de l'examen, ces outils servent partout dans vos filières : fiabilité d'un dépistage en santé, contrôle qualité d'une production, analyse d'une clientèle, gestion des retards dans les transports. Commençons par remettre en place les fondations.

Probabilité conditionnelle : définition et rappels

Toute la théorie du chapitre repose sur une seule idée : quand on dispose d'une information supplémentaire (« l'événement $A$ est réalisé »), on ne raisonne plus sur tout l'univers, mais seulement sur la partie où $A$ est réalisé. Les probabilités s'en trouvent modifiées.

Définition

Probabilité conditionnelle. Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers, avec $P (A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ , est définie par :

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

C'est la probabilité que $B$ se réalise, lorsque l'on sait déjà que $A$ est réalisé.

Trois points essentiels à retenir sur cette définition.

La condition $P (A) \neq 0$ est indispensable : on ne peut ni diviser par zéro, ni « savoir que $A$ est réalisé » si $A$ est impossible.
$P_{A} (B)$ est une probabilité comme les autres : c'est un nombre compris entre $0$ et $1$ , et la formule du contraire reste valable sachant $A$ :

P_{A} (\overline{B}) = 1 - P_{A} (B)

Ne confondez jamais $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ . Ce sont deux questions différentes : « parmi les cas où $A$ est réalisé, quelle proportion réalise $B$ ? » n'a rien à voir avec « parmi les cas où $B$ est réalisé, quelle proportion réalise $A$ ? ». Nous reviendrons longuement sur cette distinction dans la section consacrée à l'inversion du conditionnement.

Voyons comment cette définition fonctionne dans un tableau croisé d'effectifs, la situation la plus courante des exercices.

Exemple

Lire un tableau croisé. Un camping accueille $250$ clients cette semaine. Chacun séjourne soit en mobil-home, soit en emplacement tente, et participe ou non aux animations du soir. On note $A$ l'événement « le client séjourne en mobil-home » et $C$ l'événement « le client participe aux animations ». Le tableau des effectifs est le suivant.

	$C$ (animations)	$\overline{C}$ (pas d'animations)	Total
$A$ (mobil-home)	$90$	$60$	$150$
$\overline{A}$ (tente)	$30$	$70$	$100$
Total	$120$	$130$	$250$

On choisit un client au hasard parmi les $250$ (équiprobabilité).

Calcul de $P_{A} (C)$ avec la formule. On lit dans le tableau $P (A) = \frac{150}{250} = 0,6$ et $P (A \cap C) = \frac{90}{250} = 0,36$ , donc :

P_{A} (C) = \frac{P (A \cap C)}{P (A)} = \frac{0,36}{0,6} = 0,6

Calcul par restriction de l'univers. Sachant que le client séjourne en mobil-home, l'univers se restreint à la ligne de $A$ , qui contient $150$ personnes. Parmi elles, $90$ participent aux animations :

P_{A} (C) = \frac{90}{150} = 0,6

Les deux calculs coïncident, et c'est général : la formule ne fait que traduire la restriction de l'univers. Interprétation : $60 %$ des clients en mobil-home participent aux animations. On en déduit aussi $P_{A} (\overline{C}) = 1 - 0,6 = 0,4$ .

Et dans l'autre sens ? $P_{C} (A) = \frac{90}{120} = 0,75$ : parmi les participants aux animations, $75 %$ séjournent en mobil-home. On voit sur cet exemple que $P_{A} (C) = 0,6$ et $P_{C} (A) = 0,75$ sont bien deux nombres différents.

Méthode

Calculer $P_{A} (B)$ dans un tableau croisé d'effectifs.

Repérer la ligne (ou la colonne) de l'événement $A$ : c'est le nouvel univers, on ignore tout le reste du tableau.
Lire l'effectif de la case $A \cap B$ .
Diviser : $P_{A} (B) = \frac{effectif de A \cap B}{effectif de A}$ .

Piège du dénominateur. Pour $P (A \cap B)$ , on divise par l'effectif total du tableau ; pour $P_{A} (B)$ , on divise par le total de la ligne de $A$ . Dans l'exemple : $P (A \cap C) = \frac{90}{250} = 0,36$ alors que $P_{A} (C) = \frac{90}{150} = 0,6$ .

