Loi binomiale et variables aléatoires discrètes

Dans une usine qui assemble des cartes électroniques, le service qualité a établi que $10\mathrm{\%}$ des cartes sortent de la chaîne avec un défaut de soudure. Chaque heure, un technicien prélève $6$ cartes et les teste une par une. Combien de cartes défectueuses va-t-il trouver ? Impossible de le prédire : parfois aucune, parfois une, parfois davantage. En revanche, on peut calculer la probabilité de chacun de ces résultats, et même le nombre moyen de cartes défectueuses que le technicien trouvera par prélèvement sur le long terme. L'outil qui répond à toutes ces questions s'appelle la loi binomiale : elle gouverne toutes les situations où l'on répète plusieurs fois la même expérience à deux issues et où l'on compte les succès. Contrôles qualité, sondages, jeux de hasard, taux de réponse d'un standard téléphonique : les exemples sont partout. Ce chapitre consolide d'abord vos acquis de première sur les variables aléatoires et l'espérance, puis construit la loi binomiale à partir des arbres que vous connaissez bien, introduit les coefficients binomiaux et le triangle de Pascal pour compter les chemins de ces arbres, et se termine par quelques scripts Python pour faire calculer la machine.

Variable aléatoire discrète : loi et espérance

Commençons par raviver les souvenirs de première. Lorsqu'une expérience aléatoire est réalisée, une variable aléatoire $X$ est une quantité qui associe un nombre à chaque issue de l'expérience : le gain d'un joueur, le nombre de clients satisfaits, le nombre de pannes dans la journée... Comme l'issue est aléatoire, la valeur prise par $X$ l'est aussi. Lorsque $X$ ne prend qu'un nombre limité de valeurs que l'on peut lister, on dit qu'elle est discrète : ce sont les seules variables aléatoires étudiées cette année. Donner la loi de probabilité de $X$, c'est donner toutes ses valeurs possibles $x_1,x_2,\dots ,x_k$ et, pour chacune, la probabilité $P(X=x_i)$, le tout présenté dans un tableau. Rappel essentiel : la somme des probabilités de la seconde ligne vaut toujours $1$, ce qui fournit une vérification automatique du tableau.

La loi de probabilité contient toute l'information sur $X$. Mais un seul nombre suffit souvent à résumer l'essentiel : autour de quelle valeur $X$ se situe-t-elle « en moyenne » ? Ce nombre est l'espérance, que vous avez rencontrée en première et que nous allons utiliser intensivement cette année.

Chaque valeur pèse dans la moyenne proportionnellement à sa probabilité : une valeur deux fois plus probable qu'une autre compte deux fois plus lourd. C'est ce qui distingue l'espérance d'une moyenne ordinaire. Mais que représente concrètement ce nombre ? La réponse tient en une phrase, et c'est elle qui donne tout son sens aux calculs de ce chapitre.

En pratique, le calcul se déroule toujours de la même façon, à partir du tableau de la loi. Voici la démarche complète, de l'énoncé jusqu'à la phrase de conclusion.

Appliquons cette méthode à un jeu de fête foraine, du début à la fin.

Vous maîtrisez maintenant l'outil général : loi en tableau, espérance, interprétation. Le reste du chapitre l'applique à une variable aléatoire particulière, la plus importante du programme, qui naît de la répétition d'épreuves de Bernoulli.

De la répétition d'épreuves à la loi binomiale

Souvenez-vous du schéma de Bernoulli vu en première. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$, de probabilité $p$, et l'échec $\bar{S}$, de probabilité $1-p$. Lorsqu'on répète $n$ fois cette épreuve, dans des conditions identiques et de façon indépendante (le résultat d'une épreuve n'influence pas les suivantes), on représente la situation par un arbre pondéré : à chaque niveau, une branche $S$ de poids $p$ et une branche $\bar{S}$ de poids $1-p$. La probabilité d'un chemin complet de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches.

