Tale techno · Chapitre 03 · Analyse

Fonction logarithme décimal

Solution de 10ˣ = b, propriétés algébriques, équations du type aˣ = b et xᵃ = b, repères semi-logarithmiques.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Solution de 10ˣ = b
Propriétés algébriques
Équations du type aˣ = b et xᵃ = b
Repères semi-logarithmiques

Au chapitre précédent, nous avons étudié les fonctions exponentielles $x \mapsto a^{x}$ et nous avons buté sur un problème très concret. Un capital de $25 000$ € est visé, on place $12 000$ € à $8 %$ par an, et on veut savoir au bout de combien de temps l'objectif est atteint. Cela revient à résoudre l'équation $12 000 \times {1,08}^{x} = 25 000$ . Nous avions dû avancer à tâtons : construire une table de valeurs à la calculatrice, encadrer la solution entre deux valeurs, affiner pas à pas... pour conclure que la solution valait environ $9,5$ . Efficace, mais laborieux, et surtout approximatif : aucune formule ne nous permettait d'isoler $x$ dans $a^{x} = b$ .

Ce chapitre apporte enfin l'outil exact qui nous manquait. L'idée est simple : puisque la difficulté vient de l'inconnue coincée en exposant, il nous faut une fonction capable de « faire redescendre » l'exposant. Cette fonction existe : c'est la fonction réciproque de $x \mapsto 10^{x}$ , appelée logarithme décimal. Elle répond à la question « $10$ élevé à quelle puissance donne ce nombre ? ».

Avec elle, les équations du type $a^{x} = b$ se résolvent en deux lignes, les problèmes d'annuités et de taux moyen deviennent des calculs directs, et on découvre au passage un outil utilisé partout en sciences : le pH en chimie, les décibels en acoustique, la magnitude des séismes. Le problème laissé en suspens au chapitre précédent va trouver sa solution exacte.

Le logarithme décimal

Partons de l'équation $10^{x} = b$ , où $b$ est un nombre donné et $x$ l'inconnue. Que sait-on de la fonction $x \mapsto 10^{x}$ depuis le chapitre précédent ?

elle est strictement croissante sur $R$ ;
elle ne prend que des valeurs strictement positives, et elle les prend toutes : sa courbe monte depuis des valeurs proches de $0$ (pour $x$ très négatif) jusqu'à des valeurs aussi grandes qu'on veut.

Graphiquement, si $b > 0$ , la droite horizontale d'équation $y = b$ coupe la courbe de $x \mapsto 10^{x}$ en un point et un seul. L'équation $10^{x} = b$ admet donc une unique solution. Ce nombre mérite un nom.

Définition

Soit $b$ un réel strictement positif. On appelle logarithme décimal de $b$ , noté $\log b$ (ou $\log (b)$ ), l'unique solution de l'équation $10^{x} = b$ .

Autrement dit : $\log b$ est l'exposant qu'il faut donner à $10$ pour obtenir $b$ .

10^{\log b} = b

Attention — le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas : $10^{x}$ est toujours strictement positif, donc l'équation $10^{x} = b$ n'a aucune solution si $b ⩽ 0$ . Écrire $\log (- 5)$ ou $\log 0$ n'a pas de sens, et la calculatrice renverra une erreur.

La définition donne immédiatement les logarithmes des puissances de $10$ : l'exposant à donner à $10$ pour obtenir $10^{n}$ , c'est... $n$ lui-même.

Propriété

Pour tout entier relatif $n$ : $\log (10^{n}) = n$ .

Plus généralement, pour tout réel $x$ : $\log (10^{x}) = x$ , et pour tout réel $b > 0$ : $10^{\log b} = b$ .

Les fonctions $x \mapsto 10^{x}$ et $x \mapsto \log x$ « se défont » l'une l'autre : on dit qu'elles sont réciproques.

