Tale techno · Chapitre 02 · Analyse

Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Prolongement des suites géométriques, variations selon a, puissances, taux d'évolution moyen.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Prolongement des suites géométriques
Variations selon a
Puissances
Taux d'évolution moyen

En première, vous avez appris à modéliser les évolutions à taux constant avec les suites géométriques : une grandeur qui augmente de $8 %$ par mois est multipliée par $1,08$ à chaque étape, et la formule $u (n) = u (0) \times q^{n}$ donne directement sa valeur au rang $n$ . Ce modèle a rendu de grands services, mais il a un défaut : le rang $n$ est un nombre entier. La suite fournit la valeur étape après étape, comme une série de photographies prises à intervalles réguliers — et entre deux photos, elle ne dit rien.

Or, dans la réalité, beaucoup de grandeurs évoluent à chaque instant : un capital placé produit des intérêts en continu, une population n'attend pas le 1er janvier pour grandir, l'audience d'une vidéo en ligne progresse heure par heure, la valeur d'une machine industrielle se déprécie jour après jour. Pour décrire ces phénomènes, il nous faut un modèle continu : un outil qui donne la valeur de la grandeur pour n'importe quel nombre $x$ , entier ou non.

Cet outil, ce sont les fonctions exponentielles $x \mapsto a^{x}$ , prolongement naturel des suites géométriques. En chemin, nous gagnerons deux savoir-faire très concrets : transformer des écritures avec les nouvelles règles de calcul, et répondre à une question que tout le monde se pose un jour devant un article de presse — « $+ 44 %$ en deux ans, ça fait du combien par an ? ».

Du discret au continu : les fonctions exponentielles

Partons d'une situation concrète. Une petite entreprise publie une vidéo de présentation de ses produits. Le nombre de vues, exprimé en milliers, est multiplié par $1,4$ chaque jour : il suit la suite géométrique $u (n) = 1 \times {1,4}^{n}$ (premier terme $1$ , raison $1,4$ ), où $n$ est le nombre de jours écoulés depuis la publication.

Jours $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Vues $u (n)$ (milliers)	$1$	$1,4$	$1,96$	$2,744$	$\approx 3,84$	$\approx 5,38$

En plaçant les points $(n; u (n))$ dans un repère, on obtient un nuage de six points isolés. Posons maintenant une question toute simple : combien de vues au bout de deux jours et demi ? Le compteur de vues ne s'arrête pas de tourner entre deux relevés — la valeur existe bel et bien à l'instant $x = 2,5$ . Mais le nuage de points est muet entre les abscisses $2$ et $3$ : la suite est un modèle discret, et notre question est continue.

L'idée du chapitre tient en une phrase : compléter le nuage de points par une courbe régulière, sans trou ni cassure, qui prolonge exactement la tendance du nuage.

Nuage des points de coordonnées n et 1,4 puissance n pour n allant de 0 à 5, complété par la courbe continue d'équation y égale 1,4 puissance x sur l'intervalle de 0 à 5 : le modèle discret de la suite géométrique devient une courbe sans trou

Ce prolongement a un sens mathématique précis, que l'on admet.

Définition

Soit $a$ un réel strictement positif. Pour tout réel $x ⩾ 0$ , on sait définir le nombre $a^{x}$ , qui prolonge les puissances entières : quand $x$ est un entier naturel $n$ , $a^{x}$ est la puissance $a^{n}$ connue depuis le collège, et les points $(x; a^{x})$ dessinent une courbe régulière qui passe par tous les points du nuage de la suite géométrique $(a^{n})$ .

La fonction $x \mapsto a^{x}$ est appelée fonction exponentielle de base $a$ .

Quand $x$ n'est pas entier, c'est la calculatrice qui fournit la valeur, avec la touche puissance habituelle. Encore faut-il contrôler ce qu'elle affiche.

Méthode

Calculer $a^{x}$ à la calculatrice et contrôler le résultat.

Utiliser la touche puissance ^ (ou x^y selon les modèles) : pour ${1,4}^{2,5}$ , taper 1.4 ^ 2.5.
Encadrer l'exposant entre deux entiers : ici $2 < 2,5 < 3$ .
Contrôler que le résultat est compris entre les deux puissances entières correspondantes : ici entre ${1,4}^{2}$ et ${1,4}^{3}$ . Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de saisie.

Exemple

Combien de vues au bout de deux jours et demi ? La calculatrice donne ${1,4}^{2,5} \approx 2,32$ .

