Tale techno · Chapitre 08 · Activités géométriques

Coniques

STD2A uniquement

Sections planes d'un cône (cercle, ellipse, parabole, hyperbole), tangentes, raccordements d'arcs.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Sections planes d'un cône (cercle, ellipse, parabole, hyperbole)
Tangentes
Raccordements d'arcs

Allumez une lampe de chevet munie d'un abat-jour cylindrique et regardez le mur : la lumière y dessine une courbe. Selon que la lampe est posée droite, penchée, ou collée contre le mur, cette courbe change de forme. Un cercle, un ovale allongé, ou deux arcs ouverts qui montent vers le plafond. Sans le savoir, la lampe vient de tracer les courbes qui occupent ce chapitre : les coniques.

Ces courbes portent bien leur nom : elles apparaissent quand on coupe un cône par un plan. Les Grecs les étudiaient déjà il y a plus de deux mille ans, et elles n'ont jamais quitté le monde du design et de l'architecture : arches elliptiques des ponts en pierre, paraboles des câbles suspendus, profils d'objets, réflecteurs de lampes. En STD2A, elles sont un outil de dessin autant qu'un objet mathématique.

Bonne nouvelle : la plupart de ces courbes sont déjà connues. La parabole est la courbe des polynômes du second degré vus en première, l'hyperbole est celle de la fonction inverse, le cercle date du collège. Ce chapitre les rassemble sous un même toit, celui du cône, puis s'attaque à deux questions très concrètes pour un designer : qu'est-ce que la tangente à une conique, et comment raccorder deux arcs de courbes sans faire apparaître de cassure ?

Le cône de révolution et ses sections planes

Commençons par l'objet qui donne son nom au chapitre. Attention, le cône du mathématicien est un peu plus riche que le cornet de glace : il possède deux parties, et il est illimité.

Définition

On considère une droite $Δ$ (l'axe) et une droite $d$ sécante à $Δ$ en un point $S$ . Le cône de révolution de sommet $S$ est la surface engendrée par la rotation de la droite $d$ autour de l'axe $Δ$ .

Les différentes positions de la droite $d$ au cours de la rotation s'appellent les génératrices du cône : ce sont les droites qui passent par $S$ et « dessinent » la surface.

Comme les génératrices sont des droites entières, le cône est constitué de deux nappes opposées, qui se rejoignent au sommet $S$ : une nappe au-dessus du sommet, une nappe en dessous.

Imaginez maintenant que l'on tranche ce cône avec un plan, comme on couperait un abat-jour avec une grande plaque de verre. La courbe obtenue le long de la coupe s'appelle une section plane du cône. Sa forme dépend uniquement de l'inclinaison du plan par rapport à l'axe et aux génératrices.

Propriété

Soit un cône de révolution d'axe $Δ$ et un plan ne passant pas par le sommet $S$ . La section du cône par ce plan est :

un cercle si le plan est perpendiculaire à l'axe $Δ$ ;
une ellipse si le plan est oblique par rapport à l'axe et coupe une seule nappe (la courbe est fermée, en forme d'ovale) ;
une parabole si le plan est parallèle à une génératrice (la courbe est ouverte, en une seule branche) ;
une hyperbole si le plan coupe les deux nappes (la courbe est ouverte, en deux branches séparées).

Ces quatre courbes sont appelées les coniques.

Les quatre sections planes d'un cône de révolution

On passe continûment d'une conique à l'autre en inclinant progressivement le plan de coupe : le cercle s'allonge en ellipse, l'ellipse s'ouvre en parabole à l'instant précis où le plan devient parallèle à une génératrice, puis la parabole se dédouble en hyperbole dès que le plan atteint la seconde nappe.

Un mot sur les cas limites : si le plan passe par le sommet $S$ , la section n'est plus une vraie courbe mais un point seul, une droite, ou deux droites sécantes ; on parle de coniques dégénérées et on les laisse de côté dans la suite.