Reprenons l'usine de l'introduction : tester une carte est une épreuve de Bernoulli, où l'on choisit comme succès « la carte est défectueuse », de probabilité $p=\mathrm{0,1}$. Comme en première, le « succès » n'est pas une bonne nouvelle : c'est un simple choix de modélisation, on appelle succès l'événement que l'on veut compter. Et justement, ce qui intéresse le technicien qui teste $6$ cartes, c'est le nombre de cartes défectueuses parmi les $6$ : un nombre qui dépend du hasard, donc une variable aléatoire. Cette variable porte un nom.

Deux nombres suffisent donc à décrire toute la situation : le nombre de répétitions $n$ et la probabilité de succès $p$. Dans l'exemple de l'usine, $X$ suit la loi $\mathcal{B}(6;\mathrm{0,1})$. Avant tout calcul, la première compétence attendue est de reconnaître qu'une situation relève de la loi binomiale, et d'identifier le couple $(n;p)$. Quatre points sont à vérifier, ni plus ni moins.

Entraînons-nous sur une situation de sondage, très fréquente dans les sujets.

À l'inverse, si l'on tirait sans remise dans un petit groupe (par exemple $20$ clients parmi les $35$ d'une seule journée), la probabilité de succès changerait à chaque tirage : les points 2 et 3 tomberaient, et la loi ne serait pas binomiale. D'où l'importance de vérifier les quatre points au lieu de conclure trop vite.

Visualisons maintenant la situation sur un arbre, pour $n=3$ épreuves.

Chaque chemin de la racine à une extrémité représente un scénario complet des trois épreuves, et l'arbre compte $2^3=8$ chemins. L'événement $\{X=k\}$ se lit directement sur l'arbre : il rassemble tous les chemins comportant exactement $k$ succès. Tant que $n⩽4$, on peut dessiner l'arbre complet et dénombrer ces chemins à la main ; au-delà, l'arbre devient vite indessinable ($2^{10}=1024$ chemins pour $n=10$ !), mais il reste une image mentale précieuse : toute la suite du chapitre consiste à raisonner sur ses chemins sans les dessiner.

Tout le calcul a reposé sur une seule information non évidente : il y a $3$ chemins réalisant exactement $2$ succès parmi $3$ épreuves. Pour $n=3$, on les liste à la main. Mais combien de chemins réalisent exactement $3$ succès parmi $8$ épreuves ? Les compter un par un dans un arbre à $256$ chemins serait un cauchemar. Il nous faut un outil de comptage : c'est l'objet de la section suivante.

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Le nombre de chemins réalisant exactement $k$ succès est si important qu'il reçoit une notation dédiée.

Certaines valeurs se lisent immédiatement sur l'image mentale de l'arbre. Il n'existe qu'un seul chemin sans aucun succès (celui qui enchaîne les échecs), donc ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)}=1$ ; de même ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)}=1$ (le chemin qui enchaîne les succès). Un chemin avec un seul succès est entièrement déterminé par la position de ce succès, qui peut être n'importe laquelle des $n$ épreuves : donc ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{1}\right)}=n$, et par le même raisonnement sur l'échec unique, ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-1}\right)}=n$. Enfin, nous avons compté à la section précédente ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)}=3$. Pour les autres valeurs, plutôt que de dessiner des arbres géants, on utilise une relation qui permet de calculer chaque coefficient à partir des précédents.

Cette formule transforme le comptage de chemins en une simple addition : chaque coefficient de niveau $n$ s'obtient à partir de deux coefficients de niveau $n-1$. En rangeant les coefficients dans un tableau, ligne par ligne, on obtient le célèbre triangle de Pascal, qui donne de proche en proche tous les coefficients dont vous aurez besoin.

Voici le triangle jusqu'à la ligne $n=6$. Chaque ligne correspond à une valeur de $n$, chaque colonne à une valeur de $k$ :

Vérifiez au passage quelques cases avec la formule de Pascal : $15=5+10$ (les deux nombres au-dessus de la case $n=6$, $k=2$), $20=10+10$. Vous retrouvez aussi les valeurs déjà connues : la colonne $k=0$ ne contient que des $1$, la colonne $k=1$ contient $n$, et la ligne $n=3$ confirme ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)}=3$.

