Fonction inverse

Une classe organise une sortie de fin d'année et loue un car pour la journée. Le transporteur facture un prix fixe de $600$ €, quel que soit le nombre de participants. Si $20$ élèves s'inscrivent, chacun paie $600÷20=30$ € ; s'ils sont $30$, la part descend à $20$ € ; s'ils sont $40$, à $15$ €. Le coût par personne est donné par la formule ${\displaystyle \frac{600}{x}}$, où $x$ désigne le nombre de participants : plus le groupe est nombreux, moins chacun paie, mais la part ne descend jamais tout à fait à zéro.

Cette situation de partage se retrouve partout en économie et en gestion : prix unitaire d'un lot acheté en gros, coût moyen d'un objet quand les frais fixes se répartissent sur la production, débit par utilisateur d'une connexion partagée. Derrière toutes ces grandeurs se cache une seule et même fonction, croisée en seconde parmi les fonctions de référence : la fonction inverse, qui à chaque nombre $x$ non nul associe ${\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Ce chapitre lui est consacré. Nous allons d'abord la (re)découvrir avec sa courbe si particulière, puis comprendre son comportement extrême : que devient ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ quand $x$ est immense, ou au contraire tout proche de $0$ ? Nous calculerons ensuite sa dérivée en réinvestissant le taux de variation vu en première, et nous saurons enfin étudier des fonctions qui combinent la fonction inverse avec les polynômes déjà connus. C'est exactement l'outillage nécessaire pour répondre à la question du transporteur, et à bien d'autres.

La fonction inverse : définition et courbe

Une seule opération est impossible avec les nombres réels : la division par zéro. La formule ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ a donc un sens pour tous les réels sauf un.

Avant toute étude, assurons-nous que les calculs d'images et d'antécédents sont bien en place.

Commençons l'étude par une table de valeurs, avec des nombres simples de part et d'autre de la valeur interdite.

Deux observations sautent aux yeux. D'abord, les valeurs se répondent : l'inverse de $2$ est $\mathrm{0,5}$, et l'inverse de $\mathrm{0,5}$ est $2$. Ensuite, aucune valeur n'est calculée en $0$, et la courbe va en garder la trace : elle est constituée de deux branches séparées, une pour les $x$ négatifs, une pour les $x$ positifs. Cette courbe porte un nom : c'est une hyperbole.

La courbe passe par les points de coordonnées $(1;1)$ et $(-1;-1)$ : chacun de ces deux nombres est son propre inverse. Et les deux branches ne sont pas disposées au hasard.

Concrètement, connaître la branche de droite suffit : la branche de gauche s'en déduit en faisant tourner la figure d'un demi-tour autour de l'origine.

Dernière remarque de lecture : l'inverse d'un nombre positif est positif, l'inverse d'un nombre négatif est négatif. Le quotient ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ est donc toujours du même signe que $x$. C'est visible sur la figure : la branche de droite est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, la branche de gauche entièrement en dessous.

Comportement aux bornes et asymptotes

L'ensemble de définition $]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;+\mathrm{\infty }[$ a quatre « extrémités » : très loin à gauche, très loin à droite, et de chaque côté de la valeur interdite $0$. Que fait la fonction inverse dans ces zones extrêmes ? Les ordres de grandeur donnent la réponse.

Quand $x$ devient très grand :

Quand $x$ est positif et se rapproche de $0$ :

La logique est limpide : l'inverse d'un très grand nombre est un nombre minuscule, et l'inverse d'un nombre minuscule est un très grand nombre. C'est le phénomène du car de l'introduction : avec énormément de participants, la part de chacun devient dérisoire ; avec très peu de participants, elle explose. Du côté des nombres négatifs, le même phénomène se produit avec le signe moins : l'inverse de $-10000$ vaut $-\mathrm{0,0001}$, tout proche de $0$, et l'inverse de $-\mathrm{0,0001}$ vaut $-10000$.