Exemple

La lumière d'une lampe à abat-jour tronconique sort par le haut et par le bas en formant un cône de révolution (à deux nappes, une vers le plafond, une vers le sol) dont le sommet est l'ampoule. Le mur joue le rôle du plan de coupe.

Lampe orientée vers le mur, axe du cône perpendiculaire au mur : la tache lumineuse est un cercle.
On penche légèrement la lampe : la tache s'allonge en ellipse.
Lampe posée verticalement contre le mur : le mur est alors parallèle à l'axe et coupe les deux nappes du cône de lumière ; on voit sur le mur deux arcs, l'un au-dessus, l'autre en dessous de la lampe. C'est une hyperbole.
Entre les deux, pour l'inclinaison exacte où le mur est parallèle à une génératrice, la frontière de la tache est une parabole.

C'est une expérience à refaire chez soi : le mur devient un écran à coniques.

Reste à étudier chacune de ces courbes de plus près. Le cercle est bien connu ; la parabole et l'hyperbole seront retrouvées à la section 3. La vraie nouveauté du chapitre, c'est l'ellipse.

L'ellipse

L'ellipse est la forme d'un cercle vu de biais : l'ombre au sol d'un cerceau tenu incliné, le sommet d'un verre dessiné en perspective, le contour d'une table ronde sur une photo. C'est une courbe fermée, aplatie dans une direction, qui possède un vocabulaire précis.

Définition

Une ellipse admet un centre de symétrie $O$ et deux axes de symétrie perpendiculaires passant par $O$ :

le grand axe, de longueur notée $2 a$ , porté par la plus grande dimension de l'ellipse ;
le petit axe, de longueur notée $2 b$ , porté par la plus petite dimension (avec $a > b > 0$ ).

Les quatre points où l'ellipse coupe ses axes sont ses sommets : deux sommets aux extrémités du grand axe, à la distance $a$ du centre, et deux sommets aux extrémités du petit axe, à la distance $b$ du centre.

Vocabulaire de l'ellipse : centre, axes, sommets

Pour travailler avec une ellipse dans un repère, on choisit le repère le mieux adapté : orthonormé, centré au centre de l'ellipse, avec les axes de coordonnées portés par le grand axe et le petit axe. L'équation devient alors remarquablement simple.

Propriété

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ dont l'axe des abscisses porte le grand axe et l'axe des ordonnées le petit axe, l'ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ (avec $a > b > 0$ ) a pour équation, appelée équation réduite :

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Un point $M (x; y)$ appartient à l'ellipse si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation. (Propriété admise.)

Cette équation raconte la même histoire que la figure : les sommets sur l'axe des abscisses s'obtiennent en posant $y = 0$ , ce qui donne $x^{2} = a^{2}$ , donc $x = a$ ou $x = - a$ ; ceux sur l'axe des ordonnées en posant $x = 0$ , ce qui donne $y = b$ ou $y = - b$ .

Et le cercle dans tout ça ? Si $a = b$ , l'équation devient $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ , c'est-à-dire $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ : on reconnaît l'équation du cercle de centre $O$ et de rayon $a$ . Le cercle est une ellipse particulière, celle dont les deux axes ont la même longueur.

Exemple

On considère l'ellipse d'équation $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Lecture des dimensions. Ici $a^{2} = 25$ et $b^{2} = 9$ , donc $a = 5$ et $b = 3$ . Le grand axe mesure $2 a = 10$ et le petit axe $2 b = 6$ . Les sommets sont les points de coordonnées $(5; 0)$ , $(- 5; 0)$ , $(0; 3)$ et $(0; - 3)$ .

Le point $A (4; 1,8)$ est-il sur l'ellipse ? On remplace :

\frac{4^{2}}{25} + \frac{{1,8}^{2}}{9} = \frac{16}{25} + \frac{3,24}{9} = 0,64 + 0,36 = 1

L'équation est vérifiée : le point $A$ appartient à l'ellipse.

Et le point $B (3; 2)$ ? On calcule $\frac{9}{25} + \frac{4}{9} = 0,36 + 0,44 \dots \approx 0,80 \neq 1$ : le point $B$ n'est pas sur l'ellipse (il est à l'intérieur, car le résultat est inférieur à $1$ ).

