Tale techno · Chapitre 09 · Activités géométriques

Perspective centrale

STD2A uniquement

Points et lignes de fuite, ligne d'horizon, image d'un quadrillage et de solides simples.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Points et lignes de fuite
Ligne d'horizon
Image d'un quadrillage et de solides simples

Ouvrez n'importe quelle photo de rue : les deux bords du trottoir, rigoureusement parallèles dans la réalité, s'y rejoignent au loin. En première, la perspective cavalière représentait l'espace par une projection parallèle : les arêtes parallèles restaient parallèles, quitte à ne pas ressembler tout à fait à ce que voit l'œil. La perspective centrale remplace cette direction de projection par un point, l'œil : les fuyantes n'y sont plus parallèles, elles convergent. C'est le modèle mathématique exact du dessin d'observation, de la photographie et du décor peint, et c'est l'objet de ce chapitre : son vocabulaire, ses propriétés, et les constructions de base du dessinateur.

De l'ombre au flambeau à la projection centrale

Commençons par une expérience que tout le monde a faite : éclairer une pièce avec une source de lumière ponctuelle, flamme de bougie ou ampoule nue. Chaque objet projette une ombre sur le sol : l'ombre d'un point $M$ est le point où le rayon lumineux issu de la source et passant par $M$ rencontre le sol. On appelle cette situation l'ombre au flambeau. Elle contient déjà toute l'idée du chapitre : une image obtenue en faisant passer des droites par un point fixe, puis en les coupant par un plan.

Ombre au flambeau : la lampe ponctuelle projette l'ombre du bâton sur le sol

Les peintres de la Renaissance ont compris qu'on pouvait dessiner exactement de cette manière. Le graveur Albrecht Dürer a décrit un dispositif resté célèbre, la fenêtre de Dürer : l'artiste fixe son œil en un point (par exemple à l'aide d'un viseur), place une vitre verticale entre lui et le sujet, et décalque sur la vitre ce qu'il voit au travers. Chaque point du sujet est relié à l'œil par un rayon visuel, et ce rayon perce la vitre en un point : c'est là qu'on pose le crayon. Le dessin obtenu sur la vitre est une perspective parfaite. La fenêtre de Dürer fait ainsi la transition entre l'ombre au flambeau et le tableau du peintre : la source ponctuelle est devenue l'œil, le sol est devenu la vitre.

La fenêtre de Dürer vue de profil : les rayons visuels percent la vitre

Il ne reste qu'à traduire ce dispositif en langage géométrique.

Définition

Projection centrale. Un plan $P$ et un point $O$ non situé dans $P$ étant donnés, l'image d'un point $M$ distinct de $O$ est, si elle existe, l'intersection de la droite $(O M)$ avec le plan $P$ .

Le point $O$ s'appelle le point de vue (c'est l'œil de l'observateur) et le plan $P$ le plan de représentation, ou tableau (c'est la vitre de Dürer, la toile du peintre, la feuille du dessinateur).

Le schéma de la définition : l'image M' d'un point M est l'intersection de la droite (OM) avec le tableau

Deux remarques sur cette définition. D'abord le « si elle existe » : lorsque la droite $(O M)$ est parallèle au tableau, elle ne le coupe pas et le point $M$ n'a pas d'image. En pratique on ne dessine que ce qui est devant l'observateur, au-delà du tableau, et la question ne se pose pas. Ensuite, un appareil photo réalise exactement cette projection : le centre optique de l'objectif joue le rôle de $O$ et le capteur celui du tableau (l'image y est simplement renversée). Étudier la perspective centrale, c'est donc aussi comprendre ses photos.

Dans tout le chapitre, sauf mention contraire, le sol est horizontal et le tableau est un plan vertical. La droite d'intersection du tableau et du sol s'appelle la ligne de terre.

Exemple

Calculer une ombre au flambeau avec le théorème de Thalès. Une lampe ponctuelle $O$ est fixée au sommet d'un mât vertical de $3$ m, de pied $P$ . Un bâton vertical de $1,20$ m est planté à $2,40$ m du pied du mât : on note $B^{'}$ son pied et $B$ son sommet. Quelle est la longueur de l'ombre du bâton ?