Traduisons ces quatre comportements sur la courbe. Loin de l'origine, à droite comme à gauche, l'hyperbole s'aplatit le long de l'axe des abscisses : elle s'en rapproche de plus en plus, sans jamais le rejoindre. Près de la valeur interdite, elle grimpe (ou plonge) le long de l'axe des ordonnées : plus $x$ est proche de $0$, plus la courbe est haute (à droite) ou basse (à gauche), et elle serre cet axe d'aussi près que l'on veut. Ce comportement de « droite guide » que la courbe vient longer mérite un nom.

Insistons sur un point : l'hyperbole ne coupe jamais les axes. Elle ne coupe pas l'axe des ordonnées puisque $0$ est une valeur interdite : il n'y a aucun point de la courbe d'abscisse $0$. Et elle ne coupe pas l'axe des abscisses non plus : un quotient est nul uniquement lorsque son numérateur est nul, or le numérateur de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ vaut toujours $1$. L'équation ${\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ n'a donc aucune solution. Se rapprocher de $0$ autant que l'on veut, oui ; valoir $0$, jamais.

Dérivée et sens de variation

La courbe descend visiblement sur chacune de ses deux branches. Pour le prouver, dérivons la fonction inverse. Elle ne figure pas dans le catalogue des dérivées de première (constante, $ax+b$, $x^2$, $x^3$) : nous allons donc revenir à la source, la définition du nombre dérivé à partir du taux de variation. C'est la démonstration centrale du chapitre.

Rappel de première : le nombre dérivé de $f$ en $a$ est la valeur dont se rapproche le taux de variation ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ lorsque $h$ se rapproche de $0$.

Prenons un réel $a$ non nul, et un réel $h$ non nul assez petit pour que $a+h$ soit lui aussi non nul. Calculons le taux de variation de la fonction inverse entre $a$ et $a+h$.

Étape 1 : simplifier le numérateur. On réduit la différence des deux inverses au même dénominateur $a(a+h)$ :

$${\displaystyle \frac{1}{a+h}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}={\displaystyle \frac{a}{a(a+h)}}-{\displaystyle \frac{a+h}{a(a+h)}}={\displaystyle \frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}={\displaystyle \frac{-h}{a(a+h)}}$$

Étape 2 : diviser par $h$. Diviser par $h$, c'est multiplier par ${\displaystyle \frac{1}{h}}$, et le $h$ du numérateur se simplifie :

$${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}={\displaystyle \frac{-h}{a(a+h)}}\times {\displaystyle \frac{1}{h}}={\displaystyle \frac{-1}{a(a+h)}}$$

Étape 3 : rapprocher $h$ de $0$. Lorsque $h$ se rapproche de $0$, la quantité $a+h$ se rapproche de $a$, donc le taux de variation ${\displaystyle \frac{-1}{a(a+h)}}$ se rapproche de :

$${\displaystyle \frac{-1}{a\times a}}=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$$

Le nombre dérivé de la fonction inverse en $a$ est donc $-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$, et ceci pour n'importe quel réel $a$ non nul.

Le signe de cette dérivée se lit immédiatement : $x^2$ est strictement positif pour tout $x$ non nul, donc $-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ est strictement négatif. La dérivée ne s'annule jamais et reste négative partout : la fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty };0[$ et strictement décroissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Attention à la formulation : décroissante sur chacun des deux intervalles, séparément. Il serait faux de dire qu'elle est décroissante « sur son ensemble de définition » tout entier. En effet, si c'était le cas, de $-1<1$ on devrait pouvoir déduire $f(-1)>f(1)$ ; or $f(-1)=-1$ et $f(1)=1$, donc $f(-1)<f(1)$. En franchissant la valeur interdite, la fonction saute des valeurs négatives aux valeurs positives, et l'inégalité attendue s'effondre. La double barre du tableau de variations est là pour matérialiser cette rupture.

