Devoir surveillé — Coniques

On coupe un cône de révolution (à deux nappes) par un plan.

a. (2 points) Pour chacune des quatre positions du plan ci-dessous, donner le nom de la courbe obtenue (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole).

1. Le plan est perpendiculaire à l'axe du cône.
2. Le plan est oblique par rapport à l'axe et coupe une seule nappe, sans être parallèle à une génératrice.
3. Le plan est parallèle à une génératrice du cône.
4. Le plan coupe les deux nappes du cône.

b. (2 points) Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

1. « Le cercle est un cas particulier d'ellipse. »
2. « Une parabole a deux branches. »

Un bassin de parc a la forme d'une ellipse de grand axe $20$ m et de petit axe $12$ m. On rapporte le plan à un repère orthonormé dont l'origine est le centre du bassin, le grand axe étant horizontal. L'unité est le mètre.

a. ($\mathrm{1,5}$ point) Donner les valeurs de $a$ et de $b$, puis écrire l'équation réduite de l'ellipse.

b. (1 point) Donner les coordonnées des quatre sommets de l'ellipse.

c. ($\mathrm{1,5}$ point) Le point $M(6;\mathrm{4,8})$ est-il situé au bord du bassin ? Justifier par un calcul.

d. (2 points) Pour retracer le contour du bassin, le jardinier utilise deux piquets plantés aux foyers et une ficelle tendue (construction du jardinier). Calculer $c$, donner les coordonnées des points $F$ et $F^{\mathrm{\prime }}$ où planter les piquets, puis la longueur de ficelle nécessaire.

On considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$, courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$, et le point $A(1;\mathrm{0,5})$.

a. (1 point) Vérifier que le point $A$ appartient à la parabole $\mathcal{P}$.

b. (2 points) Les points $M_1(2;2)$, $M_2(\mathrm{1,5};\mathrm{1,125})$ et $M_3(\mathrm{1,1};\mathrm{0,605})$ appartiennent à $\mathcal{P}$. Calculer le coefficient directeur (la pente) de chacune des sécantes $(A{M}_1)$, $(A{M}_2)$ et $(A{M}_3)$.

c. (1 point) La tangente à $\mathcal{P}$ en $A$ est la position limite de ces sécantes lorsque le point $M$ se rapproche de $A$. Conjecturer la pente de cette tangente, puis confirmer la conjecture à l'aide du nombre dérivé.

d. (1 point) En déduire l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{P}$ au point $A$.

Le profil d'un objet design est formé de deux arcs de cercle raccordés. Dans un repère orthonormé (unité : le centimètre) :

• l'arc 1 appartient au cercle de centre $C_1(0;0)$ et de rayon $10$, et se termine au point $R(6;8)$ ;
• l'arc 2, porté par un cercle de rayon $5$, doit se raccorder à l'arc 1 au point $R$.

a. (1 point) Vérifier par un calcul de distance que le point $R$ appartient bien au cercle de centre $C_1$ et de rayon $10$.

b. (1 point) Énoncer la condition pour que deux arcs de cercle se raccordent en un point sans cassure.

c. (2 points) Le centre $C_2$ du second cercle est aligné avec $C_1$ et $R$, situé au-delà de $R$, à la distance $5$ de $R$. Justifier que, pour aller de $R$ à $C_2$, le déplacement horizontal et le déplacement vertical valent chacun la moitié de ceux effectués pour aller de $C_1$ à $R$, puis en déduire les coordonnées de $C_2$.

d. (1 point) Vérifier par un calcul que $R{C}_2=5$.