Les foyers et la construction du jardinier

L'ellipse cache deux points remarquables sur son grand axe, invisibles au premier regard mais essentiels pour la tracer : ses foyers.

Propriété

Soit une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ , rapportée à son repère réduit. On pose

c^{2} = a^{2} - b^{2} c’est- \overset{ˋ}{a} -dire c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}

Les points $F (c; 0)$ et $F^{'} (- c; 0)$ , situés sur le grand axe de part et d'autre du centre, sont appelés les foyers de l'ellipse.

Propriété caractéristique (définition bifocale). Un point $M$ du plan appartient à l'ellipse si et seulement si la somme de ses distances aux deux foyers est constante, égale à la longueur du grand axe :

M F + M F^{'} = 2 a

Cette propriété est admise dans le cas général, mais on peut la vérifier sans effort en un point bien choisi : le sommet $B (0; b)$ du petit axe. Par symétrie, $B$ est à la même distance des deux foyers. Le triangle formé par $O$ , $F$ et $B$ est rectangle en $O$ , avec $O F = c$ et $O B = b$ ; le théorème de Pythagore donne alors

B F = \sqrt{b^{2} + c^{2}} = \sqrt{b^{2} + (a^{2} - b^{2})} = \sqrt{a^{2}} = a

et de même $B F^{'} = a$ . On a bien $B F + B F^{'} = a + a = 2 a$ : la somme annoncée. Retenez au passage cette image : la distance d'un sommet du petit axe à un foyer vaut exactement $a$ , le demi-grand axe.

La définition bifocale n'est pas qu'une curiosité : c'est une méthode de traçage utilisée depuis des siècles par les jardiniers pour dessiner des parterres elliptiques, et toujours employée en menuiserie et en design pour tracer de grandes ellipses sans gabarit.

Méthode

Construction du jardinier. Pour tracer une ellipse de grand axe $2 a$ dont on connaît les foyers $F$ et $F^{'}$ :

planter un piquet en $F$ et un piquet en $F^{'}$ ;
attacher aux deux piquets une ficelle non élastique de longueur $2 a$ (plus longue que la distance $F F^{'}$ ) ;
tendre la ficelle avec la pointe d'un traceur et déplacer le traceur en maintenant la ficelle tendue, tout autour des piquets.

La pointe décrit une ellipse : à chaque instant, la somme des distances du traceur aux deux piquets vaut la longueur de la ficelle, soit $M F + M F^{'} = 2 a$ .

Construction du jardinier : la ficelle tendue de longueur 2a

Exemple

Reprenons l'ellipse d'équation $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ , avec $a = 5$ et $b = 3$ .

On calcule $c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16$ , donc $c = 4$ . Les foyers sont $F (4; 0)$ et $F^{'} (- 4; 0)$ .

Pour la tracer en vraie grandeur avec la méthode du jardinier (une unité = un décimètre par exemple) : planter les piquets à $8$ dm l'un de l'autre et utiliser une ficelle de longueur $2 a = 10$ dm. Vérification sur le sommet $(5; 0)$ : sa distance à $F$ vaut $5 - 4 = 1$ et sa distance à $F^{'}$ vaut $5 + 4 = 9$ , et $1 + 9 = 10 = 2 a$ .

Signalons pour finir que seuls les foyers de l'ellipse sont au programme : la parabole et l'hyperbole en possèdent aussi, mais leur étude n'est pas attendue.

La parabole et l'hyperbole, des courbes déjà connues

Les deux dernières coniques n'ont rien d'inconnu : ce sont des courbes de fonctions déjà rencontrées en première et en terminale. Ce qui change, c'est le regard : on les retrouve ici comme sections d'un cône.

La parabole

En première, vous avez tracé les courbes des polynômes du second degré : ce sont précisément des paraboles.