L'ombre du sommet $B$ est le point $E$ où le rayon $(O B)$ rencontre le sol : l'ombre du bâton est le segment $[B^{'} E]$ . Les points $E$ , $B^{'}$ , $P$ sont alignés sur le sol, les points $E$ , $B$ , $O$ sont alignés sur le rayon, et les droites $(B B^{'})$ et $(O P)$ sont parallèles (deux verticales). Le théorème de Thalès donne :

\frac{E B^{'}}{E P} = \frac{B B^{'}}{P O} = \frac{1,2}{3} = 0,4

Or $E P = E B^{'} + B^{'} P = E B^{'} + 2,4$ . L'égalité $E B^{'} = 0,4 \times (E B^{'} + 2,4)$ donne $0,6 \times E B^{'} = 0,96$ , donc $E B^{'} = 1,6$ .

L'ombre du bâton mesure $1,60$ m, et son extrémité $E$ se trouve à $2,4 + 1,6 = 4$ m du pied du mât. C'est la configuration exacte de la figure ci-dessus.

Ce que la perspective conserve, ce qu'elle déforme

Avant de construire quoi que ce soit, il faut savoir à quoi s'attendre : parmi les propriétés géométriques d'un objet, lesquelles survivent au passage en perspective ? La réponse est brutale, et c'est elle qui fait toute la difficulté (et tout le charme) du dessin d'observation.

Propriété

Conservation et non-conservation. Par une projection centrale :

l'alignement est conservé : des points alignés ont des images alignées (l'image d'une droite est une droite, l'image d'un segment est un segment) ;
le contact est conservé : si deux lignes se coupent ou se touchent en un point, leurs images se coupent ou se touchent en l'image de ce point.

En revanche, ne sont pas conservés en général :

les longueurs ;
les milieux des segments ;
les rapports de longueurs ;
les angles ;
le parallélisme.

Perspective d'une voie ferrée : rails convergents, traverses resserrées, poteaux de même hauteur réelle représentés à des tailles différentes

Exemple

Sur la photo d'une voie ferrée. La figure ci-dessus concentre toutes les déformations de la liste :

les deux rails sont parallèles dans la réalité, mais leurs images convergent : le parallélisme n'est pas conservé ;
les traverses sont toutes de la même longueur et régulièrement espacées ; sur l'image, elles raccourcissent et se resserrent en s'approchant de l'horizon : ni les longueurs, ni les rapports de longueurs, ni les milieux ne sont conservés ;
rails et traverses se croisent à angle droit dans la réalité, presque jamais sur l'image : les angles ne sont pas conservés ;
les deux poteaux ont la même hauteur réelle ( $3$ m), mais le plus proche paraît nettement plus grand.

Et pourtant tout reste lisible : chaque rail est bien une droite (alignement conservé), chaque traverse touche bien les deux rails et chaque poteau touche bien le sol (contact conservé). C'est ce couple conservation-déformation qui rend une perspective à la fois juste et expressive.

Conséquence pratique immédiate : mesurer sur la photo ne marche pas. Prendre sa règle sur un tirage pour en déduire qu'un poteau est deux fois plus grand qu'un autre, ou qu'une fenêtre est au milieu d'un mur, mène droit au contresens, puisque ni les longueurs, ni les rapports, ni les milieux ne survivent à la projection. Il existe pourtant une exception de taille, bien connue des architectes et des photographes : elle fait l'objet de la section suivante.

Les plans frontaux

Définition

Plan frontal. Un plan est dit frontal lorsqu'il est parallèle au tableau.

Une façade regardée bien en face, le mur du fond d'une pièce vu depuis la porte, la page d'un livre tenue face à l'objectif : autant de figures situées dans des plans frontaux. Pour elles, la perspective se montre beaucoup plus douce.

Propriété

Conservation de forme dans les plans frontaux. Une figure située dans un plan frontal est représentée en vraie forme, à l'échelle : dans ce plan, toutes les longueurs sont multipliées par un même coefficient, et les angles sont conservés.