Quelques valeurs à connaître par cœur, directement issues de cette propriété :

a. $\log 1 = \log (10^{0}) = 0$

b. $\log 10 = \log (10^{1}) = 1$

c. $\log 100 = \log (10^{2}) = 2$

d. $\log 1000 = \log (10^{3}) = 3$

e. $\log 0,1 = \log (10^{- 1}) = - 1$

f. $\log 0,01 = \log (10^{- 2}) = - 2$

Pour tous les autres nombres, on utilise la calculatrice.

Méthode

Calculer un logarithme à la calculatrice

Repérer la touche log (elle est présente sur toutes les calculatrices, souvent au-dessus ou à côté de la touche 10^x : ce n'est pas un hasard, ce sont les fonctions réciproques).
Saisir log( puis le nombre, fermer la parenthèse et valider.
Vérifier la cohérence du résultat : le logarithme d'un nombre compris entre $1$ et $10$ doit être compris entre $0$ et $1$ , celui d'un nombre entre $10$ et $100$ entre $1$ et $2$ , etc.

Exemple

À la calculatrice, arrondis au millième :

\log 2 \approx 0,301 \log 3 \approx 0,477 \log 7 \approx 0,845

Vérifions la cohérence : $2$ , $3$ et $7$ sont compris entre $1$ et $10$ , leurs logarithmes sont bien compris entre $0$ et $1$ . Et l'on peut contrôler la définition : $10^{0,301} \approx 2,000$ , c'est bien l'exposant qu'il faut donner à $10$ pour obtenir $2$ .

Autre exemple : $\log 500 \approx 2,699$ . Cohérent : $500$ est entre $100 = 10^{2}$ et $1000 = 10^{3}$ , donc son logarithme est entre $2$ et $3$ .

Enfin, le signe de $\log b$ se lit sur les valeurs remarquables : $\log 1 = 0$ sert de frontière.

Propriété

Pour tout réel $b > 0$ :

si $0 < b < 1$ , alors $\log b < 0$ ;
si $b = 1$ , alors $\log b = 0$ ;
si $b > 1$ , alors $\log b > 0$ .

Sens de variation et courbe

Le logarithme hérite son sens de variation de la fonction $x \mapsto 10^{x}$ . Prenons deux nombres $a$ et $b$ avec $0 < a < b$ . Leurs logarithmes sont les exposants qui donnent $a$ et $b$ : comme $10^{x}$ est strictement croissante, obtenir un résultat plus grand ( $b$ au lieu de $a$ ) exige un exposant plus grand. Donc $\log a < \log b$ .

Propriété

La fonction $x \mapsto \log x$ est définie et strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ .

Conséquence essentielle : pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ ,

\log a < \log b ⟺ a < b

Appliquer $\log$ aux deux membres d'une inégalité entre nombres strictement positifs conserve le sens de l'inégalité. C'est ce qui nous autorisera à résoudre des inéquations.

Courbe représentative de la fonction logarithme décimal entre 0 exclu et 12 : courbe strictement croissante, négative entre 0 et 1, positive au-delà de 1, passant par les points de coordonnées 1 et 0 puis 10 et 1 qui sont marqués ; près de 0 la courbe descend indéfiniment le long de l'axe des ordonnées.

La courbe passe par $(1; 0)$ et $(10; 1)$ . Près de $0$ , elle descend indéfiniment : plus $x$ se rapproche de $0$ , plus $\log x$ prend des valeurs négatives sans limite basse (souvenez-vous : $\log 0,01 = - 2$ , $\log 0,000 001 = - 6$ ...). La courbe se rapproche de l'axe des ordonnées sans jamais le toucher.

x

0

+\infty

\log x

Remarquez la croissance très lente de cette fonction : pour que $\log x$ atteigne seulement $3$ , il faut aller jusqu'à $x = 1000$ . Pour atteindre $6$ , il faut $x = 1 000 000$ . Le logarithme « écrase » les grands nombres, et c'est précisément ce qui le rendra utile pour les échelles logarithmiques de la fin du chapitre.