Nous savons désormais compter les chemins de l'arbre sans le dessiner. Il ne reste qu'à combiner ce comptage avec la probabilité de chaque chemin pour obtenir la formule centrale du chapitre.

Calculer des probabilités avec la loi binomiale

Reprenons le raisonnement mené pour $n=3$, mais dans le cas général. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(n;p)$, et $k$ un entier entre $0$ et $n$. Sur l'arbre, l'événement $\{X=k\}$ rassemble les chemins comportant exactement $k$ succès. Chacun de ces chemins traverse $k$ branches de poids $p$ et $n-k$ branches de poids $1-p$ : la probabilité d'un chemin étant le produit de ses branches, chaque chemin de $\{X=k\}$ a la même probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$. Et nous savons maintenant compter ces chemins : il y en a exactement ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$. Il suffit d'additionner.

Cette formule donne la probabilité de chaque valeur isolée. Pour des événements plus riches, on raisonne par réunion : l'événement $\{X⩽1\}$, par exemple, est la réunion des événements $\{X=0\}$ et $\{X=1\}$, qui ne peuvent pas se produire en même temps ; sa probabilité est donc la somme $P(X=0)+P(X=1)$. Un cas mérite un réflexe particulier, car il revient dans presque tous les sujets : « au moins un succès ». Plutôt que d'additionner $P(X=1)+P(X=2)+\cdots +P(X=n)$, on passe par l'événement contraire.

Mettons tout en œuvre sur la situation de l'introduction, cette fois avec le prélèvement complet.

La loi binomiale répond donc à toutes les questions de probabilité, valeur par valeur ou par réunion. Mais souvent, une seule question intéresse le responsable qualité : en moyenne, combien de cartes défectueuses par prélèvement ? C'est une question d'espérance, et pour la loi binomiale la réponse est d'une simplicité remarquable.

Espérance de la loi binomiale

On pourrait calculer $E(X)$ avec la définition de la première section : dresser toute la loi de $X$, multiplier chaque valeur $k$ par $P(X=k)$, tout additionner. C'est faisable, mais long dès que $n$ grandit. Heureusement, le résultat final est toujours le même, et il tient en deux lettres.

L'espérance d'une loi binomiale se calcule donc de tête, et son interprétation suit la règle générale : c'est le nombre moyen de succès sur le long terme, pas un résultat garanti à chaque expérience.

Pour terminer, prenons un peu de hauteur et regardons une loi binomiale dans son ensemble. Le diagramme en bâtons ci-dessous représente la loi $\mathcal{B}(5;\mathrm{0,5})$ : on lance $5$ fois une pièce équilibrée et $X$ compte le nombre de « pile ». Chaque bâton a pour hauteur $P(X=k)$.

Deux observations sautent aux yeux. D'abord, le diagramme est symétrique : comme $p=\mathrm{0,5}$, succès et échec jouent exactement le même rôle, donc $P(X=0)=P(X=5)$, $P(X=1)=P(X=4)$, et ainsi de suite. Ensuite, les valeurs les plus probables (le mode de la loi) sont $k=2$ et $k=3$, à égalité avec une probabilité d'environ $\mathrm{0,31}$ chacune : obtenir $2$ ou $3$ piles sur $5$ lancers est le scénario courant, tandis que $0$ ou $5$ piles restent possibles mais rares. L'espérance $E(X)=5\times \mathrm{0,5}=\mathrm{2,5}$ se trouve exactement au centre de symétrie du diagramme, entre les deux bâtons les plus hauts, alors même que $X$ ne prend jamais la valeur $\mathrm{2,5}$.

Dernière expérience graphique : fixons $p$ et faisons varier $n$. Le graphique ci-dessous place, pour $p=\mathrm{0,3}$ fixé (imaginez un standard téléphonique où $30\mathrm{\%}$ des appels aboutissent à une réservation) et pour chaque valeur de $n$ de $1$ à $20$, un point d'abscisse $n$ et d'ordonnée $E(X)=\mathrm{0,3}n$.