Contrôle : ${1,4}^{2} = 1,96$ et ${1,4}^{3} = 2,744$ , et on a bien $1,96 < 2,32 < 2,744$ — la valeur s'insère exactement entre les deux points entiers du nuage. La vidéo compte environ $2,32$ milliers de vues, soit à peu près $2 320$ vues, au bout de deux jours et demi.

Il reste une dernière étape pour disposer d'un outil complet : donner un sens aux exposants négatifs, afin que la fonction soit définie sur $R$ tout entier. On procède exactement comme pour les puissances entières de seconde, où $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}}$ .

Définition

Soit $a$ un réel strictement positif. Pour tout réel $x ⩾ 0$ , on pose

a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}

La fonction exponentielle de base $a$ , $x \mapsto a^{x}$ , est ainsi définie pour tous les réels $x$ .

Exemple

$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0,125$ : on retrouve la règle des puissances entières de seconde.
${0,5}^{- 2} = \frac{1}{{0,5}^{2}} = \frac{1}{0,25} = 4$ .
${1,4}^{- 1} = \frac{1}{1,4} \approx 0,71$ . Dans notre contexte, cela s'interprète : si le suivi des vues avait commencé un jour plus tôt, le compteur affichait environ $0,71$ millier de vues, soit à peu près $710$ vues, la veille du jour $0$ .

Retenez au passage deux garde-fous : la base $a$ doit être strictement positive (on ne définit pas $(- 2)^{x}$ ), et quel que soit $x$ , le nombre $a^{x}$ est lui aussi strictement positif — un quotient de nombres strictement positifs ne peut pas s'annuler ni changer de signe.

Propriétés algébriques

Les règles de calcul sur les puissances entières, connues depuis la seconde, s'étendent à tous ces nouveaux exposants. On admet la propriété suivante — elle prolonge exactement ce que vous savez des suites géométriques.

Propriété

Règles de calcul (admises). Pour tout réel $a > 0$ , tous réels $x$ et $y$ , et tout entier relatif $n$ :

$a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}$ — multiplier les puissances, c'est additionner les exposants ;
$a^{x - y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}$ — diviser les puissances, c'est soustraire les exposants ;
$a^{n x} = {(a^{x})}^{n}$ — une puissance de puissance se calcule en multipliant les exposants ;
$a^{0} = 1$ et $a^{1} = a$ .

Deux remarques pour relier tout cela à ce qui précède. D'abord, la définition $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ est le cas particulier $n = - 1$ de la troisième règle : tout est cohérent. Ensuite, la première règle appliquée avec $y = 1$ donne $a^{x + 1} = a^{x} \times a$ : quand $x$ augmente de $1$ , la valeur est multipliée par $a$ . C'est très exactement le comportement d'une suite géométrique de raison $a$ — la fonction exponentielle hérite du mécanisme multiplicatif de la suite qu'elle prolonge.

Exemple

Ces règles permettent de calculer sans calculatrice, même avec des exposants non entiers :

$3^{2,4} \times 3^{0,6} = 3^{2,4 + 0,6} = 3^{3} = 27$ ;
$\frac{2^{5,5}}{2^{2,5}} = 2^{5,5 - 2,5} = 2^{3} = 8$ ;
${(5^{0,75})}^{4} = 5^{0,75 \times 4} = 5^{3} = 125$ .

Aucun de ces calculs ne demande de connaître la valeur de $3^{2,4}$ ou de $5^{0,75}$ : les règles font tout le travail.

Méthode

Transformer une écriture $a^{x}$ .

Repérer la structure de l'expression : produit de puissances de même base, quotient, ou puissance de puissance.
Appliquer la règle correspondante : additionner, soustraire ou multiplier les exposants.
Chercher à faire apparaître un exposant entier ou une base plus simple, puis calculer.
Contrôler à la calculatrice sur une valeur : les deux écritures doivent donner le même résultat.

Exemple

La troisième règle se lit aussi dans l'autre sens, pour changer de base. Par exemple, comme $1,21 = {1,1}^{2}$ :

{1,21}^{x} = {({1,1}^{2})}^{x} = {1,1}^{2 x}

Interprétation concrète : une hausse de $21 %$ par an ( $\times 1,21$ ) produit le même effet que deux hausses successives de $10 %$ ( $\times 1,1$ , deux fois par an). Contrôle sur une valeur : ${1,21}^{3} = 1,771561$ et ${1,1}^{6} = 1,771561$ — les deux écritures coïncident.