$x$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$f'(x)$

$-$

$-$

$f(x)$

Sur chaque intervalle, la flèche descend : à gauche, la courbe descend depuis des valeurs proches de $0$ jusqu'à des valeurs très négatives ; à droite, elle descend depuis des valeurs immenses jusqu'à des valeurs proches de $0$. On retrouve exactement les quatre comportements aux bornes de la section précédente.

Remarquons au passage que la dérivée $-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ ne s'annule jamais : l'hyperbole n'admet aucune tangente horizontale, ce qui est cohérent avec l'absence totale d'extremum. En revanche, on sait calculer la tangente en n'importe quel point, avec la formule de première.

Étudier une combinaison avec un polynôme

Le programme demande d'étudier des fonctions construites en additionnant la fonction inverse (éventuellement multipliée par un coefficient) et un polynôme de degré au maximum $3$ : des fonctions de la forme

$$f(x)=P(x)+{\displaystyle \frac{k}{x}}$$

où $P$ est un polynôme et $k$ un réel. Bonne nouvelle : tout l'outillage de première s'applique. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, le polynôme se dérive terme à terme comme d'habitude, et il ne manque qu'une seule brique : la dérivée de ${\displaystyle \frac{k}{x}}$.

Par exemple, la dérivée de ${\displaystyle \frac{4}{x}}$ est $-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$, et celle de $-{\displaystyle \frac{3}{x}}$ est ${\displaystyle \frac{3}{x^2}}$. L'étude complète d'une telle fonction suit toujours le même chemin.

Coût moyen et prix unitaire

Voici le contexte économique type dans lequel ces fonctions apparaissent. Une entreprise fabrique $x$ objets ; son coût total de production $C(x)$, en euros, comporte des frais fixes (locaux, machines : à payer même sans produire) et des coûts qui augmentent avec la production. Ce coût total est modélisé par un polynôme. La question qui intéresse le gestionnaire n'est pas seulement « combien coûte la production ? » mais « combien coûte chaque objet en moyenne ? ». Le coût moyen par objet s'obtient en divisant le coût total par le nombre d'objets :

$$M(x)={\displaystyle \frac{C(x)}{x}}$$

Un obstacle surgit aussitôt : $M$ est un quotient, et nous ne savons pas dériver un quotient. Inutile pourtant d'attendre un futur chapitre : une simple réécriture ramène $M$ dans le monde que nous maîtrisons.

C'est exactement la même mécanique qui gouverne le prix unitaire du car de l'introduction : une dépense fixe divisée par un nombre de parts fait apparaître un terme en ${\displaystyle \frac{k}{x}}$, et l'étude de la fonction obtenue répond aux questions concrètes (à partir de combien de participants la part descend-elle sous un seuil donné ? quelle production minimise le coût par objet ?).

L'essentiel du chapitre

• La fonction inverse $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ est définie sur $]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;+\mathrm{\infty }[$ ($0$ est une valeur interdite). Sa courbe est une hyperbole à deux branches, symétrique par rapport à l'origine, et ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ est du même signe que $x$.
• Quand $x$ devient très grand (positivement ou négativement), ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ se rapproche de $0$ ; quand $x$ se rapproche de $0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ devient aussi grand que l'on veut (côté positif) ou descend aussi bas que l'on veut (côté négatif).
• Les deux axes du repère sont asymptotes à l'hyperbole : la courbe s'en rapproche autant que l'on veut sans jamais les toucher.
• Pour tout $x$ non nul, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ : la fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles $]-\mathrm{\infty };0[$ et $]0;+\mathrm{\infty }[$, mais pas sur leur réunion (double barre dans le tableau de variations).
• La dérivée de ${\displaystyle \frac{k}{x}}$ est $-{\displaystyle \frac{k}{x^2}}$. Une fonction $P(x)+{\displaystyle \frac{k}{x}}$ se dérive terme à terme, puis on réduit $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ au même dénominateur $x^2$ pour étudier le signe du numérateur.
• Coût moyen $=$ coût total divisé par la quantité : on réécrit le quotient en somme avant de dériver. Le minimum du coût moyen donne la taille de production la plus efficace.