Construire un tableau croisé à partir d'un énoncé

Au bac, le tableau est rarement fourni : l'énoncé donne des pourcentages « en cascade » et c'est à vous de construire le tableau. Le bon réflexe consiste à choisir un effectif total commode, comme $1000$ , puis à traduire chaque pourcentage en effectif.

Méthode

Construire un tableau croisé d'effectifs à partir de pourcentages.

Nommer les événements (une lettre par événement, définie explicitement).
Choisir un effectif total commode ( $1000$ en général) : les probabilités ne dépendent pas de ce choix.
Remplir la première marge : les pourcentages donnés sans condition (sans « parmi » ni « sachant ») fournissent les totaux de lignes.
Remplir les cases intérieures : les pourcentages introduits par « parmi… », « chez… » sont des probabilités conditionnelles, à appliquer au total de la ligne concernée.
Compléter par différences (chaque ligne et chaque colonne doit être cohérente) et vérifier que la somme des totaux redonne l'effectif total.

Exemple

Du texte au tableau. Une plateforme de vidéo à la demande étudie ses abonnés. L'étude indique que $65 %$ des abonnés ont la formule standard, les autres la formule premium. Parmi les abonnés standard, $40 %$ regardent principalement sur un téléviseur ; parmi les abonnés premium, cette proportion monte à $80 %$ . On note $S$ l'événement « l'abonné a la formule standard » et $T$ l'événement « l'abonné regarde principalement sur un téléviseur ».

Prenons un effectif total de $1000$ abonnés. Les abonnés standard sont $0,65 \times 1000 = 650$ , donc les premium sont $1000 - 650 = 350$ . Parmi les $650$ standard, $0,40 \times 650 = 260$ regardent sur téléviseur (donc $650 - 260 = 390$ sur un autre écran). Parmi les $350$ premium, $0,80 \times 350 = 280$ regardent sur téléviseur (donc $70$ sur un autre écran). D'où le tableau :

	$T$ (téléviseur)	$\overline{T}$ (autre écran)	Total
$S$ (standard)	$260$	$390$	$650$
$\overline{S}$ (premium)	$280$	$70$	$350$
Total	$540$	$460$	$1000$

Vérification : $540 + 460 = 1000$ . Une fois le tableau construit, tout devient une lecture directe. Par exemple $P (T) = \frac{540}{1000} = 0,54$ ( $54 %$ des abonnés regardent principalement sur téléviseur), et $P_{T} (S) = \frac{260}{540} \approx 0,48$ : moins de la moitié des « spectateurs téléviseur » sont des abonnés standard, alors qu'ils représentent $65 %$ de la clientèle.

Remarquez que les pourcentages « parmi les abonnés standard, $40 %$ … » de l'énoncé sont des probabilités conditionnelles : $P_{S} (T) = 0,4$ et $P_{\overline{S}} (T) = 0,8$ . Repérer les mots « parmi », « sachant que », « chez les… » est le premier réflexe de traduction.

Arbres pondérés et probabilités composées

Quand l'expérience se déroule en deux étapes, l'arbre pondéré traduit l'énoncé branche par branche. Rappelons sa structure sur le cas le plus courant : un premier niveau avec $A$ et $\overline{A}$ , un second niveau avec $B$ et $\overline{B}$ . Point capital : les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles, car on y suppose le premier événement déjà réalisé.

Arbre pondéré générique à deux niveaux

Propriété

Règles des arbres pondérés.

Règle des nœuds. La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut $1$ : au premier niveau, $P (A) + P (\overline{A}) = 1$ ; après $A$ , $P_{A} (B) + P_{A} (\overline{B}) = 1$ .
Règle des chemins. La probabilité de l'intersection des événements rencontrés le long d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches. Pour le chemin qui passe par $A$ puis $B$ :

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

Cette égalité est la formule des probabilités composées. Elle découle de la définition : en multipliant les deux membres de $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ par $P (A)$ , on obtient bien $P (A) \times P_{A} (B) = P (A \cap B)$ .

Mettons ces règles en œuvre sur un exemple de production industrielle, que nous allons suivre jusqu'à l'inversion du conditionnement.