Propriété

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré $x \mapsto a x^{2} + b x + c$ (avec $a \neq 0$ ) est une parabole. Elle possède :

un sommet, point le plus bas de la courbe si $a > 0$ (parabole tournée vers le haut) ou le plus haut si $a < 0$ (parabole tournée vers le bas) ;
un axe de symétrie, la droite verticale passant par le sommet.

Vue comme conique, la parabole est la section du cône par un plan parallèle à une génératrice : c'est la seule conique ouverte à une seule branche.

La parabole : sommet et axe de symétrie

La plus simple d'entre elles est la courbe de $x \mapsto x^{2}$ , de sommet l'origine et d'axe de symétrie l'axe des ordonnées. La forme parabolique est omniprésente en design et en architecture : trajectoire d'un jet d'eau, profil de certaines arches et de câbles porteurs, réflecteurs de phares et d'antennes (dont la fameuse antenne « parabolique »).

L'hyperbole

L'hyperbole aussi est une vieille connaissance : c'est la courbe de la fonction inverse, étudiée en début d'année.

Propriété

La courbe représentative de la fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ , et plus généralement de toute fonction $x \mapsto \frac{k}{x}$ avec $k \neq 0$ , est une hyperbole. Elle possède :

deux branches séparées (les traces des deux nappes du cône), situées dans deux quarts de plan opposés ;
un centre de symétrie, l'origine $O$ du repère ;
deux asymptotes : les axes du repère, droites dont les branches se rapprochent indéfiniment sans jamais les toucher.

L'hyperbole d'équation y = 4/x et ses asymptotes

Par exemple, la courbe d'équation $y = \frac{4}{x}$ est une hyperbole : une branche dans le quart de plan où $x$ et $y$ sont positifs, passant par les points $(1; 4)$ , $(2; 2)$ et $(4; 1)$ , et une branche symétrique par rapport à $O$ dans le quart de plan opposé. Loin de l'origine, chaque branche vient s'aplatir le long de l'axe des abscisses ; près de la valeur interdite $0$ , elle file le long de l'axe des ordonnées. Ce sont les deux asymptotes.

On retrouve l'hyperbole dans l'expérience de la lampe contre le mur (les deux arcs de lumière au-dessus et en dessous de l'abat-jour) et dans les courbes de proportionnalité inverse omniprésentes en gestion de projet : temps de fabrication en fonction du nombre d'artisans, prix unitaire en fonction de la quantité produite.

Tangente à une conique en un point

Souvenez-vous de la première : pour définir la tangente à la courbe d'une fonction en un point $A$ , on faisait glisser un second point $M$ sur la courbe vers $A$ , et on regardait ce que devenait la sécante $(A M)$ . Le nombre dérivé était la pente obtenue « à la limite ». La même idée fonctionne mot pour mot sur une conique.

Définition

Soit $C$ une conique et $A$ un point de $C$ . Pour tout autre point $M$ de la conique, la droite $(A M)$ est une sécante à $C$ .

Lorsque le point $M$ se rapproche de $A$ en restant sur la conique, les sécantes $(A M)$ se rapprochent d'une droite fixe passant par $A$ : cette position limite des sécantes est appelée la tangente à la conique $C$ au point $A$ .

La tangente, position limite des sécantes

Concrètement, la tangente est la droite qui « épouse » la conique au point $A$ : si l'on zoome très fort sur $A$ , la courbe et sa tangente deviennent indiscernables. C'est exactement la définition vue en première pour les courbes de fonctions ; elle s'applique désormais aussi aux courbes qui ne sont pas des courbes de fonctions, comme le cercle ou l'ellipse.

Propriété

(Admise.) Pour un cercle ou une ellipse, la tangente en un point $A$ est la seule droite passant par $A$ qui touche la conique en ce seul point : elle ne traverse pas la courbe, et toute la conique est située d'un même côté de la tangente.

Dans le cas du cercle, on retrouve la propriété connue depuis le collège : la tangente au cercle en $A$ est la perpendiculaire au rayon $[O A]$ passant par $A$ .