Propriétés algébriques

Voici les formules qui font la puissance du logarithme : elles transforment les produits en sommes, et les puissances en multiplications. C'est l'héritage direct des propriétés des exposants ( $10^{x} \times 10^{y} = 10^{x + y}$ ).

Propriété

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tout entier naturel $n$ :

$\log (a b) = \log a + \log b$
$\log (a^{n}) = n \log a$
$\log (\frac{a}{b}) = \log a - \log b$
$\log (\frac{1}{b}) = - \log b$

La première formule (le produit) peut être admise : elle traduit le fait que multiplier les nombres revient à additionner les exposants. Les autres s'en déduisent. Montrons par exemple la formule 4. On calcule $\log (b \times \frac{1}{b})$ de deux façons :

\log (b \times \frac{1}{b}) = \log 1 = 0 et \log (b \times \frac{1}{b}) = \log b + \log (\frac{1}{b})

Donc $\log b + \log (\frac{1}{b}) = 0$ , c'est-à-dire $\log (\frac{1}{b}) = - \log b$ . La formule 3 s'obtient de la même manière en écrivant $\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}$ .

Attention, le piège classique : il n'existe aucune formule pour $\log (a + b)$ . En particulier $\log (a + b) \neq \log a + \log b$ . Vérifiez-le : $\log (10 + 10) = \log 20 \approx 1,301$ , alors que $\log 10 + \log 10 = 2$ . Le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes.

Méthode

Transformer une écriture avec les logarithmes

Décomposer le nombre (ou l'expression) en produits, quotients et puissances de facteurs simples : $2$ , $5$ , $10$ , $100$ ...
Appliquer les formules : produit $\to$ somme, quotient $\to$ différence, puissance $\to$ multiplication par l'exposant.
Remplacer les logarithmes connus ( $\log 10 = 1$ , $\log 100 = 2$ ...) et regrouper les termes semblables.

Exemple

Exprimer en fonction de $\log 2$ , puis donner une valeur approchée (avec $\log 2 \approx 0,301$ ).

Calcul de $\log 8$ . On écrit $8 = 2^{3}$ , donc :

\log 8 = \log (2^{3}) = 3 \log 2 \approx 3 \times 0,301 = 0,903

Calcul de $\log 50$ . On écrit $50 = \frac{100}{2}$ , donc :

\log 50 = \log 100 - \log 2 = 2 - \log 2 \approx 1,699

Calcul de $\log 0,2$ . On écrit $0,2 = \frac{2}{10}$ , donc :

\log 0,2 = \log 2 - \log 10 = \log 2 - 1 \approx - 0,699

La calculatrice confirme ces trois valeurs.

Expression littérale. Simplifions, pour $a > 0$ :

A = \log (10 a) + \log (\frac{a}{10}) - 2 \log a

On développe chaque terme : $\log (10 a) = \log 10 + \log a = 1 + \log a$ , et $\log (\frac{a}{10}) = \log a - 1$ . Donc :

A = (1 + \log a) + (\log a - 1) - 2 \log a = 0

Résoudre des équations et des inéquations

Nous voici au cœur du chapitre : tenir enfin la promesse de l'introduction.

Un point d'honnêteté d'abord. Le programme énonce la formule $\log (a^{n}) = n \log a$ pour $n$ entier naturel. Pour résoudre $a^{x} = b$ avec $x$ réel, nous avons besoin de plus : on admet que cette formule reste vraie pour tout exposant réel :

\log (a^{x}) = x \log a pour tout r \overset{ˊ}{e} el x et tout r \overset{ˊ}{e} el a > 0

Équations du type $a^{x} = b$

Méthode

Résoudre $a^{x} = b$ (avec $a > 0$ , $a \neq 1$ et $b > 0$ )

Isoler la puissance : mettre l'équation sous la forme $a^{x} = b$ .
Appliquer $\log$ aux deux membres : $\log (a^{x}) = \log b$ .
Faire descendre l'exposant : $x \log a = \log b$ .
Diviser par $\log a$ (qui n'est pas nul puisque $a \neq 1$ ) :

x = \frac{\log b}{\log a}

Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à la calculatrice.