De même, dans l'exemple de la vidéo : ${({1,4}^{2,5})}^{2} = {1,4}^{5}$ . Le coefficient multiplicateur de deux jours et demi, appliqué deux fois, redonne bien celui de cinq jours : ${2,32}^{2} \approx 5,38$ , c'est la valeur de ${1,4}^{5}$ trouvée dans notre table.

Sens de variation et allure des courbes

Comment se comporte $x \mapsto a^{x}$ quand $x$ grandit ? Exactement comme la suite géométrique qu'elle prolonge : tout dépend de la position de la base $a$ par rapport à $1$ .

Propriété

Sens de variation de $x \mapsto a^{x}$ sur $R$ .

Si $a > 1$ , la fonction est strictement croissante.
Si $a = 1$ , la fonction est constante, égale à $1$ (car $1^{x} = 1$ pour tout $x$ ).
Si $0 < a < 1$ , la fonction est strictement décroissante.

Observons une famille de courbes pour des bases de part et d'autre de $1$ :

Famille des courbes d'équation y égale a puissance x sur l'intervalle de moins 3 à 3, pour les bases 2, 1,5, 1, 0,6 et 0,25 : les bases supérieures à 1 donnent des courbes croissantes, la base 1 donne la droite horizontale d'ordonnée 1, les bases inférieures à 1 donnent des courbes décroissantes ; toutes les courbes passent par le point de coordonnées 0 et 1

Trois observations à retenir sur cette figure.

Toutes les courbes passent par le point $(0; 1)$ . C'est la traduction graphique de $a^{0} = 1$ : peu importe la base, la valeur en $x = 0$ vaut toujours $1$ . Et comme $a^{1} = a$ , chaque courbe passe aussi par le point $(1; a)$ : l'ordonnée du point d'abscisse $1$ est la base.
Les courbes restent toujours au-dessus de l'axe des abscisses, car $a^{x} > 0$ pour tout $x$ : une exponentielle ne s'annule jamais et ne devient jamais négative.
Chaque courbe se rapproche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher : du côté des $x$ négatifs quand $a > 1$ (regardez $y = 2^{x}$ à gauche du repère), du côté des $x$ positifs quand $0 < a < 1$ (regardez $y = {0,25}^{x}$ à droite). Plus la base s'éloigne de $1$ , plus la courbe monte ou descend vite.

Résumons les deux cas intéressants dans des tableaux de variations. Cas $a > 1$ (fonction strictement croissante) :

x

-\infty

+\infty

a^x

Cas $0 < a < 1$ (fonction strictement décroissante) :

x

-\infty

+\infty

a^x

Dans les problèmes concrets, la fonction exponentielle apparaît presque toujours multipliée par un coefficient : la valeur initiale de la grandeur. Étudions donc les fonctions $x \mapsto k a^{x}$ , où $k$ est un réel non nul. Comme $k a^{0} = k$ , la courbe passe par le point $(0; k)$ : le coefficient $k$ est la valeur en $0$ . Et multiplier par $k$ ne change pas le sens de variation si $k > 0$ , mais le retourne si $k < 0$ (multiplier par un nombre négatif renverse l'ordre).

Propriété

Sens de variation de $x \mapsto k a^{x}$ sur $R$ (avec $k \neq 0$ et $a > 0$ , $a \neq 1$ ).

Si $k > 0$ et $a > 1$ : la fonction est strictement croissante.
Si $k > 0$ et $0 < a < 1$ : la fonction est strictement décroissante.
Si $k < 0$ et $a > 1$ : la fonction est strictement décroissante.
Si $k < 0$ et $0 < a < 1$ : la fonction est strictement croissante.

En résumé : quand $k > 0$ , la fonction varie comme $a^{x}$ ; quand $k < 0$ , elle varie dans le sens contraire.

Quatre courbes sur l'intervalle de 0 à 4 illustrant les quatre cas de variation de k fois a puissance x : y égale 2 fois 1,4 puissance x croissante, y égale moins 2 fois 1,4 puissance x décroissante, y égale 3 fois 0,7 puissance x décroissante, y égale moins 3 fois 0,7 puissance x croissante

Exemple

Étudions $f (x) = - 3 \times {0,7}^{x}$ . Ici $k = - 3 < 0$ et $a = 0,7$ avec $0 < 0,7 < 1$ : la fonction est strictement croissante. Vérifions sur quelques valeurs : $f (0) = - 3$ , puis $f (2) = - 3 \times 0,49 = - 1,47$ , puis $f (4) = - 3 \times 0,2401 \approx - 0,72$ . Les valeurs augmentent bien (elles restent négatives, mais se rapprochent de $0$ ).