Une remarque importante avant de passer aux exercices : aucune formule donnant l'équation d'une tangente à une conique n'est à connaître. Dans les situations analytiques, l'équation de la tangente sera toujours fournie par l'énoncé ; votre travail consiste à la vérifier (le point de contact appartient bien à la droite et à la conique) ou à l'utiliser (pour un raccordement, un tracé, une lecture de pente).

Exemple

Les sécantes qui deviennent tangente. On considère la parabole d'équation $y = \frac{x^{2}}{4}$ et le point $A (2; 1)$ de cette parabole (vérification : $\frac{2^{2}}{4} = 1$ ).

Prenons des points $M$ de la parabole de plus en plus proches de $A$ et calculons la pente de chaque sécante $(A M)$ :

abscisse de $M$	$3$	$2,5$	$2,1$	$2,01$
ordonnée de $M$	$2,25$	$1,5625$	$1,1025$	$1,010025$
pente de $(A M)$	$1,25$	$1,125$	$1,025$	$1,0025$

Par exemple pour la première colonne : pente $= \frac{2,25 - 1}{3 - 2} = 1,25$ . Les pentes se rapprochent clairement de $1$ : la tangente à la parabole en $A$ est la droite de pente $1$ passant par $A (2; 1)$ .

Rien de magique : la parabole est la courbe de la fonction $f (x) = \frac{x^{2}}{4}$ , dont la dérivée est $f^{'} (x) = \frac{x}{2}$ , et l'on a bien $f^{'} (2) = 1$ . Sur une conique qui est une courbe de fonction, la tangente est celle du nombre dérivé.

Raccordement d'arcs et de courbes

Voici l'application phare du chapitre pour un élève de STD2A. Un profil d'objet, une arche, une moulure, un tracé de route sont rarement faits d'une seule courbe : on assemble des arcs de cercles, d'ellipses, de paraboles. Toute la difficulté est d'assembler sans cassure : l'œil repère immédiatement un angle là où le dessinateur voulait une ligne fluide. La tangente fournit le critère exact.

Définition

Deux arcs de courbes se raccordent en un point $R$ lorsque :

les deux arcs passent par le point $R$ ;
les deux arcs admettent en $R$ la même tangente.

Le point $R$ est appelé point de raccordement. La courbe obtenue en mettant bout à bout les deux arcs est alors lisse : elle ne présente ni trou ni cassure en $R$ .

La première condition seule ne suffit pas : deux arcs peuvent très bien se couper en formant un angle. C'est la condition sur la tangente qui garantit la fluidité du tracé.

Pour les arcs de cercles, le critère se traduit par une propriété d'alignement remarquablement simple, qui est l'outil de base du dessin technique.

Propriété

Deux arcs de cercles de centres $C_{1}$ et $C_{2}$ se raccordent en un point $R$ (commun aux deux cercles) si et seulement si les points $C_{1}$ , $C_{2}$ et $R$ sont alignés.

En effet, la tangente à un cercle en $R$ est la perpendiculaire au rayon en $R$ : les deux tangentes coïncident exactement quand les deux rayons $[C_{1} R]$ et $[C_{2} R]$ sont portés par la même droite, c'est-à-dire quand les deux centres sont alignés avec $R$ .

Au compas, la recette est donc : pour raccorder un arc de centre $C_{1}$ à un nouvel arc, choisir le nouveau centre $C_{2}$ sur la droite $(C_{1} R)$ , où $R$ est le point de raccordement souhaité. Selon que $C_{2}$ est du même côté que $C_{1}$ ou de l'autre côté de $R$ , la courbure continue dans le même sens ou s'inverse.

Quand l'un des morceaux est la courbe d'une fonction (ou une droite), c'est le nombre dérivé qui joue le rôle du rayon.

Méthode

Raccorder la courbe d'une fonction $f$ et une droite (ou la courbe d'une seconde fonction $g$ ) en un point d'abscisse $r$ . On vérifie les deux conditions de la définition :

même valeur : $f (r) = g (r)$ (les deux courbes passent par le même point $R$ ) ;
même nombre dérivé : $f^{'} (r) = g^{'} (r)$ (les deux tangentes en $R$ ont la même pente, donc coïncident).