Exemple

Exemple filé : les deux ateliers. Une entreprise fabrique des pièces dans deux ateliers. L'atelier 1 produit $55 %$ des pièces et l'atelier 2 en produit $45 %$ . Le service qualité a mesuré que $4 %$ des pièces de l'atelier 1 sont défectueuses, contre $6 %$ de celles de l'atelier 2. On prélève une pièce au hasard dans la production et on note $A_{1}$ l'événement « la pièce vient de l'atelier 1 », $A_{2}$ l'événement « la pièce vient de l'atelier 2 » (c'est le contraire de $A_{1}$ ) et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

L'énoncé se traduit par $P (A_{1}) = 0,55$ , $P (A_{2}) = 0,45$ , puis $P_{A_{1}} (D) = 0,04$ et $P_{A_{2}} (D) = 0,06$ : les taux de défaut sont donnés atelier par atelier, ce sont des probabilités conditionnelles.

La règle des nœuds permet de compléter l'arbre : $P_{A_{1}} (\overline{D}) = 1 - 0,04 = 0,96$ et $P_{A_{2}} (\overline{D}) = 1 - 0,06 = 0,94$ . La règle des chemins donne alors la probabilité que la pièce vienne de l'atelier 1 et soit défectueuse :

P (A_{1} \cap D) = P (A_{1}) \times P_{A_{1}} (D) = 0,55 \times 0,04 = 0,022

De même pour l'atelier 2 :

P (A_{2} \cap D) = P (A_{2}) \times P_{A_{2}} (D) = 0,45 \times 0,06 = 0,027

Interprétation : $2,2 %$ des pièces de l'entreprise viennent de l'atelier 1 et sont défectueuses, $2,7 %$ viennent de l'atelier 2 et sont défectueuses. Bien qu'il produise moins de pièces, l'atelier 2 fournit davantage de pièces défectueuses, car son taux de défaut est plus élevé.

La formule des probabilités totales

Restons dans l'entreprise : quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse, tous ateliers confondus ? L'idée est simple. Les événements $A_{1}$ et $A_{2}$ forment une partition de l'univers : toute pièce vient de l'un ou l'autre atelier, jamais des deux. L'événement $D$ se découpe donc en deux morceaux qui ne se chevauchent pas, et il suffit d'additionner leurs probabilités.

Propriété

Formule des probabilités totales (partition ${A, \overline{A}}$ ). Soit $A$ un événement tel que $P (A) \neq 0$ et $P (\overline{A}) \neq 0$ . Pour tout événement $B$ :

P (B) = P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) + P (\overline{A}) \times P_{\overline{A}} (B)

Lecture sur l'arbre : on repère tous les chemins qui mènent à $B$ , on calcule le produit le long de chacun, puis on additionne les résultats.

Appliquons-la à l'exemple filé. Deux chemins mènent à $D$ (par $A_{1}$ ou par $A_{2}$ ), et nous avons déjà calculé leurs probabilités :

P (D) = P (A_{1} \cap D) + P (A_{2} \cap D) = 0,022 + 0,027 = 0,049

Au total, $4,9 %$ des pièces de l'entreprise sont défectueuses. Deux vérifications rapides valident le résultat : $P (D) = 0,049$ est bien compris entre les deux taux par atelier ( $0,04$ et $0,06$ ), et la somme des probabilités des quatre chemins de l'arbre vaut $1$ : $0,022 + 0,528 + 0,027 + 0,423 = 1$ .

La nouveauté de terminale : la formule s'étend sans difficulté à une partition en trois événements, situation fréquente au bac (trois usines, trois fournisseurs, trois tranches d'âge…).

Propriété

Formule des probabilités totales (partition en trois événements). Soit $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ trois événements de probabilités non nulles formant une partition de l'univers (tout résultat réalise exactement l'un des trois). Pour tout événement $B$ :

P (B) = P (A_{1} \cap B) + P (A_{2} \cap B) + P (A_{3} \cap B) = P (A_{1}) \times P_{A_{1}} (B) + P (A_{2}) \times P_{A_{2}} (B) + P (A_{3}) \times P_{A_{3}} (B)

Sur l'arbre, le premier niveau comporte simplement trois branches au lieu de deux ; la lecture reste identique : un chemin par branche, un produit par chemin, puis la somme.