Les points s'alignent parfaitement sur une droite passant par l'origine, de pente $p=\mathrm{0,3}$ : c'est la traduction graphique de la formule $E(X)=np$, qui exprime que $E(X)$ est proportionnelle à $n$. Doubler le nombre d'appels traités double le nombre moyen de réservations : l'espérance grandit linéairement avec $n$.

Avec Python

Le programme demande de savoir traiter deux situations en Python : générer un triangle de Pascal et calculer une espérance. Les deux scripts tiennent en quelques lignes et n'utilisent que des listes et des boucles.

Générer le triangle de Pascal. On représente le triangle par une liste de listes : triangle[i] est la ligne $n=i$. Chaque nouvelle ligne commence par $1$, se remplit avec la formule de Pascal (somme de deux coefficients de la ligne précédente), et se termine par $1$.

n = 10
triangle = [[1]]                      # ligne n = 0
for i in range(1, n + 1):
    precedente = triangle[i - 1]      # ligne n = i - 1
    ligne = [1]                       # commence toujours par 1
    for k in range(1, i):
        ligne.append(precedente[k - 1] + precedente[k])   # formule de Pascal
    ligne.append(1)                   # se termine toujours par 1
    triangle.append(ligne)

for ligne in triangle:
    print(ligne)

L'exécution affiche les lignes une par une : [1], puis [1, 1], [1, 2, 1], [1, 3, 3, 1]... jusqu'à la ligne $n=10$. Pour lire un coefficient précis, on écrit par exemple triangle[6][2], qui vaut 15 : c'est bien ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)}$, la case ligne $n=6$, colonne $k=2$ du tableau de la section 3.

Calculer une espérance. On range les valeurs de la variable aléatoire dans une liste, leurs probabilités dans une autre, et on accumule la somme des produits $x_i{p}_i$ dans une variable esperance. Reprenons la roue de la première section :

valeurs = [-2, 0, 8]                  # gains possibles à la roue
probas = [0.6, 0.3, 0.1]              # probabilités correspondantes

esperance = 0                         # accumulateur de la somme
for i in range(len(valeurs)):
    esperance = esperance + valeurs[i] * probas[i]

print(esperance)

Le script affiche le résultat du calcul $x_1{p}_1+x_2{p}_2+x_3{p}_3$ : on retrouve, aux infimes arrondis de la machine près, l'espérance $-\mathrm{0,4}$ calculée à la main. Ce même script fonctionne pour n'importe quelle loi en tableau, y compris une loi binomiale dont on aurait rangé les probabilités $P(X=k)$ dans la liste probas.

Représenter une loi par un diagramme en bâtons. Une fois construite la liste probas des probabilités $P(X=k)$ pour $k$ allant de $0$ à $n$ (par exemple avec la ligne $n$ du triangle et la formule du cours), le module matplotlib trace le diagramme en trois lignes :

import matplotlib.pyplot as plt

plt.bar(range(n + 1), probas)         # un bâton par valeur de k
plt.show()

C'est exactement ainsi qu'a été produit le diagramme de la loi $\mathcal{B}(5;\mathrm{0,5})$ de la section précédente. N'hésitez pas à faire varier $n$ et $p$ pour observer la forme de la loi : symétrique quand $p=\mathrm{0,5}$, penchée vers la gauche quand $p$ est petit, vers la droite quand $p$ est grand.

Résumons le chemin parcouru. Une variable aléatoire discrète se décrit par sa loi en tableau, et son espérance $E(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_k{p}_k$ donne sa valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions. Quand on répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, de façon identique et indépendante, le nombre de succès $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ ; l'événement $\{X=k\}$ rassemble les chemins de l'arbre à exactement $k$ succès, et leur nombre est le coefficient binomial ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$, calculable de proche en proche grâce au triangle de Pascal. Chaque chemin ayant la probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$, on obtient la formule $P(X=k)={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}{p}^k(1-p{)}^{n-k}$, complétée par le réflexe de l'événement contraire pour « au moins un ». Enfin, l'espérance de la loi binomiale vaut $E(X)=np$, un résultat admis mais très intuitif : c'est le nombre moyen de succès que l'usine, le sondeur ou le standard téléphonique peut attendre sur le long terme.