À l'inverse, $g (x) = 2 \times {1,4}^{x}$ cumule $k = 2 > 0$ et $a = 1,4 > 1$ : elle est strictement croissante, et passe de $g (0) = 2$ à $g (4) = 2 \times {1,4}^{4} \approx 7,68$ .

Modéliser une évolution relative constante

Le lien entre pourcentages et exponentielles est le même qu'en première avec les suites géométriques — simplement, il fonctionne désormais à tout instant. Une grandeur qui évolue de $t %$ par unité de temps est multipliée par le même coefficient à chaque unité : sa valeur suit une fonction $x \mapsto k a^{x}$ .

Méthode

Modéliser une évolution de $t %$ par unité de temps.

Reconnaître le modèle : la grandeur évolue du même pourcentage $t %$ à chaque unité de temps. (Si elle évolue par ajout d'une quantité fixe, le bon modèle est linéaire, pas exponentiel.)
Traduire le taux en coefficient multiplicateur : $a = 1 + \frac{t}{100}$ pour une hausse, $a = 1 - \frac{t}{100}$ pour une baisse.
Écrire le modèle : en notant $k$ la valeur initiale, la valeur à l'instant $x$ est $f (x) = k \times a^{x}$ . Contrôle : $f (0) = k \times a^{0} = k$ , le modèle démarre bien de la valeur initiale.
Exploiter : calculer $f (x)$ pour les instants demandés — entiers ou non — et conclure dans le contexte (unité, arrondi raisonnable).

Exemple

Une boutique en ligne compte $12 000$ clients au 1er janvier, et ce nombre augmente de $8 %$ par mois.

Le taux est constant : $+ 8 %$ par mois — le modèle exponentiel s'applique.
Le coefficient multiplicateur mensuel est $a = 1 + \frac{8}{100} = 1,08$ .
Le nombre de clients, $x$ mois après le 1er janvier, est modélisé par $f (x) = 12 000 \times {1,08}^{x}$ .
La nouveauté par rapport à la suite de première : on peut interroger le modèle à n'importe quel instant. À la mi-mai, soit $4,5$ mois après le 1er janvier : $f (4,5) = 12 000 \times {1,08}^{4,5} \approx 16 966$ clients. Contrôle d'encadrement : $f (4) \approx 16 326$ et $f (5) \approx 17 632$ , et notre valeur est bien comprise entre les deux.

La question se pose souvent à l'envers : non pas « combien de clients à l'instant $x$ ? », mais « à partir de quand le cap des $25 000$ clients sera-t-il franchi ? ». Il s'agit de trouver $x$ tel que $12 000 \times {1,08}^{x} = 25 000$ — et à ce stade de l'année, aucune formule ne permet d'isoler $x$ dans une équation de ce type. Ce n'est pas un problème : une table de valeurs bien menée répond très proprement.

Méthode

Résoudre un problème de seuil avec une table de valeurs.

Écrire l'inéquation à résoudre dans le contexte : ici $f (x) > 25 000$ .
Dresser une table de valeurs de $f$ avec un pas entier, jusqu'à franchir le seuil.
Conclure par un encadrement : la dernière valeur sous le seuil et la première au-dessus.
Si l'énoncé le demande, resserrer la table (pas de $0,1$ ou $0,2$ ) entre ces deux valeurs pour préciser l'instant du franchissement.
Terminer par une phrase de conclusion dans le contexte.

Exemple

À partir de quand la boutique dépassera-t-elle $25 000$ clients ? Table de valeurs de $f (x) = 12 000 \times {1,08}^{x}$ avec un pas de $1$ (valeurs arrondies à l'unité) :

$x$ (mois)	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$f (x)$	$19 042$	$20 566$	$22 211$	$23 988$	$25 907$

Encadrement : $f (9) \approx 23 988 < 25 000$ et $f (10) \approx 25 907 > 25 000$ . Le seuil est franchi entre le $9$ e et le $10$ e mois. Resserrons la table entre $9$ et $10$ avec un pas de $0,2$ :

$x$ (mois)	$9$	$9,2$	$9,4$	$9,6$	$9,8$
$f (x)$	$23 988$	$24 360$	$24 738$	$25 122$	$25 511$

Cette fois $f (9,4) \approx 24 738 < 25 000$ et $f (9,6) \approx 25 122 > 25 000$ : le cap des $25 000$ clients est franchi entre $9,4$ et $9,6$ mois après le 1er janvier, c'est-à-dire dans la deuxième quinzaine d'octobre. On peut aussi retrouver ce résultat graphiquement, en traçant la courbe de $f$ et la droite horizontale d'équation $y = 25 000$ sur la calculatrice, puis en lisant l'abscisse du point d'intersection.