Exemple

La boucle est bouclée. Reprenons le problème du chapitre précédent : $12 000 \times {1,08}^{x} = 25 000$ .

Étape 1. On isole la puissance en divisant par $12 000$ :

{1,08}^{x} = \frac{25 000}{12 000} = \frac{25}{12}

Étapes 2 et 3. On applique $\log$ : $x \log 1,08 = \log (\frac{25}{12})$ .

Étape 4. On divise par $\log 1,08 > 0$ :

x = \frac{\log (\frac{25}{12})}{\log 1,08} \approx \frac{0,3188}{0,0334} \approx 9,54

On retrouve la valeur « environ $9,5$ » obtenue laborieusement par table de valeurs, mais cette fois en deux lignes et avec une valeur exacte : $x = \frac{\log (25 / 12)}{\log 1,08}$ . Le capital dépasse $25 000$ € au cours de la dixième année.

Équations du type $x^{a} = b$

Ici l'inconnue est la base et l'exposant $a$ est connu. Deux voies mènent au résultat, pour $x > 0$ :

la racine $a$ -ième (vue au chapitre précédent) : $x^{a} = b$ donne directement $x = b^{1 / a}$ ;
le logarithme : $\log (x^{a}) = \log b$ donne $a \log x = \log b$ , donc $\log x = \frac{\log b}{a}$ , puis $x = 10^{\log b / a}$ .

Les deux voies donnent le même résultat : à vous de choisir la plus confortable.

Exemple

Taux d'évolution moyen. Le chiffre d'affaires d'une entreprise a été multiplié par $1,6$ en $4$ ans. Quel est le taux d'évolution annuel moyen ?

On cherche le coefficient multiplicateur annuel moyen $c > 0$ tel que $c^{4} = 1,6$ .

Voie 1 (racine quatrième) : $c = {1,6}^{1 / 4} \approx 1,1247$ .

Voie 2 (logarithme) : $4 \log c = \log 1,6$ , donc $\log c = \frac{\log 1,6}{4} \approx \frac{0,2041}{4} \approx 0,0510$ , puis $c = 10^{0,0510} \approx 1,125$ .

Dans les deux cas $c \approx 1,125$ : le taux d'évolution annuel moyen est d'environ $12,5 %$ .

Inéquations du type $a^{x} < b$

Le principe est le même, avec un point de vigilance capital au moment de diviser par $\log a$ : son signe dépend de $a$ .

Méthode

Résoudre $a^{x} < b$ (avec $a > 0$ , $a \neq 1$ et $b > 0$ )

Appliquer $\log$ aux deux membres. Comme $\log$ est strictement croissante, le sens de l'inégalité est conservé : $x \log a < \log b$ .
Regarder le signe de $\log a$ avant de diviser :
- si $a > 1$ , alors $\log a > 0$ : on divise sans changer le sens, $x < \frac{\log b}{\log a}$ ;
- si $0 < a < 1$ , alors $\log a < 0$ : on divise en changeant le sens, $x > \frac{\log b}{\log a}$ .
Conclure par un intervalle, avec valeur approchée si besoin.

Exemple

Cas $a > 1$ . Résolvons $2^{x} < 50$ .

On applique $\log$ : $x \log 2 < \log 50$ . Comme $\log 2 \approx 0,301 > 0$ , on divise sans changer le sens :

x < \frac{\log 50}{\log 2} \approx \frac{1,699}{0,301} \approx 5,64

L'ensemble des solutions est $] - \infty; \frac{\log 50}{\log 2} [$ .

Cas $0 < a < 1$ . Un médicament s'élimine de $10 %$ par heure : la quantité restante est multipliée par $0,9$ chaque heure. Au bout de combien de temps reste-t-il moins de la moitié de la dose ? On résout ${0,9}^{x} < 0,5$ .