En particulier, dans un plan frontal : un carré reste un carré, un cercle reste un cercle, les milieux et les rapports de longueurs sont conservés, et deux droites parallèles ont des images parallèles. Le coefficient de réduction dépend du plan : plus le plan frontal est loin de l'observateur, plus ce coefficient est petit.

Cas particulier : une figure tracée dans le tableau lui-même est sa propre image, en vraie grandeur (coefficient $1$ ).

À gauche, une façade dans un plan frontal, représentée en vraie forme ; à droite, le même bâtiment avec un mur en fuite, déformé

C'est exactement ce qui se passait derrière la fenêtre de Dürer vue de profil : l'objet, situé dans un plan frontal, donnait sur la vitre une image réduite mais fidèle. Et c'est pour cela qu'un architecte qui veut documenter une façade la photographie de face : dans un plan frontal, la photo redevient un document mesurable.

Exemple

Photographier une façade de face. Une façade de $6$ m de large est photographiée bien de face : elle est dans un plan frontal, donc représentée en vraie forme, à l'échelle. Sur le tirage, la façade mesure $12$ cm de large.

Le coefficient de l'échelle vaut $\frac{12}{600} = \frac{1}{50}$ : toutes les longueurs de la façade sont divisées par $50$ sur le tirage. On peut alors tout mesurer :

la porte, haute de $2,40$ m dans la réalité, mesure $240 \div 50 = 4,8$ cm sur la photo ;
la fenêtre circulaire de $1,60$ m de diamètre est un cercle parfait de $160 \div 50 = 3,2$ cm de diamètre ;
les angles droits de la façade sont des angles droits sur l'image.

Dès que le photographe se décale et que la façade cesse d'être frontale, tout cela s'effondre : le rectangle devient un quadrilatère quelconque et le cercle un ovale.

Points de fuite et ligne d'horizon

Revenons aux droites qui s'enfoncent dans la profondeur. On appelle fuyante une droite perpendiculaire au tableau : c'est la direction de profondeur pure, celle des rails quand on regarde la voie dans son axe. Sur l'image, toutes les fuyantes semblent converger vers un même point. Ce phénomène mérite une définition précise, et elle est plus simple qu'il n'y paraît.

Définition

Point de fuite d'une droite. Le point de fuite d'une droite $d$ non parallèle au tableau est l'intersection du plan de représentation avec la droite parallèle à $d$ passant par le point de vue.

Concrètement, l'image de la droite $d$ est une droite qui « aboutit » à ce point : plus un point de $d$ est loin de l'observateur, plus son image est proche du point de fuite. Le point de fuite ne dépend que de la direction de $d$ . Une droite frontale (parallèle au tableau), elle, n'a pas de point de fuite.

Point de fuite principal. Le point de fuite commun à toutes les fuyantes s'appelle le point de fuite principal, noté $F$ . La parallèle à une fuyante passant par $O$ est la perpendiculaire au tableau issue de $O$ : le point $F$ est donc le point du tableau situé exactement en face de l'œil.

Définition

Ligne de fuite, ligne d'horizon. La ligne de fuite d'un plan non frontal est la droite du tableau formée par les points de fuite de toutes les droites de ce plan (non frontales).

Les plans horizontaux (le sol, un plafond, un plateau de table) ont pour ligne de fuite une droite horizontale du tableau appelée ligne d'horizon. Elle est située à la hauteur de l'œil et passe par le point de fuite principal $F$ .

La ligne d'horizon est le premier trait que pose un dessinateur, et pour cause : elle encode la hauteur du regard. Œil au ras du sol (contre-plongée), horizon bas et sujet écrasé contre le ciel ; point de vue en hauteur (plongée), horizon haut et sol largement déployé. Tout ce qui est à hauteur d'œil dans la scène se dessine sur la ligne d'horizon.

Propriété

Images de droites parallèles.