Taux d'évolution moyen

Une entreprise annonce fièrement : « notre chiffre d'affaires a augmenté de $44 %$ en deux ans ». Question naturelle : cela correspond à quelle hausse par an ?

La réponse spontanée — « $44 \div 2 = 22 %$ par an » — est fausse, et un calcul suffit à le voir. Deux hausses successives de $22 %$ multiplient le chiffre d'affaires par ${1,22}^{2} = 1,4884$ , soit une hausse globale de $48,84 %$ — et non de $44 %$ . Diviser le taux par $n$ surestime toujours une hausse, car les évolutions successives se multiplient, elles ne s'additionnent pas : chaque hausse s'applique à une valeur déjà augmentée.

Le bon raisonnement passe par les coefficients multiplicateurs. On cherche le taux annuel $t_{m}$ qui, appliqué deux fois, produit la hausse globale : son coefficient $c$ doit vérifier $c^{2} = 1,44$ . Il nous faut donc le nombre positif dont le carré vaut $1,44$ — et plus généralement, le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut un coefficient donné. C'est exactement ce que fournit l'exposant $\frac{1}{n}$ .

Définition

Soit $CM$ un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul. Le nombre ${CM}^{1 / n}$ , appelé racine $n$ -ième de $CM$ , est le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $CM$ :

{({CM}^{1 / n})}^{n} = CM

Si une grandeur subit $n$ évolutions successives de coefficient multiplicateur global $CM$ , alors ${CM}^{1 / n}$ est le coefficient multiplicateur moyen : appliqué $n$ fois de suite, il produit la même évolution globale. Le taux d'évolution moyen s'en déduit : $t_{m} = {CM}^{1 / n} - 1$ , converti en pourcentage.

Pour $n = 2$ , on retrouve une vieille connaissance : ${CM}^{1 / 2}$ est le nombre positif dont le carré vaut $CM$ , c'est-à-dire sa racine carrée $\sqrt{CM}$ .

Méthode

Calculer un taux d'évolution moyen.

Déterminer le coefficient multiplicateur global $CM$ sur toute la période : à partir du taux global, ou du quotient $\frac{valeur finale}{valeur initiale}$ .
Compter le nombre $n$ d'évolutions successives.
Calculer le coefficient moyen ${CM}^{1 / n}$ à la calculatrice, en saisissant l'exposant entre parenthèses : pour ${1,44}^{1 / 2}$ , taper 1.44 ^ (1/2). Attention : sans parenthèses, 1.44 ^ 1/2 calcule $\frac{{1,44}^{1}}{2} = 0,72$ , ce qui est faux.
Conclure : $t_{m} = {CM}^{1 / n} - 1$ , converti en pourcentage — positif pour une hausse moyenne, négatif pour une baisse moyenne.
Vérifier : élever le coefficient moyen à la puissance $n$ doit redonner $CM$ .

Exemple

Une hausse : $+ 44 %$ en deux ans. Le coefficient global est $CM = 1 + \frac{44}{100} = 1,44$ , pour $n = 2$ évolutions annuelles. Le coefficient moyen vaut

{1,44}^{1 / 2} = \sqrt{1,44} = 1,2

donc $t_{m} = 1,2 - 1 = 0,2$ : le chiffre d'affaires a augmenté en moyenne de $20 %$ par an. Vérification : ${1,2}^{2} = 1,44$ — deux hausses de $20 %$ redonnent bien $+ 44 %$ au total. Ce n'est pas $22 %$ !

Exemple

Une baisse. La production d'une usine est passée de $40 000$ à $34 295$ pièces en trois ans. Le coefficient global est $CM = \frac{34 295}{40 000} = 0,857375$ , pour $n = 3$ . Le coefficient moyen vaut ${0,857375}^{1 / 3} = 0,95$ (contrôle : ${0,95}^{3} = 0,857375$ ), donc $t_{m} = 0,95 - 1 = - 0,05$ : la production a baissé en moyenne de $5 %$ par an.

Quand la racine n'est pas exacte, la calculatrice prend le relais : une audience qui progresse de $60 %$ en quatre ans a pour coefficient moyen ${1,6}^{1 / 4} \approx 1,1247$ , soit une hausse moyenne d'environ $12,5 %$ par an.