On applique $\log$ : $x \log 0,9 < \log 0,5$ . Attention : $\log 0,9 \approx - 0,0458 < 0$ , donc la division change le sens de l'inégalité :

x > \frac{\log 0,5}{\log 0,9} \approx \frac{- 0,301}{- 0,0458} \approx 6,58

Il reste moins de la moitié de la dose au bout d'environ $6,6$ heures, soit $6$ h $35$ min environ.

Inéquations du type $a^{n} < b$ ou $a^{n} ⩾ b$ , avec $n$ entier naturel

Dans les problèmes concrets (annuités, années, mois), l'inconnue est souvent un entier naturel. La démarche : résoudre d'abord comme si l'inconnue était réelle, puis prendre le bon entier.

Exemple

Nombre d'annuités. Un capital est placé à $3 %$ par an (intérêts composés). Au bout de combien d'années aura-t-il au moins doublé ?

Le capital est multiplié par $1,03$ chaque année : on cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que ${1,03}^{n} ⩾ 2$ .

On applique $\log$ : $n \log 1,03 ⩾ \log 2$ . Comme $\log 1,03 \approx 0,0128 > 0$ , le sens est conservé :

n ⩾ \frac{\log 2}{\log 1,03} \approx \frac{0,301}{0,0128} \approx 23,45

Le plus petit entier vérifiant $n ⩾ 23,45$ est $n = 24$ . Le capital a doublé au bout de $24$ années.

Vérification à la calculatrice : ${1,03}^{23} \approx 1,974 < 2$ et ${1,03}^{24} \approx 2,033 ⩾ 2$ . C'est cohérent.

Ordre de grandeur et nombre de chiffres

Le logarithme décimal d'un nombre renseigne immédiatement sur sa taille. Un nombre compris entre $100$ et $1000$ (trois chiffres avant la virgule pour un entier) a un logarithme compris entre $2$ et $3$ . Cette observation se généralise.

Propriété

Soit $N$ un réel strictement positif. Si $p ⩽ \log N < p + 1$ avec $p$ entier, alors $10^{p} ⩽ N < 10^{p + 1}$ : l'ordre de grandeur de $N$ est $10^{p}$ .

En particulier, si $N$ est un entier strictement positif, alors $N$ possède exactement $p + 1$ chiffres dans son écriture décimale :

nombre de chiffres de N = partie enti \overset{ˋ}{e} re de \log N, plus 1

Exemple

Combien de chiffres possède $2^{100}$ ? Ce nombre est bien trop grand pour être affiché entièrement par la calculatrice, mais le logarithme répond sans effort :

\log (2^{100}) = 100 \log 2 \approx 100 \times 0,30103 = 30,103

On a donc $30 ⩽ \log (2^{100}) < 31$ , c'est-à-dire $10^{30} ⩽ 2^{100} < 10^{31}$ .

Conclusion : $2^{100}$ est de l'ordre de grandeur de $10^{30}$ et son écriture décimale comporte $30 + 1 = 31$ chiffres. (Sa valeur exacte commence par $1 267 650...$ , soit environ $1,27 \times 10^{30}$ : tout concorde.)

Échelles logarithmiques

Certaines grandeurs physiques varient sur des plages immenses : la concentration en ions d'une solution chimique va de $1$ à $10^{- 14}$ mol/L, l'intensité d'un son du seuil d'audibilité ( $10^{- 12}$ W/m²) au décollage d'un avion ( $10^{2}$ W/m²). Représenter de tels écarts sur un axe classique est impossible : les petites valeurs seraient toutes écrasées contre zéro. La solution : graduer l'axe avec le logarithme de la grandeur, qui ramène ces plages gigantesques à des intervalles maniables. C'est exactement la « croissance très lente » observée plus haut, mise à profit.