Deux droites parallèles non frontales ont le même point de fuite : leurs images sont concourantes, elles se coupent en ce point de fuite commun.
Deux droites parallèles frontales ont des images parallèles.
Deux plans parallèles non frontaux ont la même ligne de fuite.

C'est la propriété la plus utile du chapitre pour dessiner juste : une famille de droites parallèles dans la réalité, c'est un point de fuite unique sur le papier, un seul point vers lequel tout converge. Et réciproquement, deux segments d'une perspective qui ne convergent pas vers le même point ne peuvent pas représenter des droites parallèles.

Perspective d'une rue : les fuyantes convergent vers le point de fuite principal F, l'allée oblique vers un second point de fuite F' situé lui aussi sur la ligne d'horizon

Exemple

Lire une perspective. Sur la figure ci-dessus, une rue bordée de deux façades est traversée en biais par une allée. Tout se lit avec les définitions :

les lignes de base et de sommet des façades sont des fuyantes : leurs images convergent vers le point de fuite principal $F$ , sur la ligne d'horizon ;
les bords de l'allée sont deux droites parallèles horizontales, mais obliques par rapport au tableau : leurs images convergent vers un autre point de fuite $F^{'}$ . Comme ces droites sont dans le sol, plan horizontal, $F^{'}$ est lui aussi sur la ligne d'horizon : la ligne de fuite du sol ;
les arêtes verticales des façades sont des droites frontales parallèles (le tableau est vertical) : leurs images restent verticales et parallèles entre elles ;
les deux façades sont des plans parallèles non frontaux : elles ont la même ligne de fuite, la droite verticale du tableau passant par $F$ .

Enfin, la ligne d'horizon coupe les portes aux deux tiers de leur hauteur : pour des portes de $2,40$ m, cela place l'œil à $1,60$ m du sol. L'observateur est un piéton debout dans la rue.

Construire : quadrillage et solides simples

Passons à la pratique : construire une perspective exacte à la règle, comme le faisaient les ateliers de la Renaissance. La scène est installée ainsi : tableau vertical, ligne de terre en bas, ligne d'horizon à hauteur d'œil, point de fuite principal $F$ sur l'horizon. L'objet à représenter est un carrelage à carreaux carrés posé au sol, dont le premier bord est sur la ligne de terre : ce bord est dans le tableau, donc en vraie grandeur, et on peut y reporter les mesures réelles.

Il manque un seul outil : de quoi contrôler la profondeur. Ce sont les diagonales du carrelage qui le fournissent. Les diagonales des carreaux sont des droites horizontales faisant un angle de $45^{\circ}$ avec le tableau : elles ont donc leur point de fuite sur la ligne d'horizon. On l'appelle le point de distance, noté $D$ : c'est le point de fuite des diagonales à $45^{\circ}$ du quadrillage. Son nom vient d'une propriété remarquable : la parallèle aux diagonales menée par l'œil $O$ fait elle aussi $45^{\circ}$ avec le tableau, si bien que le triangle $O F D$ est rectangle isocèle en $F$ ; ainsi $F D = O F$ , la distance de $D$ au point de fuite principal est exactement la distance de l'œil au tableau.

Méthode

Construire l'image d'un carrelage. Pour représenter un carrelage de $4 \times 4$ carreaux de $1$ m de côté :

tracer la ligne de terre, et y graduer en vraie grandeur les pieds des lignes du quadrillage : cinq points $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ espacés de $1$ m (à l'échelle du dessin) ;
tracer la ligne d'horizon (sa hauteur au-dessus de la ligne de terre est la hauteur de l'œil, à l'échelle), y placer le point de fuite principal $F$ et un point de distance $D$ ;
joindre chaque graduation $A_{i}$ à $F$ : ce sont les images des fuyantes du carrelage ;
tracer la diagonale : la droite joignant $A_{0}$ au point de distance $D$ . Elle représente la diagonale du carrelage, qui traverse les carreaux coin par coin ;
par chaque point d'intersection de cette diagonale avec les fuyantes, tracer la parallèle à la ligne de terre : ce sont les lignes de profondeur du carrelage (les images des rangées successives).