Pour une droite d'équation $y = m x + p$ , la « dérivée » est sa pente $m$ : la condition 2 s'écrit $f^{'} (r) = m$ .

Par exemple, la parabole d'équation $y = \frac{x^{2}}{4}$ et la droite d'équation $y = x - 1$ se raccordent au point $R (2; 1)$ : la parabole passe par $R$ (calcul fait à la section précédente), la droite aussi ( $2 - 1 = 1$ ), et les pentes coïncident ( $f^{'} (2) = 1$ , pente de la droite $= 1$ ). Le profil formé de l'arc de parabole puis de la demi-droite est parfaitement lisse.

Terminons par la figure reine du dessin d'architecture, utilisée depuis des siècles pour les ponts et les arches surbaissées : l'anse de panier, un arc composé de trois arcs de cercle raccordés.

Exemple

L'anse de panier. On veut dessiner une arche de portée $8$ (la largeur au sol) et de flèche $2$ (la hauteur au centre), plus basse qu'un demi-cercle. On travaille dans un repère orthonormé dont l'axe des abscisses est la ligne de naissance de l'arche, l'origine au milieu. On utilise trois arcs de cercle :

deux petits arcs latéraux, de centres $C_{1} (- 3; 0)$ et $C_{2} (3; 0)$ et de rayon $1$ : ils partent des naissances $(- 4; 0)$ et $(4; 0)$ (on vérifie que la distance de $C_{1}$ à $(- 4; 0)$ vaut bien $1$ ) ;
un grand arc central, de centre $C (0; - 4)$ et de rayon $6$ : son point le plus haut est $(0; 2)$ , ce qui donne la flèche de $2$ .

Où se font les raccordements ? D'après la propriété, le raccordement entre le petit arc de gauche et le grand arc doit se trouver sur la droite joignant leurs centres $C_{1} (- 3; 0)$ et $C (0; - 4)$ . La distance entre les deux centres vaut $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$ . Le point de raccordement $R_{1}$ est sur cette droite, à la distance $6$ de $C$ (donc à la distance $6 - 5 = 1$ de $C_{1}$ , ce qui est cohérent avec le rayon du petit cercle) : on obtient $R_{1} (- 3,6; 0,8)$ .

Vérification par le calcul. Distance de $C_{1} (- 3; 0)$ à $R_{1} (- 3,6; 0,8)$ :

\sqrt{(- 3,6 - (- 3))^{2} + (0,8 - 0)^{2}} = \sqrt{0,36 + 0,64} = \sqrt{1} = 1

Distance de $C (0; - 4)$ à $R_{1}$ : $\sqrt{{3,6}^{2} + {4,8}^{2}} = \sqrt{12,96 + 23,04} = \sqrt{36} = 6$ . Le point $R_{1}$ appartient bien aux deux cercles, et il est aligné avec les deux centres : le raccordement est sans cassure. Par symétrie, le raccordement de droite se fait en $R_{2} (3,6; 0,8)$ .

L'arche complète est donc lisse de bout en bout : petit arc de $(- 4; 0)$ à $R_{1}$ , grand arc de $R_{1}$ à $R_{2}$ , petit arc de $R_{2}$ à $(4; 0)$ . C'est exactement le profil des ponts en anse de panier et de nombreuses arches de portes cochères.

L'anse de panier : trois arcs de cercle raccordés

Ce principe de raccordement, ici appliqué à trois arcs de cercle, est le même qui gouverne les courbes de Bézier de vos logiciels de dessin vectoriel : chaque fois que deux morceaux de courbe se rejoignent avec la même tangente, le tracé reste fluide. Les coniques et leurs tangentes ne sont pas seulement un héritage des géomètres grecs : elles sont dans la poignée que vous dessinez, l'arche que vous relevez, la lumière sur le mur.

Le cours en PDF(PDF, 139 Ko)

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