Exemple

Partition en trois événements : les trois dépôts. Une entreprise de transport livre ses colis depuis trois dépôts. Le dépôt $D_{1}$ assure $50 %$ des livraisons, le dépôt $D_{2}$ en assure $30 %$ et le dépôt $D_{3}$ les $20 %$ restants. Les taux de livraisons en retard sont respectivement de $6 %$ pour $D_{1}$ , $10 %$ pour $D_{2}$ et $15 %$ pour $D_{3}$ . On choisit une livraison au hasard et on note $R$ l'événement « la livraison est en retard ».

L'énoncé donne $P (D_{1}) = 0,5$ , $P (D_{2}) = 0,3$ , $P (D_{3}) = 0,2$ , et les conditionnelles $P_{D_{1}} (R) = 0,06$ , $P_{D_{2}} (R) = 0,10$ , $P_{D_{3}} (R) = 0,15$ . Les trois dépôts forment une partition : toute livraison part d'exactement un dépôt.

Trois chemins mènent à $R$ , donc :

P (R) = 0,5 \times 0,06 + 0,3 \times 0,10 + 0,2 \times 0,15 = 0,03 + 0,03 + 0,03 = 0,09

Au total, $9 %$ des livraisons de l'entreprise arrivent en retard. Remarquez la coïncidence instructive : chaque dépôt contribue pour exactement $0,03$ aux retards. Le dépôt $D_{3}$ , qui n'assure qu'une livraison sur cinq, génère autant de retards que $D_{1}$ qui en assure une sur deux : son taux de retard élevé compense son faible volume.

Inverser le conditionnement

Voici la situation type des questions finales du bac. L'arbre « va dans un sens » : on connaît les probabilités conditionnelles sachant le premier niveau (le taux de défaut de chaque atelier, le taux de retard de chaque dépôt). Mais la question inverse le point de vue : sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'atelier 1 ? Il faut « remonter l'arbre », et aucune branche ne porte cette probabilité. La solution : revenir à la définition.

Méthode

Calculer $P_{B} (A)$ quand l'arbre donne les conditionnelles sachant $A$ (remonter l'arbre).

Calculer $P (A \cap B)$ avec la règle des chemins : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .
Calculer $P (B)$ avec la formule des probabilités totales (somme de tous les chemins qui mènent à $B$ ).
Appliquer la définition :

P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Vérifier la cohérence : le résultat doit être compris entre $0$ et $1$ , et les $P_{B} (A_{i})$ sur tous les morceaux de la partition doivent avoir pour somme $1$ .

Exemple

Retour aux ateliers. Le service qualité récupère une pièce défectueuse et veut savoir de quel atelier elle provient. Autrement dit, on cherche $P_{D} (A_{1})$ , la probabilité que la pièce vienne de l'atelier 1 sachant qu'elle est défectueuse.

Nous avons déjà tout calculé : $P (A_{1} \cap D) = 0,022$ et, par les probabilités totales, $P (D) = 0,049$ . La définition donne :

P_{D} (A_{1}) = \frac{P (A_{1} \cap D)}{P (D)} = \frac{0,022}{0,049} \approx 0,449

Et pour l'atelier 2 : $P_{D} (A_{2}) = \frac{0,027}{0,049} \approx 0,551$ . Vérification : $0,449 + 0,551 = 1$ , une pièce défectueuse vient forcément de l'un des deux ateliers.

Interprétation. Bien que l'atelier 1 produise $55 %$ des pièces, il n'est responsable « que » d'environ $45 %$ des pièces défectueuses : son taux de défaut plus faible fait plus que compenser son volume de production. C'est exactement le type de conclusion qu'une question de bac demande de rédiger.

Mise en garde essentielle. Ne confondez pas $P_{A_{1}} (D) = 0,04$ (parmi les pièces de l'atelier 1, $4 %$ sont défectueuses) et $P_{D} (A_{1}) \approx 0,449$ (parmi les pièces défectueuses, environ $44,9 %$ viennent de l'atelier 1). Les deux nombres n'ont ni la même valeur, ni le même sens : avant tout calcul, identifiez lequel des deux événements est le « sachant ». La même démarche s'applique avec une partition en trois : dans l'exemple des dépôts, $P_{R} (D_{3}) = \frac{0,03}{0,09} = \frac{1}{3} \approx 0,33$ ; le dépôt $D_{3}$ est à l'origine d'un tiers des retards alors qu'il n'assure que $20 %$ des livraisons.

