Devoir surveillé — Fonction logarithme décimal

1. Sans calculatrice, donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants.

   a. $\log 1000$

   b. $\log \mathrm{0,01}$

   c. $\log {10}^5$

   d. $\log 1$

   e. ${10}^{\log 3}$

   f. $\log 10$

2. Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\log 2$. Détailler les étapes.

   a. $\log 8$

   b. $\log 5$

   c. $\log \mathrm{0,25}$

   d. $\log 40$

3. Soit $a$ un réel strictement positif. Simplifier l'expression $A=\log \left(100a^3\right)-3\log a$.

Résoudre chacun des problèmes suivants. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième lorsque c'est demandé.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation ${10}^x=350$ (valeur exacte et valeur approchée au centième).
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation ${\mathrm{1,04}}^x=3$ (valeur exacte et valeur approchée au centième).
3. Résoudre l'équation $x^{\mathrm{3,5}}=20$, d'inconnue $x>0$ (valeur exacte et valeur approchée au millième).
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation ${\mathrm{0,92}}^x<\mathrm{0,4}$.
5. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que ${\mathrm{1,7}}^n>{10}^6$.

Une commune investit dans un parc de panneaux solaires. La première année, le parc produit $1200$ MWh. Grâce à un plan d'amélioration et d'extension, la commune vise une augmentation de la production de $6\mathrm{\%}$ par an.

On note $P(n)$ la production annuelle, en MWh, au bout de $n$ années.

1. Justifier que $P(n)=1200\times {\mathrm{1,06}}^n$, puis calculer la production au bout de $5$ ans (arrondir au MWh).
2. La commune se fixe comme objectif de doubler la production initiale. En résolvant une inéquation, déterminer au bout de combien d'années entières cet objectif sera atteint.
3. Un conseiller municipal affirme : « à $6\mathrm{\%}$ par an, en $25$ ans la production est multipliée par plus de $4$ ». A-t-il raison ? Justifier par un calcul.
4. On veut écrire une fonction Python qui, pour un objectif de production donné (en MWh), renvoie le nombre d'années nécessaires pour l'atteindre. Recopier et compléter la fonction suivante, puis indiquer ce que renvoie l'appel seuil(2400).

def seuil(objectif):
    P = 1200
    n = 0
    while P ... objectif:
        P = ... * P
        n = n + 1
    return n

Le niveau sonore $L$, en décibels (dB), d'un son d'intensité $I$ (en W/m²) est donné par

1. Calculer le niveau sonore d'une conversation dont l'intensité est $I={10}^{-6}$ W/m².
2. Une tondeuse à gazon produit un niveau sonore de $90$ dB. Calculer l'intensité correspondante.
3. Montrer que si l'intensité d'un son est multipliée par $4$, alors son niveau sonore augmente d'environ $6$ dB.
4. Un casque audio limite le niveau sonore à $85$ dB. À quelle intensité maximale cela correspond-il ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée en écriture scientifique.