Le même outil convertit un taux d'une unité de temps à une autre : le taux mensuel équivalent à un taux annuel s'obtient avec $n = 12$ . Par exemple, un placement qui rapporte $+ 44 %$ en deux ans, c'est $n = 24$ mois : le coefficient mensuel moyen vaut ${1,44}^{1 / 24} \approx 1,0153$ , soit environ $+ 1,5 %$ par mois.

Un point entre deux points : moyennes arithmétique et géométrique

Terminons par une jolie propriété géométrique des courbes exponentielles, qui fait intervenir deux moyennes : la moyenne arithmétique $\frac{u + v}{2}$ de deux nombres, et la moyenne géométrique $\sqrt{u \times v}$ de deux nombres positifs.

Prenons deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ sur une courbe d'équation $y = a^{x}$ , et fabriquons un troisième point en mélangeant les deux moyennes : abscisse = moyenne arithmétique des abscisses, ordonnée = moyenne géométrique des ordonnées.

Propriété

Point intercalé. Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ sont deux points de la courbe d'équation $y = a^{x}$ , alors le point de coordonnées

(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \sqrt{y_{A} \times y_{B}})

est encore un point de cette courbe.

Justification en une ligne : $\sqrt{y_{A} \times y_{B}} = \sqrt{a^{x_{A}} \times a^{x_{B}}} = {(a^{x_{A} + x_{B}})}^{1 / 2} = a^{\frac{x_{A} + x_{B}}{2}}$ .

Exemple

Sur la courbe d'équation $y = 2^{x}$ , prenons $A (1; 2)$ et $B (5; 32)$ (contrôle : $2^{1} = 2$ et $2^{5} = 32$ ). Le point intercalé a pour abscisse $\frac{1 + 5}{2} = 3$ et pour ordonnée $\sqrt{2 \times 32} = \sqrt{64} = 8$ . Vérification directe : $2^{3} = 8$ — le point $(3; 8)$ est bien sur la courbe.

Cette propriété a un intérêt très pratique : elle permet de construire une courbe exponentielle point par point avec la seule touche racine carrée. Partant de deux points connus (par exemple $(0; 1)$ et $(1; a)$ , toujours disponibles), on intercale un point au milieu, puis on recommence entre chaque paire de points voisins : le nuage se densifie à chaque étape et dessine la courbe — c'est exactement la démarche « compléter le nuage » qui a ouvert ce chapitre, rendue effective par un algorithme.

À retenir

Méthode

Les réflexes du chapitre.

Prolonger le discret en continu. La fonction $x \mapsto a^{x}$ ( $a > 0$ ) complète le nuage de points de la suite géométrique $(a^{n})$ : mêmes valeurs aux entiers, une valeur pour tous les instants intermédiaires (calculatrice), et $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ pour les exposants négatifs.
Les règles de calcul (admises) : $a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}$ , $a^{x - y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}$ , $a^{n x} = {(a^{x})}^{n}$ pour $n$ entier relatif, et surtout $a^{0} = 1$ , $a^{1} = a$ .
Variations. $x \mapsto a^{x}$ est croissante si $a > 1$ , constante si $a = 1$ , décroissante si $0 < a < 1$ ; toutes les courbes passent par $(0; 1)$ , restent strictement positives et se rapprochent de l'axe des abscisses sans jamais le toucher. Pour $k a^{x}$ : mêmes variations que $a^{x}$ si $k > 0$ , variations contraires si $k < 0$ .
Modéliser. Une évolution de $t %$ par unité de temps depuis la valeur initiale $k$ se modélise par $f (x) = k \times a^{x}$ avec $a = 1 + \frac{t}{100}$ (hausse) ou $a = 1 - \frac{t}{100}$ (baisse).
Problème de seuil. Pas de formule pour isoler $x$ dans $a^{x} = b$ : on encadre avec une table de valeurs (que l'on resserre au besoin) ou une lecture graphique, et on conclut par une phrase.
Taux moyen. Sur $n$ évolutions de coefficient global $CM$ , le coefficient moyen est ${CM}^{1 / n}$ (exposant entre parenthèses à la calculatrice). Ne jamais diviser le taux global par $n$ : les évolutions se multiplient, elles ne s'additionnent pas.
Point intercalé. Entre deux points d'une courbe $y = a^{x}$ , le point d'abscisse la moyenne arithmétique et d'ordonnée la moyenne géométrique est encore sur la courbe.

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