Indépendance de deux événements

Dernière notion du chapitre, elle aussi vue en première : il arrive que l'information « $A$ est réalisé » ne change rien aux chances de $B$ . On dit alors que les événements sont indépendants.

Définition

Événements indépendants. Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants lorsque :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

Propriété

Caractérisation par le conditionnement. Soit $A$ un événement tel que $P (A) \neq 0$ . Alors :

A et B ind \overset{ˊ}{e} pendants ⟺ P_{A} (B) = P (B)

Interprétation : savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $B$ .

Démonstration. Si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ , alors $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{P (A) \times P (B)}{P (A)} = P (B)$ . Réciproquement, si $P_{A} (B) = P (B)$ , la formule des probabilités composées donne $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = P (A) \times P (B)$ .

Attention : indépendant ne veut pas dire incompatible ! Deux événements sont incompatibles quand ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c'est-à-dire quand $P (A \cap B) = 0$ . Si $P (A) \neq 0$ et $P (B) \neq 0$ , alors $P (A) \times P (B) \neq 0$ : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont donc jamais indépendants. C'est logique : si $A$ et $B$ sont incompatibles, savoir que $A$ est réalisé change radicalement les chances de $B$ , qui devient impossible.

Exemple

Tester l'indépendance dans un tableau. Une pharmacie a analysé les tickets de caisse de $400$ clients. On note $M$ l'événement « le client a acheté un médicament sur ordonnance » et $B$ l'événement « le client a acheté un produit de parapharmacie ».

	$B$ (parapharmacie)	$\overline{B}$ (pas de parapharmacie)	Total
$M$ (ordonnance)	$60$	$180$	$240$
$\overline{M}$ (sans ordonnance)	$40$	$120$	$160$
Total	$100$	$300$	$400$

On choisit un ticket au hasard. Calculons séparément les deux membres de la définition :

P (M \cap B) = \frac{60}{400} = 0,15 et P (M) \times P (B) = \frac{240}{400} \times \frac{100}{400} = 0,6 \times 0,25 = 0,15

Les deux résultats sont égaux : $M$ et $B$ sont indépendants. On le retrouve avec la caractérisation : $P_{M} (B) = \frac{60}{240} = 0,25 = P (B)$ . Savoir que le client a une ordonnance n'apprend rien sur son achat de parapharmacie.

Contre-exemple. Reprenons le camping du début du chapitre : $P (A \cap C) = 0,36$ alors que $P (A) \times P (C) = 0,6 \times \frac{120}{250} = 0,6 \times 0,48 = 0,288$ . Comme $0,36 \neq 0,288$ , les événements $A$ et $C$ ne sont pas indépendants : les clients en mobil-home participent davantage aux animations que la moyenne ( $P_{A} (C) = 0,6$ contre $P (C) = 0,48$ ).

Méthode

Montrer que deux événements sont (ou ne sont pas) indépendants.

Calculer séparément $P (A \cap B)$ d'une part, $P (A) \times P (B)$ d'autre part.
Comparer : s'ils sont égaux, $A$ et $B$ sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas. On peut de façon équivalente comparer $P_{A} (B)$ et $P (B)$ .
Rédiger la conclusion avec les valeurs calculées, et l'interpréter dans le contexte.
Ne jamais affirmer une indépendance « à l'intuition » : sans calcul ou sans indication explicite de l'énoncé, on ne peut pas conclure. Inversement, si l'énoncé donne l'indépendance, on peut remplacer directement $P (A \cap B)$ par $P (A) \times P (B)$ dans les calculs.

Ce qu'il faut retenir

Trois outils structurent tout le chapitre : la définition $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ , qui se lit aussi bien dans un tableau (restriction à la ligne du « sachant ») que sur un arbre (probabilités composées $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ ) ; la formule des probabilités totales, qui additionne les chemins d'une partition en deux ou trois événements ; et l'inversion du conditionnement, qui combine les deux pour remonter l'arbre. L'indépendance, enfin, se teste toujours par le calcul $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ . Ces réflexes seront réinvestis dès le chapitre sur la loi binomiale, où l'indépendance des répétitions joue le premier rôle.

Le cours en PDF(PDF, 92 Ko)

Bloqué sur « Probabilités conditionnelles » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver ma 1ʳᵉ heure offerte