Trois échelles logarithmiques célèbres :

Le pH (chimie, ST2S et STL) : $pH = - \log [H_{3} O^{+}]$ , où $[H_{3} O^{+}]$ est la concentration en ions oxonium en mol/L. Une eau neutre a une concentration de $10^{- 7}$ mol/L, donc un pH de $- \log (10^{- 7}) = 7$ . Gagner un point de pH, c'est diviser la concentration par $10$ .
Le niveau sonore (acoustique, STI2D) : $L = 10 \log (\frac{I}{I_{0}})$ en décibels (dB), avec $I_{0} = 10^{- 12}$ W/m² l'intensité de référence. Une conversation à $I = 10^{- 5}$ W/m² donne $L = 10 \log (10^{7}) = 70$ dB. Chaque fois que l'intensité est multipliée par $10$ , le niveau sonore ne gagne que $10$ dB.
La magnitude des séismes : une magnitude de plus sur l'échelle de Richter correspond à une amplitude des ondes multipliée par $10$ .

Le repère semi-logarithmique

Dans un repère semi-logarithmique, l'axe des abscisses est gradué normalement, mais l'axe des ordonnées est gradué en puissances de $10$ ( $1$ , $10$ , $100$ , $1000$ ... régulièrement espacées). L'intérêt est spectaculaire pour les évolutions exponentielles : si $y = k \times a^{x}$ , alors

\log y = \log k + x \log a

Le logarithme de $y$ est une expression affine de $x$ : dans le repère semi-logarithmique, la courbe exponentielle devient une droite, de pente $\log a$ . Repérer une droite dans un tel repère, c'est diagnostiquer une croissance exponentielle : un réflexe précieux en sciences de l'ingénieur comme en biologie (croissance d'une population de bactéries).

Deux repères côte à côte représentant la même croissance exponentielle y égale 5 fois 2 puissance x : à gauche, dans un repère classique, la courbe reste d'abord écrasée près de l'axe puis explose vers le haut ; à droite, dans un repère semi-logarithmique dont l'axe vertical est gradué en puissances de 10, la même évolution devient une droite.

À retenir

Méthode

Les réflexes du chapitre

$\log b$ = l'exposant à donner à $10$ pour obtenir $b$ . Il n'existe que pour $b > 0$ . Repères : $\log 1 = 0$ , $\log 10 = 1$ , $\log (10^{n}) = n$ .
Le logarithme est strictement croissant : $\log a < \log b ⟺ a < b$ (pour $a, b > 0$ ). On peut appliquer $\log$ aux deux membres d'une équation ou d'une inégalité entre nombres strictement positifs.
Produits en sommes : $\log (a b) = \log a + \log b$ , $\log (\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ , $\log (a^{n}) = n \log a$ . Et jamais de formule pour $\log (a + b)$ !
Équation $a^{x} = b$ : appliquer $\log$ , faire descendre l'exposant, conclure $x = \frac{\log b}{\log a}$ .
Inéquation $a^{x} < b$ : avant de diviser par $\log a$ , vérifier son signe. Si $0 < a < 1$ , le sens de l'inégalité change.
Inconnue entière ( $a^{n} ⩾ b$ ) : résoudre en réel, puis prendre le plus petit entier qui convient, et vérifier à la calculatrice.
Nombre de chiffres d'un entier $N$ : partie entière de $\log N$ , plus $1$ . Et $\log N$ donne l'ordre de grandeur $10^{p}$ .

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Ce qu'il faut savoir faire

Le logarithme décimal

Sens de variation et courbe

Propriétés algébriques

Résoudre des équations et des inéquations

Équations du type ax=b

Équations du type xa=b

Inéquations du type ax<b

Inéquations du type an<b ou an⩾b, avec n entier naturel

Ordre de grandeur et nombre de chiffres

Échelles logarithmiques

Le repère semi-logarithmique

À retenir

Bloqué sur « Fonction logarithme décimal » ?

Équations du type $a^{x} = b$

Équations du type $x^{a} = b$

Inéquations du type $a^{x} < b$

Inéquations du type $a^{n} < b$ ou $a^{n} ⩾ b$ , avec $n$ entier naturel