La justification tient en une phrase : la diagonale réelle passe par les coins successifs des carreaux, donc son image (alignement conservé) passe par les images de ces coins, qui sont précisément sur les fuyantes.

Construction de l'image d'un carrelage 4 sur 4 : ligne de terre graduée, fuyantes vers F, diagonale vers le point de distance D, lignes de profondeur

Ce quadrillage en perspective est l'outil universel du dessinateur : une fois posé, il sert de repère pour placer au sol n'importe quel objet, meuble, personnage ou bâtiment, à la bonne taille et à la bonne profondeur. Le même principe du report de profondeur par la diagonale permet de construire les solides du programme, à commencer par le parallélépipède rectangle.

Méthode

Construire l'image d'un pavé droit ayant une face frontale en vraie grandeur. Pour représenter un pavé droit (par exemple un socle d'exposition de $3$ m de large, $1$ m de haut et $2$ m de profondeur) dont la face avant est dans le tableau :

dessiner la face avant en vraie grandeur : un rectangle de $3$ sur $1$ (à l'échelle), posé sur la ligne de terre ;
joindre les quatre sommets de ce rectangle à $F$ : les arêtes de profondeur du pavé sont des fuyantes ;
reporter la profondeur en vraie grandeur sur la ligne de terre : depuis le pied $A$ d'une arête verticale avant, marquer le point $B$ tel que $A B = 2$ m (à l'échelle) ;
tracer la droite $(B D)$ , où $D$ est un point de distance : elle coupe la fuyante issue de $A$ au pied du sommet arrière correspondant (c'est le report de profondeur par la diagonale, exactement comme pour le carrelage) ;
compléter la face arrière : elle est dans un plan frontal, c'est donc un rectangle en vraie forme, réduit ; il suffit de mener par le point obtenu la parallèle à la ligne de terre et les verticales jusqu'aux autres fuyantes ;
repasser les arêtes visibles en trait plein et les arêtes cachées en pointillés.

Construction de l'image d'un pavé droit à face avant frontale : face avant en vraie grandeur, fuyantes vers F, profondeur reportée par la diagonale vers le point de distance

Les autres solides simples du programme s'en déduisent sans outil nouveau. Pour un prisme droit à base frontale, même démarche que pour le pavé : la face avant se dessine en vraie forme (triangle, hexagone...), chaque sommet file vers $F$ , et la face arrière est la même figure réduite, placée grâce au report de profondeur. Pour une pyramide posée sur une base carrée, on construit d'abord l'image de la base (un carreau du quadrillage), puis on trace ses deux diagonales : elles se coupent en l'image du centre de la base, puisque l'alignement et le contact sont conservés. Le sommet de la pyramide est à la verticale de ce centre : on le place sur la droite verticale passant par ce point (les verticales restent verticales quand le tableau est vertical).

Le programme évoque enfin l'esquisse d'un cylindre ou d'un cône inscrits dans un pavé, et le quadrillage y suffit encore. Si l'axe du cylindre est une fuyante, ses deux disques de base sont dans des plans frontaux : ce sont de vrais cercles, inscrits dans les faces avant et arrière du pavé, qu'on relie par deux segments fuyants tangents. Si le cylindre est debout (axe vertical), chaque cercle de base est inscrit dans un carré horizontal : il touche les côtés du carré en leurs milieux. On repère les images de ces quatre points de contact en traçant, par le centre de l'image du carré (croisement des diagonales), la fuyante vers $F$ et la parallèle à la ligne de terre ; l'image du cercle est l'ovale régulier qui passe par ces quatre points, tangent aux côtés. Pour le cône, même base, et le sommet se place à la verticale du centre de la face supérieure, trouvé lui aussi par les diagonales.

Retenez la logique d'ensemble, car c'est celle de tout le chapitre : la perspective centrale détruit les mesures mais conserve les alignements et les contacts. Toute construction exacte s'appuie donc sur ce qui reste vrai, les droites, leurs points de fuite, les plans frontaux en vraie forme, et va y rechercher les informations que le dessin ne montre plus.

Le cours en PDF(PDF, 120 Ko)

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